Tính tổng của một số chuỗi hàm bằng thặng dư

TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI HÀM BẰNG THẶNG DƯ Nguyễn Văn Hào1 Nguyễn Văn Tuyên2 gười đầu nghiên cứu việc tính tổng của hàm Riemann zeta là nhà toán học L..  Trong bài báo này, chúng tôi

TÍNH TỔNG CỦA MỘT SỐ CHUỖI HÀM BẰNG THẶNG DƯ

Nguyễn Văn Hào1

Nguyễn Văn Tuyên2

gười đầu nghiên cứu việc tính tổng của hàm Riemann zeta là nhà toán học L Euler, ông là người đưa ra công thức nổi tiếng

2

1 1 1



Trong bài báo này, chúng tôi sử dụng kết quả thặng dư của hàm giải tích để tính tổng của hàm Riemann zeta với tất cả các số mũ chẵn và một số tổng khác

1 MỞ ĐẦU

Hàm Riemann zeta được định nghĩa trên miền k | Re k 1 bởi chuỗi

 

1

1





n

k

n

Bằng cách sử dụng lí thuyết tích phân Cauchy, ta có thể khẳng định được chuỗi này hội

tụ trong miền Re k 1 Hơn nữa, chuỗi này chỉnh hình và hội tụ đều trên mọi tập compact chứa trong miền Re k 1

Hàm Riemann zeta có một biểu diễn khác được đưa ra bởi Euler năm 1749 Biểu diễn này là một trong những ý nghĩa quan trọng của hàm zeta Đó là công thức:

,





p

k

p

trong đó  là tập hợp tất cả các số nguyên tố Công thức này được gọi là biểu diễn tích Euler của hàm zeta và nó là một biểu diễn giải tích của định lí cơ bản trong lí thuyết số Một trong những phát hiện thú vị nhất của Euler là công thức:

2



Công thức này là động cơ thúc đẩy ông nghiên cứu những chuỗi có dạng của hàm zeta Thậm chí, Euler còn chỉ ra rằng  2k với k là một số nguyên dương có dạng tích của một

số hữu tỉ với 2k Định lí của Euler đã chỉ ra chính xác rằng:

1

TS, Trường ĐHSP Hà Nội 2

2

ThS, Trường ĐHSP Hà Nội 2

N

  2 1   1 2  

2 1

1









k

k

k

ở đây b là một dãy số hữu tỉ được định nghĩa bởi khai triển Laurent: k

1





  

z

n

b z

Từ khai triển này ta có b2j 0 và   1

2 1 : 2 1 j 

B j b là hệ số Bernoulli thứ j

Có nhiều cách chứng minh công thức này, tuy nhiên trong bài báo này chúng tôi sẽ trình bày một cách chứng minh mới công thức trên bằng cách thuần túy sử dụng lí thuyết thặng dư của một hàm giải tích Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra cách tính các hệ số Bernoulli thông qua

khai triển hàm 22

1







i

i

e

2 NỘI DUNG

2.1 Hệ số Bernoulli

Khai triển chuỗi luỹ thừa của hàm:

2

0

2







iz

n

iz

trong đó các hệ số B (số Bernoulli) thoả mãn hệ thức: n

n

và các số Bernoulli với chỉ số lẻ, trừ ra số 1 1

2

 

B đều bằng 0

Sử dụng khai triển của hàm e chúng ta được: z

2

1



iz

r

r

Từ đó, chúng ta nhận được đồng nhất thức:

0

1

2

!

















n n

r n

r

iz

r

2

iz B

Thực hiện phép nhân hai chuỗi ta nhận được:

     

0

4

2

iz

Đồng nhất hai vế của đẳng thức trên ta nhận được kết quả

Sử dụng đẳng thức:

2

iz iz

iz

và thay thế khai triển của hàm 22

1







iz

iz

e trong phần trên chúng ta có:

0

0

Thực hiện việc giản ước các số hạng và sắp xếp theo luỹ thừa tăng đối với 2iz chúng

ta nhận được:

1

Đồng nhất hai vế của đẳng thức trên ta nhận được:

1

2

Sử dụng hệ thức:

n

chúng ta tính được các hệ số của khai triển

2.2 Tổng của chuỗi vô hạn

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày phương pháp sử dụng lí thuyết thặng dư để tính giá trị của hàm Riemann zeta với số mũ chẵn Để sử dụng lí thuyết thặng dư tính các giá trị

đó, chúng ta cần nhắc lại một số định lí cơ bản về thặng dư sẽ được sử dụng trong mục này

2.2.1 Thặng dư và cách tính



g z

f z

z z ở đó g là hàm chỉnh hình trong

lân cận của điểm z thì: 0

0

1 0

1 !





k

z z

r f

k

Ví dụ 2.2 Xét hàm   cot 

h z

z tại z0

1 Nếu chỉ số k chẵn thì    

0

es

!





k k k

z

r

z k với B là hệ số được xác định như k

trong hệ thức ở mục 2

2 Nếu chỉ số k lẻ thì  

0

cot





z

z r

Thật vậy, theo mục 2 chúng ta có công thức khai triển:

2

0

2







iz

j

B iz

iz

ở đó B k 0 với tất cả các chỉ số k lẻ, trừ ra 1 1

2

 

0

!







j

B

j

tổng chỉ lấy trên các chỉ số j chẵn Do đó, theo Định lí 2.1, chúng ta có:

0

!





k k k

z

r

với chỉ số chẵn k2

Định lí 2.3 (Công thức thặng dư; [3, Theorem 4.2.1]) Giả sử f là hàm chỉnh hình trong

một miền D , trừ ra một số hữu hạn các cực điểm z z1, 2, ,z nằm trong miền đó Khi đó, N

chúng ta có công thức:

 

1







k

f z dz i res f

ở đó  là chu tuyến nằm trong miền D , sao cho z z1, 2, ,z ND D

Trở lại vấn đề, trước hết ta xét bài toán tổng quát: Tính tổng của một chuỗi vô hạn có dạng:

 ,







m

f m

ở đó f là một hàm chỉnh hình với các điểm kì dị cô lập trong mặt phẳng phức

Ý tưởng ở đây là: nếu chúng ta tìm được một hàm chỉnh hình g có cực điểm đơn với

thặng dư 1 tại mỗi số nguyên m thì hàm f g có cực điểm với thặng dư f m  tại mỗi số

nguyên m Thêm nữa, nếu chúng ta cũng có thể chọn được một dãy các chu tuyến  N sao cho mọi điểm kì dị của f g được chứa trong Nvới N đủ lớn và đồng thời tích phân của

f g dọc theo N có giới hạn 0 khi N   Khi đó, từ định lí thặng dư suy ra rằng tổng của tất cả thặng dư của f g tạo thành một chuỗi hội tụ với tổng bằng 0 Nếu f chỉ có hữu hạn

điểm kì dị và không có điểm nào là số nguyên thì tổng   





m

f m sẽ hội tụ đến giá trị đối của

tổng thặng dư của hàm f g tại các điểm kì dị của f Nếu một số các điểm kì dị của f là số

nguyên thì cần một sự điều chỉnh nào đó để nhận được điều mong muốn

2.2.2 Một số tính chất của hàm cotangent

Ý tưởng trên đây có thể thực hiện được dưới giả thiết hợp lí đối với f nếu hàm g được

chọn tốt Một trong sự lựa chọn đặc biệt tốt là hàm g z  cot z có cực điểm đơn tại mỗi

số nguyên zm và không có cực điểm nào khác Để thực hiện được ý tưởng đã đưa ra, trước hết chúng ta trình bày một số tính chất liên quan đến hàm cot z Để thuận tiện cho việc trình bày việc tính tổng của hàm Riemann Zeta, trong 3 bổ đề dưới đây chúng tôi bổ sung

[3, Theorem 4.4.1]

Bởi vì hàm sin z có không điểm bậc 1 tại mọi số nguyên và không có không điểm nào khác trên nên hàm cot z chỉ có các cực điểm đơn tại mỗi số nguyên Thặng dư của hàm này tại mỗi số nguyên bằng 1

 Do đó ta nhận được:

Bổ đề 2.4 Hàm g z  cot z có cực điểm đơn tại mỗi số nguyên với thặng dư bằng

1

Hiển nhiên g z  cot z không bị chặn trong lân cận của điểm 

Tuy nhiên, chúng ta sẽ chỉ ra rằng có một dãy các chu tuyến dần ra  mà trên đó hàm

 

g z bị chặn Các chu tuyến đó chính là các hình vuông N với các cạnh thẳng đứng có phương trình:

;

và các cạnh nằm ngang có phương trình:

;

Bổ đề 2.5 Tồn tại số dương R sao cho với mọi N R thì:

 

cot  z 2 trên 

Chứng minh Với mỗi số phức z x iy, chúng ta có:

cos cot

sin

1 1

 

 

  

  







iz iz

iz iz

iz ix y

ix y

ix y

e e

e e

2

   

x N với số nguyên N thì 2ix 1

e và do đó:

 

y

e z

trên các cạnh thẳng đứng của hình vuông N

Trên các cạnh nằm ngang 1

2

   

y N cực đại của hàm cot z đạt được khi 2

1

ix

e tức là tại các giá trị nguyên của x Do đó, giá trị cực đại là:

2 1

2 1

1 1

  

  





N

N

e

Bởi vì biểu thức này có giới hạn bằng 1 khi N   nên tồn tại số M sao cho nó nhỏ

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.6 Với đường cong N như trên

cot( )

0,





N

z dz z

với mỗi số nguyên dương N

Chứng minh Hàm ( ) cot( )

h z

z chỉnh hình trong N trừ ra các điểm nguyên, chính

là các cực điểm của nó Theo định lí thặng dư:

cot( )









N

N

z n

n N

z

z

Theo Ví dụ 2.2, thặng dư của h z  tại z0 bằng 0 Cực điểm của h z  tại mỗi số nguyên n khác 0 là cực điểm đơn, nên chúng ta có thể tính thặng dư của nó bằng:

 



z n

n resh

Giá trị thặng dư là hàm lẻ đối với n và từng cặp đối xứng qua gốc toạ độ nên chúng ta nhận được:

0







N

z n

n N resh

Từ đó, chúng ta nhận được điều phải chứng minh

Đến giờ chúng ta chứng minh định lí tổng thặng dư sau đây đối với hàm tích

   

 f z z

Định lí 2.7 [3, Theorem 4.4.1] Giả sử f là hàm chỉnh hình trên trừ ra một tập hữu

hạn các điểm kì dị cô lập Ez z1, 2, ,z m và tồn tại các hằng số dương R và M sao cho:

( ) M ;

f z

z với z R.

Khi đó

   

N j

m

j n

ở đó 0N

là tập các số nguyên trong N N,  không thuộc tập hợp E

Chứng minh Kì dị của hàm h z  f z   cot z gồm các số nguyên và các điểm

1, 2, , m

z z z Tại mỗi điểm nguyên không thuộc tập E hàm h z  có thặng dư f n  vì

 

cot

 z có cực điểm đơn với thặng dư 1 tại n và f không có kì dị tại n Nếu N đủ lớn sao cho các điểm z j đều nằm trong N thì từ định lí thặng dư suy ra:

1



N j N

m

z z j

n Z

i

Do đó, để chứng minh định lí ta chỉ cần chỉ ra tích phân trong vế trái hội tụ đến 0 khi

 

N

Chọn R và M đủ lớn sao cho:

( )  M;

f z

z với z R

và z j R j 1, 2,3, ,m Thế thì hàm f chỉnh hình trong hình vành khăn 

và triệt tiêu tại vô cùng Do đó, khai triển của nó tại 0 có dạng:

n

f z

Theo Bổ đề 2.6, chúng ta có:

 

cot

0







N

z dz z

và do đó:



c

Tuy nhiên, hàm:

n

f z

có dạng  

2

q z

z trong A , ở đây q là hàm chỉnh hình trong A và có giới hạn c tại vô cùng 2

Điều đó suy ra rằng với số R1R hàm | | q bị chặn bởi hằng số dương M trên 1 z z:| |R

Theo Bổ đề 2.5, chúng ta có:

2

2

Bởi vì | |z R trên N và độ dài của đường cong N là 8N4, nên:

2

1



 

N

2.2.3 Hàm Riemann zeta với các số nguyên chẵn

Để tính tổng của hàm Riemann zeta khi k là số nguyên chẵn, chúng ta sử dụng hàm

 k

f z

z Rõ ràng hàm này thoả mãn các giả thiết của Định lí 2.7 Do đó, với mỗi số

nguyên chẵn k2, chúng ta có:

0



z

cot z

z

Theo Ví dụ 2.2 chúng ta có    

0

2

!





k k k

z

cot z i B r

z k thay vào biểu thức trên, chúng ta

nhận được:



k k

i B k

k với số chẵn k2

Ta có thể tính được một số giá trị cụ thể là:

 2 2,  4 4,  6 6 ,

2.2.4 Thêm một tổng khác

Ngoài việc sử dụng hàm g z  .cotz, chúng tôi chọn hàm   1

sin





g z

z để thực

hiện việc tính một số tổng của chuỗi dạng    1







n

f n Trước hết ta chứng minh kết quả

dưới đây:

Định lí 2.8 Giả sử f là hàm chỉnh hình trừ ra một số hữu hạn cực điểm a a1, 2, ,a m

và

 

sin











N

N

f z dz z

Khi đó, chúng ta có:

1

sin







k

m n

z a

f z

z

Chứng minh Chọn N đủ lớn sao cho N chứa mọi điểm kì dị của f trong đó N là chu tuyến như đã nói ở trên Trong miền giới hạn bởi N hàm ( ) 1

sin





g z

z có các cực điểm

k

z k N k N Theo công thức thặng dư, chúng ta có:

1



N

Từ đó ta suy ra:





k

z k

z k

1





N

m

k

Theo giả thiết thì giới hạn bên trái bằng 0 nên:

1

sin







k

m k

z a

f z

z

Ví dụ 2.9 Tính tổng chuỗi:

 

1











n

a

a n

Đặt  

1





f z

a z thì f thoả mãn các điều kiện của Định lí 3.8 Thật vậy, trên các

cạnh song song với trục ảo: 1 ,

2

   

z N iy chúng ta có:

 

1

sin

2

Trên các cạnh song song với trục thực 1 ,

2

z x N i chúng ta có:

1 2

1 sin

sin 2

2

z

Từ đó suy ra:

0

1 sin

2



N z

sh N

Do đó, chúng ta có:

| | 2









N

N

Thêm nữa, f có điểm kì dị duy nhất là cực điểm cấp hai z a. Như vậy, hàm f thoả

mãn các điều kiện của Định lí 3.8, do đó:

 

2

2

1

es sin 1 sin











 







n

z a

f z r

z

a n

z

sin a a

Vậy tổng của chuỗi cần tìm là:

 

sin





 





n

a a

n a

3 KẾT LUẬN

Trong bài báo này, chúng tôi đã đưa ra một cách chứng minh mới Định lí Euler về tổng của chuỗi Riemann zeta với số mũ chẵn bằng cách thuần túy sử dụng lí thuyết thặng dư của một hàm giải tích Ngoài ra, chúng tôi còn đưa ra cách tính các hệ số Bernoulli thông qua

khai triển hàm 22

1







i

i

e

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 L V Ahlfor, Complex Analysis, New York, third edition,1979

2 H M Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press, 1974

3 J E Marsden and M J Hoffman, Basic Complex Analysis, New York, third edition, 1999

4 Elias M Stein and Rami Shakarchi, Complex analysis, Princeton University Press, 2003

CALCULATE SUM OF SOME SERIES OF FUNCTIONS

Nguyen Van Hao, Nguyen Van Tuyen

Abstract

Who first to study the calculate sum of Riemann zeta function is L Euler, he is the founder of the famous formula

2

1 1 1



In this paper, we use results about residue of analytic functions to calculate sum of the Riemann zeta function with all even exponents and some of the other