Nghiên cứu tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương khi có khuyết tật bằng phương pháp thống kê mômen

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG KHI CÓ KHUYẾT TẬT BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN Phạm Thị Minh Hạnh1 Nguyễn Thị Thuỳ2 ằng phương pháp thống kê mômen,

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG KHI CÓ

KHUYẾT TẬT BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN

Phạm Thị Minh Hạnh1

Nguyễn Thị Thuỳ2

ằng phương pháp thống kê mômen, chúng tôi đã xây dựng được các biểu thức giải tích xác định các đại lượng nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương khi kể đến đóng góp phi điều hoà của dao động mạng Từ đó

áp dụng tính số cho Si trong trường hợp lý tưởng và trường hợp khuyết tật Các kết quả đã được so sánh với thực nghiệm

1 ĐẶT VẤN ĐỀ

Các tính chất nhiệt động của bán dẫn nói chung và Si nói riêng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học Trong những năm gần đây, các tính chất dao động của bán dẫn nhóm IIIV đã được nghiên cứu bằng lý thuyết hàm mật độ [1] và bằng mô hình liên kết chặt [5] Sử dụng thế kinh nghiệm và phương pháp động lực học, S M Nakhmanson và D A Drabold đã tính được các tính chất dao động và nhiệt dung riêng đẳng tích của Si [7]

Bằng phương pháp thống kê mômen trong cơ học thống kê lượng tử, chúng tôi đã tính được các tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS trường hợp lý tưởng có tính đến ảnh hưởng phi điều hoà của dao động mạng [4] Trong bài báo này, chúng tôi tiếp tục phát triển phương pháp mômen để nghiên cứu tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương khi có khuyết tật Áp dụng tính số cho Si

2 NỘI DUNG

2.1 Các tính chất nhiệt động đối với bán dẫn có cấu trúc kim cương

2.1.1 Độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng

Xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương, ngoài tương tác cặp là chủ yếu, người ta còn phải kể đến đóng góp của tương tác 3 hạt Do vậy khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị,

thế năng tương tác có dạng [4]:

1

TS, Trường ĐHSP Hà Nôi 2

2

Học viên Cao học, K15, Trường ĐHSP Hà Nội 2

B

i i, j i, j,k

Trong đó Ei là thế năng tương tác của hạt thứ i, ij là thế năng tương tác giữa các hạt thứ

i và hạt j, Wijk là thế tương tác giữa các hạt i, j và k

Ở nhiệt độ cao, dao động của các hạt ở nút mạng là mạnh, khi đó trong biểu thức khai triển của thế năng tương tác Ei theo độ dời ui phải kể đến những số hạng bậc cao hơn 2 Vì vậy, nếu dừng lại ở phép gần đúng cấp 4, thế năng tương tác của hạt i có dạng [4]:

4 i

j j j j , , , i j j j eq

E 1

u u u u

   

       

     

      

  

   



(3)

, , , x, y, z

     ;

0

Ở đây a là vị trí cân bằng của hạt thứ j, dạng của các số hạng j

2 i

j j eq

E

u u

  

 

  

  được xác

định như trong [4]

Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi p theo phương  thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phương trình [4]:

,

4 i

j j j p

eq

E 1

   

      

     

      

  

    

   



(5)

Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim cương, các số hạng sau đều bằng không:

u  u u u u u  u u  u u

 

            

 

              

          , (6)

 

Nhờ công thức tổng quát về mô men [8], chúng ta có thể biểu diễn mô men bậc 4 (

j j j j p

u u u u    ); mô men bậc 3 ( j j j

p

u u u   ); mô men bậc 2 ( j j

p

u u  ) qua mô men bậc 1[8]

Sử dụng (5) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (6), phương trình (4) được viết lại như

sau [4]:

2

               

trong đó

y uj P, Xx coth x, x

2





,

2

2 i

2

jx eq

E

u

 

   



  ,

jx eq jx jy eq

1

6

     

      

  

    

;

3 i

jx jy jz eq

E

u u u

  

   

  

  (8)

Phương trình (7) nhận được khi coi j j j j

u  u  u   u y

Để giải (7), ta thực hiện phép đổi biến sau:

y/ y

3



 

Với cách đổi biến như vậy, phương trình (7) biến đổi về dạng:

2





trong đó:

 

2

Ở vùng nhiệt độ cao sao cho X ~ 1, phương trình (10) trở về dạng quen thuộc trong [8]:

2



Phương trình (12) là một phương trình vi phân phi tuyến, chúng ta tìm nghiệm của nó

dưới dạng gần đúng Vì ngoại lực p*

là tuỳ ý và nhỏ nên ta có thể tìm nghiệm dưới dạng đơn giản sau:

trong đó y/

0 là độ dời ứng với trường hợp không có ngoại lực p* (p* =0)

Nghiệm của (12) đã được đưa ra trong [8]:

2 /

2

3K



ở đây:

         

      , Dạng của a , a , a , a , a , a được xác định như trong [4] 1 2 3 4 5 6

Như vậy, từ (9) và (13) suy ra nghiệm của phương trình (7) ứng với trường hợp không có ngoại lực tác dụng có dạng:

 

/

/

3

 





     

            

(15)

Khi xác định được độ dời y0, ta có thể tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở nhiệt độ T theo biểu thức:

Trong đó a0 là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 0K Từ đó, ta hoàn hoàn toàn xác định được giá trị của hằng số mạng ah Đối với bán dẫn có cấu trúc kim cương, ta có: h

4

3



2.1.2 Năng lượng tự do

Trong phép gần đúng tới cấp 4, thế năng tương tác giữa các hạt có dạng:

4 i

j j j j , , , j j j j eq

E 1

u u u u

   

       

        



    

    



(17)

Do đó, thế năng tương tác trung bình của tinh thể và hợp chất bán dẫn có cấu trúc kim cương có dạng:

E U0 3N k u2 1 u4 2 u2 2 u u ujx jy jz



Trong đó:

i

U  E ;

4 i

jx eq

E 1

24 u

 

   



  ;

4 i

jx jy eq

E 6

24 u u

  

   

 

  (19)

Như vậy, nhờ các công thức mômen đối với <u2

>,<u4> và <uixuiyuiz> trong [8], chúng ta

sẽ xác định được <E>

Khi thay các công thức của mômen <u2>,<u4> và <uixuiyuiz> và tiến hành tính các tích phân, ta thu được biểu thức gần đúng của năng lượng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim cương

 

2

3

4

2 2

2

2

kK

6



   

         

 

      

              

          

               

         



 



2 2

2 3

1

3

(X 1)

      

         

         

     

        

 

    

       

           







2 a 3N x ln 1 e , M

3K

        

 

Nhờ công thức (20), chúng ta tìm được năng lượng tự do của hệ ở nhiệt độ T nếu biết giá trị của các thông số k, 1, 2, ,  ở nhiệt độ T0

Nếu nhiệt độ T0 không xa nhiệt độ T thì có thể xem dao động của hạt xung quanh vị trí cân bằng mới (tương ứng với T0) là điều hoà Như vậy, năng lượng tự do của hệ có dạng như năng lượng tự do của hệ N dao tử điều hoà, nghĩa là:

2x 0

0

u

3



  

       

     

(21)

Khi sử dụng biểu thức này cần chú ý là các thông số k, K, ,  và đại lượng u0 phụ thuộc vào nhiệt độ

Từ năng lượng tự do, ta có thể suy ra các đại lượng nhiệt động như: hệ số giãn nở nhiệt, các nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp như ở phần tiếp theo

2.1.3 Năng lượng và nhiệt dung của tinh thể

Sử dụng hệ thức nhiệt động GibbsHelmholtz E 

    

 và biểu thức (20) đối với

năng lượng tự do, ta tìm được biểu thức năng lượng của mạng tinh thể E, từ đó xác định được nhiệt dung riêng đẳng tích của hệ được xác định nhờ hệ thức CV E

T







2.1.4 Hệ số dãn nở nhiệt và hệ số nén đẳng nhiệt

 Hệ số nén đẳng nhiệt:

Theo định nghĩa, hệ số nén đẳng nhiệt được xác định bởi hệ thức:

3

0

2 T

a 3 a a 2P 3V a

 

 



Trong đó: v là thể tích của một nguyên tử, a là khoảng lân cận gần nhất giữa hai nguyên

tử ở TK, a0 là khoảng lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử ở 0K Đối với tinh thể có cấu trúc kim cương thì

3 8a v

3 3

 Biểu thức đối với

2 2 T a

 

 

  được xác định nhờ (21):

2 2

0

T

u

3N

    

          

     

      

(24)

Từ đó, sử dụng (16), (23), (24) chúng ta sẽ tìm được giá trị của hệ số nén đẳng nhiệt T

 Hệ số giãn nở nhiệt

Hệ số giãn nở nhiệt được định nghĩa như sau:

0

B T a

 

    

      



Kết quả này cho phép xác định  khi biết T và ngược lại

2.1.5 Các đại lượng nhiệt động khác

Các đại lượng nhiệt động khác như nhiệt dung riêng đẳng áp, hệ số nén đoạn nhiệt được xác định nhờ hệ thức nhiệt động:

2

V

C 9TV

C



2.2 Áp dụng tính số và thảo luận kết quả

Với những vật liệu có liên kết mạnh như bán dẫn thì việc sử dụng thế cặp là không đủ để

mô tả lực liên kết và mạng tinh thể là không bền nếu không có các lực 3 hạt Một trong thế nhiều hạt được sử dụng để nghiên cứu tính chất nhiệt động của Si là thế nhiều hạt có dạng [3]:

ij ijk

i, j i, j,k

1 3cos cos cos

         

(27)

Trong đó r , r , r tương ứng là khoảng cách giữa các cặp hạt i và j, j và k, k và i, ij jk ki

i, j, k

   là 3 góc trong của tam giác được tạo thành từ 3 hạt i, j và k r , Z, 0  là các thông số được xác định từ thực nghiệm

Sử dụng các giá trị thực nghiệm của r , Z, 0  được cho trong [3] và các công thức đã thiết lập ở trên, chúng tôi đã thu được kết quả: hằng số mạng a , nhiệt dung riêng đẳng tích Ch V, nhiệt dung riêng đẳng áp Cp, hệ số giãn nở nhiệt α trong trường hợp lý tưởng ở các nhiệt độ khác nhau Để xác định các đại lượng nhiệt động này trong trường hợp khuyết tật, các bước được tiến hành như trong trường hợp lý tưởng, tuy nhiên khi đó các thông số phải tính khi có khuyết tật Các kết quả đối với trường hợp lý tưởng và khuyết tật của Si được trình bày trong bảng 1 và bảng 2 và đã được so sánh với số liệu thực nghiệm

Bảng 1: Sự phụ thuộc nhiệt độ của hằng số mạng ah của Si lý tưởng và khuyết tật

Lý tưởng

h

a (1010 m) Khuyết tật

h

a (1010 m)

TN [6]

Bảng 2: Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng nhiệt động của Si lý tưởng và khuyết tật

(10.K)

lý tưởng

(10 .K) khuyết tật

(10.K)

TN[2]

(cal/molK)

lý tưởng

(cal/mol.K) khuyết tật

(cal/mol.K)

lý tưởng

(cal/mol.K) khuyết tật

(cal/mol.K)

TN[2]

Từ giá trị đã ghi trong bảng 1, bảng 2, có thể thấy rằng: các kết quả tính toán bằng phương pháp mômen đối với hằng số mạng, nhiệt dung riêng đẳng tích, hệ số giãn nở nhiệt, nhiệt dung riêng đẳng áp của Si có sự phù hợp với thực nghiệm

3 KẾT LUẬN

Bằng phương pháp thống kê mômen, chúng tôi đã xây dựng được biểu thức giải tích xác định các đại lượng nhiệt động của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương phụ thuộc vào nhiệt

độ, từ đó đã áp dụng tính số cho Si trong trường hợp lý tưởng và khuyết tật Các kết quả tính

số được so sánh với thực nghiệm và có sự phù hợp

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 C Eckl, J Fritsch, P.Pavone, and U Schroder, surf Sci 394, 47, 1997

4 Phạm Thị Minh Hạnh, Luận án Tiến sĩ, Trường ĐHSP Hà Nội, 2007

5 H.M Tutuncu and G P Srivastava, Phys Rev B 53, 15675, 1996

6 M.P Sascolskoi, acustichskie Krystalu, Moscow "Nauka", 40, 167, 1982

7 S M Nakhmanson and D A Drabold, Phys Rev B 61, 5376, 2000

STUDY OF THERMODYNAMIC QUANTITIES OF SEMICONDUCTORS WITH THE DIAMOND CUBIC STRUCTURE WITH DEFECTS BY

STATISTICAL MOMENT METHOD

Pham Thi Minh Hanh, Nguyen Thi Thuy

Abstract

Using the statistical moment method, the thermodynamic properties of crystals with the diamond cubic semiconductors are considered taking into account the anharmonic effects of the lattice vibrations The numerical results for Si and Si with defects are compared with the experimental results