Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn (LV01237)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————————————— TRẦN XUÂN TRƯỜNG BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

TRẦN XUÂN TRƯỜNG

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

TRẦN XUÂN TRƯỜNG

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG TRONG MIỀN KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH NguyễnMạnh Hùng , người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫntác giả trong quá trình thực hiện luận văn

Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn tới Tiến sĩ Nguyễn Hữu Thọ, Bộmôn Toán học- Trường Đại học Thủy Lợi đã có những góp ý quý báucho tác giả trong quá trình làm luận văn Tác giả cũng xin được gửi lờicảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, Phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy côgiáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợitrong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các đồng nghiệp, gia đình, người thân,các bạn trong lớp cao học K16 TGT Đợt 2 -ĐHSP Hà Nội 2 đã độngviên , tương trợ và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bảnluận văn này

Mặc dù đã rất cố gắng, song bản luận văn này không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Rất mong sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Trần Xuân Trường

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tâm của GS.TSKHNguyễn Mạnh Hùng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: "Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trìnhtrình truyền sóng trong miền không trơn" được hoàn thành bởi sự nhậnthức và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Trần Xuân Trường

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Không gian Sobolev 4

1.1 Các kí hiệu 4

1.2 Trung bình hóa 5

1.3 Đạo hàm suy rộng 6

1.3.1 Không gian Lp(Ω) 6

1.3.2 Không gian L∞(Ω) 6

1.3.3 Không gian Sobolev 7

1.4 Một số bất đẳng thức cơ bản 8

Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 12

2.1 Đặt bài toán 12

2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 13

2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 15

2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 18

Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn 21 3.1 Đặt bài toán 21

3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 22

3.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 22

3.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 25Kết luận 29Tài liệu tham khảo 30

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Khi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng chúng ta đã biết được cácvấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Laplate, phương trình truyềnsóng, phương trình truyền nhiệt Đó là các phương trình đơn giản lầnlượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình loạiEliptic, Hypebolic, Parabolic Ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệmtheo nghĩa thông thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tínhtrơn đến cấp của phương trình, điều này gây khó khăn khi xét các bàitoán đối với phương trình trên những miền bất kỳ hoặc với những bàitoán của phương trình tổng quát hơn Để khắc phục điều này, thay vì

đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng, tức là nhữngnghiệm "thô" lúc đầu là nghiệm "khá gần" với nghiệm hầu khắp nơihoặc nghiệm cổ điển gọi chung là nghiệm thông thường Sau đó nhờ cáccông cụ của giải tích hàm, ta làm cho nghiệm suy rộng gần đến nghiệmthông thường.Vì vậy, phương trình đạo hàm riêng là vấn đề rất mới mẻ

và bí ẩn kích thích sự khám phá của những người yêu thích nó

Để góp phần giúp đỡ cho người học, những người yêu thích phương trìnhđạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn vềmôn học, nhờ sự giúp đỡ của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng tôi chọnnghiên cứu đề tài: "Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứnhất đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của bàitoán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trìnhtruyền sóng trong miền không trơn Kết quả nhận được là các định lítồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toántrên trong miền không trơn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luậnvăn là:

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev,các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan Từ đó áp dụng vàonghiên cứu tính giải được của bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev,nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biênkhông có điều kiện ban đầu đối với phương trình truyền sóng trong miềnkhông trơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp sử dụng trong luận văn là sử dụng các công cụ của giảitích hàm, phương pháp Galerkin

6 Những đóng góp mới của đề tài

Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc tổng kết hoặcxét những trường hợp đặc biệt của những bài toán đã được giải

Chương 1 Không gian Sobolev

u = (u1, , un) và Dpu = ∂|p|u/∂xp1

1 ∂xpn

n = uxp1

1 xpnn là đạo hàm suyrộng cấp p theo biến x = (x1, xn); utk = ∂ku/∂tk là đạo hàm suy rộngcấp k theo biến t Ở đây p = (p1, , pn) là kí hiệu đa chỉ số với pi là các

số nguyên không âm, |p| = p1 + + pn

Kí hiệu: Ck(Ω)là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ktrong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞, C0(Ω) = C (Ω) và

X, xác định trên (0, T ) sao cho

kukL∞ (0,T ;X) = ess sup

0<t<T

ku (x, t)kX < ∞Trong bài ta sử dụng các kí hiệu sau :

Rnθ(x) = 1 Hàm θ(x)được gọi là nhân trung bình hóa

u(y)dy

được xác định trong Rn và trơn vô hạn Khi đó, hàm uh(x) được gọi làtrung bình hóa hay hàm trung bình hóa của u.

1.3 Đạo hàm suy rộng

1.3.1 Không gian Lp(Ω)

Định nghĩa 1.3.1 Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho

1 ≤ p < +∞ Khi đó Lp(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)khả tổng cấp p theo Lebesgue trong Ω, tức là:

Hơn nữa, Lp(Ω) là một không gian đầy đủ nên Lp(Ω) là một không gianBanach

Đặc biệt, với p = 2, không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vôhướng

Định nghĩa 1.3.2 Cho Ω là một miền trong không gian Rn Khi

đó L∞(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo

Lebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn :

Định nghĩa 1.3.3 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn Một hàm

v (x) ∈ L1(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u (x) ∈ L1(Ω)nếu:

Ω, sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc L2(Ω)

và được trang bị chuẩn:

kukWm (Ω) =



X

Đặc biệt W1(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈ L2(Ω), saocho tồn tại các đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2(Ω) và đựợc trang

bị chuẩn:

kukW1 (Ω) =



X

* Không gian Wl,k(e−γt, ΩT)

Định nghĩa 1.3.5 Ta định nghĩa Wl,k(e−γt, ΩT) là không gian baogồm tất cả các hàm u (x, t) , (x, t) ∈ ΩT sao cho Dpu (., t) , utj (., t) ∈

Đặc biệt W1,1(e−γt, Ω∞h ) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈

L2(Ω∞h ), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2(Ω∞h ),Du(., t), utj ∈ L2(Ω∞h ),|j| ≤ 1, với mỗi t ∈ (h, ∞) và đựợc trang bịchuẩn:

kuk2W1,1 (e −γt ,Ω ∞

h ) =Z

Ω ∞ h



X

Ta có: a.b = h(2ε)12 ai b

(2ε)12

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân chotích trên ta được:

Cho ε > 0 và chú ý 0 6 |x ± εy|2 = |x|2 ± 2ε.xy + |ε.y|2 Do đó:

±xy ≤ 1

2ε |x|2 + ε

2|y|2

Cưc tiểu hoá vế trái, đặt: ε = |x||y|, với y 6= 0

Ta có điều phải chứng minh

u (t) ≤ Φ (t) + L

Z t

t0

eL(t−s)Φ (s) ds, ∀t ∈ [t0, T )

Hơn nữa, nếu Φ (t) có đạo hàm Φ0(t) khả tích trên [t0, T ) thì

y0 − Ly(t) ≤ Φ(t), ∀t ∈ [t0, T ) Bây giờ đặt z(t) = y(t)e−Lt ta nhận được:

Nếu Φ(t) có đạo hàm Φ0(t) khả tích trên [t0, T ) thì bằng tích phân từngphần, ta có

Z t 0

Z t 0

Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu

thứ nhất đối với phương trình

truyền sóng trong miền không trơn

Trong chương này, luận văn nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm

suy rộng của bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương

trình truyền sóng trong miền không trơn, kết quả nhận được là tính giải

được của bài toán trong trụ Ω∞h với đáy có biên không trơn

Xét bài toán sau trong trụ Ω∞h

L (x, t, D) u − utt = f (x, t) , (2.3)với điều kiện ban đầu

u|t=h = ut|t=h = 0, (2.4)với điều kiện biên

u|S∞

Bài toán (2.3)-(2.5) gọi là bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhấtđối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn

2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng

Cho f ∈ L2(Ω) Nghiệm suy rộng trong không gian W1,1(e−γt, Ω∞h )của bài toán (2.3)-(2.5) là hàm u (x, t) ∈

Khi đó tồn tại các hằng số γ1 > 0 và γ2 sao cho:

(Theo bất đẳng thức Garding với phương trình Eliptic mạnh)

ở đó γ1, γ2 là các hằng số không phụ thuộc u(x, t) và tham số t

δ > 0 đủ nhỏ sao cho:

|aij(x, t) − aij (x, t0)| ≤ , ∀t ∈ (t0 − δ, t0 + δ) ,

 là số đã chọn trong bất đẳng thức (2.7)

Chọn một phủ mở hữu hạn bao gồm các khoảng có độ dài 2δ như trên

I1, I2, , IN Xét phân hoạch đơn vị:

Bổ đề 2.2.1 Giả sử điều kiện (2.2) thoả mãn Khi đó tồn tại 2 hằng

số µ0 > 0, λ0 ≥ 0 sao cho với mỗi hàm u = u (x, t) ∈

2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

Định lý 2.3.1 Giả sử rằng hệ số của toán tử L (x, t, D) thoả mãn điềukiện (2.2) và thoả mãn điều kiện sau:

sup

(x,t)∈Ω∞h



∂aij

∂t



≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, µ = const > 0

Khi đó bài toán (2.3) − (2.5) có không quá một nghiệm suy rộng trong

W1,1(e−γt, Ω∞h ) với γ > 0

Chứng minh

Giả sử bài toán (2.3) − (2.5) có hai nghiệm suy rộng u1 và u2 trong

W1,1(e−γt, Ω∞h ) với γ > 0.Với T > h, b tùy ý , b ∈ (h, T )

u (x, s) ds,

vi(x, t) =

Z t h

Ω∞h

,

Ở đây C là hằng số không phụ thuộc vào b Từ đây và Bổ đề 1.4.1 suy

ra u(x, t) ≡ 0 trên đoạn [h, λ1/2C2] Lập lại các lý luận ở trên đối với

t ∈ [λ1/2C2, λ1/C2], ta có u(x, t) ≡ 0 trên đoạn [h, λ1/C2] Như vậy saumột số hữu hạn bước ta nhận được u(x, t) ≡ 0 trên đoạn [h, T ], tức là

∂aij

∂t

o

≤ µ; 1 ≤ i, j ≤ n, µ = const > 0Khi đó bài toán (2.3)−(2.5) có nghiệm suy rộng u (x, t) ∈ W1,1(e−γt, Ω∞h )thoả mãn:

kukW1,1 (e −γt ,Ω∞h ) ≤ C kf kL

2 (Ω∞h ), C = const > 0Chứng minh

Giả sử {ϕk(x)}∞k=1 là hệ hàm trong W1(Ω) ,sao cho bao đóng của baotuyến tính của nó là

ở đây cNk , k = 1, , N là nghiệm của hệ phương trình vi phân thường

1 đến N , sau đó lấy tích phân đẳng thức thu được theo t từ h đến τ và

cộng vào đẳng thức trên với liên hợp phức của nó và sử dụng giả thiết

aij = aji Lấy tích phân từng phần và áp dụng (2.16), ta suy ra:

uNt (., τ ) 2L2(Ω)−B uN, uN
(τ )+λ0 uN (., τ ) 2L2(Ω)+Pn

i,j=1

D(aij)tuNxj, uNxi

E

Ω T h

Khi đó, từ (2.13) và sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta suy ra

C1 là hằng số không phụ thuộc vào N Do đó, tồn tại một dãy con của

dãy uN ∞N =1 hội tụ yếu đến một hàm u(x, t) trong không gian W1,1(Ω∞h )

và đều theo t ∈ [h, t] trong L2(Ω) Do uN(x, h) = 0 và uN ∈

0

W1,1(Ω∞h ),nên u ∈

0

W1,1(Ω∞h ) và u(x, h) = 0 Ta chứng minh u(x, t) thỏa mãn đồng

Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện

ban đầu thứ nhất đối với phương

trình truyền sóng trong miền không

trơn

Trong chương này luận văn trình bày về tính duy nhất và sự tồn tại

nghiệm suy rộng của bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất

đối với phương trình truyền sóng trong miền không trơn

3.1 Đặt bài toán

Ta đưa vào các không gian hàm: W1,1(e−γt, ΩR), L2(e−γt, ΩR) Xét

toán tử vi phân cấp hai sau:

ở đây aij ≡ aij (x, t) là hàm phức khả vi vô hạn trên ΩR, aij = aji(i, j = 1, , n).Hơn nữa giả sử rằng aij, i, j = 1, , n là liên tục đều với x ∈ Ω theo biến

trong đó B (., ) (t) thỏa mãn điều kiện Eliptic đều, tức là ∃µo > 0 saocho ta có:

3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng

Cho f ∈ L2(e−γt, ΩR) Khi đó hàm u (x, t) đuợc gọi là nghiệm suyrộng của bài toán (3.1) − (3.2) trong không gian

o

W1,1(e−γt, ΩR) và thỏamãn đẳng thức

3.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng

Ở mục này ta đi chứng minh tính duy nhất của nghiệm suy rộng quađịnh lý sau:

Giả sử u1(x, t) và u2(x, t) là hai nghiệm suy rộng của bài toán (3.2) −(3.3) Gọi u (x, t) = u1(x, t) − u2(x, t) Ta có u ∈

Thay vào (3.5) ta đuợc

∂a ij

∂t

< µ1e2γt ta có:Z

Ω b

−∞

≤ µ12

∂η

∂xj

... tính giải bàitốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ phương trìnhtruyền sóng miền khơng trơn Kết mà đạt trongq trình nghiên cứu là:

1 Trình bày nghiệm suy rộng tốn

2 Trình bày tồn... data-page="27">

Chương Bài toán biên khơng có điều kiện< /h3>

ban đầu thứ phương< /h3>

trình truyền sóng miền khơng

trơn< /h3>

Trong chương luận văn trình bày tính... luận văn trình bày tính tồn

nghiệm suy rộng toán biên khơng có điều kiện ban đầu thứ

đối với phương trình truyền sóng miền khơng trơn

3.1 Đặt tốn

Ta đưa vào