Vấn đề giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính (LV01244)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐỒNG THỊ THÙY LINH VẤN ĐỀ GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỒNG THỊ THÙY LINH

VẤN ĐỀ GIẢI GẦN ĐÚNG

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN KHẢI

HÀ NỘI, 2014

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình họctập

Hà Nội, ngày 22 tháng 5 năm 2014

Học viên

Đồng Thị Thùy Linh

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Khải

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn

Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đãđược chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 22 tháng 5 năm 2014

Học viên

Đồng Thị Thùy Linh

Mục lục

1.1 Không gian vectơ 3

1.2 Không gian metric 5

1.3 Không gian Banach 9

1.4 Toán tử tuyến tính trong không gian Banach 13

2 Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính 16 2.1 Chuẩn và số điều kiện của ma trận 16

2.1.1 Chuẩn của ma trận 16

2.1.2 Một số chuẩn thường dùng trong Rn 18

2.1.3 Mối liên hệ giữa chuẩn của hai ma trận của cùng một toán tử tuyến tính T trong Rn 21

2.1.4 Số điều kiện của ma trận A 25

2.2 Một số phương pháp gần đúng giải hệ phương trình tuyến tính 30

2.2.1 Phương pháp lặp đơn 302.2.2 Phương pháp Seidel 37

3.1 Một số tính toán trên phần mềm Maple để tính số điều

kiện của ma trận 453.1.1 Chương trình tính số điều kiện của ma trận trên

phần mềm Maple 453.1.2 Ví dụ 483.2 Một số ví dụ về giải hệ phương trình đại số tuyến tính 52

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu chuẩn toán tử, chuẩn ma trận, số điều kiện

Nghiên cứu phương pháp giải gần đúng hệ phương trình đại sốtuyến tính

Nghiên cứu phần mềm Maple trong việc tính số điều kiện của matrận và giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Không gian Rn với một số chuẩn quen thuộc và các toán tử tuyếntính, các ma trận

Phần mềm toán học Maple trong việc tính số điều kiện của matrận và giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn ứng dụng các phương pháp của giải tích hàm, giải tích

số để giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính

6 Những đóng góp của đề tài

Làm rõ mối liên hệ giữa chuẩn của hai ma trận của cùng một toán

tử tuyến tính T trong Rn

Một số ứng dụng của phần mềm toán học Maple vào:

Tính chuẩn, tính số điều kiện của một ma trận

Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian vectơ

Định nghĩa 1.1.1 Tập X cùng với phép cộng (+) và nhân vôhướng (.) được gọi là một không gian vecto trên trường số thực R (gọitắt là không gian vecto hay còn gọi là không gian tuyến tính) nếu cácđiều kiện sau được thỏa mãn:

Với mọi x, y, z ∈ X, với mọi α, β ∈ R, ta có

1) x + y = y + x;

2) (x + y) + z = x + (y + z);

3) Tồn tại phần tử trung hòa θ ∈ X sao cho x + θ = x;

4) Với mỗi x ∈ X, tồn tại phần tử đối của x là (−x) ∈ X sao cho

Định nghĩa 1.1.2 Cho X là một không gian vecto Biểu thức dạng

α1x1 + + αnxn; αi ∈ R, xi ∈ X

được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vecto {x1, , xn}

Định nghĩa 1.1.3 Cho hệ n vecto {x1, , xn} trong không gian vecto

X Xét đẳng thức vecto α1x1 + + αnxn = θ Nếu đẳng thức trên xảy

ra khi và chỉ khi α1 = = αn = 0 thì ta nói hệ n vectơ đó độc lập tuyếntính

Định nghĩa 1.1.4 Hệ vô hạn các phần tử {xi}i∈I thuộc không gianvecto X được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của nó

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là không gian vecto Tập hợp các phần tử

x1, , xn ∈ X được gọi là một cơ sở của X nếu với mỗi x ∈ X, x luônbiểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của x1, , xn và biểudiễn này là duy nhất

Định lí 1.1.1 Không gian vecto X có số chiều n khi và chỉ khi cơ sởcủa X gồm n phần tử Nếu X có số chiều là n thì mọi hệ vectơ độc lậptuyến tính gồm n phần tử đều là cơ sở của nó

Ví dụ 1.1.1.(Không gian vectơ Euclide n-chiều Rn ) Giả sử R

là kí hiệu của trường các số thực.Với mỗi số nguyên không âm n, tậphợp các bộ n số dạng x = (x1, , xn) , xi ∈ R(i = 0, 1, ) tạo thành mộtkhông gian vectơ n chiều trên R, kí hiệu là Rn Các phép toán của khônggian vectơ Rn được định nghĩa bởi:

x + y = (x1 + y1, , xn+ yn);

αx = (αx1, , αxn)

1.2 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.7 Cho tập hợp tùy ý X 6= ø Một metric trong

X là ánh xạ

d : X × X → Rthỏa mãn các điều kiện sau:

i) d (x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X;

d (x, y) = 0 ⇔ x = y;

ii) d (x, y) = d (y, x) ∀x, y ∈ X;

iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) ∀x, y, z ∈ X

Tập hợp X và một metric trong X gọi là một không gian metric,

ký hiệu là (X, d) Số d (x, y) gọi là khoảng cách giữa các điểm x và y

Nếu M là một tập con khác rỗng của X thì M cùng với d hạn chếtrên M là một không gian metric con của không gian metric X

Ví dụ 1.1.2 Với hai vectơ bất kỳ x = (x1, , xk), y = (y1, , yk) thuộckhông gian vectơ thực n-chiều Rn (n là số nguyên dương nào đó) ta đặt

d (x, y) =

vuut

kX

j=1

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các tiên đề i), ii) về metric Đểkiểm tra hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề iii) về metric, trước hết ta chứngminh bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacopski: với 2k số thực aj, bj (j = 1, ,k) ta có

kX

j=1

ajbj

≤

uut

kX

j=1

a2j

uut

kX

i=1

"

kP

j=1(aibj − ajbi)2

#

=

kP

i=1

kP

j=1

a2ib2j − 2

kP

i=1

kP

j=1

aibiajbj +

kP

i=1

kP

j=1

a2jb2i

= 2

kP

j=1

a2j

! kP

j=1(xj − yj)2

=

kP

j=1

[(xj − zj) + (zj − yj)]2

=

kP

j=1

(xj − zj)2 + 2

kP

j=1(xj − zj) (zj − yj) +

kP

j=1(zj − yj)2

≤ d2(x, z) + 2

skP

j=1(xj − zj)2

skP

j=1(zj − yj)2 + d2(z, y)

được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim

Định lí 1.1.2 Mọi tập đóng trong không gian metric đầy đủ là khônggian metric đầy đủ

Chứng minh Giả sử F là một tập đóng trong không gian metric đầy đủ(X, d), {xn} là một dãy cơ bản trong F tức là lim

m,n→∞d (xm, xn) = 0.Suy ra {xn} là một dãy cơ bản trong X

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {xn} hội tụ, tức là

d2(A(x1), A(x2)) ≤ αd1(x1, x2) ,

α gọi là hệ số co của ánh xạ co A

Định lí 1.1.3.(Nguyên lý Banach về ánh xạ co)

Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào chính nóđều có một điểm bất động duy nhất

Chứng minh Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = A (xn−1) ,

n = 1, 2, ta được

d (Axn+k, Axn+k−1) ≤ d (Ax0, x0)

pP

Vậy x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A

Ví dụ 1.1.3 Không gian vectơ Euclide n chiều Rn là một không

gian metric đầy đủ với metric Euclide

d (x, y) =

vuut

nX

j=1

trong đó x = (x1, , xk), y = (y1, , yk) là hai điểm bất kỳ thuộc Rn

1.3 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.12 Cho X là không gian vecto trên trường sốthực R Chuẩn trong X, ký hiệu k.k, là một ánh xạ từ X vào tập sốthực R thỏa mãn các tiên đề sau

i) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ;

ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) kαxk = |α| kxk ;

iii) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk

Số kxk gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto x

Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không gian

đó được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn

Định lí 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính định chuẩn, đặt

d (x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ XKhi đó, d là một metric trên X

Nhận xét 1.1.1 Mọi không gian tuyến tính định chuẩn đều là khônggian metric với metric (1.4)

Định nghĩa 1.1.13 Dãy điểm {xn} của không gian tuyến tính địnhchuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ X nếu lim

chuẩn X được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

n=1

xn

là tổng riêng thứ k của chuỗi

Định nghĩa 1.1.16 Trong không gian tuyến tính định chuẩn X, chuỗi

i=1

x2i.Khi đó Rn là không gian Banach

Thật vậy, dễ dàng kiểm tra được Rn là không gian định chuẩn.Lấy {xn} là dãy cơ bản trong Rn Ta có lim

(∀ε > 0) (∃M ∈ N∗) (∀m, n ≥ M ) : kxn− xmk < ε

⇔

nP

n.Đặt x = (xj)j=1,k , ta sẽ chứng minh {xn} hội tụ đến x

Đặt M0 = max {M1, M2, , Mk} thì

|xn,j − xj| < √ε

n, j = 1, 2, , k ⇒ |xn,j − xj|2 < ε

2n

⇒

kP

j=1

|xn,j − xj|2 < ε2 ⇒

skP

Khi đó có thể chứng minh Rn là không gian Banach

Ví dụ 1.1.6 Xét không gian vectơ thực n- chiều Rn, với mỗi x ∈ Rn,

x = (x1, , xk) trong đó, i = 1, , k Đặt kxk1 =

nP

i=0

|xi|

Khi đó có thể chứng minh Rn là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.18 Giả sử E là không gian tuyến tính trên R vàk.k1, k.k2 là hai chuẩn cùng xác định trên E Khi đó hai chuẩn này đượcgọi là tương đương nếu tồn tại 0 < m < M sao cho

mkxk1 ≤ kxk2 ≤ M kxk1, ∀x ∈ E

Định lí 1.1.5.(Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi)Cho X là không gian Banach Chuỗi

∞P

n=1

xn hội tụ khi và chỉ khi ∀ > 0,tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N∗

kxn+1 + xn+2 + · · · + xn+pk <  Định lí 1.1.6 Không gian tuyến tính định chuẩn X là không gianBanach khi và chỉ khi mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối trong X đều hội tụ.Chứng minh Giả sử X là không gian Banach và chuỗi

∞P

n=1

kxnk hội tụ.Khi đó ∀ > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N∗ thì

pX

j=1

kxn+jk < 

Suy ra ∀ > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0 và ∀p ∈ N∗ thì

pX

j=1

xn+j ≤

pX

j=1

kxn+jk < 

Theo tiêu chuẩn Cauchy, chuỗi

∞P

n=1

xn hội tụ trong không gian X

Ngược lại, giả sử trong không gian tuyến tính định chuẩn X mọi chuỗihội tụ tuyệt đối đều hội tụ và (xn) là dãy Cauchy tùy ý trong X Ta có

∀ > 0, tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho ∀n, m ≥ n0 : kxn − xmk < 

Nhờ đó, với số  là phần tử của dãy số ( 1

2k) ta tìm được số nk sao cho

xnk+1 − xnk < 1

2k(k ∈ N∗) với nk < nk+1

Từ đó, suy ra chuỗi kxn1k + kxn2 − xn1k + + xnk+1 − xnk + là hội

tụ Theo giả thiết, chuỗi xn1+ (xn2− xn1) + + (xnk+1− xnk) + hội tụtrong không gian X, kí hiệu tổng của chuỗi này là S Hiển nhiên

n→∞xn trong không gian tuyến tính định chuẩn X Do đó,

X là không gian Banach Định lý được chứng minh

Định lí 1.1.7 Nếu E là một không gian tuyến tính định chuẩnhữu hạn chiều thì mọi chuẩn trên E là tương đương

Chứng minh Thật vậy, giả sử trên E có k.k1 và k.k2 là hai chuẩn chotrước Gọi S = {x ∈ X/kxk1 = 1} Vì S đóng và E có số chiều hữu hạnnên k.k2 đạt max và min trên S, kí hiệu lần lượt là M và m

Xét x 6= 0 là phần tử bất kỳ trong E, khi đó:

kxk2 = kxk1 x

kxk1 2 = kxk1.

xkxk1 2.

Vì x

kxk1 1 = 1 nên m ≤

xkxk1 2 ≤ M ⇒ mkxk1 ≤ kxk2 ≤

M kxk1

Vậy hai chuẩn là tương đương

1.4 Toán tử tuyến tính trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.19 Cho X, Y là hai không gian tuyến tính địnhchuẩn Toán tử

T : X → Y

x 7→ T xthỏa mãn điều kiện

T (αx1 + βx2) = αT (x1) + βT (x2) , ∀x1, x2 ∈ E, ∀α, β ∈ R

được gọi là toán tử tuyến tính tác động từ X vào Y

Nếu Y = R thì T được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.20 Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính địnhchuẩn và T : X → Y là một toán tử tuyến tính Nếu tồn tại giá trị hữuhạn

kT k = sup

06=x∈X

kT (x)kkxk < +∞

thì toán tử T được gọi là bị chặn (hay giới nội) và số kT k được gọi làchuẩn của toán tử T

Định nghĩa 1.1.21 Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn

và A : X → Y là toán tử tuyến tính

A được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu xn → x thì Axn → Ax

A được gọi là liên tục trên X nếu A liên tục tại mọi x ∈ X

Định lí 1.1.8 Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, khi

đó toán tử tuyến tính T : X → Y là bị chặn (hay giới nội) khi và chỉkhi T là toán tử tuyến tính liên tục.

x

Suy ra T liên tục tại x0, mà x0 tùy ý nên T liên tục trên X

(⇐) Do T liên tục trên X nên T liên tục tại 0 ∈ X và T (0) = 0 nênluôn tồn tại δ > 0 sao cho

kT xk = kT (x) − T (0)k ≤ 1với mọi kxk ≤ δ

xkxk < +∞Định lí 1.1.9 Cho X, Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn.Giả sử T : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó ta có đẳngthức sau

supkxk≤1

= inf {C > 0 : kf (x)k ≤ C kxk , ∀x ∈ X}

Chương 2

Một số phương pháp giải gần đúng

hệ phương trình đại số tuyến tính

2.1 Chuẩn và số điều kiện của ma trận

2.1.1 Chuẩn của ma trận

Khái niệm Xét không gian Banach Rn với k.k là một chuẩn nào

đó, với một toán tử tuyến tính T : Rn → Rn, chuẩn cảm sinh được xácđịnh

kT k = sup

06=x∈X

kT (x)kkxk < +∞.

Với mỗi cơ sở xác định {e1; e2; ; en} trong Rn thì T hoàn toànđược xác định bởi một ma trận A ∈ M at (n, R) Vậy

kAk = sup

06=x∈X

kA (x)kkxk < +∞

Nhận xét Chuẩn của một ma trận vuông A cấp n × n là một sốthực thỏa mãn điều kiện sau:

i) kAk ≥ 0; A 6= 0 (k0k = 0) ở đó 0 là ma trận 0 cấp n × n ;

ii) kαAk = |α| kAk ; α ∈ R;

iii) kA + Bk ≤ kAk + kBk ;

iv) kAxk ≤ kAk kxk ; x ∈ Rn;

v) kABk ≤ kAk kBk

Chứng minh i) Với mỗi ma trận An×n, ở đó A 6= 0, tồn tại x /∈ Rn và

x 6= 0 sao cho vectơ Ax 6= 0

Vì vậy cả kAxk > 0 và kxk > 0 thì kAk > 0

Nếu A ≡ 0 thì Ax = 0 với mọi x và kAk = 0

ii) Từ kαAk = |α| kAk ; α ∈ R ta có

kαAk = sup

kxk6=0

kαAxkkxk = supkxk6=0

|α| kAxkkxk

= |α| sup

kxk6=0

kAxkkxk = |α| kAkiii) Ta có

kA + Bk = sup

kxk6=0

k(A + B) xkkxkKhi đó tồn tại x0 ∈ Rn sao cho

supkxk6=0

iv) Bất đẳng thức kAxk ≤ kAk kxk là hiển nhiên với mọi x

v) Ta có

kABk = sup

kxk6=0

kABxkkxk = supkxk6=0

kA (Bx)kkxk

Khi đó tồn tại x0 ∈ Rn sao cho

supkxk6=0

2.1.2 Một số chuẩn thường dùng trong Rn

Ở chương I, trong Rn, ta đã xét ba chuẩn sau

kxk∞ = max

1≤i≤n|xi| ;kxk1 =

nP

i=0

|xi|;

kxk2 =

snP

i=1

|aij|;

kAk2 =

rmax λi 1≤i≤n

Với λi là giá trị riêng của ATA

Chứng minh 1) Ta có

kAxk∞ = max

i

nP

j=1

aijxj

nX

i=1

aijx¯j

=

nX

i=1

|aij|3) Dưới đây ta sẽ chứng minh kAk2 = √

λ1, với λ1 là giá trị riêng lớnnhất của ma trận A0A , trong đó A0 là ma trận chuyển vị của A

Thật vậy vìA0A là đối xứng, nên các giá trị riêng đều là thực và không

âm Giả sử λ1 ≥ λ2 ≥ ≥ λn ≥ 0 là các giá trị riêng của A0A, còn

x(1), x(2), , x(n) là các vectơ riêng tương ứng, với x(i) 2 = 1, ∀i = 1, n

Giả sử x ∈ X, kxk2 = 1 , khai triển x theo các x(i), ta có

x =

nX

i=1

cix(i),

nX

λ1

2.1.3 Mối liên hệ giữa chuẩn của hai ma trận của cùng một

toán tử tuyến tính T trong Rn

Vấn đề đặt ra là với một toán tử tuyến tính T , tương ứng cơ sởthứ nhất có ma trận A, cơ sở thứ hai có ma trận A0 thì mối liên hệ giữachuẩn của A và A0 là như thế nào?

Để nghiên cứu vấn đề này trước tiên ta xét một số ví dụ:

Ví dụ 2.1.3 Xét toán tử tuyến tính T trong cơ sở thứ nhất có matrận A và ma trận chuyển sang cơ sở thứ hai là B được xác định nhưsau:

⇒ kAk2 6= kA0k2

Như vậy, cả ba chuẩn đều khác nhau trong khi đó ma trận A và

ma trận A0 cùng biểu diễn một toán tử tuyến tính trong R2 với hai cơ

Do đó, nếu A là ma trận biểu diến của toán tử tuyến tính T thì

A0 cũng là ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính T ( nhưng đối với

cơ sở khác)

Trong khi đó:

kA0k∞ = max {|a11| ; |a22| ; ; |ann|} = |a11|

kAk∞ = max {|a11| + |b2| + |b3| + + |bn| ; |a22| ; ; |ann|} .

Ta có thể chọn b2; b3; ; bn sao cho kA0k∞ 6= kAk∞ ( khác nhaumột cách tùy ý)

Do đó, nếu A là ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính T thì

A0 cũng là ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính T ( nhưng đối với

cơ sở khác)

Trong khi đó:

kA0k1 = max {|a11| ; |a22| ; ; |ann|} = |a11|

kAk1 = max {|a11| + |b2| + |b3| + + |bn| ; |a22| ; ; |ann|} .

Ta có thể chọn b2; b3; ; bn sao cho kA0k∞ 6= kAk∞ ( khác nhaumột cách tùy ý)

Do đó, nếu A là ma trận biểu diến của toán tử tuyến tính T thì

A0 cũng là ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính T ( nhưng đối với

cơ sở khác)

2.1.4 Số điều kiện của ma trận A

Xét A = (aij)n×n ∈ M at(n, R) và k.k là một chuẩn nào đó trong

Rn, kí hiệu

M = sup

x6=0

kAxkkxk , m = infx6=0

kAxkkxk .

Dễ thấy kAk = M và nếu m > 0 thì ma trận A có ma trận nghịch đảo

của ma trận A và đại lượng đó được kí hiệu là cond(A).

Ma trận A được gọi là điều kiện xấu nếu cond(A) là lớn so với 1(cond(A) >> 1)

Một vài tính chất của số điều kiện

Số điều kiện của ma trận có một số tính chất sau:

AA−1x

kA−1xk .

A−1xkxk

≤ supx6=0

AA−1x

kA−1xk supx6=0

A−1xkxk

≤ supx6=0

kAxkkxk supx6=0

A−1xkxk = kAk A

Suy ra cond (A) = kAk A−1 ≥ AA−1 = kIk = 1

Vậy cond (A) ≥ 1

k(cA) xkkxk

infx6=0

k(cA) xkkxk

=

|c| supx6=0

kAxkkxk

|c| infx6=0

kAxkkxk

= Cond (A)

Vậy cond (cA) = cond (A) với mọi c 6= 0.

M

m.

k∆bkkbk = cond (A)

k∆bkkbk

(2.5)

Từ (2.5) chứng tỏ rằng sai số tương đối của nghiệm có thể bằngtích của cond (A) với sai số tương đối của ma trận các hệ số tự do ở vếphải Vậy nếu ma trận A điều kiện xấu thì nghiệm của nó thay đổi nhiềukhi các hệ số hoặc số hạng tự do thay đổi

Ví dụ về số điều kiện của ma trận

Chương 2

Một số phương pháp giải gần đúng< /h2>

hệ phương trình đại số tuyến tính< /h2>

2.1 Chuẩn số điều kiện ma trận

2.1.1 Chuẩn... gọi tốn tử tuyến tính tác động từ X vào Y

Nếu Y = R T gọi phiếm hàm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.20 Giả sử X, Y hai khơng gian tuyến tính địnhchuẩn T : X → Y toán tử tuyến tính Nếu... T gọi bị chặn (hay giới nội) số kT k gọi làchuẩn toán tử T

Định nghĩa 1.1.21 Cho X, Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn

và A : X → Y tốn tử tuyến tính

A gọi liên tục x