Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa các điểm lùi(1211)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2——————————————— TRẦN XUÂN HIỆP BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHUƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

TRẦN XUÂN HIỆP

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHUƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

———————————————

TRẦN XUÂN HIỆP

BÀI TOÁN BIÊN KHÔNG CÓ ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU THỨ NHẤT ĐỐI VỚI PHUƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TRONG MIỀN CHỨA ĐIỂM LÙI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới GS.TSKH NguyễnMạnh Hùng, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướng dẫntác giả trong quá trình thực hiện luận văn

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệuTrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, các thầy côgiáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngànhToán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Trần Xuân Hiệp

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Các kí hiệu 4

1.2 Một số không gian hàm 6

1.2.1 Không gian Lp(Ω) 6

1.2.2 Không gian L∞(Ω) 7

1.2.3 Không gian Sobolev 7

1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản 10

Chương 2 Bài toán biên có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi 13 2.1 Đặt bài toán 13

2.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 16

2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 16

2.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 19

Chương 3 Bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi 25 3.1 Đặt bài toán 25

3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng 26

3.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng 27

3.4 Sự tồn tại nghiệm suy rộng 30Kết luận 33Tài liệu tham khảo 34

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu vào giữa thế kỉthứ 18 trong các công trình toán học của Euler, Dalamber, Lagrange vàLaplace như một công cụ để mô tả các các mô hình của vật lý học, cơhọc Đến thế kỉ thứ 19 các công trình toán học đặc biệt là công trìnhcủa Rieman về phương trình đạo hàm riêng đã trở thành công cụ mạnhtrong các lĩnh vực toán học khác và đặc biệt trong các bài toán thựctiễn Bài toán biên không có điều kiện ban đầu đối với phương trìnhparabolic xuất phát từ việc mô tả các chuyển động khác nhau trong tựnhiên khi điều kiện ban đầu không ảnh hưởng tới diễn biến của chuyểnđộng Do đó ta có thể giả sử tại thời điểm ban đầu −∞ và nghiên cứucác quá trình cho trước dựa trên tính chất biên của miền mà nó xảy ra.Bài toán này đặt ra vấn đề tìm ra một nghiệm của một phương trìnhhoặc hệ phương trình Parabolic với những điều kiện biên cho trước với

−∞ < t ≤ T, T ≤ ∞ Thứ nhất luận văn trình bày sự tồn tại và duynhất nghiệm uh với điều kiện ban đầu t = h Sau đó bằng cách cho

t → −∞, thu được khả năng giải được của bài toán mà không cần điềukiện ban đầu Nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộngcủa bài toán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phươngtrình truyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi không chỉ quan trọng vềmặt lý thuyết mà còn quan trọng trong các bài toán ứng dụng

Để góp phần giúp đỡ cho người học phương trình đạo hàm riêng, nhữngngười yêu thích phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tácgiả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học, dưới sự giúp đỡ của GS.TSKHNguyễn Mạnh Hùng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Bài toán biên không

có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt trongmiền chứa điểm lùi”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu tính giải được của bàitoán biên không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trìnhtruyền nhiệt trong miền chứa điểm lùi Kết quả nhận được là các định lítồn tại và duy nhất nghiệm trong không gian Sobolev của các bài toántrên trong miền chứa điểm lùi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, nhiệm vụ nghiên cứu của luậnvăn là:

Nghiên cứu các kiến thức cơ sở của không gian hàm, không gian Sobolev,các bất đẳng thức cơ bản, các tài liệu liên quan Từ đó áp dụng vàonghiên cứu tính giải được của bài toán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu không gian Sobolev,nghiên cứu nghiệm suy rộng, nghiên cứu tính giải được của bài toán biên

không có điều kiện ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệttrong miền chứa điểm lùi.

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp được sử dụng trong luận văn là phương pháp xấp xỉGalerkin, tổng hợp các kết quả trong các tài liệu liên quan

6 Đóng góp của đề tài

Nhận được các định lí tồn tại và duy nhất nghiệm hoặc xét những trườnghợp đặc biệt của những bài toán đã được giải

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các kí hiệu

Rn là một không gian Euclide n− chiều, x = (x1, x2, , xn) ∈ Rn

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn, n ≥ 2 và S = ∂Ω là biên của

nó, Ω = Ω ∪ ∂Ω

Kí hiệu Qba = Ω × (a, b) = {(x, t) : x ∈ Ω, t ∈ (a, b) , 0 ≤ a < b < ∞}

là trụ trong Rn+1; mặt xung quanh của nó là Sab = ∂Ω × (a, b) ={(x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ (a, b)}

Nếu (a, b) = R thì ta viết QR = Q+∞−∞ và SR = S−∞+∞; (a, b) = (0, b) thì taviết Qb0 = Qb, S0b = Sb; Q∞h là hình trụ Ω × (h, ∞)

Giả sử u là hàm véctơ giá trị phức với các thành phần u1, , un Ta kíhiệu u = (u1, , un) và Dpu = ∂|p|u/∂xp1

1 ∂xpn

n = uxp1

1 xpnn là đạo hàmsuy rộng cấp p theo biến x = (x1, xn); utk = ∂ku/∂tk là đạo hàm suyrộng cấp k theo biến t Ở đây p = (p1, , pn) là kí hiệu đa chỉ số với pi

là các số nguyên không âm, |p| = p1 + + pn

Kí hiệu Ck(Ω) là tập hợp tất cả các hàm có đạo hàm liên tục đến cấp ktrong miền Ω, 0 ≤ k ≤ ∞, C0(Ω) = C (Ω) và

Một hàm số f đo được trên Rn được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một

số k sao cho |f (x)| ≤ k hầu khắp nơi trên Rn Cận dưới lớn nhất cáchằng số k được gọi là essential supremum của |f | trên Rn

trơn Điểm 0 ∈ ∂Ω được gọi là điểm lùi trên biên ∂Ω nếu tồn tạicác hàm hj(x), j = 1, , n − 1, sao cho

yn = Rx1

n

dτ ϕ(τ )

lim

xn→0ϕ(xn)|α|−1∂xαhj(x), j = 1, , n − 1 tồn tại hữu hạn (đều theo

y0 ∈ ω),

Điều kiện Lipschitz

Hàm u : U → R; (U là tập mở trong Rn) là liên tục Lipschitz nếu:

|u(x) − u(y)| ≤ C |x − y| ; C > 0 là hằng số, ∀x, y ∈ U Viết:

Lip [u] := sup

Định nghĩa 1.2.1 Cho Ω là một miền trong không gian Rn và cho

0 < p < +∞ Khi đó Lp(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x)

khả tổng cấp p theo nghĩa Lebesgue trong Ω, tức là:

Hơn nữa, Lp(Ω) là một không gian đầy đủ nên Lp(Ω) là một không gianBanach

Với p = 2, ta có L2(Ω) là không gian các hàm khả tổng cấp 2 trong Ωvới chuẩn

kukL

2 (Ω) =



Z

và không gian L2(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

Định nghĩa 1.2.2 Cho Ω là một miền trong không gian Rn Khi đó

L∞(Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u (x) đo được theo nghĩaLebesgue và bị chặn hầu khắp nơi trên Ω với chuẩn

Định nghĩa 1.2.3 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn Một hàm

v (x) ∈ L1(Ω) được gọi là đạo hàm suy rộng cấp p của hàm u (x) ∈ L1(Ω)nếu:

kukWl (Ω) =



X

.Với l = 1 ta có

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn, n ≥ 2

Ta định nghĩa Wl,k Qba
là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x, t) ∈

∂ju

∂tj

|Dαu|2dxdt





1 2

,và

|Dαu|2dxdt +

Z

Q b a

∂u

∂t

Z

Ω

f (x, τ ) uN (x, τ ) dx

+

2ReZ

Q τ h

ftuNdxdt

... data-page="31">

Chương Bài tốn biên khơng có điều kiện ban đầu thứ phương trình truyền nhiệt miền chứa< /h2>

điểm lùi

Trong chương luận văn trình bày tồn nghiệmsuy rộng toán biên khơng có điều. .. bày tồn

nghiệm suy rộng toán biên có điều kiện ban đầu thứ đối

với phương trình truyền nhiệt miền chứa điểm lùi Phương pháp

chính sử dụng phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ Galerkin... data-page="19">

Chương Bài tốn biên có điều kiện ban đầu< /h2>

thứ phương trình< /h2>

truyền nhiệt miền chứa điểm< /h2>

lùi

Chương dành cho việc trình bày tồn