Bài toán dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên có cấu trúc hình học đặc biệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 ---oOo---PHẠM THỊ NHÀI BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIEN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC Đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

-oOo -PHẠM THỊ NHÀI

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIEN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

-oOo -HÀ NỘI - 2014

PHẠM THỊ NHÀI

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà

Tiến Ngoạn

LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp đỡ, truyền đạt lại những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.

Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã động viên, tạo những điều kiện học tập tốt

nhất cho tôi.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K16 nói chung và chuyên ngành Toán giải tích nói riêng đã giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 12, năm 2014

Phạm Thị Nhài

HÀ NỘI - 2014

37

Mục lục

1.1 Không gian Holder 5

1.1.1 Không gian C t (Ũ) 5

1.1.2 Không gian c l,1 (ù) với 0 < 7 < 1 6

1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 6

1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet 6

1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet 7

1.2.3 Các bước kiểm tra điều kiện (1.8) 7

2 Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm bài toán Dirichlet 9 2.1 Hàm rào cản trên biên 9

2.2 Miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài 12

2.3 Miền lồi Các điều kiện về cấu trúc các hệ sốcủa phương trình 15

2.4 Các điều kiện về độ cong của biên 19

2.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet 26

2.6 Đánh giá môđun liên tục đối với nghiệm 34

Tài liệu tham khảo

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS

TS Hà Tiến Ngoạn.

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác.

Hà Nội, tháng 12, năm 2014 Tác giả Phạm Thị Nhài

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai phụ thuộc vào việc đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một của nghiệm ở trong lân cận biên của miền Nếu biên của miền được giả thiết là trơn thì việc đánh giá nói trên là thuận lợi Luận văn xét một số cấu trúc hình học đặc biệt của miền sao cho khi biên không trơn mà việc đánh giá nói trên vẫn có thể thực hiện được Trong một số trường hợp đặc biệt của biên, luận văn đã chỉ ra bài toán Dirichlet

không có nghiệm Tài liệu tham khảo chính của luận văn là các chương 11, 14 quyển Elliptic

Partial Differential Equations of Second Order của hai tác giả D Gilbarg và N Trudinger

(2001).

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày sự tồn tại của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng quan về sự tồn tại nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài.

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn.

6 Những đóng góp mới

Luận văn là một tài liệu tham khảo về chuyên đề này.

7 Kết cấu luận văn

Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trình bày một số các không gian hàm, phát biểu bài toán Dirichlet và chỉ

ra các điều kiện giải được của bài toán này, để kiểm tra tính giải được của bài toán ta phải đưa ra các đánh giá tiên nghiệm bên trong và trên biên.

Chương 2: Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm của bài toán Dirichlet

Đưa ra các đánh giá đối với nghiệm ở trên biên của miền Để chỉ ra các đánh giá đó, luận văn đưa vào khái niệm hàm rào cản trên biên, điều kiện hình cầu ngoài, điều kiện mặt phẳng ngoài, điều kiện hình cầu trong và các điều kiện đối với độ cong của biên Trên cơ sở khảo sát, luận văn chỉ ra các điều kiện tồn tại và không tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet.

(1.1)

(1.2)

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Holder

1.1.1 Không gian c£{ũ)

Cho íì là miền bị chặn trong R" với biên trơn Cho X = (íEi, X 2 , x n ) e íì và đa chỉ số Ck, Ck

= ( a i , «2: & n ) , a j € N với |a| = a 1 + «2 + ■■■ + Qí„ Ta ký hiệu:

Khi đó ơ(fỉ) = ơ°(fĩ) là không gian các hàm số liên tục trên íí với chuẩn:

“llơ(n) = = SU P !“(*)!•

Từ đó ta cũng định nghĩa được cl(íì) như sau

ơ'(íl) = {u( X y,D a u e ơ°(íl),Va : \a\ < l} ,

và được trang bị chuẩn:

|a|<ỉ ù

Các không gian cl(ũ) là các không gian Banach.

1.1.2 Không gian ơỉ,7(íỉ) với 0 < 7 < 1

Trước tiên ta định nghĩa không gian c0;7(íì) như sau: