Bài toán dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên có cấu trúc hình học đặc biệt (LV01183)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2————————–o0o————————– PHẠM THỊ NHÀI BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN CÓ CẤU TRÚC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

————————–o0o————————–

PHẠM THỊ NHÀI

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN

CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

————————–o0o————————–

PHẠM THỊ NHÀI

BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN

CÓ CẤU TRÚC HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp đỡ, truyền đạt lại những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy

cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.

Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã động viên, tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K16 nói chung

và chuyên ngành Toán giải tích nói riêng đã giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 12, năm 2014

Phạm Thị Nhài

Mục lục

1.1 Không gian Holder 5

1.1.1 Không gian C ` ( ¯ Ω) 5

1.1.2 Không gian Cl,γ( ¯ Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 6

1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai 6

1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet 6

1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet 7

1.2.3 Các bước kiểm tra điều kiện (1.8) 7

2 Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm bài toán Dirichlet 9 2.1 Hàm rào cản trên biên 9

2.2 Miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài 12

2.3 Miền lồi Các điều kiện về cấu trúc các hệ số của phương trình 15

2.4 Các điều kiện về độ cong của biên 19

2.5 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet 26

2.6 Đánh giá môđun liên tục đối với nghiệm 34

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng

dẫn của PGS TS Hà Tiến Ngoạn

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công

bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 12, năm 2014

Tác giả

Phạm Thị Nhài

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính

cấp hai phụ thuộc vào việc đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một của

nghiệm ở trong lân cận biên của miền Nếu biên của miền được giả thiết là trơn

thì việc đánh giá nói trên là thuận lợi Luận văn xét một số cấu trúc hình học

đặc biệt của miền sao cho khi biên không trơn mà việc đánh giá nói trên vẫn

có thể thực hiện được Trong một số trường hợp đặc biệt của biên, luận văn đã

chỉ ra bài toán Dirichlet không có nghiệm Tài liệu tham khảo chính của luận

văn là các chương 11, 14 quyển Elliptic Partial Differential Equations of Second

Order của hai tác giả D Gilbarg và N Trudinger (2001)

2 Mục đích nghiên cứu

Trình bày sự tồn tại của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic

á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng quan về sự tồn tại nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic

á tuyến tính cấp hai trong miền với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền

với biên thỏa mãn điều kiện hình cầu bên ngoài

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được

nghiên cứu tổng quan về lớp nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến

tính cấp hai dạng bảo toàn

6 Những đóng góp mới

Luận văn là một tài liệu tham khảo về chuyên đề này

7 Kết cấu luận văn

Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục tài liệu tham

khảo

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trình bày một số các không gian hàm, phát biểu bài toán Dirichlet và chỉ

ra các điều kiện giải được của bài toán này, để kiểm tra tính giải được của bài

toán ta phải đưa ra các đánh giá tiên nghiệm bên trong và trên biên

Chương 2: Đánh giá ở trên biên đối với đạo hàm cấp một của nghiệm

của bài toán Dirichlet

Đưa ra các đánh giá đối với nghiệm ở trên biên của miền Để chỉ ra các đánh

giá đó, luận văn đưa vào khái niệm hàm rào cản trên biên, điều kiện hình cầu

ngoài, điều kiện mặt phẳng ngoài, điều kiện hình cầu trong và các điều kiện đối

với độ cong của biên Trên cơ sở khảo sát, luận văn chỉ ra các điều kiện tồn tại

và không tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Holder

1.1.1 Không gian C`( ¯ Ω)

Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên Ω trơn Cho x = (x1, x2, , xn) ∈ Ω và

đa chỉ số α, α = (α1, α2, , αn), αj ∈ N với |α| = α1+ α2+ + αn Ta ký hiệu:

kukC( ¯Ω) = kuk0;Ω = sup

Các không gian Cl( ¯ Ω) là các không gian Banach

1.1.2 Không gian Cl,γ( ¯ Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1

Trước tiên ta định nghĩa không gian C0;γ(Ω) như sau:

và được trang bị chuẩn:

kukγ;Ω= kuk0;Ω+ [u]γ;Ω, (1.3)

Từ đó ta có định nghĩa của không gian Cl,γ( ¯ Ω)với 0 ≤ γ ≤ 1

Các không gian Cl,γ( ¯ Ω) là các không gian Banach Ta có Cl,0( ¯ Ω) = Cl( ¯ Ω) và

C0,1( ¯ Ω) là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz

1.2 Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á

tuyến tính cấp hai

1.2.1 Phát biểu bài toán Dirichlet

Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai sau:

Qu ≡ aij(x, u, Du)Diju + b(x, u, Du) = 0, x ∈ Ω, (1.5)

Giả sử toán tử thỏa mãn các điều kiện sau đây

Ta cũng giả sử rằng vớiα ∈ (0, 1)các hệ sốaij, b ∈ Cα( ¯ Ω ×R×Rn ), biên ∂Ω ∈ C2,α

và ϕlà một hàm số được cho trong C2,α( ¯ Ω).

1.2.2 Tính giải được của bài toán Dirichlet

Định lí 1.1 ([3]) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn, Q là elliptic trong Ω¯với các hệ số aij, b ∈ Cα( ¯ Ω ×R×Rn ),α ∈ (0, 1) Giả sử ∂Ω ∈ C2,α và ϕ ∈ C2,α( ¯ Ω).Khi đó, nếu với 0 < β < 1 nào đó tồn tại một hằng số M không phụ thuộc vào

u và σ sao cho với mọi C2,α( ¯ Ω) - nghiệm u(x) của bài toán Dirichlet, Qσ u = 0trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω, 0 ≤ σ ≤ 1 thỏa mãn:

thì bài toán (1.5), (1.6) là giải được trong C2,α( ¯ Ω), trong đó:

Qσu = aij(x, u, Du)Diju + σb(x, u, Du) = 0trongΩ, u = σϕtrên∂Ω. (1.9)

Nhận xét 1.2 Như vậy tính giải được của bài toán (1.5), (1.6) đưa về việc

nghiên cứu đánh giá (1.8)

1.2.3 Các bước kiểm tra điều kiện (1.8)

Để kiểm tra điều kiện (1.8) người ta thực hiện theo bốn bước:

1 Đánh giá max |u| trên toàn miền

2 Đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm trên biên.

3 Đánh giá đạo hàm cấp một của nghiệm bên trong miền

4 Đánh giá chuẩn Holder của đạo hàm cấp một

Nội dung chính của Chương 2 là việc thực hiện bước 2, trình bày đánh giá đạo

hàm cấp một của nghiệm trên biên Đây là một bước quan trọng trong việc đánh

giá (1.8) và đưa tới tính giải được của bài toán Dirichlet (1.5), (1.6)

Chương 2

Đánh giá ở trên biên đối với đạo

hàm cấp một của nghiệm bài toán Dirichlet

2.1 Hàm rào cản trên biên

Ta xét phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai:

Holder trên miền với biên trơn Việc đánh giá đạo hàm trên biên buộc phải xét

trong nguyên lý cực đại và phải lựa chọn được các hàm rào cản Những đánh

giá này rất quan trọng khi chúng được xem là thừa số chính trong việc xác định

xem có thể giải quyết được đặc điểm bài toán Dirichlet hay không

Ta miêu tả phương pháp chắn như sau: Giả sử Q là một toán tử elliptic của

(iii) w−(x) ≤ u(x) ≤ w+(x), x ∈ ∂(N ∩ Ω)

Ta sẽ sử dụng Nguyên lý so sánh được phát biểu như sau:

Định lí 2.1 ([3]) Giả sử u, v ∈ C0( ¯ Ω) ∩ C2(Ω) thỏa mãn Qu ≥ Qv trong Ω, u ≤ vtrên ∂Ω trong đó:

(i) toán tử Q là elliptic địa phương đều với u hoặc v;

(ii) các hệ số aij không phụ thuộc vào z;

(iii) hệ số b không tăng theo z với mọi (x, p) ∈ Ω ×Rn;

(iv) các hệ số aij(x, z, p), b(x, z, p) là khả vi liên tục theo biến p;

Khi đó u ≤ v trong Ω Hơn nữa nếu Qu > Qv trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω và nhữngđiều kiện (i), (ii) và (iii) xảy ra (không nhất thiết có điều kiện (iv)), ta có bất

đẳng thức hoàn toàn u < v trong Ω.

Khi đó áp dụng Định lý trên đối với miền N ∩ Ω, với mọi x ∈ N ∩ Ω ta có:

cho u thỏa mãn Qu = 0 trong Ω.

Việc xây dựng các hàm rào cản thuận lợi cho phép biến đổi công thức một

cách tùy ý Trước tiên lấy I là một khoảng trong R và tập u = ψ(u), ở đây

ψ ∈ C2(I), ψ0 6= 0 trên I, với v(x) ∈ I ta có:

Qv = ψ0aijDijv + ψ

00

ở đây những biến số của aij,E và b là x, u = ψ(v) và Du = ψ0Dv Sau đó lấy tập

u = v + ϕ với ϕ ∈ C2( ¯ Ω) Khi đó với x ∈ Ω ta có:

Đối với toán tử Q˜ trong (2.5) ta có:

Thay điều kiện (2.9) vào (2.8) ta thu được:

¯

Qw ≤



ψ00(ψ0)2+ v

|Du(x 0 )| ≤ ψ0(0) = µevM, (2.15)

nếu đẳng thức xảy ra trong (2.14)

Bây giờ mở rộng đánh giá (2.15) cho giá trị biên khác 0 Lấy ϕ ∈ C2( ¯ Ω) vàgiả sử rằng u = ϕ trên ∂Ω Sau đó cần phải có phép biến đổi toán tử cho bởi(2.5) để thỏa mãn điều kiện cấu trúc (2.9) Tức là thỏa mãn:

Do đó, đánh giá (2.15) sẽ thay thếu bởi u − ϕ và µbởi µ Ta có khẳng định sau ¯

về đánh giá đạo hàm trên biên

Định lí 2.2 ([3]) Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C1( ¯ Ω) thỏa mãn Qu = 0 trong Ω và u = ϕtrên ∂Ω Giả sử Ω thỏa mãn điều kiện hình cầu ngoài đều và ϕ ∈ C2( ¯ Ω) Khi đónếu điều kiện cấu trúc (2.9) được thỏa mãn thì trên ∂Ω ta có:

trong đó C = C(n, M, µ(M ), Φ, δ), M = sup

Ω

|u| , Φ = |ϕ|2;Ω và δ là bán kính củahình cầu giả định bên ngoài

Khi đó điều kiện (2.9) được viết ở dạng:

ở đây việc xem xét giới hạn liên quan tới |p| được hiểu như trong Ω × (−N , N )với mọi N > 0 Đặc biệt nếu Q là elliptic đều trong Ω × (−N , N ) ×Rn với mọi

N > 0 thì Λ = 0(λ) và nếu b = 0(λ|p|2) thì điều kiện cấu trúc (2.7) được thỏamãn

2.3 Miền lồi Các điều kiện về cấu trúc các hệ số

của phương trình

Ta sẽ xây dựng hàm chắn đối với các miền lồi và các miền lồi đều Giả sử Ωthỏa mãn điều kiện mặt phẳng ngoài tại điểm x0 ∈ ∂Ω, tức là tồn tại một siêuphẳng P với x 0 ∈ P ∩ ¯ Ω = P ∩ ∂Ω Thiết lập d(x) = dist(x, P ) và w = ψ(d), vớimỗi u ∈ C1( ¯ Ω) ∩ C2(Ω) ta có:

ta thu được một đánh giá choDu(x0)với điều kiện Qu = 0 trong Ωvà u = 0 trên

∂Ω Mở rộng kết quả này cho giá trị biên ϕ khác0, ta đòi hỏi ΛD2ϕ và b = 0(F )phải thỏa mãn:

Λ D2ϕ + |b| ≤ ¯ µ (|z|) F với |p − Dϕ| ≥ ¯ µ (|z|), (2.22)

với hàm số µ ¯ không giảm nào đó Từ đó ta có đánh giá dưới đây:

Định lí 2.3 ([3]) Giả sử u, ϕ ∈ C2(Ω) ∩ C1( ¯ Ω) thỏa mên Qu = 0 trong Ω vă

u = ϕ trín ∂Ω vă giả sử rằng Ωlă miền lồi Khi đó nếu điều kiện cấu trúc (2.22)được thỏa mên thì ta có:

trong đó C = C(n, M, ¯ µ(M ), |ϕ|1;Ω), M = sup

Ω

|u|.

Điều kiện cấu trúc (2.22) có thể được thay thế trong giả thuyết của Định

lý 2.3 bởi điều kiện mă không phụ thuộc giâ trị biín ϕ Đặc biệt cũng với điềukiện:

Λ = o(E), b = O(E)khi |p| → ∞, (2.24)hoặc điều kiện:

Λ, b = O λ|p|2
khi |p| → ∞, (2.25)

sẽ suy ra điều kiện (2.22) cho những hăm số µ ¯ phụ thuộc vằ|ϕ|2;Ω Trước tiín

nó kĩo theo một hệ quả của bất đẳng thức (2.17), thứ hai lă dẫn đến bất đẳng

thức dưới đđy:

F (x, z, p, q) ≥ λ(x, z, p)|p − q|2 , (x, z, p, q) ∈ Ω ×R×Rn×Rn. (2.26)

Ta có thể khẳng định hệ quả dưới đđy của Định lý 2.3

Hệ quả 2.4 Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C1( ¯ Ω) thỏa mên Qu = 0 trong Ω vă u = ϕ trín

∂Ω Giả sử Ω lă miền lồi vă ϕ ∈ C2( ¯ Ω) Khi đó, nếu một trong câc điều kiện cấutrúc (2.24) vă (2.25) được thỏa mên thì ta có:

trong đó C = C(n, M, ¯ µ, |ϕ|2;Ω).

Hệ quả 2.4 đặc biệt được áp dụng cho toán tử mặt cực tiểu M cho bởi:

Dijd = −|x − y|−3 |x − y|2δij− (x i − y i ) (x j − y j )
.Một đánh giá đạo hàm trên biên bây giờ có thể suy ra từ (2.29) nếu b bị chặnđối với T hoặc E Thật vậy, lấy ϕ ∈ C2( ¯ Ω) và giả sử tồn tại một hàm số khônggiảm µ ¯ sao cho:

aijD ij ϕ + b ≤ 1

R |p − Dϕ|T+ ¯ µF với |p − Dϕ| ≥ ¯ µ. (2.30)Miền Ω được gọi là lồi đều nếu nó thỏa mãn điều kiện mặt cầu đóng tại mọiđiểm trên biên với các hình cầu bán kính cố địnhR Qua việc xây dựng các chắn

ở trên cho ta đánh giá dưới đây:

Định lí 2.5 ([3]) Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C1( ¯ Ω) thỏa mãn Qu = 0 trong Ω và u = ϕtrên ∂Ω Giả sử rằng Ω là lồi đều Khi đó nếu điều kiên cấu trúc (2.30) được

Λ = O Λ|p|2
, |b| ≤ |p|

RT+ O Λ|p|2
khi |p| → ∞. (2.33)

Do đó ta có hệ quả của Định lý 2.5:

Hệ quả 2.6 Giả sử u ∈ C2(Ω) ∩ C1( ¯ Ω) thỏa mãn Qu = 0 trong Ω và u = ϕ trên

∂Ω Giả sử rằng Ω là miền lồi đều và ϕ ∈ C2( ¯ Ω) Khi đó nếu điều kiện cấu trúc(2.32) hoặc (2.33) được thỏa mãn thì trên ∂Ω ta có:

Điều kiện cấu trúc (2.32) rõ ràng thỏa mãn khi b = 0 Trong trường hợp này

Hệ quả 2.6 có thể được suy ra bởi các hàm chắn tuyến tính, từ những biên có

nhiều dạng khác nhau(∂Ω, ϕ) sẽ thỏa mãn một điều kiện biên nghiêng Hơn nữakhi b = o(Λ |p|) trong (2.32), một chắn có dạng w = kd, d = dist(x, ∂B) với k đủlớn sẽ thỏa mãn điều phải chứng minh Những chứng minh ở trên rõ ràng chỉ

ra rằng kết quả ở mục này vẫn được thừa nhận nếu những điều kiện cấu trúc

trong các giả thuyết chỉ xảy ra khi x nằm trong lân cận của ∂Ω.

Nhận xét 2.7 Việc đánh giá đạo hàm trên biên chỉ được xác định bởi quỹ

tích của biên ∂Ω Nó phù hợp để dẫn đến một kết quả cho những miền C2 Cho

κ = κ(x0) là giá trị cực tiểu của độ cong chính của ∂Ω tại x0 và cho v = v(x0) là

kí hiệu chuẩn bên trong ∂Ω tại x0 Giả sử tồn tại một hàm số không giảm µ ¯ saocho với mọi x ∈ ∂Ω, ε > 0 thì:

ψ0

ψ0

Sử dụng hệ thức (2.39) và (2.41) ta cũng có kết quả này đúng cho phương trình

của độ cong trung bình (2.35) Tuy nhiên trở lại trường hợp tổng quát, ta thừa

nhận rằng trường các hệ số của Q được khai triển theo hướng cho p 6= 0 ta có:

Ví dụ trong trường hợp toán tử mặt cực tiểu M ta có thể nhận được

aij∞= δij− pipj|p|2, aij0 = pipj|p|2.

Sử dụng ma trận haij∞

i, ta đưa vào một khái niệm mở rộng cho độ cong trung

bình như sau Lấyy là một điểm của∂Ωvà kí hiệuv là đơn vị thông thường bêntrong của ∂Ω tại y; κ1, , κn là những độ cong chính của ∂Ω tại y và α1, , αn làđường chéo chính của ma trận haij∞

ivới việc thừa nhận phương pháp đồng vị

trên trục tọa độ tại y Khi đó ta định nghĩa:

Để khái quát cho kết quả ở trên cho phương trình mặt cực tiểu ta giả sử rằng

bất đẳng thức

xảy ra tại mỗi điểm y ∈ ∂Ω Ngoài ra ta thừa nhận những hàm số aij∞, b∞ ∈

C1(Γ ×R×Rn ) và Q thỏa mãn điều kiện cấu trúc

Ở phần trước ta thừa nhận hàm số u triệt tiêu trên ∂Ω Vì vậy lấy w như trên

aij∞Dijd + b∞ = aij∞(x, v)Dijd(x) + b∞(x, w, v)

≤ aij∞(x, v)Dijd(y) + b∞(x, 0, v)

≤ (aij∞(x, v) − aij∞(y, v))Dijd(y) + b∞(x, 0, v) − b∞(y, 0, v) theo (2.44) và (2.45)

≤ Kd.

Ở đây y = y(x) là điểm trên tập đóng ∂Ω của x, v = Dd(y) = Dd(x) là đơn vị

trong của ∂Ω tại y và hằng số K được cho bởi:

Điều kiện cấu trúc (2.32) rõ ràng thỏa mãn b = Trong trường hợp này

Hệ 2.6 suy hàm chắn tuyến tính, từ biên có

nhiều dạng khác nhau(∂Ω, ϕ)... thừa nhận điều kiện cấu trúc

trong giả thuyết xảy x nằm lân cận ∂Ω.

Nhận xét 2.7 Việc đánh giá đạo hàm biên xác định quỹ

tích biên ∂Ω Nó... class="text_page_counter">Trang 21

Hệ 2.4 đặc biệt áp dụng cho toán tử mặt cực tiểu M cho bởi:

Dijd = −|x − y|−3