luận văn thạc sĩ toán Điều kiện tối ưu cho bài toán không tối ưu

MỞ ĐẦULý do chọn đề tài Các bài toán tối ưu không lồi không trơn đã và đang thu hút nhiều nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu.. Các lí thuyết dưới vi phân là các công cụ hữu hiệu đểnghiên cứ

ítũ

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

■ * • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

* CữcM)

HÀ THỊ THU THỦY

ĐIÈU KIÊN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU

KHÔNG LỒIChuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

• • •

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đỗ Văn Lưu

HÀ NỘI, 2014

Btl rftl

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và làm luận văn, cùng với sự nỗ lực của bản thân, tôi đãnhận được sự quan tâm, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo của phòng sau đại họctrường đại học Sư Phạm Hà Nội 2 và thầy PGS.TS Đỗ Văn Lưu Tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Đỗ văn Lưu, người thầy đã trực tiếp hướngdẫn, dìu dắt và chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này Tôi xin chân thành cảm

ơn phòng sau đại học, trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng toàn thể các thầy cô giáo

và thực hiện luận văn tốt nghiệp này

Hà Nội, Ngày 5 tháng 8 năm 20lị

H ọ c v i ê n

Hà Thị Thu Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác

Hà Nội, Ngày 5 tháng 8 năm 20lị H ọ c

v i ê n

Hà Thị Thu Thủy

Mục lục

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Các bài toán tối ưu không lồi không trơn đã và đang thu hút nhiều nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu Các lí thuyết dưới vi phân là các công cụ hữu hiệu đểnghiên cứu các điều kiện tối ưu, chẳng hạn dưới vi phân lồi, dưới vi phân Clarke,dưới vi phân Michel - Penot, dưới vi phân Eréchet, dưới vi phânMordukhovich, Các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài toán quyhoạch toán học dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot

và dưới vi phân Eréchet đã được W Schirotzek trình bày trong cuốn sách chuyênkhảo “ Nonsmooth Analysis” (2006) Đây là đề tài đã thu hút nhiều tác giả trong

và ngoài nước quan tâm nghiên cứu Vì thế, tôi chọn đề tài luận văn : “Điều kiệntối ưu cho bài toán tối ưu không lồi”

Mục đích nghiên cứu

• Đọc và dịch tài liệu trong cuốn sách “Nonsmooth Analysis” (2006) của W.Schirotzek

• Tham khảo các tài liệu có liên quan

• Phân tích, tổng hợp làm rõ các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không lồi

Nhiệm vụ nghiên cứu

• Các điều kiện tối ưu cơ bản

• Điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân

• Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bàitoán quy hoạch toán học dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, dưới vi phânMichel- Penot và dưới vi phân Préchet được w Schirotzek trình bày trong cuốnsách chuyên khảo “ Nonsmooth Analysis” (2006)

Những đóng góp mới của đề tài

Tác giả mong muốn có cách nhìn tổng quát hơn về điều kiện tối ưu cho cácbài toán tối ưu không lồi và hoàn chỉnh bản luận văn của mình

Phương pháp nghiên cứu

Đọc và nghiên cứu tài liệu để phân tích, tổng hợp các nội dung của đề tàiluận văn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các dưới vi phân Clarke,Michel - Penot, Préchet và các điều kiện tối ưu cơ bản Các kiến thức trình bàytrong chương này được tham khảo trong các tài liệu [1 ] - [ 5 ]

1.1 Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot và dưới vi phân Eréchet

Giả sử E là không gian Banach thực, D

Cho f là hàm Lipschitz địa phương tại X vói hằng số \ > 0 Khi đó,

a ) f ° ( x , ) là dưới cộng tính, thuần nhất dương và Lipschitz

Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại X thì

d o f ( x ) : = { x * £ E * \ { x * , y ) < f ° ( x , y ) V y € E } được gọi là dưới vi

phẫn Clarke hoặc gradient suy rộng Clarke của f tại

Nếu f : E — > • M là Lipschitz địa phương trên E Khi đó:

a) Hàm ( x,y ) I - » f ° ( x , y ) ỉà nửa ỉỉên tục trên trên E X E.

b) Cho ( Xỵ ) và ( x * k ) / ồ dãy tương ứng trong E và E*, sao cho x* k G

ỡo/ы, VA: G N.

Giả sử rằng ( X k ) hội tụ đến X £ E khi к — > • o o và X* G E* là một điểm tụ yếu* của ( x * k ) Khi đó X* G д о f ( x ) (Đồ thị của (do / ) là một tập con đóng yếu* của E X E*).

c) Ánh xạ dưới vi phân dof : E E* là nứa liên tục trên yếu*.

Chứng minh.

C

, Y

là nửa liên tụctrên yếu*

□

Định lý 1.2 [3]

Nếu f : M " —> M là Lipschitz địa phương tại X và s с шп và có độ

đo Legesgue n - chiều bằng 0 thì

d o f ( x ) = c o { l i m f { x k ) \ x k - » ■ x , x k ị Q f и S } , trong đó co chỉ bao lồi.

Từ định nghĩa của /°, với mỗi к tồn tại Zk Ễ E và T f c > 0 sao cho 1

- - -^ +

r k

< f { z k + r k ỹ ) - f ( z k )

1.1.2 Dtfdi vi phân Michel- Penot Dinh nghïa 1.4.

Cho E là không gian Banach thuc, D Ç E là mô, x G D và f : D —ï №

_ l _ _

N é u y & E t h ï f ° ( x , y ) \= sup\imsup—( f(x + r y + r z ) — f ( x + r z ) ) dilôc

z e E t|0 T

goi là âao hàm Michel-Penot cüa f theo phUdng y tai x.

Dinh lÿ 1.3.

Cho f là Lipschitz âia phucfng tai x vâi hang so A > 0 Khi dô,

a ) / ° ( x , ) là duôi tuyén tinh và Lipschitz vâi hang so A trên E và

€ E

Vậy (a) được chứng minh,b) Với bất kì г G E

(

7T,.) là khônglồi

Nếu A > 0 ta có công thức sau: (AF Ỵ( X

,.) = AF

Ợ

( X

vì thế ta chỉ cần chứng minh cho cực tiểu là đủ

Giả sử X là cực tiểu địa phương của /, thì với bất kì Y

f ( x + t v ) = f ( x ) + t A v + o(t).

Ta gọi Л là đạo hàm Gâteaux của / tại X và kí hiệu là f'G {x).

Hàm / được gọi là khả vi Hadamard tại X

£ E

Mệnh đề 1.8 [4]

a) Nếu f c { x , ) tồn tại và là dưới tuyến tính trên E thì f ữ ( x , y ) : =

f c { x , y ) với mỗi y G E Dặc biệt nếu f là khả vi Gâteaux tại X thì

( X )

e R và ôo/(0) = {0}

Ngoài ra ta có /°(0, y) = \ Y \

với mỗi Ỉ / G l v à ỡo/(0) = [—1,1]

1.1.3 Dưới vi phân Eréchet Định nghĩa 1.6.

Giả sử rằng E là không gian Danach, f : E M là hàm chính thường và nửa liên tục dưới v à x E d o m f

a) Hàm f được gọi là khả dưới vi phẫn Frechet (F - dưới khả vi ) tại X nếu tồn tại F - dưới đạo hàm của f tại X , X* G E* thỏa mẫn

b) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân nhớt (viscosity subdifferentiable)

tại X nếu tồn tại dưới đạo hàm nhớt của f tại X, X* € E* và hàm thuộc lớp c l ỉà g : E —>• M thỏa mẫn g'(x ) = X* và f — g đạt cực tiểu địa phương tại X.

Đặc biệt: g ( x ) = ( x * , X — x ) — ơ\\x — x \\ 2 với hằng số dương ơ thì X* được g ọ i l à d ư ớ i g r a d i e n t g ầ n k ề c ủ a f t ạ i X

Tập:

dpfịx ) = tập tất cả F - dưới đạo hàm của Ị tại X dv fix ) = tập tất cả

dưới đạo hàm nhớt của f tại X

dp f i x ) = tập tất cả dưới gradient gần kề của f tại X được gọi tương ứng là dưới vi phẫn Fréchet (F - dưới vi phẫn), dưới vi phẫn nhớt và dưới vi phăn gần kề.

d) Nếu f là lồi thì d p f ( x ) = d p f { x ) = d f ( x ) , V x G d o m f , trong đó

d f ( x ) là dưới vi phân hàm f lồi tại X

d f { x ) = { x * G E * : ( x \ y - X ) < f ( y ) - f ( x ) , V y G E }

e) Nếu f là Lipschitz địa phương trên E, thì d p f { x ) Ç d o f ( x ) , У х G

E Chứng minh.

(l-T)/(®) + Tf(®) > /((l-r)x + ra:) > /(a:) + ^((l — r ) x + rx) — y(x)

1.2 Các điều kiện tối ưu cơ bản

Cho / : -E —»• R là hàm chính thường, Ẩ C E v à ĩ Ễ i 4 n DOMF

Ta kí hiệu

Tập hợp:

T

R

z - ỳ y

(H - đạo hàm theo phương trên)T

Cho f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz X trên một tập

mở u chứa A Nếu X là một cực tiểu của f trên A, thì V A > A ; X là một cực tiểu của f + A d,A trên u (vì là một cực tiểu của f + A d,A trên E).

Nón pháp tuyến Clarke của A tại X là tập

(I) Cho 77 > 0 sao cho X là cực tiểu của / trên A

V

:

Y )

) > 0 Ví/ e TC (A

V

: [a, 6] —»• M sao cho \ G \

P

) là một không gian Banach với chuẩn

||x||i í00 = maxdl^lloo,

||x||oo}-Xét bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân:

Kết quả sau đây tương tự đúng cho các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, 0] với giá trịtrong Mn.

G [a, 6] Khi đó q là tuyệt đối liên tục và

J a

Q ( T

) = Ụ >

X

{ T

Bây giờ ta sử dụng bổ đề cơ bản sau đây của tính toán biến phân Bổ đề 2.1 (DU

Giả sử giả thiết ( A ) thỏa mãn Nếu X là một nghiệm địa phương của

0= )) ^ e [a’k]- (2-6)

Bỏ đi hàm p, ta thấy rằng với giả thiết của mệnh đề 2.1 hàm 1 1—^ Ỹ >

V

{ T )

là tuyệt đối liên tục trên [o, B ]

và thỏa mãn

d ị ỹ v t t ) = V x i t ) với hầu hết t e [ a , &]. (2.7)Đây là phương trình Euler Lagrange cho bài toán (2.1)

2.3 Trường hợp không trơn

Mục đích bây giờ là làm yếu đi tính khả vi yếu của giả thiết ( A) Ký hiệu L\

là Ơ

- đại số tích tương ứng.Cho X G M

Giả sử giả thiết ( A ) thỏa mãn Nếu X là một nghiệm địa phương của

(2.1) , thì tồn tại hàm tuyệt đối liên tục p : [ a , b] —> M sao cho:

h à m 1 1 — ỳ g ( t , ũ ( t ) ) là khả tích trên [ a , & ] Khi đó tích phân của hàm 1 1

Mệnh đề 2.3 [7]

Cho K là tập con lồi compact của một không gian vectơ tô pô, u là một tập con lồi của một không gian véctơ và h : K X u — > • M / à một hàm thỏa mãn :

• Với mỗi u € u, hàm X —>• h(x,u ) là lồi và nửa liên tục dưới.

• Vôi m ỗ i X e K , h à m u — > — h ( x , u ) l à l ồi.

Khi đó tồn t ạ i x E K sao cho: s u p h ( x , u ) = s u p i n f h ( x , u )

U€U U€U X & K

Theo giả thiết (A) , tích phân vế phải là một hàm đo được của t và với hầu hết t

€ [a, 6], được làm trội bởi hàm khả tích g ( t ) \ \ ( y ( t ) , ỷ ( t ) ) \ \

ở đây ip° ịt,x(t),x(t);y(t),ỷ(tỶJ kí hiệu đạo hàm Clarke của hàm (x,v) !->■

( f i ( t , x : v ) tại điểm (x(í),Ẻ(í)) theo phương (y(í),ỹ(í))

Quan hệ (2.9) đúng với mọi Y

thay cho £1[o, 6].

Tập K là lồi và compact yếu và tích phân (2.10) là song tuyến tính theo

Đây là một bài toán cổ điển nếu hàm thỏa mãn giả thiết (Á)

và hàm ^ 7(^5 V )

ánh xạ R2vào R khả vi tại (X ( A ), X ( B

p ( a ) = 7 í ( x ( a ) , x ( b ) ) , p ( b ) = - 7„ ( Ẽ ( a ) , ã ( & ) )

Tuy nhiên trong khuôn khổ giải tích không trơn, các hàm IP

và 7 có thể nhận giá trị+00

Ví dụ cho:

{0, nếu ế = a và 77 = 3 ,

+00, các trường hợp khác

Khi đó, (2.11) đưa được về bài toán điểm mút cuối cố định (2.1)

Bây giờ ta xét lớp các bài toán hay hơn Cho hàm 7 : M2 —>

M u {+00} và cáchàm đa trị F :

+00, các trường hợpkhác

Ta có:

F

B

3.1 Quy tắc nhân tử Lagrange dưới ngôn ngữ xấp xỉ lồi trên

(3.2)

Kí hiệu U C r ( f , x ) là tập tất cả các xấp xỉ lồi trên radial của f tại x; UC(f,x) là tập tất cả các xấp xỉ lồi trên của f tại X.

( X ,

0) = 0 = (P {0).

Mục đích của phần này là thiết lập điều kiện cần tối ưu cho bài toán

F ( X

Ta đưa vào các giả thiết (Ai) sau đây:

• E là một không gian véctơ định chuẩn,

mệnh đề 10.2.1 ta suy ra điều phải chứng minh.

a) Là một hệ quả được suy ra trực tiếp của a)

Định lý 3.2.

Giả sử giả thiết ( A 2 ) thỏa mãn và X là nghiệm địa phương của

a) Nếu / ỉ / ( x ) [ M + ( ^ 4 — x)] là đóng, hoặc F là hữu hạn chiều thì

thì (3.6) đúng với A = 1

ЗА €E M+, 3/ij €E м+(г G -f(z)), G K(j = đều khôngđồng thời bằng 0, sao cho

( X )

Với không gian F hữu hạn chiều, bây giờ ta làm yếu đi giả thiết khả vi cho ánh xạ H

Tập A được gọi là epi- Lipschitz tại X nếu H ( A , X ) 7^ 0.

./Veit H ( A , X ) 7^ 0 với Vx Ẽ Ẩ ш Л được gọi là epi - Lipschitz.

Ta đưa vào giả thiết (A3):

E là không gian Banach, A

hoặc Lipschitz địa phương tại X,

GI :

( X )

(3.13)

Đặt :

Định lý 3.3.

( p 3 ) :

(a) Tồn tại A > 0 , Ị Ấ i > 0 với i £ I ( x ) , Ị Ấ i > 0, với j £ J { x ) và Uk với к =

1 ,r không đồng thời bằng 0, sao cho bất kì y G T c ( A , x ) ,

А/°(ж,у)+ ^2 ti i(g 'i { x ), y)+ ^2 ' ßj g] { x , y ) + ^ p k { h ' k { x ), y ) > о

(3.14)

(b) Nếu ( 3 1 2 ) thỏa mãn thì a) luôn đúng, trong đó G I(x ) ) và

fij(j G J(x ) ) không đồng thời bằng 0 (c)Nếu ( 3 1 2 ) và ( 3 1 3 ) thoả mãn thì (a) đúng với A = 1

( X

), X —

X ),

Vz e U , V K

= 1 , 2 , , r (3.16)c) Ta cần chỉ ra rằng hệ sau đây là không có nghiệm

Đặt :

y € intT c {A,x), ( 3 1 7 ) Г( Х , У )<

) liên tục tại X , ta lại có

GI (

Do đó, hệ (3.17) - (3.21) là không có nghiệm

d) Mệnh đề 10.2.4 [4] được phát biểu như sau:

Giả sử giả thiết (A

) thỏa mãn tức là E, G và H là các không gian véctơđịnh chuẩn, E

và H là đầy đủ, к ç E khác rỗng, lồi và đóng,

P

Đặt :

- ^ 2 y ) - ^ 2 uk {h' k ( x ) , y ) < 0 V y e E ( 3 3 1 )

Các nhân tử A, ịiị, i G I(x) và ịĩj, j € J(x ) khơng thể khơng đồng thời bằng 0, bởi vì

nếu ngược lại thì bất đẳng thức (3.31) kéo theo U =

0 Đây là một mâu thuẫn

Khẳng định của định lí được suy ra từ (3.31) do < U , Y ><

0 với Vy E T

C

{A, X ).

e) Khẳng định (c) là hiển nhiên

□

3.2 Quy tac nhän tuf Lagrange cüa Clarke

Xet bäi tộn (P4):

Minf(x)

Đặt :

Dinh ly 3.4 (Quy tac nhän tü Lagrange cüa Clarke)

Giä sti giä thiet (A 4 ) thöa man vä giä sti rang x lä mot nghiem dia phucfng cüa

( - P 4) Khi do, 3 A G M + , 3 / z * G M + ( z = 1 , 2 , , r a ) , 3uj G M ( j =

1,2, , n ) khong dong thdi bang 0 , sao cho

LII

(III) Từ bước (II), nguyên lý biến phân Ekeland áp dụng cho Ф Chọn Л :=

y / Ẽ ta suy ra tồn tại x £ G Ả sao cho

I \ x e — ж ỊI < y / ẽ , (3.36)và:

ф(же) < Ф(ж) + \ / Ẽ \ \ x e — ж||, \/ж £ A (3.37)(IV) Cho Xo là một hằng số Lipschitz địa phương chung của các hàm

v ầ , h i , , h n tại X Khi đó với mỗi X > X o là một hằng số

Lipschitz địa phương của hàm X !->• ф(х) + y/ẽ\\x e — Ж Н tại Æg với £ đủ nhỏ.

Từ (3.37), hàm này có một cực tiểu trên A

tại X

E

(VII) 0 g Âa„/(xs) + T ß A J M + '^2v' i d 0 \ h j \ { x t ) + ỰỈB E + N ç ( A , x e )

(VIII) (3.39)(IX) Bởi vì ф(же) > о , chúng ta có:

(X) 9 i{xe) < о => /Г; = 0(г = 1,2,га),

(XI) HJ

( X

).

(3.42)(XX) Bây giờ ta thay thế £

X khi К

— Ì

00 Hơn nữa, do (3.41) dãy ( X *

E

và từ (3.38) các điểm tụ ỊIỊ

Tương tựcho Л và VJ , J

V ị

3.3 Quy tắc nhân tử Lagrange xấp xỉ

(XXXI) Ta xét bài toán (-P5):

(XXXVIII) Ta trình bày quy tắc nhân tử Lagrange với giả thiết yếu sau đây:

(XXXIX)(A5) E là một không gian Banach trơn Frechet,A c E là khác rỗng và đóng, fi :

E —> R là nửa l i ên tục dưới với i = 0,1, , 7TỈ,

M là liên tục với Ỉ = M +

1 , , N

(XLI) Định lý 3.5 (Quy tắc nhăn tử Lagrange xấp xỉ)

(j4 5 ) thỏa mẫn và X là một nghiệm địa phương của (P 5 ).

a) Với bất kì £ > 0 và bất kì lăn cận yếu* V của 0, 3 ( x ị , f i ( x ị ) ) €

(XLIII) ( x , f i ( x ) ) + e B E x R ( i = 0 , 1 , 2 , n ) ,

(XLIV) 3x n + i G X + e B E , 3ịiị > 0(i = 0,1, n), ịiị không đồng thời bằng không sao cho

(XLV) 0 e ^2 ^ i { d F f i { x i ) U d F ( - f i ) ( x i ) ) + N F ( A , x n + 1 ) + V