PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH LỚP VÒNG 2
NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN
(Đề thi gồm 01 trang) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề).
-Câu 1 (4,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x sao cho x2 +x+ 6 là số chính phương
b) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:(a+b+c) 2 =a2 +b2 +c2
Tính giá trị của biểu thức: P=
ab c
c ac
b
b bc
a
a
2 2
2 2
2 2
2
+
+ +
+ +
Câu 2 (4,5 điểm)
a) Tìm các số nguyên x;y;z thỏa mãn:x2 +y2 +z2<xy+3y+2z-3
b) Giải phương trình:
2
7 4
3
1 + + + =
x
Câu 3 (4,5 điểm)
a) Cho a;b là các số không âm Chứng minh: a3 + 2b3 ≥ 3ab2
b) Cho x;y;z là các số dương và x+y+z=3
Tìm giá trị bé nhất của biểu thức: P= 2
3 2
3 2
3
x
z z
y y
x
+ +
Câu 4 (4,5điểm)
Cho ∆ABCđều, đường cao AH; M là một điểm thuộc cạnh BC(M khác B ;C).Kẻ
ME vuông góc với AB; MF vuông góc với AC Gọi I là trung điểm của AM
a) Tứ giác HEIF là hình gì? vì sao?
b) Gọi G là trọng tâm của ∆ABC Chứng minh EF; HI; MG đồng qui
c) Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho độ dài EF đạt giá trị bé nhất Tính giá trị
bé nhất đó khi cho cạnh của tam giác đều bằng a
Câu 5 (2.0 điểm)
Cho ∆ABC có góc A bằng 600, phân giác AD, cạnh AB=2 cm; AC=4cm Tính
độ dài đường phân giác AD
Hết
-Họ và tên thí sinh: SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT HOÀNG MAI KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH LỚP 9 VÒNG 2
NĂM HỌC 2014-2015
Môn: TOÁN
1
4,5đ
a
2,5đ
) )(
( 6 6
) (
*
−
=
=
⇔
+
=
−
= +
5 3
8 1
6
x
n x
n
x n x
không thỏa mãn
0,5
*
=
=
⇔
−
=
+
= +
5
6 1
6
x
n x
n
x n x
*
=
−
=
⇔
+
−
=
−
−
= +
5
6 )
( 1
) ( 6
x
n x
n
x n x
*
−
=
−
=
⇔
−
−
=
+
−
= +
3 5 3 8 )
( 1
) ( 6
x
n x
n
x n x
không thỏa mãn
* x+6=0 ⇒x= − 6 ⇒x2 +x+ 6 = 36(thỏa mãn) Vậy x=5 và x=-6 là giá trị cần tìm
0,5
b
2đ
(a+b+c)2=a2 +b2 +c2 ⇔ab+ac+bc= 0 0,25
) )(
( 2
2 2
2 2
2
c a b a
a bc
ac ab a
a bc
a
a
−
−
= +
−
−
= +
0,5
tương tự:
) ) ( 2
2 2
2
c b a b
b ac
b
b
−
−
= +
0,25
) ) ( 2
2 2
2
b c a c
c ac
c
c
−
−
= +
0,25
1 ) )(
)(
(
) )(
)(
(
) )(
( ) )(
( ) )(
( 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
+
−
−
−
−
−
= +
+ +
+ +
=
c b c a b a
c b c a b a
c b c a
c c
b b a
b c
a b a
a ab
c
c ac
b
b bc
a
a
0 4 2 3 3
2
2 2
2 + y +z < xy+ y+ z− ⇒ x +y +z −xy− y− z+ ≤
0 ) 1 ( ) 1 2 ( 3 ) 2 ( − 2 + − 2 + − 2 ≤
HƯỚNG DẪN CHẤM
Trang 34,5đ
2đ
=
=
=
⇔
=
=
=
⇒
1 2 1 1
1 2
2
z y x z
y
y x
Vậy
=
=
= 1 2 1
z y
x
l à giá trị cần tìm
0,5
b
2,5đ ĐKXĐ :x 4
3
−
pt
2
7 2
1 4
3 2
7 )
2
1 4
3 ( + + 2 + = ⇔ + + + =
4
3 + = +
2 2
1 4
3 4
) 2
1 4
3 ( + + 2 = ⇔ + + =
2
3 4
9 4
3
=
⇔
= +
⇔ x x (thỏa mãn) Vậy tập nghiệm của phương trình
là : S=
2 3
0,5
3
4.5đ
a
2,5đ
⇔ +
≥ +
⇔
≥
3 2b 3ab a 2b 2ab ab
0 ) ( 2 ) ( 2 − 2 − 2 − ≥
0 ) 2 )(
( − 2 + − 2 ≥
0 ) 2 )(
)(
0 ) 2 ( ) ( − 2 + ≥
⇔ a b a b đúng, dấu = xảy ra khi a=b 0,5 b
x xy y
3 2 3
tương tự y z
z
y
2 3 2
3
−
z x
x
z
2 3 2
3
−
3
= + +
≥
⇒ P x y z dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1.Vậy giá trị bé nhất của P=3 khi x=y=z=1
0,5
4
4,5đ
F E
Q K
O G I
H M
C B
A
Trang 41,5đ
góc EIM=2EAI (góc ngoài tam giácEAI) ;
góc MIH=2IAH ( góc ngoài tam giácAIH)
0,5
EIH viBAH
EAH
⇒ 2 60 0 30 0 đều⇒ IE= IH = HE
tương tự : IH=ÌF=HF⇒tứ giác HEIF là hình thoi 0,5 b
1đ
Gọi O là giao điểm của IH và EF;.MO cắt AH tại G Kẻ IK vuông góc
với MH,IK cắt MG tai Q ⇒ ∆IOQ= HOG(g.c.g) 0,5
2
1
=
=
⇒
GA
IQ GA
GH
(vì I là trung điểm của AM)⇒G là trọng tâm của ∆ABC
⇒E F;HI;MG đồng qui
0,5
c
2đ
E F bé nhất ⇔ EO bé nhất ⇔ EIbé nhất⇔ AM bé nhất(vì ∆EIO vuông
tại O và góc EIO =600 ⇔ AM = AH = a ⇒ M ≡ H
2 3
1,0
Khi đó :EF EO EI AM a
4
3 3 2
1 2
3 2
5
H
D
C B
A
3 2
2
1
2
=
∆ AC BH AC AB SinA
2 2
1 ,
2 2
Sin AD AC S
A Sin AD AB
ADC ABD
S∆ = ∆ + ∆
3
3 4 3
4 2 ).