BÀI KHOẢNG CÁCH KINH điển TRONG HÌNH KHÔNG GIAN

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, gọi M là trung điểm cạnh AD, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với trung điểm của đoạn BM biết 3 2 a SM = và SH =a... Hình chiếu

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Câu 1: [ĐVH] Cho lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác vuông tại

, , 30 , 2 2

B AB=a ACB= AA′= a

a) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A BC′ )

b) Gọi M là trung điểm của BB′ Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (A BC′ ′)

Lời giải:

tan

3 2

AC = AB +BC = a + a = a

3

d G A BC = d A A BC

Kẻ AN ⊥ A B'

'

BC AB

BC A BC BC AN

BC A A

⊥





⊥



Mà AN ⊥ A B' ⇒ AN ⊥(A BC' )

( )

AN d A A BC

Xét ∆A AB' : 12 1 2 12 12 12

AN = AA + AB = a +a

( )

2

, '

8

a

2

d M A BC = d B A BC

Kẻ BH ⊥ A C' ', BK ⊥KB

A C BH

A C B HB A C B K

A BB

⊥





⊥

 mà B K' ⊥BH ⇒B K' ⊥(A BC' ')

' ', ' '

B K d B A BC

Xét ∆A B C' ' : 1 2 1 2 1 2 12 12 42 ' 3

2

a

B H

B H = B A + B C = a + a = a ⇒ =

'

BB

Câu 2: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, AD=2 ,a AB=4 ,a SD=5a Cạnh bên

SA vuông góc với đáy

15 BÀI KHOẢNG CÁCH KINH ĐIỂN TRONG HÌNH KHÔNG GIAN

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

a) Kẻ AI ⊥SB

Ta có BC AB BC (SAB)

BC SA

⊥





⊥



BC AI

⇒ ⊥ mà AI ⊥SB⇒ AI ⊥(SBC)

( )

AI d A SBC

25 4 21

SA= SD −AD = a − a =a

Xét SAB∆ : 12 12 12 1 2

21

AI = AS + AB = a

a AI

( )

,

37

a

d A SBC

b) Gọi J là giao điểm của AB và DM

d N SMD = d B SMD = d A SMD

Kẻ AH ⊥DM AK, ⊥SH

DM SA

⊥





⊥

( )

AK d A SDM

2

S = S = a mà

2

2 2 2

ADM ADM

,

Câu 3: [ĐVH] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền có độ dài bằng

8a Gọi M là trung điểm của BC và H là trung điểm của AM Biết SH ⊥(ABC) và 25

2

a

SB=

a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAM)

b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC)

Lời giải:

a) Kẻ BK ⊥ AM

Ta có BK SH BK (SAM)

BK AM

⊥





⊥

( )

BK d B SAM

AB= a⇒ AC =BC = a

S = S = BK AM

AC BC a

AC BC BK AM BK

AM

( )

,

5

a

d B SAM

b) d B SAC( ,( ) )=2d M( ,(SAC) )=4d H SAC( ,( ) )

Kẻ HE⊥ AC HF, ⊥SE

AC SH

⊥





⊥

Mà HF ⊥SE⇒HF ⊥(SAC)

( )

HF d H SAC

Xét BAM∆ :

BH = + − = a ⇒BH =a ⇒SH = SB −BH =

1

2 2

HE = MC=a

a HF

HF = HE +HS = a + a = a ⇒ = ( )

,

529

a

d B SAC

Câu 4: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, gọi M là trung điểm cạnh AD, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với trung điểm của đoạn BM biết 3

2

a

SM = và SH =a Tính các khoảng cách sau:

a) d A SBM( ;( ) ) b) d D SBM( ;( ) )

Lời giải:

a) Ta có: 2 2 5

2

a

HM = SM −SH =

Khi đó: BM =2HM =a 5

Lại có: AB=2AM do vậy:

( )2

BM = AM + AM ⇔ a = AM ⇔ AM =a

Khi đó AB=2a

Dựng AE⊥BM lại có AE⊥SH⇒ AE⊥(SBM)

;

5

AM AB a

d A SBM AE

AM AB

b) Dựng DE⊥BM tương tự ta có:

( )

;

5

a

d D SBM =DF= AE=

Câu 5: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AD=2a Hình chiếu vuông góc của

đỉnh S trên mặt đáy là điểm H thoả mãn HA=2HB Biết rằng SA=a 5 và SH =a Tính các khoảng cách sau:

a) d A SHD( ;( ) ) b) d C SHD( ;( ) )

Lời giải:

a) Ta có: HA= SA2−SH2 =2a⇒HB=a

Khi đó AB=CD=3a

Dựng AE⊥HD lại có AE⊥SH⇒ AE⊥(SHD)

AH AD

b) Tam giác AHD vuông cân tại A nên

ADH = ⇒HDC=

Dựng CF ⊥DH lại có CF⊥SH suy ra

( )

2

a

d C SHD =CF =CD HDC=

Đ áp số: a) d =a 2 b) 3

2

a

d =

Câu 6: [ĐVH] Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B có AB=a BC; =a 3 Hình chiếu

vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là trung điểm của cạnh AC Biết rằng SB=a 2 Tính các khoảng cách sau:

a) d H SAB( ;( ) ) b) d H SBC( ;( ) )

Lời giải:

a) Ta có: AC= AB2+BC2 =2a⇒BH =a ( trong tam giác

vuông trung tuyến 1

2

BH = AC)

Lại có: SH = SB2−HB2 =a

Dựng HE⊥ AB⇒AB⊥(SHE), dựng HF ⊥SE

Mặt khác AB⊥(SHE)⇒AB⊥HF ⇒HF ⊥(SAB)

Do vậy d H SAB( ;( ) )=HF

a

HE= BC= ( đường trung bình trong tam giác )

7

a HF

HF = SH + HE ⇒ =

b) Tương tự ta dựng HM ⊥BC và HN ⊥SM khi đó d H SBC( ;( ) )=HN

HN HM SH

7

a

d = ; b)

5

a

d =

Câu 7: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC đều cạnh 2a , hình chiếu vuông góc

của điểm A’ trên mặt đáy trùng với trung điểm cạnh AB, tam giác A’AB là tam giác vuông tại A’ Tính các

khoảng cách sau:

a) d H( ;(A ACC' ') )

b) Gọi I là điểm thuộc đường thẳng AB sao cho B là trung điểm của AI Tính d H( ;(A CI' ) )

Lời giải:

a) Tam giác A’AB là tam giác vuông tại A’ nên

1

'

2

A H = AB=a ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh

huyền trong tam giác vuông )

Dựng HE⊥ AC⇒ AC⊥(A HE' ), dựng HF ⊥ A E'

Mặt khác AC⊥(A HE' )⇒AC ⊥HF⇒HF ⊥(A HE' )

Do vậy d H( ;(A ACC' ') )=HF

Tam giác AHE vuông tại E ta có: HE=HAsin
HAE

sin 60

a

a

d HF

HF = HE + A H ⇒ = =

b) Ta có: ACI∆ vuông tại C do có 1

2

CB= AI Dựng HM ⊥CI⇒CI ⊥(A HM' ), dựng HN ⊥ A EM'

Đ áp số: a) 21

7

a

d = ; b) 3

13

a

d =

Câu 8: [ĐVH] Cho tứ diện O ABC có OA OB OC đôi một vuông góc và OA, , =OB=OC=a Gọi ,

M N lần lượt là trung điểm của BC OB ,

a) Chứng minh rằng BC⊥(OAM)

b) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC), khoảng cách từ O đến mặt phẳng (AMN)

Lời giải:

a) Ta có OA OB OA (OBC) OA BC

OA OC

⊥





⊥

Ta lại có BC⊥OM ⇒BC ⊥(OAM)

b) Kẻ OH ⊥ AM

Vì BC⊥(OAM)⇒BC ⊥OH

Mà OH ⊥ AM ⇒OH ⊥(ABC)

( )

OH d O ABC

Xét OBC∆ : 1 2 12 12

OM =OB +OC

Xét OAM∆ : 1 2 12 1 2 12 12 12

OH =OA +OM =OA +OB +OC

( )

, 3

a

Kẻ OK ⊥ AN

MN OA

⊥





⊥

( )

OK d O AMN

, 5

a

OK =OA +ON = a +a = a ⇒ = =

Câu 9: [ĐVH] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SA=a 3

a) Chứng minh rằng BD⊥(SAC),BC⊥(SAB)

b) Tính khoảng cách từ A đến các mặt phẳng (SBC) (, SBD)

c) Gọi H là hình chiếu của A lên SD Tính khoảng cách từ B đến các mặt phẳng (AHC)

Lời giải:

a) Ta có BD AC BD (SAC)

BD SA

⊥





⊥

Ta có BC AB BC (SAB)

BC SA

⊥





⊥

b) Kẻ AI ⊥SB

Vì BC⊥(SAB)⇒ BC⊥ AI mà AI ⊥SB

( ) ( ,( ) )

AI SBC AI d A SBC

Xét SAB∆ : 12 12 12 12 12 42

AI = AS + AB = a +a = a

( )

3

, 2

a

AI d A SBC

Gọi O= AC∩BD , kẻ AJ ⊥SO

Vì BD⊥(SAC)⇒ BD⊥ AJ mà AJ ⊥SO⇒AJ ⊥(SBD)⇒ AJ =d A SBD( ,( ) )

,

a

AJ = AS + AO = a + a = a ⇒ = =

c) Kẻ HK ⊥ AD K( ∈AD)⇒HK ⊥(ABCD)

Ta có

2

DH = DA = ⇒ KD =

3

d B AHC =d D AHC = d K AHC

Kẻ KE⊥ AC KF, ⊥HE

AC HK

⊥





⊥

( )

KF d K AHC

8

a

a

HK = SA=

,

KF = KH + KE = a + a = a ⇒ = ⇒ =

Câu 10: [ĐVH] Cho lăng trụ tam giác ABC A B C ′ ′ ′ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC AA, ′ =3a

a) Tính khoảng cách từ G đến mặt phẳng (ABB A′ ′)

b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A BC′ )

c) Gọi M là trung điểm của B C′ ′ Tính khoảng cách từ C′ đến mặt phẳng (A BM′ )

Lời giải

a) Gọi ,I J lần lượt là trung điễm của AB BC ,

Kẻ GE⊥ A I'

'

AB IG

AB A GI AB GE

AB A G

⊥





⊥

Mà GE ⊥ A I' ⇒GE ⊥(ABB A' ')

GE d G ABB A

a

a

GA= AJ =

3

a

A G= AA −AG =

Xét ∆A IG' : 12 12 1 2 3152

GE =GI +GA = a

26

3 35

a

GE d G ABB A

b) Ta có d A A BC( ,( ' ) )=3d G A BC( ,( ' ) )

Kẻ GF ⊥ A J'

'

BC GJ

BC A GJ BC GF

BC A G

⊥





⊥

 mà GF ⊥ A J' ⇒GF ⊥(A BC' )

( )

GF d G A BC

, '

c) Ta có d C( ',(A BM' ) )=d B( ',(A BM' ) )=d A A BM( ,( ' ) )=d G A BM( ,( ' ) )

Kẻ Bx/ / 'A M ⇒(A BM' ) (≡ MA Bx' )

Kẻ GH ⊥Bx GK, ⊥ A H'

B x GH

B x A BH B x GK

B x A G

⊥





⊥

 mà GK ⊥ A H' ⇒GK ⊥(MA Bx' )

GK d G MA Bx

' '

a

phẳng (ABC) và SA = a

a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC)

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC)

c) Gọi I là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC)

d) Gọi J là trung điểm của AC Tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC)

e) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC)

Đ/s: b) 2

2

a

c) 2 4

a

d) 2 4

a

e) 2 6

a

Lời giải:

a) Ta có: AB BC BC (SAB) (SBC) (SAB)

SA BC

⊥





⊥

b) Dựng AH ⊥SB⇒ AH ⊥(SBC)

;

2

SA AB a

d A SBC AH

SA AB

a

AB= BI ⇒d I SBC = d A SBC =

a

AC= CJ ⇒d J SBC = d A SBC =

e) Gọi K là trung điểm của BC ta có: AK =3GK

a

d G SBC = d A SBC =

Câu 12: [ĐVH] Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) và SA=a 3 O là tâm hình vuông ABCD

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC)

b) Tính khoảng cách từ điểm O đến (SBC)

c) G1 là trọng tâm ∆SAC Từ G1 kẻ đường thẳng song song với SB cắt OB tại I Tính khoảng cách từ điểm

G1 đến (SBC), khoảng cách từ điểm I đến (SBC)

d) J là trung điểm của SD, tính khoảng cách từ điểm J đến (SBC)

e) Gọi G2 là trọng tâm của ∆SDC Tính khoảng cách từ điểm G2 đến (SBC)

Đ/s a) 3

2

a

b) 3 4

a

c) 3 6

a

d) 3 4

a

e) 3 6

a

Lời giải:

SA BC

⊥





⊥



Từ đó suy ra AH ⊥(SBC)

;

2

SA AB a

d A ABC AH

SA AB

a

AC= OC⇒d O SBC = d A SBC =

giác ABC tương tự ta có: ( ( ) ) 3

6

a

d I SBC =

a

d J SBC = d D SBC = d A SBC =

a

d G SBC = d D SBC = d A SBC =

sao cho SA=a 3, K là trung điểm của BC

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến (SBC);

b) Gọi M là điểm đối xứng với A qua C Tính khoảng cách từ điểm M đến (SBC)

c) Gọi G là trọng tâm ∆SCM Tính khoảng cách từ điểm G đến (SBC)

d) I là trung điểm của GK Tính khoảng cách từ điểm I đến (SBC)

Đ/s: a) 15

5

a

b) 15 5

a

c) 15 15

a

d) 15 30

a

Lời giải:

a) Dựng đường cao AK và AH ⊥SK

( )

AH SBC

BC AH

⊥





⊥

d A SBC AH

SA AH

+

;

AK = ⇒d A SBC =

b) Do C là trung điểm của AM nên

( )

5

a

d A SBC =d M SBC =

c) Do ME=3GE ( với E là trung điểm SC) nên

( )

a

d G SBC = d M SBC =

;

a

d I SBC = d G SBC =