Vấn đề nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học

Đồng thời, cũng xuất phát từ thực tiễn phát triển củatoán học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học là các hệthống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn tại t

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai tròquan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng như trong sự phát triểncủa khoa học, kinh tế và kỹ thuật, v.v Chính sự thâm nhập ngày càng sâurộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằngchứng sinh động nhất để khẳng định điều đó Đặc biệt, khi loài người bướcsang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnhhưởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế Đặc điểm nổi bật của nền kinh tếtri thức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệtrong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với tư cách lànguồn lực cơ bản tạo nên sự tăng trưởng và năng lực cạnh tranh của nềnkinh tế Do vậy, trong nền kinh tế hiện đại luôn luôn xuất hiện các yếu tốphi tuyến, có nghĩa là những mô hình không thể giải được nếu chỉ vận dụngcác công cụ suy luận phân tích và tính toán định lượng của toán học truyềnthống Ở đây, để toán học phát huy được sức mạnh của mình trong việc giảiquyết các nhiệm vụ kinh tế - xã hội hiện đại thì nhất thiết trong quá trìnhxây dựng các mô hình, toán học phải có sự kết hợp với các phương phápkhoa học khác (chẳng hạn như phương pháp tin học) Nếu thực hiện được

sự kết hợp đó, thì những khó khăn nảy sinh do sự xuất hiện các yếu tố phituyến sẽ được khắc phục nhờ các phương pháp mô hình hóa và mô phỏngbằng đồ họa máy tính Điều đó có nghĩa là năng lực nhận thức của conngười được phát triển nhờ vào sự trực cảm và sự suy luận định tính

Thực trạng trên đã chứng tỏ rằng, toán học có vai trò to lớn trongnhận thức khoa học Nhưng lý do nào đã làm cho toán học có được sứcmạnh đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt là ở chỗ, đối tượng của toán học

có những nét đặc thù rất khác biệt so với các đối tượng của các khoa học

khác Chính vì vậy, hơn lúc nào hết, chúng ta phải phân tích được một cáchđúng đắn, nghiêm túc và rõ ràng bản chất của đối tượng toán học từ lậptrường của chủ nghĩa duy vật biện chứng.

Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xãhội, của khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bảnthân đối tượng của toán học còng không ngừng phát triển từ đơn giản đếnphức tạp, từ sự trừu tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ caohơn Như vậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đốitượng toán học, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ

sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉđối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội

Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học làcác quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực,chúng ta đi đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của toán học

dù có trừu tượng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan vàmọi tri thức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạohiện thực khách quan đó Đồng thời, cũng xuất phát từ thực tiễn phát triển củatoán học, trong đó đối tượng trực tiếp của các lý thuyết toán học là các hệthống những khách thể lý tưởng trừu tượng, không tồn tại trong hiện thựckhách quan, mà giữa các trường phái triết học khác nhau, thậm chí cả tronggiới toán học với nhau đã diễn ra không Ýt các cuộc tranh luận về bản chấtcủa đối tượng toán học cũng như vai trò của toán học trong quá trình nhậnthức Vì vậy, vấn đề đặt ra trong luận án luôn luôn là một vấn đề mang tínhthời sự không phải chỉ riêng đối với toán học, mà là đối với tất cả các lĩnh vựckhoa học nói chung Từ đó, việc làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi phântích đối tượng của toán học sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sựphát triển toán học nói riêng và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiệnnay của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại Đồng thời, việc làm

đó cũng chính là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toánhọc với thực tại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trịnhận thức của toán học thông qua đối tượng của nó Điều này phù hợp vớinhận xét của Lênin: "Tất cả các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc,không tùy tiện) phản ánh giới tự nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr 179].

Chính vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài "Vấn đề

nhận thức luận qua sự phân tích đối tượng của toán học" làm đề tài cho

luận án của mình

2 Tình hình nghiên cứu đề tài

Xung quanh vấn đề triết học trong toán học (trong đó có vấn đềnhận thức luận) ở Việt Nam và nước ngoài đã có nhiều công trình đề cậptới và nghiên cứu trên nhiều góc độ khác nhau Các công trình đó bao gồmcác tác phẩm kinh điển của chủ nghĩa Mác - Lênin, các sách tham khảo, cácbài viết trong các tạp chí khoa học và các kỷ yếu khoa học trong và ngoài

nước Trong số các tác phẩm kinh điển có các tác phẩm chính như: "Các bản thảo toán học" của C Mác; "Biện chứng của tự nhiên", "Chống Đuy- rinh" của Ph.Ăngghen; "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán", "Bót ký triết học" của V.I Lênin Trong số các tác phẩm nghiên cứu

có các cuốn: "Một số vấn đề triết học về cơ sở của toán học" của V.N Mơlôtsi; "Sự phát triển của nhận thức và toán học" của A Nưsanbaev và

G Shliakhin (tiếng Nga); "Về bản chất của tri thức toán học" của G.I Ruzavin (tiếng Nga); "Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học" (hai tập) của Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn; "Kỷ yếu hội nghị ứng dụng toán học toàn quốc lần thứ nhất" của Hội Toán học

Việt Nam - Bộ Công nghiệp (2000), v.v Chóng ta có thể khái quát những

tư tưởng chính của các công trình đó ở các khía cạnh sau đây:

Thứ nhất, các công trình đó đã tập trung vào phân tích khả năng

ứng dụng to lớn của toán học trong các ngành khoa học khác nhau

Thứ hai, các công trình đó đã đề cập đến vấn đề mối quan hệ của

toán học với thế giới hiện thực

Thứ ba, vai trò nhận thức của toán học được đề cập đến thông qua

việc khẳng định toán học như một công cụ của các khoa học cụ thể kháctrong việc khám phá ra những tri thức mới

Thứ tư, ý nghĩa của toán học đối với sự phát triển của các khoa học

khác, của kỹ thuật và kinh tế - xã hội v.v

Thứ năm, toán học với tư cách là ngôn ngữ của khoa học.

Tác giả của luận án kế thừa những thành quả nghiên cứu của các tácgiả đi trước, đi sâu vào phân tích nguồn gốc và bản chất của đối tượng toánhọc, khai thác ý nghĩa triết học của các tri thức toán học, chủ yếu là vấn đềnhận thức luận

3 Mục đích và nhiệm vụ của luận án

Mục đích của luận án là làm sáng tỏ nguồn gốc và bản chất của đốitượng toán học từ lập trường duy vật biện chứng, đồng thời chỉ ra vai tròcủa toán học trong nhận thức khoa học, những yếu tố ảnh hưởng đến sự pháttriển của đối tượng toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của toán học

Để thực hiện mục đích trên, luận án tập trung giải quyết nhữngnhiệm vụ sau đây:

Phân tích và làm rõ bản chất đối tượng của toán học, chỉ ra được mốiquan hệ chặt chẽ giữa toán học với thế giới hiện thực cũng như giữa toánhọc với các khoa học khác theo lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng

Phân tích vai trò của tri thức toán học đối với nhận thức khoa họcthông qua các quan điểm khác nhau trong lịch sử triết học cũng như thực tếvận dụng của toán học trong các khoa học cụ thể

Phân tích những ảnh hưởng của hoàn cảnh thực tiễn xã hội, khảnăng phát triển nội tại cũng như các lĩnh vực hoạt động khoa học khác với

tư cách là động lực của sự phát triển toán học Từ đó xác định được conđường biện chứng của sự phát triển các tri thức toán học.

4 Cơ sở lý luận, thực tiễn và phương pháp nghiên cứu của luận án

- Luận án dùa trên cơ sở lý luận chủ nghĩa duy vật biện chứng về vịtrí và vai trò của các khoa học đối với quá trình phát triển của xã hội

- Luận án được trình bày dùa trên thực tiễn hoạt động của các nhàtoán học qua các thời đại lịch sử khác nhau, dùa vào các tác phẩm kinhđiển, sách báo, tạp chí, những công trình khoa học trong nước và ngoài nước

- Luận án vận dụng phương pháp luận chung là phương pháp duyvật biện chứng và các phương pháp khác như mô tả, phân tích, tổng hợp,lôgíc và lịch sử, so sánh v.v

5 Những đóng góp mới về mặt khoa học của luận án

Trước hết, chúng tôi phải khẳng định rằng, cái mới của luận án ởđây không phải là một phát minh khoa học độc đáo hoặc một vấn đề hoàntoàn mới mẻ chưa hề được đề cập đến Cái mới mà luận án đạt được là ởchỗ, xuất phát từ lập trường duy vật biện chứng tác giả đã phân tích mộtcách có hệ thống và cô đọng những vấn đề về nguồn gốc, bản chất và quátrình phát triển của đối tượng toán học

Từ đó, tác giả làm rõ tính độc lập tương đối của nhận thức toán họctrong quá trình nhận thức nói chung Tính độc lập tương đối của nhận thứctoán học được thể hiện ở chỗ, toán học là một khoa học có tính trừu tượng rấtcao nhưng nó lại thể hiện sự phản ánh tích cực, sáng tạo của con người về thếgiới khách quan; ở lôgic phát triển nội tại của mình, đặc biệt là ở nét đặc thùtrong việc kiểm nghiệm tính chân lý của toán học

Tất cả các điều nói trên được luận án làm sáng tỏ đã khẳng định giátrị nhận thức của toán học thông qua sự phân tích đối tượng của nó, đặc

biệt là trong điều kiện phát triển mạnh mẽ và phức tạp của khoa học hiệnđại.

6 Ý nghĩa của luận án

- Những kết quả nghiên cứu của luận án đã góp phần làm sáng tỏquan điểm khoa học của chủ nghĩa duy vật biện chứng về sự khẳng địnhtoán học là một bộ môn khoa học rất hiện thực Từ đó làm rõ vai trò củatoán học trong nhận thức khoa học và tính quy luật trong sù phát triển củađối tượng toán học

Luận án có thể dùng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu, giảngdạy và học tập các bộ môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt là triết học trongkhoa học tự nhiên ở các trường đại học, cao đẳng

Luận án có thể dùng làm tài liệu bồi dưỡng giáo viên, nhất là đốivới những giáo viên giảng dạy và nghiên cứu toán học

7 Kết cấu của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận

án bao gồm 3 chương, 7 tiết

Chương 1

QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG VỀ ĐỐI TƯỢNG CỦA

TOÁN HỌC

về đối tợng của toán học

1.1 ĐỐI TƯỢNG HIỆN THỰC VÀ ĐỐI TƯỢNG TRỰC TIẾP CỦA TOÁN HỌC XẫT TỪ QUAN ĐIỂM DUY VẬT BIỆN CHỨNG

1.1.1 Khỏi lược về lịch sử hỡnh thành và phỏt triển của đối tượng toỏn học

Toỏn học là một trong những khoa học được hỡnh thành rất sớm Từthời cổ đại đến nay, toỏn học đó trải qua nhiều thời kỳ phỏt triển khỏc nhau.Mỗi thời kỳ đú được đỏnh dấu bởi mức độ phỏt triển của đối tượng toỏnhọc núi riờng và khoa học núi chung Theo quan điểm duy vật biện chứng,đối tượng của toỏn học là cỏc hỡnh thức khụng gian và cỏc quan hệ sốlượng của thế giới hiện thực Quan điểm trờn chỉ được luận chứng trờn cơ

sở xem xột một cỏch cụ đọng và cú hệ thống cỏc thời kỳ phỏt triển khỏcnhau của lịch sử toỏn học

Ở thời kỳ đầu, cũn gọi là giai đoạn toỏn học kinh nghiệm, bắt đầu từthời cổ đại đến thế kỷ thứ VII - VI (Trước cụng nguyờn), cỏc hiểu biết toỏnhọc gắn liền với cỏc yờu cầu của cuộc sống kinh tế Cú thể núi rằng, ở ngaythời kỳ đầu của sự phỏt triển xó hội, khi con người cũn sống thành bầy đàn,nhờ vào hỏi lượm, săn bắn để sinh tồn, thỡ đời sống vật chất cũng đó đũi hỏinhững sự cõn đối, đồng bộ trong việc phõn cụng, sử dụng cụng cụ lao động

và phõn chia sản phẩm Phộp đếm đó nảy sinh từ nhu cầu cần thiết là xỏcđịnh số lượng động vật trong một bầy và số lượng sản phẩm thu hoạch mựamàng Khi con người đó biết sản xuất thỡ nhu cầu về sự cõn đối, đồng bộngày càng tăng, chỉ cú đếm chưa đủ, cần phải cõn, đong, đo đạc, so sỏnh và

sắp xếp thứ tự Lúc đầu, nhu cầu chính xác còn thấp, số lượng việc đong,

đo, ước lượng chưa nhiều, người ta có thể đong đo trực tiếp hoặc ước lượngbằng kinh nghiệm, chẳng hạn như dùng nước hay cát để đong mà so sánhcác thể tích Chính sự đo lường các đại lượng là nguyên nhân xuất hiện cácphân số Đồng thời các nhu cầu đơn giản nhất về đo diện tích các khu đất,

đo thể tích các vật thể khác nhau, đo các chi tiết kiến trúc, đã mang lại sựtích lũy tài liệu thực tế to lớn về hình học Có thể nói rằng, lượng tài liệukhổng lồ về hình học đã được tích lũy ở thời Ai Cập cổ đại Lịch sử còn ghilại việc phải đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lụt của sông Nin khiến cho lưuvực sông Nin là cái nôi sinh ra môn hình học

Những tài liệu toán học ở Babylon cổ đại chủ yếu là chỉ ra các phươngpháp khác nhau để giải các bài toán số học, trong đó có cả các phương phápkhông liên quan trực tiếp đến nhu cầu kinh tế Do đó, chúng ta có đầy đủ

cơ sở để khẳng định rằng, một phần công việc hệ thống hóa và tinh chế lýthuyết các tư liệu thực tế về số học và hình học đã bắt đầu được thực hiệnngay trong toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt là toán học Babylon và Ai Cập

Nói tóm lại, đây là thời kỳ hình thành những khái niệm đầu tiên củatoán học Các tri thức toán học của thời kỳ này gắn liền với những nhu cầucủa đời sống kinh tế Các khái niệm như số và hình xuất phát trực tiếp từnhững khách thể hiện thực, tức là từ những sự vật cụ thể, cảm tính Toánhọc chưa được xem là một khoa học lý thuyết trừu tượng, vì thế thời kỳ nàyđược coi là thời kỳ phôi thai và ra đời của toán học, hay nói chính xác hơn,đây là thời kỳ hình thành toán học như là một khoa học Đối tượng của toánhọc thời kỳ này gắn liền với các khách thể cụ thể

Thời kỳ thứ hai trong sự phát triển của toán học bắt đầu từ nhữngngười cổ Hy Lạp và kéo dài liên tục cho đến đầu thế kỷ XVII Thời kỳ nàyđược gọi là thời kỳ phát triển toán học về các đại lượng không đổi Vàothời kỳ này sức sản xuất đã phát triển mạnh mẽ, sản phẩm dư thừa tăng lên, vì

vậy nhu cầu về trao đổi, lưu thông hàng hóa trở nên cấp thiết Đồng thời,phương pháp cân, đong, đo, đếm trực tiếp không còn thích hợp nữa Trướcthực trạng đó, con người bắt đầu chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đạilượng trong cùng một vấn đề và từ đó rót ra kết luận là trong việc cân,đong, đo, đếm, ta chỉ cần thực hiện một số công đoạn nhất định rồi dùnglập luận mà suy ra các kết quả khác Chẳng hạn, trong lĩnh vực hình họcxuất hiện lý luận về so sánh các hình dùa trên sự so sánh một số đoạn thẳnghay góc nào đó (ví dụ như trường hợp bằng nhau hay đồng dạng của các tamgiác) Trong đại số xuất hiện các công thức, các phương trình để tìm các sốchưa biết theo các số đã biết Nhưng chính những sự phát triển đó trongtoán học lại là nguyên nhân xuất hiện những mâu thuẫn mới, chẳng hạn,như sự bế tắc trong việc tính chính xác độ dài đường chéo của hình vuông

có cạnh là đơn vị, sự bất lực trong việc tìm nghiệm của phương trình x +

1 = 0, v.v

Mặt khác, kinh nghiệm của cuộc sống cũng cho thấy, có những đạilượng có thể tính theo hai chiều như đường đi thì có ngược xuôi, chiều caothì có trên dưới, tiền nong thì có lỗ, lãi, v.v

Những mâu thuẫn nói trên đòi hỏi phải bổ sung thêm vào các số tựnhiên và phân số những loại số mới như: số âm, số vô tỷ Chính khái niệm

số thực cũng từ đó mà sinh ra Thực tế cuộc sống đã thúc đẩy việc nghiêncứu các số tự nhiên theo chiều sâu, đụng chạm đến các vấn đề như sốnguyên tố, ước số, bội số, các phương trình với nghiệm số nguyên v.v Cóthể nói rằng, từ một loạt các phương pháp khác nhau để giải các bài toánthực tế, các nhà toán học thời kỳ đó đã xây dựng số học thành một khoahọc về các số và các phép tính trên các số đó Hình học cũng đạt được trình

độ cao của sự hoàn thiện về mặt logic Điều đó được thể hiện rõ nhất ở việclần đầu tiên người ta đã xây dựng nó bằng phương pháp tiên đề Trong sốcác tác phẩm lý luận về toán học, tiêu biểu nhất là tác phẩm "Cơ sở" của

nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít Tác phẩm này xuất hiện vào thế kỷ thứ

ba trước công nguyên, những nguyên lý nổi tiếng trong đó là nguồn cungcấp tri thức toán học cho các thế hệ sau đó trong suốt một thời gian dài.Đồng thời, nó cũng là một tác phẩm mẫu mực về cách lập luận toán họcmột cách sáng sủa Tóm lại, ở giai đoạn này, toán học từ trình độ kinhnghiệm đã tiến lên trình độ lý luận Tuy vậy, lý luận này mới chỉ dừng ởchỗ phát hiện ra những mối liên hệ có tính quy luật được thể hiện trong cácđịnh lý, các công thức, trong những sự vật và hiện tượng tĩnh tại, riêng lẻ Do

sự kìm hãm của chế độ phong kiến, cơ học và vật lý chưa phát triển được, vìthế vận động lúc đó chưa thể đi vào toán học được, chính vì thế mà từ tácphẩm "Cơ sở" của Ơclít trở đi đến hết thế kỷ XVI, toán học không tiến xahơn được bao nhiêu, chỉ đến thế kỷ XVII toán học mới bắt đầu vượt xa hơnthời kỳ cổ đại

Giai đoạn thứ ba trong sự phát triển của toán học được bắt đầu từthế kỷ thứ XVII Thời kỳ Phục hưng ở châu Âu đã giải phóng cho xã hộiloài người thoát khỏi những sự kìm hãm của chế độ phong kiến, mở đườngcho khoa học và công nghệ phát triển Nhu cầu nghiên cứu các dạng vậnđộng cơ học và vật lý đã thúc đẩy toán học bước sang mét giai đoạn mới.Những vấn đề như vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào đó là phương pháptọa độ của Đêcactơ đã làm nảy sinh và phát triển mạnh mẽ các phép tính viphân, tích phân Có thể nói rằng, vào thời kỳ này sự vận động đã thực sự đivào toán học Trọng tâm của toán học hướng vào việc nghiên cứu sự biếnthiên của các hàm số theo các biến số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyênhàm và tích phân Phương pháp tọa độ đã cho phép biểu diễn các hàm sốbằng đồ thị, chính điều đó làm nảy sinh ra hình học giải tích rồi hình học viphân Những khái niệm như đạo hàm, tích phân được liên hệ chặt chẽ vớicác khái niệm tiếp tuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích, v.v Nhữngbài toán cơ học, vật lý làm nảy sinh vấn đề tìm các hàm số chưa biết căn cứ

vào các mối liên hệ giữa các hàm số đó và các đạo hàm của chúng do cácđịnh luật cơ học, vật lý cung cấp Từ đó các phương trình vi phân thường

và các phương trình đạo hàm riêng ra đời Ăngghen viết: "Đại lượng khảbiến của Đêcactơ đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học Với đạilượng đó, vận động và biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân

và tích phân đã lập tức trở thành cần thiết" [30, tr 756]

Sự sáng lập các phép tính vi phân và tích phân gắn liền với tên tuổicủa các nhà bác học Niutơn và Lepnitxơ, chính là bước quyết định trong sựphát triển của toán học về các đại lượng biến thiên Nhờ đó, khoa học đãnhận được một công cụ rất mạnh cho việc nghiên cứu định lượng các quátrình Trong mối liên hệ đó, vào thời kỳ cận đại, việc áp dụng toán học vào

tự nhiên học chính xác tăng lên rất nhiều Giải tích toán học từ đó trở thànhcái kênh chính, qua đó toán học ảnh hưởng đến khoa học tự nhiên

Tư tưởng biến thiên còn ảnh hưởng đến hình học về phương diệnxem xét các phép biến hình; điểm mấu chốt là ở đây đã lợi dụng các bấtbiến trong các phép biến hình để biến một bài toán khó thành một bài toán

dễ hơn bằng cách thay hình đã cho bằng ảnh của nó qua một phép biến hìnhhợp lý để giữ nguyên các quan hệ đang xem xét nhưng đem lại nhiều thuậnlợi nhất cho việc giải bài toán thông qua ảnh đó Mở đầu là việc xem xétnhững bất biến qua các loại phép chiếu trong hội họa và kiến trúc trongviệc vẽ bản đồ, v.v., rồi từ những bất biến đó mà phân loại các khái niệm,các tính chất ra thành những khái niệm, tính chất kèm theo các tính từ nhưMêtric, afin, xạ ảnh, bảo giác, v.v Sự phân loại này tạo ra nhiều thuận lợi

cả trong những bài toán lý thuyết, những bài toán quỹ tích và dựng hình

Một điểm đáng lưu ý trong thời kỳ này là việc nghiên cứu sự phụthuộc số lượng giữa các đại lượng khác nhau vẫn chiếm vị trí hàng đầu.Chính vì thế, nhiều nhà bác học lúc đó đã xem toán học như là khoa học vềcác đại lượng Chẳng hạn, nhà toán học Alembecxơ nhận xét rằng, toán học

như là một khoa học nghiên cứu các tính chất của các đại lượng, bởi vìchúng đếm được và đo được Nhưng đồng thời trong thời gian đó, các nhàbác học có tầm nhìn xa hơn lại cho rằng, đối tượng của toán học không thểhạn chế trong việc nghiên cứu các đại lượng Chẳng hạn, Đêcactơ, mặc

dù thừa nhận toán học là khoa học về đại lượng và đo lường, nhưng đồngthời ông cũng nhấn mạnh giá trị to lớn của quan hệ thứ tự đối với nó Nhìnchung, Đêcactơ, Lepnitxơ và một số các nhà toán học khác đã nhìn thấybản chất của toán học trong phương pháp suy diễn của nó nhiều hơn làtrong nội dung của nó Chính vì vậy, các ông đều cho rằng, toán học có thểđược áp dụng không chỉ đối với các đại lượng, mà còn đối với các đốitượng muôn hình muốn vẻ khác, trong đó bao gồm cả các suy luận, songnhững ý tưởng đó đã vượt xa thời đại của mình, nên chúng đã không đượcthừa nhận và phổ biến

Tóm lại, với sự phát triển của cơ học, thiên văn, vật lý, vận động đã

đi vào trong toán học làm nảy sinh ra các phép tính vi phân, tích phân làmnền tảng cho lý thuyết các hàm số thực và số phức, lý thuyết các phươngtrình vi phân thường và các phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết cácchuỗi, hình học giải tích và hình học vi phân cùng với các phép biến đổihình học Toán học đã phát triển rực rỡ trong các thế kỷ XVII và XVIII,nhưng đối tượng của nó vẫn là các số và các hình theo nhận thức thôngthường Toán học đó mới chỉ phục vụ chủ yếu cho cơ học, thiên văn học,vật lý học cổ điển và cho các lĩnh vực kỹ thuật vận dụng ba lĩnh vực khoahọc này Ph.Ăngghen viết:

Trước hết là thiên văn học, một ngành đã vì thời tiết màtuyệt đối cần thiết cho những dân téc chăn nuôi và làm ruộng.Thiên văn học chỉ có dùa vào toán học mới phát triển được Do

đó mà người ta phải nghiên cứu cả toán học - Sau đó, đến mộtgiai đoạn phát triển nhất định của nông nghiệp và trong những

khu vực nhất định (đưa nước lên để tưới ruộng ở Ai Cập), vànhất là cùng với sự xuất hiện những thành phố, những công trìnhxây dựng lớn, và cùng với sự phát triển của thủ công nghiệp thì

cơ học cũng phát triển theo Chẳng bao lâu, cơ học lại trở nên cầnthiết cho cả hàng hải và chiến tranh Cơ học cũng cần sự giúp đỡcủa toán học và do đó thúc đẩy toán học phát triển [30, tr 659].Thời kỳ thứ tư của sự phát triển toán học, còn gọi là giai đoạn toánhọc hiện đại, bắt đầu từ thế kỷ XIX và tiếp tục cho đến ngày nay Đâychính là giai đoạn mà toán học được coi là khoa học nghiên cứu về các cấutróc toán học trừu tượng Giai đoạn đầu của thời kỳ này gắn liền với các phátminh của nhà toán học người Nga vĩ đại là Lôbasepxki và nhà toán họcngười Hunggari là Bôliai về hình học phi Ơclít Những phát minh này có thểđược xem như là bước ngoặt quyết định toàn bộ kiểu cách tư duy toán họccủa thế kỷ XIX Ý nghĩa có tính nguyên tắc của các phát minh này là ở chỗchúng mang lại khả năng mở rộng và tổng quát hóa một cách cơ bản đốitượng của các nghiên cứu hình học Điều đó đã được thể hiện ở mấy điểmsau đây:

Thứ nhất, khi ta thay một số tiên đề của Ơclít bằng các tiên đề khác,

ta có thể nhận được các hệ thống hình học phi Ơclít khác nhau Chẳng hạn,Lôbasepxki và Bôliai khi thay tiên đề về đường thẳng song song của Ơclítbằng một tiên đề đối lập lại (qua một điểm cho trước ta có thể kẻ được Ýtnhất hai đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước trên mộtmặt phẳng) các ông đã xây dựng được hệ tiên đề của hình học phi Ơclít màngười ta thường gọi là hình học Hypebôlic Còng như vậy, trong hình họcEliptic của Rieman thì hoàn toàn không tồn tại các đường thẳng song song

Thứ hai, chóng ta có thể gắn cho các khái niệm cơ sở và các tiên đề

của hình học Ơclít những sự giải thích rất khác nhau và do đó, có thể xemchúng như là các cấu trúc trừu tượng nào đó Bản thân Ơclít chỉ cho một sự

giải thích duy nhất đối với các tiên đề Ông xem hình học của mình như làmột lý thuyết mô tả các tính chất toán học của không gian xung quanhchóng ta Việc từ bá quan điểm hẹp hòi như thế, thừa nhận khả năng có các

sự giải thích khác nhau đối với các hệ tiên đề có một ý nghĩa hết sức to lớncho sự tổng quát hóa đối tượng hình học

Thứ ba, sù tổng quát hóa đối tượng hình học có thể đạt được theo

con đường tăng số chiều của không gian Cùng với không gian ba chiềuthông thường, ta có thể xây dựng các loại không gian nhiều chiều khácnhau, thậm chí vô hạn chiều trừu tượng Các không gian trừu tượng nhiềuchiều và vô hạn chiều đã được áp dụng có hiệu quả trong nhiều vấn đề củavật lý lý thuyết và hóa lý

Điều kiện chín muồi để xuất hiện tư tưởng có thể thay thế tiên đề vềđường thẳng song song của Ơclít bằng một tiên đề phủ định nó, còn có cơ sởtriết học sâu sắc của nó Như chúng ta đã biết, xét về mặt triết học, vào thời kỳ

đó quan niệm về không gian đã có những thay đổi căn bản Không giankhông còn được quan niệm đơn giản như là một cái lồng bao la nhốt chúng

ta, mà là một hình thức tồn tại của vật chất, nên tính chất của không gian ở

vùng nào thì tùy thuộc vào quy luật bố trí các phần tử vật chất ở trong vùngđó; chẳng hạn, nếu các phần tử vật chất được bố trí theo hình cầu thì ta cóhình học cầu, còn nếu bố trí theo mặt phẳng thì ta có hình học phẳng

Thời kỳ mới của sự phát triển toán học cũng đã làm thay đổi về chấtkhoa đại số học Nếu như trước đây đại số ưu tiên nghiên cứu các vấn đềgắn liền với việc giải các phương trình, thì bây giê trung tâm chú ý của nó

là nghiên cứu các phép toán đại số khác nhau được cho trong các tập hợpvới bản chất tùy ý Đương nhiên, không phải trước kia đại số không nghiêncứu các phép toán, cộng, trừ, nhân, chia, v.v., nhưng trước đây người ta chorằng các phép toán này chỉ liên quan tới các đại lượng, còn đối tượng của lýthuyết đại số hiện đại thì là các cấu trúc khác nhau đủ loại Trong mối liên

hệ đó, không Ýt các đại số được sáng tạo một cách đặc biệt với các quy tắctính hoàn toàn khác đối với các quy tắc tính trên các số Tất cả các điều đó cho

ta khả năng mở rộng rất nhiều phạm vi ứng dụng của các phương pháp đại số

Phương pháp trừu tượng như thế đối với các đối tượng nghiên cứucủa đại số và hình học đã nhận được sự biểu đạt đầy đủ nhất trong lý thuyếttập hợp Trong lý thuyết đó các phần tử của tập hợp có thể là các đối tượngtùy ý nào đó, nên đối tượng của một bộ môn toán học bất kỳ có thể đượcxác định nhờ một hệ tiên đề nào đó biểu diễn quan hệ giữa các phần tử này

Thời kỳ hiện đại của sự phát triển toán học chứng tỏ một cách hếtsức rõ ràng rằng, cách nhìn cũ xem toán học như một khoa học về các đạilượng, không thể coi là đúng đắn được nữa Đối với toán học hiện đại, cáchtiếp cận tổng quát đối với đối tượng nghiên cứu là một đặc điểm rất rõ nét

Ở đây chỉ có bản thân cấu trúc các quan hệ số lượng của các đối tượng

được nghiên cứu là quan trọng Các nhà toán học hiện đại coi các cấu trúc toán học là đối tượng cơ bản Tất cả các cấu trúc đó đều có cái chung là

được áp dụng cho các tập hợp đối tượng khác nhau, mà bản chất cụ thể củachúng còn chưa rõ ràng và chưa phân biệt đối với mục đích nghiên cứutoán học Trong toán học hiện đại, để xây dùng một cấu trúc, thông thườngngười ta chỉ ra một số vấn đề cơ bản như sau:

Thứ nhất, chỉ ra một hoặc một số quan hệ mà các phần tử của nó

nằm trong đó Các quan hệ này cũng có thể khác nhau Chẳng hạn, trong cấutrúc đại số của lý thuyết nhóm thì quan hệ như thế có thể là quy luật hợpthành, quy luật cho ta khả năng tìm phần tử thứ ba như là hàm của hai phần

tử khác Trong các cấu trúc số, thì điều đó có thể là quan hệ thứ tự, v.v

Thứ hai, quan hệ được xét trong cấu trúc được coi là thỏa mãn các

điều kiện nào đó được diễn đạt dưới dạng hệ tiên đề Khi đó, việc xây dựng

lý thuyết cho một cấu trúc đã cho chung quy là rót ra các hệ quả lôgíc từ

các tiên đề đã thừa nhận Trong khi nghiên cứu quá trình và các hiện tượngthực tế, nhà toán học có thể sử dụng các cấu trúc này như là các công cụsẵn có Trong khi khẳng định rằng, các yếu tố của hoàn cảnh thực tế đượcxét, thỏa mãn các tiên đề của một cấu trúc xác định, thì sau đó nhà toán học

có thể sử dụng tất cả các định lý được rót ra từ các tiên đề Điều này đã làmgiảm nhẹ rất nhiều quá trình nghiên cứu Ở đây, một câu hỏi được đặt ra:

Vì sao các cấu trúc toán học lại phù hợp với "thực tế thực nghiệm"? Chúng

ta chỉ có thể nhận được câu trả lời đúng đắn cho vấn đề này, nếu ta xuấtphát từ sự thừa nhận nội dung khách quan của các cấu trúc toán học và đốitượng toán học nói chung Chính các quan hệ số lượng và các hình thứckhông gian của thế giới hiện thực được phản ánh trong các cấu trúc toánhọc Chúng hoàn toàn không phải là những sự sáng tạo tùy ý, mà bản thânchúng có tính chất khách quan, tồn tại một cách độc lập với ý thức củachúng ta Hoàn toàn rõ ràng rằng, trong thực tế, các cấu trúc toán họckhông tồn tại một cách riêng biệt dưới dạng thuần túy Nhưng trong nghiêncứu khoa học, chúng ta có thể tạm thời lãng quên điều đó và xem xét chúngmột cách riêng biệt Có thể nói rằng, tính hợp lý của phương pháp nêu trên

có cơ sở trong chính bản thân hiện thực Chúng ta có thể trừu tượng hóađược các đặc tính về chất của các đối tượng và các quá trình là do trongbản thân thế giới khách quan, trong bản thân các đối tượng và các quá trìnhtồn tại các quan hệ mà trong phạm vi đã biết không phân biệt về chất Cấutrúc của các quan hệ như thế là như nhau, hoặc như các nhà toán họcthường nói đó là đẳng cấu đối với các sự vật rất khác nhau về nội dung cụthể

1.1.2 Đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học

Trong khoảng thời gian nhiều thế kỷ giữa những người đại diện choquan điểm duy vật và duy tâm về đối tượng của toán học đã diễn ra một cuộcđấu tranh rất quyết liệt Nhưng dù ở đâu và cho dù cuộc đấu tranh Êy mở rộng

đến đâu đi chăng nữa, nó vẫn xoay quanh vấn đề: Đối tượng của toán học

là gì? Mối quan hệ giữa toán học với thế giới hiện thực diễn ra như thếnào?

Như chóng ta đã biết, đối với các nhà duy tâm chủ quan, nhữngkhái niệm cơ bản và những quy luật toán học chỉ là sản phẩm sáng tạo tự

do của tư duy thuần túy, là những ký hiệu thuận tiện cho hoạt động nhậnthức và thực tiễn, còn đối với các nhà duy tâm khách quan thì chúng có bảnchất riêng, tồn tại độc lập với thế giới hiện thực

Theo quan điểm duy vật biện chứng, những khái niệm và quy luậtcủa toán học chính lá kết quả thu được nhờ sự trừu tượng hóa và khái quáthóa từ những sự vật cụ thể và những tính chất của chúng Trong tác phẩm

"Biện chứng của tự nhiên", Ăngghen đã đưa ra định nghĩa kinh điển về đối

tượng hiện thực của toán học như sau: "Đối tượng của toán học thuần túy

là những hình không gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiệnthực" [30, tr 59] Để hiểu rõ bản chất của định nghĩa này, chúng ta hãy đisâu tìm hiểu một số thuật ngữ trong đó như: Số lượng, quan hệ, hình dạngv.v Theo quan điểm duy vật biện chứng, "số lượng" là phạm trù triết họcdùng để chỉ độ lớn nhỏ, quy mô, trình độ, tốc độ của sự vật Số lượng làtính quy định khách quan của sự vật, nhờ đó ta có thể phân chia nó (trênthực tế hoặc trong tư duy) thành những bộ phận cùng loại và có thể tập hợpcác bộ phận đó lại làm một "Quan hệ" cũng là một phạm trù triết học nóilên sự phụ thuộc lẫn nhau của các yếu tố trong một hệ thống nhất định, đó

là một trong những hình thức của sự thống nhất của các đối tượng và cácthuộc tính của chúng Như vậy, quan hệ số lượng là quan hệ để chỉ mối liên

hệ giữa các phần tử hay giữa các bộ phận cấu thành các sự vật và hiệntượng của thế giới hiện thực "Hình dạng" là đường viền tưởng tượng baoquanh một vật thể hữu hình, cho ta cảm nhận chung về sự hiện diện trướcmắt, còn "không gian" dưới góc độ triết học được quan niệm là hình thức

tồn tại cơ bản của vật chất Khái niệm "không gian" dùng để chỉ sự cùngtồn tại và tính tách biệt của các sự vật với nhau, quảng tính, tính có cấu trúc

và trật tự phân bố của chóng

Xuất phát từ những quan niệm trên chúng ta nhận thấy rằng, đốitượng của toán học có nguồn gốc từ thế giới hiện thực và định nghĩa củaĂngghen là hoàn toàn có cơ sở khoa học Để giải quyết vấn đề cơ sở củatoán học, Ăngghen đã đứng trên lập trường của chủ nghĩa duy vật biệnchứng khẳng định rằng, lao động giữ vai trò quyết định trong quá trình pháttriển tư duy của con người Đồng thời, theo Ăngghen, cơ sở chủ yếu nhất

và gần gũi nhất của tư duy con người chính là sự cải tạo tự nhiên do hoạtđộng thực tiễn của con người, cùng với điều đó, trí tuệ của con người đượcphát triển phù hợp với việc họ đã học tập cách thức cải tạo tự nhiên như thếnào Trên cơ sở đó, khi giải quyết vấn đề đối tượng của toán học, Ăngghen

đã chú ý đến tính hai mặt của nó Theo ông, toán học là một khoa học trừu tượng, nó nghiên cứu những đối tượng trừu tượng, mặc dù những đối tượng Êy suy cho cùng đều phản ánh hiện thực khách quan Các trừu tượng

toán học như số, điểm, đường, các nhóm, các cấu trúc v.v chính là đốitượng trực tiếp của toán học Đồng thời, Ăngghen cũng nhấn mạnh rằng, sựnghiên cứu các đối tượng trừu tượng không phải là mục đích tự thân củatoán học, mà chung quy lại toán học có nhiệm vụ của mình là phản ánhhiện thực Từ đó, đối tượng trực tiếp của toán học có mối liên hệ chặt chẽvới sự nghiên cứu những hình thể xác định của các mặt của thế giới hiệnthực, đó là: Tự nhiên, xã hội và nhận thức của con người Tất cả những cái

đó có thể xem như là đối tượng gián tiếp của toán học

Tóm lại, đối tượng trực tiếp của toán học chính là các hệ thống các

trừu tượng toán học, nó được hiểu là tập hợp các đối tượng trừu tượng cùng

với các quan hệ tồn tại giữa chúng Những đối tượng nói trên được lý

tưởng hóa, có nghĩa là chúng là những đối tượng lý tưởng không tồn tại

trong hiện thực khách quan, mà toán học thiết lập chúng để phản ánh thếgiới hiện thực Đối tượng trực tiếp của toán học rất trừu tượng, phong phú

và đa dạng, nhưng chúng ta có thể nhận biết được nó nhờ các tính chất cótrong định nghĩa của nó Nếu như đối tượng trừu tượng là cái tương tự vớiđối tượng hiện thực, thì nó chỉ mô tả một số khía cạnh nhất định của kháchthể vật chất bằng các tính chất đặc biệt nào đó được trừu tượng hóa khỏi tất

cả các tính chất còn lại của đối tượng vật chất đó Những đối tượng vật chất

là những khách thể tồn tại một cách khách quan, chúng luôn luôn có nộidung và hình thức xác định Trong toán học mối quan hệ giữa nội dung vàhình thức được thể hiện một cách độc đáo Những khái niệm toán học đãđược hình thức hóa và khái quát hóa ở mức độ rất cao, chính vì vậy chúng

có thể phản ánh rất nhiều nội dung thuộc các lĩnh vực khác nhau Do vậy,

có thể nói rằng, trong toán học chúng ta tạm lãng quên nội dung để tìm thấynội dung mới ở trình độ cao hơn Ăngghen viết:

Nhưng để có thể nghiên cứu những hình thức và nhữngquan hệ Êy dưới dạng thuần túy thì người ta phải hoàn toàn táchchúng ra khỏi nội dung của chúng, gạt nội dung Êy sang một bên

và coi nó như một cái gì đó không quan trọng, làm như vậy, ta cóđược những điểm không có kích thước, những đường không cóchiều dài và chiều rộng, những a và b, x và y, những hằng số vànhững biến số và chỉ sau cùng người ta mới đi đến những sản vậtcủa sự sáng tạo tự do và những tư tưởng tự do của bản thân lýtính, tức là những số ảo [30, tr 59]

Như vậy, rõ ràng rằng, trên thực tế cả khái niệm và cả đối tượngtrừu tượng được thiết lập nhờ khái niệm đó đều dùa vào cùng một số dấuhiệu xác thực Vì vậy, chúng ta có thể suy luận về các đối tượng trừu tượngtrên cơ sở định nghĩa các khái niệm tương ứng Ví dụ, chúng ta có thể suy

luận về hình vuông dùa vào định nghĩa khái niệm hình vuông Trên cơ sở

đó, trong toán học người ta thường nhận được những tri thức mới bằng conđường suy luận lôgíc từ những định nghĩa và từ những khái niệm về cáchình dạng tương ứng Như vậy, toán học thuần túy có tính chất suy luận trừutượng một cách thuần túy

Các đối tượng trực tiếp của toán học không chỉ đơn thuần là nhữngđối tượng trừu tượng mà chúng còn là những đối tượng được lý tưởng hóa.Những đối tượng được lý tưởng hóa là những đối tượng trừu tượng, chúngđược xác định dùa vào các dấu hiệu, mà các dấu hiệu này có thể hữu hạnhoặc vô hạn Trong toán học, sự lý tưởng hóa thường có ở việc đưa các đặc

điểm số lượng của các đối tượng hiện thực tới những giới hạn nhất định Ví

dụ, đối tượng là điểm thì cả ba kích thước của khách thể hiện thực đượcđưa tới 0, còn đối với đường thì một kích thước đi tới vô hạn, còn hai kíchthước tiến tới 0

Trên thực tế, sự lý tưởng hóa ở các mức độ khác nhau thường diễn

ra trong tất cả các khoa học Điều này được giải thích rằng, các khoa họctrong khi nghiên cứu các đối tượng vật chất, đã thiết lập trực tiếp các quyluật của mình cho các đối tượng được lý tưởng hóa ở một mức độ nhất địnhnào đó Khoa học càng chính xác thì sự lý tưởng hóa các đối tượng đượcnghiên cứu bởi nó càng có tính chất hệ thống hơn Chẳng hạn, cơ học cổđiển chỉ có quan hệ với các trừu tượng hóa của vật thể như: điểm vật chất,vật thể rắn tuyệt đối và chất lỏng lý tưởng Như vậy, trong toán học sự lýtưởng hóa có ý nghĩa đặc biệt, bởi vì đối tượng của toán học chỉ là các quan

hệ số lượng và hình thức không gian của thế giới hiện thực được tách ra ởdạng thuần túy, có nghĩa là được trừu tượng hóa khỏi nội dung của chúng.Nhà toán học người Nga là Alecxanđrov đã nhận xét rằng, hình thức đượctrừu tượng hóa khỏi nội dung với tư cách như một khách thể độc lập, do đó,đối tượng trực tiếp của toán học chính là những số, chứ không phải tổng số

các đối tượng và là những hình hình học chứ không phải là vật thể hiệnthực trong tự nhiên Ví dụ, trong tự nhiên có những mối liên hệ đa dạng củacác đại lượng biến thiên, dạng thuần túy của mối liên hệ đó được thể hiệntrong toán học như là những đối tượng lý tưởng - đó là hàm số, v.v

Trong lịch sử toán học, vấn đề tồn tại của đối tượng toán học luônluôn được nhiều trường phái triết học quan tâm đến, chẳng hạn, các số 1,các không gian n chiều và vô số chiều tồn tại theo nghĩa nào, v.v Từ quanđiểm mácxít về đối tượng hiện thực và đối tượng trực tiếp của toán học, lẽđương nhiên, chúng ta không thể quy đối tượng toán học về các đồ vật đơnnhất được tri giác cảm tính như quan điểm duy tâm chủ nghĩa Về vấn đềnày, trong tóm tắt "Các bài giảng về lịch sử triết học của Hêghen", Lênin

đã phê phán quan điểm của trường phái Pitago về sự tồn tại của đối tượngtoán học, trong đó ông phủ nhận sự đồng nhất của các số với những cái cụthể Đồng thời, những thãi quen coi đối tượng toán học như các đồ vật củathế giới hiện thực, tồn tại không phụ thuộc vào nhà toán học đã gây ra rấtnhiều trở ngại, thậm chí sai lầm nghiêm trọng không những về nhận thức

mà còn cả về phương diện lôgíc Chính thãi quen đó là nguồn gốc củanhững bế tắc trong việc xây dựng cơ sở và thiết lập các lý thuyết toán học.Chẳng hạn, nhà khoa học người Đức H Hecxơ đã từng nói về đối tượngcủa toán học như sau: "Không thể loại bỏ được sự cảm nhận rằng, các côngthức toán học tồn tại không phụ thuộc vào chúng ta và có lý trí riêng, rằngchúng khôn ngoan hơn chúng ta, khôn ngoan hơn ngay cả những người tìm

ra chúng, rằng chúng ta khai thác được ở chúng nhiều hơn cái lúc đầuchúng ta đặt vào đó" [77, tr 112] Nếu quan niệm như trên thì việc đi tớichỗ thừa nhận "vật chất biến mất" chỉ "còn lại những phương trình" làmột khoảng cách rất gần

Xét về bản chất, đối tượng trực tiếp của toán học khác cơ bản vớiđối tượng của các khoa học khác Nếu đối với các khoa học tự nhiên,việc chỉ ra đối tượng nghiên cứu của chúng Ýt nhiều đơn giản, thì trongtoán học công việc đó phức tạp hơn nhiều Trình độ của tính gián tiếp vàtính trừu tượng của các khái niệm và lý thuyết trong toán học cao hơnnhiều ở các khoa học tự nhiên Mỗi khái niệm toán học là một cái gì đótrừu tượng so với hình ảnh cụ thể, cảm tính của các đồ vật và với tư cách

là cái như vậy, nó là sản phẩm của sự vận động cụ thể trong hiện thựcđến trừu tượng trong ý thức Chẳng hạn, khi đếm số lượng các ghế trongphòng, chúng ta chỉ quan tâm đến số của chúng chứ không quan tâm đếnhình dạng, màu sắc, kích thước, có nghĩa là chúng ta chỉ quan tâm đếnmột điều là liệu có đủ ghế cho một số người xác định ngồi hay không

Chủ nghĩa duy vật mácxít cho rằng, các đối tượng toán học trừu tượngkhông tồn tại giống như đối tượng độc lập nằm giữa chủ thể và đối tượng hiệnthực, bởi vì chúng chỉ là những hình thức thể hiện của hiện thực và bảnthân hiện thực xuất hiện không phải là tập hợp các sự vật đơn nhất, mà xuấthiện như một tổng thể phức tạp phân chia thành các bộ phận bên trong nó.Nếu chúng ta biến các phương tiện để biểu diễn đối tượng toán học thànhbản thân các đối tượng hiện thực là không đúng Các đối tượng toán họctrừu tượng không phải là đối tượng của nhận thức, mà là cái cần có trongđầu óc con người để trong thực tế có thể nhìn thấy khía cạnh này hay khíacạnh khác của các quan hệ số lượng và các hình thức không gian Như vậy,

sự tồn tại của các đối tượng trực tiếp toán học luôn luôn gắn liền với sự phản ánh các quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực.

Quan điểm cho rằng toán học chỉ quan hệ với thực tại thông qua cácđối tượng trừu tượng của bản thân toán học sẽ đóng khung các nhà khoahọc trong khuôn khổ của các mảnh thực tại đã được lý tưởng hóa và không

thể giải thích được sự kiện gia tăng của các tri thức toán học Nhận thứctoán học quan hệ không phải với các đối tượng trừu tượng, mà là với cáchình thức không gian và quan hệ số lượng của thực tại Nếu chúng ta chỉthao tác một cách độc lập các đối tượng toán học trừu tượng, mà không liên

hệ gì với hiện thực khách quan thì không thể đi tới những kết quả mới Bảnthân các đối tượng toán học trừu tượng chỉ là sản phẩm "tĩnh tại" của nhậnthức và chỉ khi nào gắn liền với mặt này hay mặt khác của thực tại, chúngmới trở nên sinh động, phong phó

Đối tượng trực tiếp của toán học đóng vai trò quan trọng trong việchình thành các quy luật của lý thuyết toán học, bởi vì, các mối quan hệtrong toán học luôn luôn hiện diện một cách trực tiếp như là hệ thống cácmối quan hệ giữa các đối tượng trừu tượng nào đó Ví dụ, các tiên đề hìnhhọc được thiết lập một cách trực tiếp để phản ánh các mối quan hệ như tínhliên thuộc, tính thứ tự, tính song song, tính liên tục, tính toàn đẳng, v.v củacác đối tượng hình học lý tưởng như điểm, đường, mặt, v.v Những mối quan

hệ đó đã phản ánh một cách gần đúng mối quan hệ của các vật thể hiện thực

Từ lập trường duy vật mácxít, chúng ta nhận thấy rằng, toán họccũng như tất cả mọi khoa học, suy cho cùng đều nghiên cứu thế giới vật chấtthực tại, chính vì thế trong các khái niệm và các quy luật của toán học đãphản ánh tính quy luật của thế giới đó Nhưng trên thực tế, sự nghiên cứucủa toán học có những nét đặc thù Điều đó được thể hiện ở chỗ, trong khicác khoa học khác nhau về tự nhiên nghiên cứu hoặc là một dạng riêng biệtcủa vận động vật chất (như cơ học) hoặc mét sè dạng liên hệ với nhau (nhưsinh hóa), toán học không nghiên cứu một dạng đặc biệt nào của vận động vậtchất Điều này đã được Ph.Ăngghen khẳng định trong định nghĩa kinh điển:Đối tượng của toán học thuần túy là những hình không gian và những quan

hệ số lượng của thế giới hiện thực Như vậy, đặc thù của toán học với tưcách là một khoa học riêng biệt là ở chỗ, toán học tách riêng một cách đặc biệt

các quan hệ số lượng và các hình dạng không gian vốn có trong tất cả các đối tượng và các hiện tượng, đồng thời biến chúng thành đối tượng nghiên

cứu của mình Như vậy, toán học có một bình diện áp dụng hết sức rộng rãi,chính điều này đã gắn liền với tính trừu tượng và phiến diện của toán học

Từ việc xem xét toán học như là khoa học về các quan hệ số lượng

và các hình dạng không gian của thế giới hiện thực đã cho chóng ta khảnăng hiểu một cách đúng đắn nội dung khách quan của đối tượng toán học,cũng như khả năng nắm được xu hướng chung của sự phát triển toán học

Để làm sáng tỏ thực chất của vấn đề, trước hết chúng ta cần phải hiểu mộtcách khoa học các quan hệ số lượng và số lượng nói chung Trước đây, đãtừng có một thời kỳ khá dài, có thể nói đến giữa thế kỷ XIX, người ta vẫnhiểu số lượng là đại lượng Điều này có nguyên nhân của nó, bởi vì trên thực

tế mỗi đại lượng thông qua đơn vị đo lường đã chọn đều có thể biểu thị bởimột số, nên đã có rất nhiều sự mô tả về đại lượng liên tưởng với khái niệm

số Từ cách nhìn đó, toán học được định nghĩa như là một khoa học nghiêncứu những sự phụ thuộc khác nhau giữa các đại lượng hoặc giữa các sốbiểu thị chúng Nhưng có một thực tế rất rõ ràng là: Cho dù các loại đại lượngkhác nhau, và sự phụ thuộc giữa chúng có quan trọng đến đâu đối với cácứng dụng hiện thực của toán học, thì chúng cũng không thể bao trùm toàn

bé sự đa dạng của các quan hệ số lượng và hình dạng không gian khácnhau

Trong toán học nói chung, các khái niệm của số và hình phản ánhquan hệ về lượng đơn giản nhất, bởi vì, các hình trong không gian thôngthường là đối tượng đầu tiên của sự nghiên cứu hình học, cho nên theo thãiquen, các quan hệ và các tính chất mà hình học nghiên cứu được thừa nhận

là các dạng không gian Nhưng rõ ràng các hình trong không gian trừutượng nhiều chiều hoặc vô hạn chiều không thể đồng nhất với các hình củakhông gian ba chiều thông thường Mặc dù những hình đó phản ánh các

tương quan thực tế nào đó của thế giới thực tại, nhưng không phải là cácdạng không gian theo ý nghĩa thông thường của ngôn ngữ.

Nhà toán học hiện đại người Nga là A.N Kolmôgôrôv cho rằng,chúng ta có thể xem các dạng và các quan hệ không gian bất kỳ như làtrường hợp riêng của các quan hệ số lượng, bởi vì chúng biểu thị đặc tínhcủa đối tượng và hiện tượng chỉ ở bề ngoài, không phân biệt về nội dung cụthể của chúng Việc tách biệt các dạng không gian từ líp tổng quát các quan

hệ về lượng chỉ nhấn mạnh đặc điểm của các dạng này và chỉ ra tính độclập tương đối của hình học trong hệ thống toán học Với quan điểm đó,chúng ta có thể xác định một cách ngắn gọn rằng, toán học là một khoa học

về các quan hệ số lượng của thế giới hiện thực, tức là các quan hệ mà trongphạm vi nhất định không tùy thuộc nội dung cụ thể của các đối tượng vàcác hiện tượng Tóm lại, tư tưởng về tập hợp, ánh xạ, đẳng cấu với phươngpháp tiên đề hiện đại là tư tưởng lớn của thời đại, đặc trưng cho giai đoạn

"toán học hiện đại"

Theo quan điểm duy vật biện chứng, đối tượng trực tiếp của toánhọc là các hệ thống những đối tượng trừu tượng được lý tưởng hóa, khôngtồn tại trong hiện thực khách quan, chúng phản ánh nội dung phong phúcủa toán học Chủ nghĩa duy tâm đã vin vào điều này để khẳng định tínhthứ nhất của tư tưởng và hình thành quan niệm duy tâm triết học về toánhọc Bởi vậy, trong lịch sử phát triển của khoa học không phải ngẫu nhiên

mà số lượng những nhà toán học nổi tiếng, thậm chí rất lỗi lạc là những nhàduy tâm triết học lại lớn hơn rất nhiều so với số lượng những nhà duy tâmcủa các khoa học tự nhiên khác Điều này cũng dễ hiểu, bởi vì các khoa họcnhư vật lý học, hóa học, sinh vật học v.v khác với toán học ở chỗ, đốitượng trực tiếp của chúng là những khách thể vật chất cụ thể trong thế giớikhách quan Chính vì vậy, việc xem xét các đối tượng của chúng dễ hơn rấtnhiều so với đối tượng trừu tượng của toán học

Xuất phát từ quan niệm về tính thứ nhất của tư tưởng, triết học duytâm đã khẳng định rằng, đối tượng trực tiếp của toán học tồn tại độc lập vớithế giới vật chất, có trước thế giới vật chất, thậm chí sinh ra thế giới vậtchất, do đó đối tượng trực tiếp của toán học không liên hệ gì với hiện thựckhách quan Chẳng hạn, Platon quan niệm rằng, những khái niệm toán học

ở vị trí trung gian giữa thế giới của các vật có tri giác và thế giới của những

ý niệm, đồng thời chúng là những hình bóng yếu ớt của những ý niệm đó.Điều này chứng tỏ rằng, triết học duy tâm đã đưa ra cách giải quyết vấn đềmối liên hệ của toán học với hiện thực khách quan hoàn toàn trái ngược vớitriết học mácxít Ví dụ, theo quan điểm của Hê-ghen, tất cả các định nghĩatoán học và mọi sự phân chia các đối tượng thực tế do ý thức thực hiện đềukhông phù hợp cho bản thân đối tượng, mà chúng được ý thức đem đếnmột cách tùy ý và đều ở ngoài các đối tượng đó Ông khẳng định rằng, các

số kết hợp lại và phân chia ra như thế nào, điều đó hoàn toàn chỉ phụ thuộcvào sự giả định của người nhận thức

Trong thời kỳ cổ đại, khuynh hướng nổi bật là khuynh hướng coitoán học và các đối tượng của nó không phải như là những kiến tạo có cái

gì đó xa lạ với thế giới hiện thực được tri giác cảm tính, mà trái lại như làcác bộ phận cấu thành thế giới đó Quan điểm này thể hiện đặc biệt rõ néttrong quan niệm của trường phái Pitago về các số

Thời cổ đại, trường phái Pitago coi các số là khởi thủy của toàn bộnhững cái đang tồn tại Những người thuộc trường phái này đã cố gắng chỉ

ra trong các số và các quan hệ về số những nét tương tự với các hiện tượngcủa thế giới bên ngoài được tri giác cảm tính Đối với họ, tất cả các sự vậtcảm giác được, đều do các số hợp thành Còn đối với Platon, trong các đốithoại của ông đã thể hiện rất rõ khuynh hướng xây dựng vũ trụ theo mẫucác dạng thức toán học và những mẫu tương tự với chúng

Trong khi phê phán quan điểm duy tâm của trường phái Pitago,trong "Tóm tắt các bài giảng về lịch sử triết học của Hê-ghen" Lênin viết:

"Các số, chúng ở đâu? phân cách bởi không gian, liệu tự chúng có gia nhậpvào bầu trời của các ý niệm không? chúng không phải trực tiếp là bản thân

đồ vật bởi vì đồ vật lại là cái gì khác với sè - đồ vật không có tí gì giốngvới số" [25, tr 225]

Theo quan điểm của chủ nghĩa kinh viện, toán học được xem làkhoa học tiên nghiệm hoàn toàn độc lập với kinh nghiệm, thậm chí có trướckinh nghiệm Nếu quan niệm trên mà đúng thì mọi tri thức toán học hoàntoàn tách rời với những hoạt động thực tiễn của con người Do vậy, quanđiểm đó không thể đưa ra được những cơ sở khách quan để xem xét mốiquan hệ của toán học với thế giới hiện thực Ăngghen, trong khi phê phántriết học duy tâm về toán học, đã chỉ ra một tình tiết rất quan trọng để đi tớimột quan niệm đúng đắn về mối quan hệ của toán học và hiện thực Tìnhtiết đó được thể hiện ở chỗ, những quan hệ số lượng trong thế giới kháchquan được tách ra ở dạng thuần túy đòi hỏi phải được trừu tượng hóa khỏinội dung như là một đối tượng nghiên cứu Tuy nhiên, điều đó không cónghĩa là sự tồn tại của những quan hệ số lượng hoàn toàn ở ngoài nội dung

và ở ngoài hiện thực khách quan Trong khi trừu tượng hóa nội dung, chủnghĩa duy tâm đã tuyệt đối hóa khả năng trừu tượng hóa hình thức khỏi nộidung, thậm chí xem việc nghiên cứu hình thức là riêng biệt Từ đó, chủnghĩa duy tâm đã hoàn toàn tách rời các quan hệ số lượng khỏi thế giớihiện thực và coi chúng là tiên nghiệm, là độc lập tuyệt đối với hiện thực.Chẳng hạn, Poanhcarê là một nhà toán học, lý học người Pháp nổi tiếng,nhưng trong triết học ông lại có những quan điểm duy tâm Chẳng hạn, ông đãđưa ra những luận điểm: "Không phải giới tự nhiên đem lại cho chóng ta (hay

Ðp buộc chúng ta phải nhận) những khái niệm về không gian và thời gian, màchính chúng ta đem những khái niệm Êy lại cho giới tự nhiên"; "phàm cái

gì, không phải là tư tưởng đều là hư vô thuần túy" [24, tr 312] Xuất phát từ

cơ sở đó, ông quan niệm rằng, toán học chỉ là sản phẩm của hoạt động tự docủa trí tuệ con người

Như vậy, nếu như quan điểm duy tâm là đúng thì bắt buộc chúng taphải thừa nhận rằng, lịch sử toán học cũng như lịch sử của toàn bộ khoahọc không phải là một quá trình hợp quy luật Đồng thời cũng phải thừanhận rằng, sự phát triển của toán học là một dãy những khám phá ngẫunhiên, cái nọ theo sau cái kia, không một ai và không khi nào có thể thấytrước được tính chất liên tục và vị trí của chúng

Tóm lại, nếu như toán học chỉ là sản phẩm của tư duy thuần túy, làtiên nghiệm, là không cần phải liên quan gì đến các tính chất và các mốiquan hệ của thế giới hiện thực, thì câu hỏi xác đáng sau đây sẽ được trả lời

ra sao: Vì sao toán học lại được áp dụng một cách rộng rãi để giải quyếtnhững nhiệm vụ thực tiễn khác nhau? Từ lập trường của chủ nghĩa duytâm, chúng ta không thể nói gì về bất cứ mối liên hệ nào giữa toán học vớihiện thực và do đó đành phải thừa nhận rằng, nếu có mối liên hệ thì đó chỉ

là ngẫu nhiên Sự thật là toán học không nghiên cứu các quan hệ trực tiếpgiữa các đối tượng hiện thực và chính bản thân các đối tượng đó, mà chỉnghiên cứu các đối tượng trừu tượng Chính điều này đã là nguyên nhânđưa nhiều nhà khoa học giỏi về chuyên môn nhưng yếu kém về triết học điđến những kết luận duy tâm về mối tương quan giữa toán học và hiện thựckhách quan Ví dụ, chủ nghĩa trực giác tuyên bố rằng, toán học là khoa họchoạt động sáng tạo, phong phú về sự thiết lập các cấu trúc tưởng tượng, màkhông phải là khoa học nghiên cứu khía cạnh này hay khía cạnh khác của thếgiới vật chất Một trào lưu triết học khác là chủ nghĩa quy ước luận khẳngđịnh rằng, các đối tượng nghiên cứu của toán học không có quan hệ gì với thếgiới vật chất, mà chúng chỉ là sự thỏa thuận có điều kiện của các nhà toán

học với nhau, chúng không phải là cái gì khác, mà chỉ là các quy tắc của tròchơi độc đáo.

Theo lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, suy cho cùng toánhọc cũng như các khoa học khác chỉ là sự phản ánh hiện thực Chính vìvậy, những khái niệm toán học đều có nguồn gốc từ thế giới hiện thực vàliên hệ chặt chẽ với thế giới hiện thực Trong tác phẩm "Chống Đuy rinh",Ph.Ăngghen viết: "Những khái niệm về số lượng và hình dáng không thểrót ra từ đâu khác, mà chỉ là từ thế giới hiện thực mà thôi Mười ngón tay màngười ta dùng để tập đếm, nghĩa là để làm bài toán số học đầu tiên, có thể là

gì cũng được, nhưng không phải là sản phẩm mà lý tính tự do sáng tạo ra"[30, tr 58] Từ đó chúng ta nhận thấy rằng, bản chất của toán học như làmột khoa học nhận thức chính là ở sự phản ánh các quan hệ số lượng củathế giới hiện thực, những quan hệ này được tách khỏi hiện thực để nghiêncứu ở dạng thuần túy Nếu chỉ bằng cảm xúc thì chúng ta không thể nhậnthấy được những quan hệ đó, mà ta chỉ có thể tách chúng ra nhờ tư duytrừu tượng trên cơ sở tổng hợp và lý tưởng hóa

Để có được một quan niệm đúng đắn về đối tượng của toán học,cùng với việc phê phán chủ nghĩa duy tâm, chúng ta cũng cần phải chỉ ranhững sai sót cơ bản của cách tiếp cận siêu hình về bản chất của các lýthuyết toán học Theo quan điểm duy vật biện chứng, sự áp dụng rộng rãicủa toán học vào việc giải quyết những vấn đề cụ thể của thực tiễn và củacác khoa học khác đã được quy định bởi tính thống nhất vật chất của thếgiới, bởi mối quan hệ qua lại của các mặt: Nội dung và hình thức, cụ thể vàtrừu tượng, số lượng và chất lượng, v.v Toán học nghiên cứu các quan hệ

số lượng và các hình dạng không gian của thế giới hiện thực, những quan

hệ và hình dạng này phù hợp với những phạm vi đặc trưng về phương diệnchất lượng của hiện thực Đồng thời, chính những quan hệ rất đa dạng về

mặt chất lượng đã yêu cầu những lý thuyết toán học được thiết lập phải mô

tả chúng một cách phù hợp Như vậy, sự thống nhất, mối liên hệ qua lại vàtính toàn vẹn tồn tại trong thế giới khách quan đã tìm được sự thể hiện củamình trong sự thống nhất và đa dạng của tri thức toán học

Sự đa dạng về chất của các hiện tượng trong thế giới hiện thực, mốiliên hệ và sự thống nhất của chúng đã tìm được sự mô tả gián tiếp của mìnhtrong các bộ môn toán học khác nhau Chẳng hạn, toán học sơ cấp nghiêncứu các quan hệ số lượng giữa những đại lượng bất biến Việc chuyển sangnghiên cứu những đại lượng biến thiên đã dẫn đến sự ra đời bộ môn giảitích toán học Toán học hiện đại có thể được định nghĩa như một khoa học

về các quan hệ cấu trúc số lượng với bản chất đa dạng nhất Trong phạm vimỗi giai đoạn phát triển của toán học, ta có thể phân ra những bộ môn vànhững phần tương ứng Chẳng hạn, số học và hình học, đại số và giải tích,tôpô học và lý thuyết tập hợp, v.v Một vấn đề cần phải lưu ý là, trong khixem xét sự đa dạng về chất của các lý thuyết toán học, chúng ta thườngnhận thấy nổi lên một số sai lầm cơ bản do quan niệm siêu hình Thứ nhất,đằng sau sự đa dạng đó, người ta không nhìn thấy sự thống nhất và mối liên

hệ chặt chẽ giữa các lý thuyết toán học Từ đó những nhà triết học siêuhình đi đến kết luận rằng, dường như toán học hiện đại đã bắt đầu nghiêncứu những đặc điểm chất lượng của các đối tượng và các quá trình Trongkhi nhìn thấy một cách đích thực những biến đổi cơ bản trong toán họcngày nay, những nhà siêu hình đã quên mất một điều, trong toán học hiệnđại và tất cả toán học các giai đoạn trước đó, những đối tượng trực tiếp củachúng đã được trừu tượng hóa khỏi nội dung cụ thể của mình, đồng thời họcũng quên luôn cả mối liên hệ và sự phân biệt sâu sắc đang tồn tại trongviệc nghiên cứu các đại lượng và các đối tượng toán học trừu tượng hơn.Một sai lầm nữa của các nhà siêu hình là ở chỗ xem thường sự phân biệt vềchất giữa những quan hệ số lượng được nghiên cứu bởi những lý thuyết

toán học khác nhau Từ đó, họ đã bá qua luôn những sự phân biệt vốn có vềchất trong chính các quan hệ số lượng.

Ở đây cần phải thấy rằng, cách tiếp cận đúng đắn và khoa học đốivới vấn đề đã cho là xem xét một cách biện chứng mối quan hệ khôngnhững giữa toán học và các khoa học khác, mà còn giữa chính các lý thuyếttoán học với nhau Cách nhìn nhận như thế đòi hỏi phải tính đến các mốiliên hệ, sự thống nhất và sự phân biệt giữa các lý thuyết toán học và cácmôn khoa học khác Điều này đã được thể hiện rất rõ trong tác phẩm "Biệnchứng của tự nhiên" của Ăngghen:

Phép biện chứng được coi là khoa học về những quy luậtphổ biến nhất của mọi vận động Điều đó có nghĩa là những quyluật Êy phải có hiệu lực đối với vận động trong giới tự nhiên vàtrong lịch sử loài người cũng như đối với vận động của tư duy.Mét quy luật như thế có thể được nhận thức trong hai lĩnh vựccủa ba lĩnh vực đó, hay thậm chí trong cả ba lĩnh vực, mà anhchàng siêu hình cổ hủ vẫn không thể biết được rằng anh ta chỉgặp cùng một quy luật mà thôi [30, tr 768]

Theo V.I Lênin, sự nhận thức của con người không đi theo đườngthẳng, mà theo một đường cong tiến dần vô hạn tới một loạt các vòng tròn,theo một đường xoắn ốc Trên đường cong Êy, một đoạn bất kỳ, một mảnh,một mẩu của nó cũng có thể biến thành một đường thẳng độc lập một cáchphiến diện Nếu như lúc Êy chóng ta đứng ở đằng sau những cây lớn khôngthể nhìn thấy rừng, nó sẽ dẫn ta tới một vùng lầy, đến những định kiến tôngiáo thần bí Đồng thời, V.I Lênin nhấn mạnh rằng, tính chất theo đườngthẳng và phiến diện, tính méc mạc và thoái hóa, chủ nghĩa chủ quan và sự

mù quáng chủ quan, đó là những nguồn gốc của chủ nghĩa duy tâm

Tóm lại, chúng ta không thể đồng ý với những quan điểm phi mácxít

về việc xem xét sự nhận thức của toán học hoàn toàn tách khỏi tự nhiên vàtách khỏi những hoạt động thực tiễn của con người Vấn đề bản chất củađối tượng toán học chỉ được làm sáng tỏ khi đặt nó trong mối quan hệ vớithế giới hiện thực Tách rời toán học với hiện thực cũng có nghĩa là làmcho toán học không còn sức sống và mất hết khả năng ứng dụng

1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRỪU TƯỢNG HÓA TOÁN HỌC VÀ SỰ THIẾT LẬP NHỮNG KHÁI NIỆM XUẤT PHÁT CỦA TOÁN HỌC

Như chóng ta đã biết, đối tượng của toán học chính là các hình thứckhông gian và những quan hệ số lượng của thế giới hiện thực Đó là nhữnghình dạng và những quan hệ được tách ra ở dạng thuần túy và hoàn toàn đượctrừu tượng hóa khỏi nội dung của chúng Vì vậy, ở đây có một vấn đề cầnphải làm sáng tỏ, đó là: Những quan hệ số lượng và những hình thức khônggian được tách ra một cách thực sự khỏi nội dung của chúng bằng cách nào?Chính việc khảo sát các phương pháp cơ bản của sự trừu tượng hóa trongtoán học, mà nhờ đó ta có thể thiết lập được những khái niệm xuất phát củatoán học như số, hình, v.v., đã cho phép chúng ta khả năng hiểu tốt hơnquan hệ của các khái niệm toán học với hiện thực, đồng thời phân biệt được

sự trừu tượng hóa trong toán học với sự trừu tượng hóa trong các khoa họckhác

Từ việc xem xét quá trình lịch sử phát triển của toán học, chúng tanhận thấy rằng, các phương pháp trừu tượng hóa phổ biến nhất trong toánhọc là sự trừu tượng đồng nhất hóa, sự trừu tượng phân tích hoặc cô lập vàcác sự trừu tượng khác nhau về khả năng thực hiện được, nhưng trong đó

sự trừu tượng đồng nhất hóa là phương pháp cơ bản nhất, nhờ đó ta suy rađược tính chất hoặc quan hệ chung cho tất cả các đối tượng được xét

Chính vì vậy, trừu tượng đồng nhất hóa thường được gọi là trừu tượng kháiquát hóa.

Đứng trên quan điểm của lý thuyết kinh nghiệm về trừu tượng hóa,quá trình tách các tính chất toán học của các đối tượng như là số và hìnhđược thực hiện ở việc tước bỏ dần dần tất cả những tính chất không toánhọc và cuối cùng đi đến các tính chất toán học phải tìm Nhưng phươngpháp đó cực kỳ đơn giản hóa bức tranh thực tế, bởi vì, sự vật có một tậphợp vô số các tính chất, đồng thời các tính chất toán học lại không tồn tạidưới dạng "thuần túy" trong bản thân các đối tượng Hạn chế này của lýthuyết kinh nghiệm đã bị các nhà duy tâm sử dụng để chống đối quan điểmduy vật đối với toán học Trong khi đó, việc nghiên cứu chi tiết các phươngpháp trừu tượng hóa để hình thành các khái niệm toán học đã chứng tỏ mộtcách rõ ràng tính chất duy vật biện chứng của các phương pháp này và sựsai lầm của các quan niệm duy tâm về nhận thức tiên thiên, đặc biệt làtrong toán học Để hiểu rõ thực chất sự trừu tượng hóa của phép đồng nhất,chúng ta quay trở lại phân tích quá trình hình thành khái niệm số tự nhiên,

đó là điểm xuất phát của sự phát triển toàn bộ toán học

Đối với mọi người hiện nay, khái niệm số hầu như rất quen thuộc,mặc dù không phải ai cũng hiểu tường tận về nó Hầu như người ta đềuxem như mọi phép so sánh và phép đếm các đồ vật đều được giả thiết là đã

có các số tự nhiên rồi Trong khi đó, nhiều sự kiện lịch sử đã chứng tỏ chắcchắn rằng, trong sự phát triển của xã hội loài người đã có thời kỳ mà conngười không hề có chút quan niệm rõ ràng nào về số, nhưng vẫn làm đượcphép so sánh và phép đếm các tập hợp khác nhau Khái niệm số xuất hiệnrất muộn, bởi vì sự suy nghĩ trừu tượng cũng cần phải có một khả năngnhất định Chúng ta có thể nói về quá trình hình thành khái niệm số nhưsau: Khi nói về một số nào đó, chúng ta biết rất rõ nhiều tập hợp khác nhaucủa các sự vật có thể cùng ứng với số đó Chẳng hạn, số 5 có thể là 5 ngón

tay, 5 bã hoa hoặc số đỉnh của một ngò giác, v.v Do đó, khái niệm nàyphản ánh đặc điểm về lượng xác định của các tập hợp đó Dù rằng, các tậphợp nêu ra khác nhau về bản chất, nhưng tất cả chúng đều có một tính chấtchung được đặc trưng bởi con sè 5.

Vấn đề cần phải giải quyết là ở chỗ, bằng con đường nào trong quátrình hoạt động thực tiễn, con người đã đi đến sự trừu tượng hóa một tínhchất chung cho các tập hợp như là con số Chúng ta hoàn toàn dễ nhận thấyrằng, một sự trừu tượng hóa như thế không thể thực hiện được nếu khôngtồn tại các tập hợp xác định các sự vật Trên thực tế, muốn so sánh hai tậphợp các sự vật ta chỉ cần bằng cách này hay cách khác sắp đặt các phần tửcủa chúng tương ứng với nhau, chẳng hạn, nếu cho mỗi ngón tay của chúng

ta ứng với một và chỉ một đối tượng thì chúng ta có thể thiết lập được mộttập hợp gồm 5 phần tử, ví dụ như: 5 con gà tương đương với tập hợp 5ngón tay, còn tập hợp 10 con gà sẽ không tương đương Mặc dù trong khithực hiện việc làm trên chúng ta sử dụng các số, nhưng về nguyên tắc ta cóthể so sánh các tập hợp mà không cần tới các số Nhiều nhà nghiên cứu đãkhẳng định rằng, ở nhiều vùng thổ dân, người ta không có tên gọi cho các

số lớn hơn 5, song họ lại đếm được các tập hợp khác nhau của các đốitượng mà số lượng vượt quá 5 Họ đếm theo các ngón chân và các ngón tay

và như vậy họ chỉ cần có trước mặt các đồ vật phải đếm Chúng ta dễ dàngnhận thấy phép đếm như vậy được thực hiện theo nguyên tắc: ứng với cácphần tử của một tập hợp xác định là các ngón tay và các ngón chân, người

ta đặt tương ứng với các phần tử của tập hợp khác Nếu với mỗi phần tửcủa tập hợp này tương ứng với một và chỉ một phần tử của tập hợp kia, thìcác tập hợp cần phải so sánh được coi là tương đương với nhau Phép sosánh như vậy, ngày nay vẫn được con người sử dụng một cách máy móc

Ví dụ, chúng ta có thể không biết số lượng chỗ ngồi trong một hội trường,nhưng nếu chúng ta biết rằng tất cả các chỗ đều có người ngồi và không có

đại biểu nào thiếu chỗ ngồi thì số chỗ đúng bằng số đại biểu Chính vì vậy,chúng ta có thể so sánh các tập hợp khác nhau của các đối tượng khác nhau

mà không cần có khái niệm về sè

Sự nghiên cứu của các nhà khoa học như nhân chủng học, khảo cổhọc, v.v đã cho ta cơ sở để khẳng định rằng về phương diện lịch sử, ngay

từ thời cộng sản nguyên thủy phép đếm đã bắt đầu được phát triển Trướctiên, người ta không tách tính chất của các số khỏi bản thân các tập hợpphải đếm Tuy vậy, họ có thể thiết lập được sự bằng nhau về lượng của tậphợp này với tập hợp khác bằng phép so sánh các phần tử của chúng Saunày, cùng với việc phát triển của sản xuất và việc mở rộng các mối liên hệkinh tế giữa các bộ lạc, kỹ thuật đếm sơ khai đã được hoàn thiện dần Muốnbiết về lượng của một tập hợp đồ vật nào đó, cần phải chọn một tập hợp đồvật xác định để biểu thị lượng của tập hợp khác Thông thường người tachọn các tập hợp xác định là các ngón tay, ngón chân, các que nhỏ, các vỏ

ốc, các viên sỏi, v.v Như vậy, trong giai đoạn này, tính chất chung của tất

cả các tập hợp có số lượng bằng nhau được biểu thị qua tính chất của mộttập hợp đặc biệt nào đó Tiếp đó, khi sù trao đổi giữa các bộ lạc ngày càngphát triển thì xuất hiện điều bất tiện ở chỗ, các bộ lạc khác nhau thường sửdụng các tập hợp đồ vật khác nhau làm tiêu chuẩn so sánh Ví dụ, có bộ lạcchọn que nhỏ, có bộ lạc chọn vỏ ốc, có bộ lạc chọn những viên đá nhỏ, v.v Chính vì thế, do ảnh hưởng của các nhu cầu trao đổi và sự phát triển củađời sống kinh tế, dần dần buộc người ta phải đưa ra một tập hợp xác địnhlàm đại diện về lượng cho một tập hợp bất kỳ Trên cơ sở đó, phải kinh qua

sự phát triển lịch sử lâu dài thì khái niệm số mới được giải phóng khỏi cái

vỏ vật chất cụ thể và cuối cùng được diễn tả như là một số nói chung Kháiniệm trừu tượng về số như là tính chất chung của tất cả các tập hợp tươngđương các đồ vật được củng cố trước hết là trong lời nói và sau đó là trongcác chữ số

Lịch sử hình thành số tự nhiên có thể chia làm bốn giai đoạn lớn,tương ứng với bốn giai đoạn liên tiếp trong sự phát triển của bản thân kỹthuật đếm Giai đoạn thứ nhất bắt đầu từ việc thiết lập sự bằng nhau vềlượng của các tập hợp khác nhau Ở đây, tính chất chung của các tập hợptương đương được kết hợp hoàn toàn với bản tính cụ thể của các tập hợpđược so sánh Ở giai đoạn thứ hai, số lượng của một tập hợp xác định nào

đó được biểu diễn qua cả một loạt các tập hợp khác tương đương với nã Ởđây, tính chất chung của tất cả các tập hợp đã bắt đầu được ý thức như làmột cái gì khác với bản tính cụ thể của bản thân tập hợp Đến giai đoạn thứ

ba, khi mà một tập hợp xác định được lấy làm tiêu chuẩn đặc biệt về lượng,người ta mới bắt đầu phân biệt tính chất chung này với tất cả các tính chấtđặc biệt của tập hợp Đến giai đoạn thứ tư, tính chất chung của tất cả cáctập hợp tương đương được trừu tượng hóa khỏi bản thân tập hợp và biểudiễn dưới dạng "thuần túy", tức là giống như khái niệm trừu tượng của số

tự nhiên Bây giê, chính các số tự nhiên biểu diễn tiêu chuẩn về lượng Thậtvậy, ở giai đoạn này, khi đếm chúng ta cho tương ứng mỗi đối tượng củamột tập hợp được đếm với một số xác định trong dãy số tự nhiên, cụ thểvới một số là số hiệu của nó trong dãy này

Trong lịch sử hình thành khái niệm số đã có nhiều nhà toán học đưa

ra định nghĩa logic của khái niệm đó Điển hình là định nghĩa của Frêghê

và Rútxen Trong cơ sở của định nghĩa đó đã chứa đựng khái niệm tươngứng đơn trị hai chiều hoặc khái niệm đồng dạng của các líp Tại đây, mộtvấn đề phải nói rõ là thế nào là sự tương ứng đơn trị hai chiều và hai lípđồng dạng Sự tương ứng đơn trị hai chiều là sự tương ứng biểu thị mộtquan hệ xác định giữa các phần tử của hai tập hợp, trong đó mỗi phần tửcủa tập hợp thứ nhất được đặt tương ứng với một và chỉ một phần tử củatập hợp thứ hai và ngược lại, còn hai líp hoặc hai tập hợp được coi là đồng

dạng hoặc tương đương nếu giữa chúng có thể thiết lập được sự tương ứngđơn trị hai chiều.

Xét về phương diện lịch sử, chúng ta cần lưu ý rằng, nếu sự trừutượng hóa tính chất chung của các tập hợp tương đương và từ đó dễ dànghình thành nên khái niệm số, thì nguyên nhân chính là do điều đó đã đượcchuẩn bị bởi thực tiễn lâu dài trước đó của nhân loại và trong quá trình đó

tư duy trừu tượng của con người đã được phát triển

Trong thí dụ về sự hình thành khái niệm số, ta có thể phát hiệnđược các đặc điểm của sự trừu tượng đồng nhất hóa đóng một vai trò quantrọng trong toán học Sự trừu tượng hóa như thế bắt đầu từ sự thiết lập quan

hệ loại bằng nhau giữa các tập hợp được nghiên cứu Chẳng hạn, chúng taxét quan hệ tương ứng đơn trị hai chiều giữa các tập hợp cho định nghĩa số.Muốn xác định khái niệm hình hình học, chúng ta phải xét quan hệ đồngdạng của các hình Đối với định nghĩa đồng dư các số theo một mô đun nào

đó, chúng ta phải nghiên cứu quan hệ đồng dư, v.v Tất cả các quan hệtương ứng đơn trị hai chiều, quan hệ đồng dạng của các hình lẫn quan hệđồng dư của các số đều được đặc trưng bởi ba tính chất quan trọng sau đây:

- Tính chất đối xứng: Nếu tập hợp A tương đương với tập hợp B thì

tập hợp B cũng tương đương với tập hợp A Nếu hình 1 đồng dạng vớihình 2, thì hình 2 còng đồng dạng với hình 1 Bằng ngôn ngữ logic toán,tính chất này được biểu diễn như sau: xRy  yRx (nếu phần tử x nằm trongquan hệ R đối với phần tử y, thì phần tử y cũng nằm trong quan hệ R Êyvới phần tử x)

Tính chất bắc cầu: Nếu tập hợp A tương đương với tập hợp B, còn tập

hợp B tương đương với tập hợp C, thì tập hợp A tương đương với tập hợp C.Nếu hình 1 đồng dạng với hình 2, còn hình 2 đồng dạng với 3, thì hình 1đồng dạng với hình 3 Bằng kí hiệu logic, điều đó được viết như sau: (xRy &

yRz)  xRz (nếu phần tử x nằm trong quan hệ R đối với phần tử y, còn ycùng nằm trong quan hệ đó đối với z, thì x cũng nằm trong quan hệ R đối vớiz).

Tính phản xạ: Mỗi tập hợp tương đương với chính mình, mỗi hình

đồng dạng với chính mình Bằng kí hiệu logic, tính chất này được viết dướidạng: xRx

Nếu giữa các đối tượng xác định tồn tại một quan hệ có các tínhchất đối xứng, bắc cầu và phản xạ, thì dùa vào quan hệ đó ta có thể tách ra,hoặc trừu tượng hóa một tính chất chung nào đó vốn có cho tất cả các đốitượng này Trong các thí dụ nêu trên đã chứng tỏ rằng, nhờ sự tương ứngđơn trị hai chiều, tính chất của các số đã được trừu tượng hóa, quan hệđồng dạng tách ra tính chất chung của các vật thể hình học như là một hình,quan hệ đồng dư giữa các số tách ra các số đồng dư theo môđun đã cho,v.v

Quan hệ có các tính chất đối xứng, bắc cầu, phản xạ thì tương tựnhư quan hệ bằng nhau, vì thế người ta thường gọi nó là quan hệ loại bằngnhau Nhưng rõ ràng, nếu như các đối tượng được nghiên cứu là đồng nhấthoàn toàn, thì chúng ta không thể từ cái gì mà trừu tượng hóa được, bởi vìkhông phân biệt được chúng Khi thiết lập quan hệ loại bằng nhau, người ta

so sánh các đối tượng trong mét quan hệ nào đó Chẳng hạn, quan hệ tươngứng đơn trị hai chiều chỉ đặc trưng cho sự tương đương về lượng của cáctập hợp và hoàn toàn không đụng chạm tới bản chất của các phần tử hìnhthành nên tập hợp Quan hệ đồng dạng thiết lập sự bằng nhau của các góc

và tỷ lệ của các cạnh Chính điều đó đã giải thích tên gọi của phương phápnày như là một sự trừu tượng đồng nhất hóa

Sự trừu tượng đồng nhất hóa không những chỉ được sử dụng rộngrãi trong toán học, mà còn cả trong các khoa học khác Chẳng hạn như

C,Mác đã sử dụng phương pháp này để trừu tượng hóa một tính chất chungcho tất cả hàng hóa đó là giá trị Khi phân tích quan hệ trao đổi hàng hóaC.Mác đã nhận xét rằng, quan hệ này có thể biểu diễn dưới dạng phươngtrình, trong đó số lượng xác định của một dạng hàng hóa này được so sánhvới số lượng đã biết của một hàng hóa khác C.Mác viết:

Ví dô; 1 quac tơ lúa mì = a tạ sắt Phương trình Êy nói lêncái gì? nói lên rằng trong hai vật khác nhau - tức là trong mộtquac-tơ lúa mì và a tạ sắt - có một cái gì chung có cùng một đạilượng Vậy cả hai vật đó bằng một vật thứ ba nào đó, vật thứ banày bản thân lại không phải là vật thứ nhất mà cũng không phảivật thứ hai Như vậy là mỗi vật trong hai vật Êy, với tư cách làgiá trị trao đổi, phải có thể quy thành vật thứ ba đó [33, tr 64] Tính chất chung đó không thể là các tính chất vật lý, các tính chấthóa học, hay là các tính chất tự nhiên nào khác của hàng hóa Theo C.Mác,tính chất chung đó của hàng hóa được biểu thị trong quan hệ trao đổi, đó làgiá trị của chúng

Ở thời kỳ đầu của sự phát triển xã hội loài người khi sù trao đổigiữa các bộ lạc mang tính chất ngẫu nhiên, thì việc tách ra tính chất chung củahàng hóa như là giá trị, là hoàn toàn không có khả năng làm được Cùng với

sự phát triển sau này của lực lượng sản xuất xã hội, sự trao đổi hàng hóa giữacác bộ lạc bắt đầu có tính chất ổn định hơn Tương ứng với điều đó, ở giaiđoạn thứ hai, dạng đơn giản của giá trị biến thành dạng mở rộng Giá trị củamột hàng hóa xác định nào đó cũng được biểu thị qua nhiều loại hàng hóakhác, chẳng hạn, 100 kg bánh mì bằng 1 cái áo da, hoặc bằng 10 kg chè, hoặcbằng 30 kg cà phê Ở giai đoạn thứ ba, khi sù trao đổi hàng hóa có tính chất

ổn định hoàn toàn, lúc đó dạng chung của giá trị phải thay thế cho dạng mởrộng Ở đây, giá trị một lượng xác định của một hàng hóa đã biết trở thành

một vật ngang giá của tất cả các hàng hóa khác Vì thế, giá trị của tất cả cáchàng hóa khác có thể được biểu thị qua giá trị vật ngang giá Cuối cùng, ởgiai đoạn thứ tư của sự phát triển trao đổi, thì các hàng hóa thường hay giữvai trò vật ngang giá hơn cả, bắt đầu hoạt động với tư cách tiền tệ Mácviết:

Loại hàng hóa đặc biệt mà về mặt xã hội, hình thái tựnhiên của nó dần dần gắn liền với hình thái vật ngang giá, thì sẽtrở thành hàng hóa - tiền, hay làm chức năng tiền Chức năng xãhội đặc biệt của nó, và do đó, độc quyền xã hội của nó, là đóngvai trò vật ngang giá phổ biến trong thế giới hàng hóa [33, tr 111].Nếu bây giê chúng ta so sánh quá trình lịch sử hình thành khái niệm

số và khái niệm giá trị thì dễ dàng phát hiện ra phương pháp chung của quátrình trừu tượng hóa trong toán học và kinh tế chính trị học về nguyên tắc

rõ chi tiết của quá trình lý tưởng hóa, chúng ta chỉ nên giới hạn quá trình đó ở