DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VÀ PHƯƠNG PHÁP VIRTUAL CRACK CLOSURE TECHNIQUE (VCCT) THÔNG QUA PHẦN MỀM ANSYS ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao.

Giáo viên hướng dẫn : Th.s Trần Thanh Hải

Sinh viên thực hiện : Phạm Xuân Hiếu

Lớp : Cơ điện tử K46

HÀ NỘI - 2010

MỤC LỤC

TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI ……… ……… 4

Đặt vấn đề 4

Nội dung đề tài 6

CHƯƠNG I: CƠ HỌC PHÁ HỦY……… 7

I Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) 7

II Biểu đồ ứng suất – chuyển vị 10

III Fracture modes (các chế độ phá hủy) 12

IV Năng lượng cân bằng trong vết nứt 12

V Lý thuyết Griffith 13

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN………15

I Khái niệm chung và nội dung của phương pháp 15

1 Khái niệm chung 15

2 Nội dung của phương pháp 16

4 Một số khái niệm sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn 17

5 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH 25

6 Giải bài toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn 27

II Các phần tử cơ bản 34

1 Giới thiệu chung 34

2 Một số phần tử cơ bản và tính chất của chúng 36

I Phương pháp VCCT 2 bước 42

II Virtual Crack Closure Technique……… 44

CHƯƠNG IV: PHẦN MỀM ANSYS………47

I Giới thiệu chung 47

II Ứng dụng của Ansys 49

1 Phân tích kết cấu : 50

2 Động lực học biến dạng lớn: 51

3 Phân tích nhiệt 51

4 Phân tích điện từ 52

5 Tính toán động lực học dòng chảy 54

6 Phân tích tương tác giữa các trường vật lí 55

III Các bước thực hiện khi giải bài toán trong Ansys 55

1 Preprocessing 56

2 Solution 59

3 Postprocessing 60

CHƯƠNG V: TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU (CU-EPOXY MOLDING COMPOUND)………….68

I Nội dung bài toán và xác định phương hướng triển khai 69

1 Nội dung 69

2 Hướng triển khai bài toán 70

II Giải quyết bài toán trên Ansys 71

KẾT LUẬN……….81

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 82

TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI Đặt vấn đề

Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề ánngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữuhiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau Từ việc phân tích trạngthái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay,tàu thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu v.v , những bài toán của lý thuyết trườngnhư: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từtrường v.v Với sự giúp đỡ của nghành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD,nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễdàng

Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS,MODULLEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v

Phần mềm ANSYS là một trong nhiều chương trình phần mềm công nghiệp

sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM - Finite Element Method) để phântích các bài toán vật lý cơ học, chuyển các phương trình vi phân, phương trìnhđạo hàm riêng từ dạng giải tích số, với việc sử dụng phương pháp rời rạc hóa vềdạng gần đúng để giải

Đề tài : “Dùng phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp Virtual Crack Closure

Technique (VCCT) thông qua phần mềm Ansys để tính toán khả năng phá huỷ của một kết cấu hai vật liệu (bi-material structure)” được lựa chọn để đáp ứng

mục đích kiểm nghiệm, xác định năng tỷ lệ lượng giải phóng (hay độ cứng chốngphá hủy) của kết cấu khi vết nứt hình thành, từ đó so sánh với các cấu trúc trong

Sau một quá trình tìm hiểu, nghiên cứu với nỗ lực của bản thân cùng với sự

hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s Trần Thanh Hải_ BM KTM đề

tài đã được hoàn thành Tuy vậy, do thời gian và vốn kiến thức còn hạn chế nên

đề tài còn nhiều thiếu sót Rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý sâu sắc củacác Thầy, Cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn

Hà nội, ngày 30 tháng 4 năm 2010

Sinh viên thực hiện

Phạm Xuân Hiếu

Lớp cơ điện tử K46 _ ĐHGTVT

Nội dung đề tài

Đề tài được chia thành các chương sau:

Chương 1: Tìm hiểu cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)

Xác định nguyên lý cơ bản của việc dùng Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)trong việc đánh giá độ bền phá hủy của kết

Chương 2: Nghiên cứu phương pháp PTHH

Trong chương này sẽ tìm hiểu khái niệm, nội dung và những ứng dụng củaphương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) trong việc giải các bài toán cụ thể.Đồng thời sẽ giới thiệu các một số phần tử cơ bản thường được sử dụng trongphương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH)

Chương 3: Giới thiệu về phương pháp Virtual Crack Closure Technique

(VCCT), một phương pháp PTHH dùng để xác định tỷ lệ năng lượng giải phóng(hay độ cứng chống phá hủy) khi có một vết nứt hình thành trong kết cấu

Chương 4: Tìm hiểu phần mềm Ansys

Nội dung của chương này đi sâu tìm hiểu về phần mềm Ansys, những ứng dụngcủa phần mềm trong các lĩnh vực công nghiệp Thực hiện phân tích, tính toán cáccấu trúc, cấu kiện, các chi tiết máy bằng phần mềm Ansys

Chương 5: Nghiên cứu và triển khai phương pháp VCCT trên Ansys để tính độ

bền phá hủy của kết cấu

CHƯƠNG I

CƠ HỌC PHÁ HỦY

I Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)

Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu

về độ bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt Chophép định lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện củacác vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt Nó sửdụng các phương pháp phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vếtnứt và những thử nghiệm của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủykết cấu (theo [1])

Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các cấu trúc chứa khuyết tật hình học.Kích thước và hình dạng của chúng là quan trọng bởi vì chúng xác định độ bềncủa cấu trúc vật liệu Thông thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc cóchứa các khuyết tật bị ảnh hưởng bởi hai yếu tố ứng suất và độ bền uốn Tuynhiên, cách tiếp cận này thường sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật cóđặc trưng hình học lớn Để giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trườnghợp sau (hình 1):

Hình 1 Các mẫu thử có và không có vết nứt

Tất cả các mẫu có cùng độ dày Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu được sắpxếp theo thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2

Rõ ràng, các kích thước của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hưởng lớn đến

độ bền của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu

So với phương pháp thông thường có tên là tiếp cận sức bền vật liệu có haiyếu tố ảnh hưởng, phương pháp cơ học phá hủy (Fracture mechanics) bị ảnhhưởng bởi ba yếu tố áp dụng ứng suất, kích thước phá hủy và độ bền phá hủy.Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốn phù hợptính chất vật liệu Fracture Mechanics xác định giới hạn của ba yếu tố trên Hình

3 cho thấy sự khác biệt giữa cách tiếp cận Fracture Mechanics với cách tiếp cậnsức bền vật liệu

Hình 2 So sánh phương pháp Fracture Mechanics với phương pháp tiếp cận Sức

bền vật liệu

Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể

được chia thành Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) và Elasto Plastic Fracture Mechanics (EPFM) LEFM cho kết quả vượt trội cho các vật liệu giòn

như thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê tông, vv Tuy nhiên, đối với vậtliệu dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính

Sơ đồ hình cây của Fracture Mechanical có thể được nhìn thấy trong hình 3:

Hình 3 Mô hình cấu trúc hình cây đơn giản của Fracture Mechanics

II Biểu đồ ứng suất – chuyển vị

Theo thí nghiệm đối với vật liệu dẻo (Thép CT 38) ta có được đồ thị chuyển

vị – ứng suất như hình 4 (theo [2]):

Hình 4 Đồ thị chuyển vị - ứng suất

Trong quá trình từ lúc bắt đầu kéo đến khi bị đứt, mẫu thử đã qua các điểmđặc biệt Dưới đây ta sẽ phân tích quá trình đó

Giai đoạn tỉ lệ: Giai đoạn này thể hiện bằng đoạn OA Trong giai đoạn nàyvật liệu tuân theo định luật Hooke, ứng suất lớn nhất gọi là giới hạn tỉ lệ σ tl Độdốc của đoạn OA bằng giá trị của modul đàn hồi của vật liệu Trong giai đoạnnày, vật liệu có tính đàn hồi, tức là sau khi bỏ hết tải trọng – lực kéo, mẫu thửhoàn toàn trở lại trạng thái chiều dài ban đầu

Tuy nhiên trên phía trên giới hạn đàn hồi một ít, người ta thấy vật liệu vẫncòn đàn hồi A’.Ứng suất lớn nhất mà vật liệu còn đàn hồi được gọi là ứng suấtđàn hồi σ dh

Khi kéo mẫu đến điểm C, đồ thị có dạng nằm ngang CC’ gọi là mặt chảy Tronggiai đoạn này, không tăng lực kéo, mẫu vẫn bị giãn Ứng suất tương ứng vớiđiểm C gọi là giới hạn chảy σ ch

Hết mặt chảy độ bền của kim loại được khôi phục Đó là giai đoạn tái bềntương ứng với đoạn C’D Cuối giai đoạn này, trên mẫu thử đã hình thành một chỗthót Chính chỗ thót này đã làm cho độ giãn của thanh rất lớn Ứng suất cao nhất(điểm D) gọi là giới hạn bền σ b

Sau điểm D, đồ thị tụt xuống đến một điểm nhất định thì mấu đứt Sở dĩ có đoạntụt xuống vì lúc đó chỗ thót có diện tích tương đối bé nên lực kéo không cần lớnnhư trước

Từ sau giới hạn đàn hồi, vật liệu bao giờ cũng có biến dạng dư hay biến dạngdẻo Thí dụ tại điểm M ta bỏ lực, đồ thị giảm tải trọng đi theo đường MP có độdốc bằng độ dốc của giai đoạn đàn hồi OA Khi hết tải trọng, thanh còn biến dạngdẻo thể hiện bằng đoạn OP, còn đoạn PQ là biến dạng đàn hồi

III Fracture modes (các chế độ phá hủy)

Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản (theo [1])

đó chế độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật

IV Năng lượng cân bằng trong vết nứt

Sự khác biệt giữa một khối nứt và một khối không nứt là trên bề mặt có cácvết nứt Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) và giải phóng ra năng lượng.Sau đó vết nứt có phát triển ra được hay không còn phụ thuộc vào việc nó cóchứa đủ năng lượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng củanó

Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời

gian do tác dụng của tải trọng (W. ) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi năng lượng

đàn hồi nội bộ (internal elastic energy) ( U´ E), năng lượng biến dạng dẻo (U´ P),

động năng (kinetic energy)(K´ ) của vết nứt, và năng lượng cần thiết để tăng vếtnứt cho một đơn vị thời gian (´Γ) Nói cách khác (theo [1]).

A A

Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, một vật thể không thay đổi dưới tác dụngcủa tải trọng (theo định lý Clapeyron):

CHƯƠNG II PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

I Khái niệm chung và nội dung của phương pháp

1 Khái niệm chung

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số, đặc biệt cóhiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của

nó Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miềnxác định V mà chỉ trong từng miền con V j (phần tử) thuộc miền xác định V Do

đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong

đó có hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ

có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau.Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cáchchặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạp củabài toán Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con V j (phần tử) Cácmiền này được liên kết với nhau bởi các điểm nút Trên miền con này, dạng biếnphân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉ trêntừng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữacác phần tử

Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị của đạohàm) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do củaphần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán

Trong việc giải phương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra mộtphương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu Có rất nhiều cách để

chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạphoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền.

2 Nội dung của phương pháp

Phương pháp phần tử hữu hạn có nội dung như sau: Để giải một bài toán biêntrong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miền con V j (j = 1, , n) sao chohai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chung nhau đỉnh hoặc cáccạnh Mỗi miền con V j được gọi là một phần tử hữu hạn

Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gianhữu hạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V

Có thể chọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x), , ψn(x) có giá trịtrong một số hữu hạn phần tử V j ở gần nhau Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầuđược tìm dưới dạng:

c1ψ1(x) + + cnψn(x)trong đó các ck là các số cần tìm

Thông thường người ta đưa việc tìm các ck về việc giải một phương trình đại sốvới ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một số đườngsong song nằm sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải Có thể lấycạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong để xấp xỉ cácmiền có dạng hình học phức tạp Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng đểgiải gần đúng các bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình

3 Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn

Với sự hỗ trợ của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn đang được

sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong nhiều lĩnh vực như lí thuyết đàn hồi và dẻo,

cơ học chất lỏng, cơ học vật rắn, cơ học thiên thể, khí tượng thuỷ văn, v.v

Phương pháp phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơhọc kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biếndạng của vật thể.

Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học đểgiải các phương trình sóng, như trong vật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt,động lực học chất lỏng, trường điện từ

4 Một số khái niệm sử dụng trong bài toán phần tử hữu hạn [3]

a Hàm xấp xỉ

Một trong những tư tưởng cơ bản của PPPTHH là xấp xỉ hóa đại lượng cầntìm trong mỗi miền con V e(phần tử) Điều này cho phép ta khả năng thay thế việctìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền V bằng việc tìm nghiệm trong phạm vimỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản Và vì vậy bước quan trọng đầu tiên cầnnói đến là việc chọn hàm xấp xỉ đơn giản, thường chọn ở dạng đa thức vì những

b Phép nội suy

Tuy nhiên, trong phương pháp PTHH các hệ số của hàm xấp xỉ dạng đa thức

Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạo hàm)của nó tại các nút phần tử Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đại lượng cầntìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy qua các giá trị(hoặc cả các đạo hàm) của nó tại điểm nút của phần tử.

Hình 6 Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange

Trong các ví dụ trên các hàm bất kì được biểu diễn xấp xỉ bằng các đa thức bậc 0,bậc 1, bậc 2 theo các giá trị (chỉ theo giá trị) của hàm tại điểm định trước (điểmnút) Phép xấp xỉ này được gọi là phép nội suy Lagrange

Nội suy Hecmit: Khác với phép nội suy Lagrange, nội suy Hecmit là phép xấp

xỉ theo giá trị và cả đạo hàm từ bậc 1 đến bậc nào đó tại các điểm cơ sở

Hình 7 Hàm nội suy Hecmit

Bằng việc xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong phạm vi mỗi phần tử thì trên toànmiền V khảo sát, đại lượng cần tìm cũng được biểu diễn gần đúng theo các giá trị(và có thể cả đạo hàm đến cấp nào đó) của chính nó tại các điểm nút.

Và rõ ràng nếu lưới phần tử càng mịn thì kết quả nhận được càng tiến đến sự mô

tả chính xác của nghiệm cần tìm

Ví dụ : Với phép nội suy Lagrange

Hình 8 Hàm nội suy Lagrange khi lưới phần tử mịn

n i i

a x







Hay: u x  = [1 x x2 x n ]

1 2 3

1

n

a a a

Trong đó : P x  gọi là ma trận các đơn thức

 a gọi là véc tơ các tọa độ tổng quát hay véc tơ các tham số

Bài toán 2 – D (hai chiều)

ví dụ : u x y ,  = a1 a x a y a x2  3  4 2 a y5 2 a xy6

= [1x y x2 y xy2 ]

1 2

6

a a a

d Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ

Khi chọn bậc của đa thức xấp xỉ cần xét tới các yêu cầu sau (theo [3]):

 Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:

Đây là một yêu cầu quan trọng vì PP PTHH là một phương pháp số và do đó phảiđảm bảo được rằng khi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đếnnghiệm chính xác Muốn vậy đa thức xấp xỉ u e phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

 Liên tục trong phần tử (V e) Điều này hiển nhiên thỏa mãn khi xấp xỉ là đathức

 Bảo đảm tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và đạo hàm riêngcủa nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm I u  đòi hỏi.

Vì như ta đã biết, PPPTHH có thể được xem như một phương pháp xấp xỉ khicực tiểu hóa một hàm dạng:

 Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là liên tục

Ví dụ: Khi u là chuyển vị thì phải đảm bảo khả năng phần tử dịch chuyển cứng

và muốn bảo đảm trạng thái đơn vị của đại lượng khảo sát thì chỉ cần không được

bỏ qua số hạng tự do a1 trong đa thức xấp xỉ, hay không được bỏ qua thành phần

1 trong P x y z , , 

Với cơ học vật rắn biến dạng và kết cấu, các yêu cầu này có thể được hiểu nhưyêu cầu liên tục của biến dạng, nói cách khác là phần tử biến dạng không có sựđứt, gãy Như với dầm, tấm, vở đòi hỏi cả chuyển vị và đạo hàm cấp 1 củachuyển vị là liên tục Nếu đa thức xấp xỉ thảo mãn tất cả 3 điều kiện này, thìnghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ tới nghiệm chính xác khi sử dụng lưới phần tử mịn hơn.Tuy nhiên để thấy được điều này khi mịn hóa lưới phần tử cũng cần tuân theo cácqui tắc sau:

 Lưới sau được mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng

có mặt trong tập hợp các nút lưới sau

 Các phần tử có khích thước nhỏ hơn trước nhưng dạng hình học của phần

tử vẫn phải như dạng cũ

 Dạng đa thức xấp xỉ là không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử

Hình 9 Quy luật mịn hóa lưới phần tử

 Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình học.

 Các số phần tử của {a} tức số tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự do của phần tử  q e Yêu cầu này cho khả năng nội suy đa thức xấp xỉ

theo giá trị đại lượng cần tìm tại các điểm nút

e Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể.

Giả sử vật thể (miền V) được chia thành N e phần tử (miền con V e) bởi R điểmnút Nếu mỗi nút có s bậc tự do thì số bậc tự do của cả hệ là n = R.s

Gọi  q

là véc tơ chuyển vị nút tổng thể (hay véc tơ chuyển vị nút kết cấu)

Nó sẽ là tập hợp của tất cả các bậc tự do của tất cả các nút của hệ và gồm nthành phần

Giả sử mỗi phần tử có r nút, thì số bậc tự do của r nút của phần tử gồm

Trong đó  L elà ma trận định vị của phần tử có kích thước n n e  Ma trận này

cho thấy hình ảnh sắp xếp các thành phần của véc tơ  q e trong  q

2 2

q q

f Xây dựng ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể bằng ma trận chỉ số [b]

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, ta dùng 2 hệ thống chỉ số để đánh sốcho các bậc tự do của các nút Đó là:

 Hệ thống chỉ số tổng thể: Có được bằng cách đánh số bậc tự do của toankết cấu Hệ thống chỉ số tổng thể để chỉ thứ tự các bậc tự do trong tập hợp tất cả

các bậc tự do của toàn hệ, tức thứ tự của các bậc tự do đang xét trong  q

Ví dụ: Để xác định sự tương ứng của mỗi phần tử thuộc  q etrong  q

Ví dụ: Ở ví dụ trong ví dụ trên thì  b có kích thước (3x4) Và b23  5,b32  6

ma trận cứng phần tử  K esẽ phải gộp thêm vào phần tử K mncủa ma trận cứng

tổng thể K với m b eivà n b ej(trong đó b ei, bej là các giá trị của phần tử hàng i

cột j của ma trận  b ) Tương tự, mỗi phần tử P i e của véc tơ  P esẽ được gộp thêmvào phần tử P mcủa  P với m = b ei

Ví dụ: K1,3(2) K(b b21 , 23 ) K3,5

K2,4(3) K(b b32 , 34 ) K6,8

5 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp PTHH [3]

Bước 1: Rời rạc hóa miền khảo sát

Trong bước này, miền khảo sát V được chia thành các miền con V e hay thànhcác phần tử có hình dạng thích hợp

Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũng như kíchthước các phần tử phải được xác định rõ Số điểm nút mỗi phần tử không đượclấy một các tủy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn

Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản như hình dưới đây (hình 12):

Hình 12 Các dạng hình học đơn giản của phần tử

Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Vì đại lượng cần tìm là chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao chođơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thỏa mãn các điều kiện tiêuchuẩn hội tụ, và thường được chọn ở dạng đa thức

Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo một tập hợp giá trị và có thể có cả các đạo hàm

: là véc tơ các số hạng tự do tổng thể (hay véc tơ tải tổng thể)

Rồi sử dụng các điều kiện biên của bài toán, mà kết quả nhận được là hệ phương

Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình

đại số là không khó khăn Kết quả là tìm được các

chuyển vị của các nút Nhưng với bài toán phi

tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các bước lặp mà sau mỗi bước ma

trận độ cứng Kthay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý) hay véc tơ lực nút  P

thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học)

6 Giải bài toán hệ thanh bằng phương pháp phần tử hữu hạn

Ví dụ : Giải bài toán thanh dưới đây theo PPPTHH với sơ đồ hai phần tử Biết

chiều dài thanh là 2a Độ cứng EF không đổi Thanh chịu tải trọng phân bố đềudọc trục, cường độ q = const

a Thực hiện rời rạc hóa vật thể khảo sát bởi việc định rõ các nút, các phần

3

1 1 0

2 1 1

EF K

a dx

Thực hiện ghép nối, với chú ý là do tại các nút 2 và nút 3 không có tải trọng tậptrung cho trước, còn tại nút 1 có phản lực R

Nên véc tơ tải trọng nút  P n

là:  P n

=

0 0

2

qa R R

qa

qa qa

1 2 3

EF

2 1 1

2

qa R q

c Áp đặt điều kiện biên

Rõ ràng theo sơ đồ kết cấu đã cho thì chuyển vị của nút 1 là bằng 0, hay q1=0.Vậy hệ thống phương trình để giải sẽ nhận được bằng cách xóa đi các hàng và cột

tương ứng q1=0, tức là xóa hàng 1, cột 1 của hệ phương trình trên

Cuối cùng ta có: K*    q*  P*

1 2

q

EFF q

0 3 2 4

q qa

EF q

1 2

0 3 2

q

EF q

2 3

3 4 2

q

EF q

         

Kết quả cho trên hình 14.a và hình 14.b

Hình 14.Biểu đồ chuyển vị dọc trục (u) và lực dọc (N)

e Xác định nội lực trong các phần tử

Do hàm chuyển vị là tuyến tính nên dễ thấy rằng biến dạng dọc trục x

du dx

  

hằng số phần tử

Do đó ứng suất x Ex cosnt và lực dọc trục N e Fx EFx cũng là không đổi

trên suốt chiều dài mỗi phần tử Và N eEFx EF B q e

qa

qa EF

Để thấy rõ hơn bản chất của PPPTHH thông qua ví dụ này, ta thử tìm lời giảichính xác của bải toán.

Theo Sức bền vật liệu, nếu sử dụng phương trình cân bằng biểu diễn qua chuyển

vị dọc trục u x  ta sẽ nhận được phương trình vi phân chủ đạo của bài toán thanhchịu biến dạng dọc trục, trong trường hợp tổng quát có dạng:

trong đó q x là cường độ tải trọng phân bố dọc trục thanh

Với bài toán đang khảo sát: EF = const, q x = q =const, phương trình vi phân

2

2

EFd u q 0

dx   và các điều kiện biên của bài toán là (0 < x < 2a)

Điều kiện biên :

0 0

Biểu đồ lực dọc (N) của lời giải chính xác được biểu diễn bằng đường chấmtrong hình 14c.

So sánh 2 kết quả nhận được tử PPPTHH và từ lời giải chính xác của bài toán

Hình 15.Biểu đồ chuyển vị dọc trục (u) và lực dọc (N) theo sơ đồ 4 phần tử

 Tuy nhiên có thể thấy rằng giá trị nội lực được tính theo biểu thức

   

EF

N  B q chỉ là nội lực do chuyển vị nút  q egây ra

Để có được giá trị lực dọc chính xác ta cần kể thêm thành phần lực dọc do tảitrọng phân bố trong phạm vi phần tử khi xem các nút là được gắn cứng lại (hình

16) Hay : N N q N0

N0 là lực dọc do tải trọng tác dụng trong phạm vi phần tử gây ra khixem xét các nút là bị gắn cứng.

Với bải toán đang xét kết quả cho trong hình 16:

Hình 16 Biểu dồ lực dọc khi có cả tải trọng phân bố

II Các phần tử cơ bản

1 Giới thiệu chung

Mỗi phần tử có các đặc trưng sau: họ phần tử, bậc tự do, số nút v.v Têncủa mỗi phần tử sẽ thể hiện đặc trưng của phần tử theo những mặt trên

a Họ phần tử

Hình 17 cho thấy các họ phần tử thường được sử dụng trong phân tích ứngsuất Một trong những khác biệt lớn nhất đối với các họ phần tử là loại hình họcgiả định của mỗi họ sử dụng

họ phần tử, chẳng hạn như dầm và vỏ, có bậc tự do là các chuyển động quay Vớimột mô phỏng truyển nhiệt bậc tự do là nhiệt độ tại mỗi nút Do đó, đòi hỏi việc

sử dụng phần tử khác nhau với một phân tích ứng suất khác nhau, thì bậc tự do làkhác nhau

Các bậc tự do được quy ước như sau:

1 Dịch chuyển theo hướng 1

2 Dịch chuyển theo hướng 2

3 Dịch chuyển theo hướng 3

chuyển vị thu được bằng cách nội suy các chuyển vị nút Thông thường bậc nộisuy xác định bởi số nút sử dụng trong phần tử.

 Phần tử có các nút ở các đỉnh của nó, chẳng hạn như khối 8 nút (hình 18.a)

sử dụng phép nội suy tuyến tính theo mỗi hướng và được gọi là phần tử tuyếntính hay phần tử bậc nhất

 Phần tử với các nút ở giữa mặt bên, như khối 20 nút (hình 18.b) sử dụngphép nội suy bậc hai và được gọi là phần tử bậc hai

 Phần tử khối tứ diện với các nút giữa mặt bên như phần tử tứ diện 10 nút(hình18.c) sử dụng một thay đổi phép nội suy bậc hai và được gọi là phần tử bậchai thay đổi

Hình 18 Phần tử khối tuyến tính, khối bậc hai và khối tứ diện

2 Một số phần tử cơ bản và tính chất của chúng

a Phần tử khối liên tục (Solid element)

Hình 19 Mô hình phần tử khối liên tục

Trong số các họ phần tử khác nhau, phần tử liên tục hay phần tử khối thườngđược sử dụng phổ biến nhất để làm mô hình các cấu trúc Khái niệm, phần tử liêntục đơn giản là các mô hình khối nhỏ của vật liệu trong một thành phần Chúng

có thể liên kết được với các phần tử khác trên bất kì bề mặt nào của chúng, cácphần tử liên tục có thể được sử dụng để xây dựng các mô hình gần giống với bất

kỳ hình dạng và chịu bất kì tải trọng nào

Trong phần mềm Abaqus, phần tử khối có tên bắt đầu bằng chữ "C" Chữ cái thứhai thường cho biết chiều của phần tử nhưng không phải luôn luôn Chữ "3D"cho biết đó là phần tử ba chiều; "AX" cho biết phần tử có trục đối xứng; "PE"cho biết đó là phần tử plane strain ; và "PS" là một phần tử plane stress

 Phần tử khối ba chiều

Phần tử khối ba chiều có thể là khối sáu mặt, khối hình nêm hoặc khối tứ diện

Hình 20 Phần tử khối ba chiều: Hình nêm, tứ diện và hình chóp

 Phần tử khối hai chiều

Phần tử hai chiều có thể là tứ giác hoặc tam giác Hình 21 cho thấy ba nhómphần tử được sử dụng phổ biến nhất

Hình 21 Phần tử Plane strain-biến dạng phẳng, plane stress-ứng suất phẳng,

and axisymmetric- đối xứng trục

 Phần tử Plane strain

Phần tử Plane strain chúng có thể sử dụng với mô hình cấu trúc dày

Mô hình như là khối hình trụ dài hoặc lăng trụ chịu các lực dọc trục của nó vàkhông thay đổi dọc theo chiều dài Ứng suất và biến dạng trong trường hợp này

có thể được viết là:

Stress tensor

0 0

Mô hình giống như tấm mỏng chịu tải với lực song song với mặt phẳng của nó vàphân bố đối xứng trên toàn bộ bề dày Ứng suất và biến dạng trong trường hợpnày có thể được viết như:

Stress tensor

0 0

E E E

Phần tử Axisymmetric – đối xứng trục, các lớp "CAX" của các phần tử, mô hình

quay 360 °; chúng thích hợp cho việc phân tích với cấu trúc hình học đối xứng vàchịu tải đối xứng

Phần tử khối hai chiều phải được xác định trong mặt phẳng 1-2 để các nút có thứ

tự ngược chiều kim đồng hồ quanh chu vi phần tử, như trong hình 3-4

Hình 22 Liên kết chính xác của phần tử khối hai chiều

 Bậc tự do

Phần tử liên tục có bậc tự do tịnh tiến tại mỗi node Tương ứng, bậc tự do 1, 2, và

3 có trong trong phần tử ba chiều, trong khi chỉ có bậc tự do 1 và 2 có trong cácphần tử plane strain, plane stress, và phần tử axisymmetric

b Phần tử tấm (Shell element)

Hình 23 Mô hình phần tử tấm

Phần tử shell được sử dụng với mô hình cấu trúc trong đó một kích thướcnào đó (độ dày) là nhỏ hơn đáng kể so với các kích thước còn lại và nhấn mạnhtheo hướng độ dày là không đáng kể

Trong phần mềm Abaqus, tên các phần tử tấm bắt đầu bằng chữ "S." Tất cảcác phần tử tấm có trục đối xứng đều bắt đầu với chữ "SAX" Số đầu tiên trongtên một phần tử tấm (shell) cho biết số nút trong phần tử, ngoại trừ trường hợpcủa phần tử tấm có trục đối xứng số đầu tiên cho biết thứ tự của phép nội suy

 Bậc tự do

Phần tử tấm (shell) ba chiều có chữ số "5" ở cuối tên (ví dụ S4R5, STRI65) tức là

có 5 bậc tự do ở mỗi nút: ba chuyển động tịnh tiến và hai chuyển động quaytrong mặt phẳng (không quay trong mặt phẳng vuông góc với tấm) Tuy nhiên,tất cả sáu bậc tự do được sử dụng tại một nút nếu cần thiết

Các phần tử shell ba chiều còn lại có sáu bậc tự do ở mỗi nút (ba chuyển độngtịnh tiến và ba chuyển động quay).

c Phần tử dầm (Beam element)

Hình 24 Dầm và một số dạng mặt cắt ngang

Phần tử dầm được sử dụng với mô hình cấu trúc trong đó một kích thước(chiều dài) là lớn hơn đáng kể so với hai kích thước còn lại và nhấn mạnh theohướng dọc trục của phần tử là đáng kể

Trong phần mềm Abaqus, tên phần tử dầm bắt đầu bằng chữ "B" Ký tự tiếp theocho biết chiều của phần tử, chẳng hạn như chữ số "2" cho biết dầm hai chiều và

"3" cho biết dầm ba chiều Kí tự thứ ba cho biết phép nội suy được sử dụng nhưchữ số "1" cho biết đó là phép nội suy tuyến tính, chữ số"2" cho biết phép nội suybậc hai, và chữ số "3" cho biết phép nội suy bậc ba

 Bậc tự do

Dầm ba chiều có sáu bậc tự do ở mỗi nút: ba bậc tự do tịnh tiến (1-3) và babậc tự do quay (4-6) Dầm hai chiều có ba bậc tự do tại mỗi nút: hai bậc tự dotịnh tiến (1 và 2) và một bậc tự do quay (6) xung quanh mặt phẳng vuông góc củadầm