XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHO NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHONGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNHXÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHONGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNHXÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHONGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNHXÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHONGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNHXÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHONGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNHXÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHONGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNHXÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHONGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Trang 1

ĐỀ TÀI 8:

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ GẦN ĐÚNG CHO

DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 1

1) Dương Sơn Vĩnh

2) Trần Gia Minh

3) Nguyễn Thị Thu Hồng

4) Phan Thị Mộng Quỳnh

Trang 1

Trang 2

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Gi ả sử [ , ]a b là khoảng cách ly nghiệm của phương trình f x( )=0 ( )∗

Tìm nghi ệm của phương trình ( )∗ trong [ , ]a b b ằng cách dùng định lý điểm bất động

và bi ểu diễn nghiệm dưới dạng thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với sai số

.10 k ( {0,1, ,9})

1 Phân tích ý tưởng của phương pháp dùng định lý điểm bất động

Đầu tiên, ta đưa phương trình ( )∗ về phương trình tương đương:

( )x

x=ϕ (1)

Tiếp theo, ta chọn x0∈[a,b] làm nghiệm gần đúng ban đầu của (1)

Thay x=x0vào vế phải của (1), ta nhận được nghiệm gần đúng thứ nhất:

( )0

x =ϕ (2)

Thay x0 = x1vào vế phải của (2), ta nhận được nghiệm gần đúng thứ hai:

( )1

x =ϕ

Lặp lại nhiều lần quá trình trên, ta nhận được các nghiệm gần đúng:

( )2

x =ϕ ( )3

x =ϕ

………

( )−1

n x

x ϕ (3)

…………

Nếu dãy các nghiệm gần đúng { }x n n=1,2,3 được xây dựng như trên hội tụ, nghĩa là:

*

lim xn x

+∞

→ (4) Khi đó, từ (3) và (4), với giả thiết hàm số ϕ( )x liên tục trên [a,b], ta suy ra:

=

+∞

nlim x ( )− =

+∞

lim n

n ϕ x ( lim −1)

+∞

n x

hay x* = xϕ ( )∗

Trang 2

Trang 3

Điều này chứng tỏ rằng x* là nghiệm đúng của phương trình (1) và do đó cũng là nghiệm

đúng của phương trình ( )∗ Và với n khá lớn, chúng ta có thể xem x n là xấp xỉ của nghiệm

*

x

2 Cơ sở toán học

2.1 Các định lý cơ sở

 Định lý 1 ( Nguyên lý ánh xạ co )

Cho hàm s ố ϕ:[ ] [ ]a,b → a,b

Gi ả sử có q∈[0 1) sao cho ϕ( ) ( )x −ϕ y ≤q x−y,∀x,y∈[ ]a,b (**)

Khi đó:

i) T ồn tại duy nhất ∗

x ∈[ ]a,b :ϕ( )x∗ = x∗ (x.∗ được gọi là điểm bất động của ϕ) ii) Dãy { }x n n∈N định bởi :

( ), 0 1,2

1

0







=

x

c x

n

n ϕ v ới c∈[ ]a,b

là dãy h ội tụ về ∗

x Hơn nữa, ta có các ước lượng:

*

1 0 1

n n

q

−

ho ặc

*

1 1

n n n

q

−

Ch ứng minh

a Ch ứng minh tính duy nhất của điểm bất động ∗

x

Giả sử ∗

x , y.∗ là hai điểm bất động của ϕ

Khi đó, ta có:

=

− ∗

∗ y

x. ϕ( ) ( )x ∗ −ϕ y∗ ≤q x.∗− y∗ ⇒(1 −q)x.∗ −y∗ ≤ 0

Do q< 1 nên từ bất đẳng thức trên, ta suy ra: ∗ − ∗ = ⇒

0

.

y

x y.∗

Trang 3

Trang 4

b Ch ứng minh tính tồn tại của điểm bất độngx

Ta có, ∀ ∈n N:

( ) ( )

n n n n n n

x+ −x =ϕ x −ϕ x − ≤q x −x − ≤ ≤q x −x (1)

Khi đó, ∀n p, ∈N :

n p n n p n p n p n p n n

x + −x ≤ x + −x+ − +x + − −x + − + +x + −x

n p n p n p n p n n

n p n p n

q + − x x q + − x x q x x

1 0

= 1q x n −x q p− +q p− + +

1 0

1 =

1

p

n q

q x x

q

−

Như vậy, x n p+ −x n ≤ 1 0 1

1

p

n q

q x x

q

−

− (2)

Do q< 1 nên (1) chứng tỏ (x n n N)∈ là dãy Cauchy nên (x n n N)∈ hội tụ

Đặt .

lim n

x∗ = x Khi đó ∗

x là điểm bất động của ϕ

Thật vậy, ta có:

.

(x ) (limx n) lim (x n)

ϕ ∗ =ϕ = ϕ (do ϕ liên tục)

= limx n+1=x.∗

c Ch ứng minh các ước lượng

- Từ công thức (2) ở trên, cho p→ +∞ ta được: *

1 0 1

n n

q

- Mặt khác, ta có: ∀n p, ∈N,

n p n n p n p n p n p n n

x + −x ≤ x + −x+ − +x + − −x + − + +x + −x

n p n p n p n p n n

1

1 1

p p

n n n n n n p

n n

q

−

Cho p→ +∞ ta được *

1 1

n n n

q

− Như vậy, định lý đã hoàn toàn được chứng minh

Trang 4

Trang 5

Nh ận xét

Có nhiều cách để đưa phương trình f( )x =0 về dạng x=ϕ( )x , tức là có nhiều cách chọn hàm ϕ( )x Nhưng ta cần chọn hàm số ϕ( )x thỏa mãn điều kiện (**) trong định lí 1 để dãy

xấp xỉ liên tiếp { }x n n∈N hội tụ, và từ đó ta mới có thể tìm được nghiệm gần đúng x n bằng các ước lượng như trong định lí 1 Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, dùng điều kiện (**) để

kiểm tra hàm ϕ( )x sẽ gặp nhiều khó khăn trong quá trình tính toán Do vậy, từ tính chất của ánh xạ co, ta sẽ đưa ra một “công cụ” khác để kiểm tra điều kiện của hàm ϕ( )x một cách dễ dàng hơn Đó chính là mệnh đề sau đây

Cho ϕ:[ , ]a b →[ , ]a b là hàm liên tục trên [ , ]a b và kh ả vi trong ( )a b,

Khi đó ϕ là hàm co trên [ , ]a b khi và ch ỉ khi tồn tại 0≤ <q 1 sao cho '( )x q, x ( , )a b

Ch ứng minh

- CM chiều thuận: ϕ là hàm co trên [a,b] ⇒ Tồn tại 0≤ <q 1 sao cho:

'( )x q, x ( , )a b

Lấy x0 ∈ ( , )a b , do ϕ là hàm co trên [a,b] nên tồn tại 0≤ <q 1 sao cho:

{ }

0

0 0 0 0 0

( ) ( ) lim

'( )

x x

q

x x

q

x x

ϕ

→

−

- CM chiều nghịch:

Giả sử tồn tại 0≤ <q 1 sao cho: ϕ'( )x ≤ ∀ ∈q, x ( , )a b (1)

Ta cần CM: ϕ là hàm co trên [a,b]

Ta có: ϕ liên tục trên [a,b] và khả vi trong (a,b) Khi đó, theo định lý Lagrange ta có: , [ , ], ( , ) : ( ) ( ) '( ) '( )

x y a b c a b ϕ x ϕ y ϕ c x y ϕ c x y q x y

Vậy ϕ là hàm co trên [a,b]

Trang 5

Trang 6

Ví d ụ

Xét phương trình bậc 3: 3

f x =x + −x =

Ta có: f(9)< <0 f(10) Do đó f x( )có nghiệm x* [9,10]∈

Ta có thể đưa phương trình đã cho về các dạng x=ϕ( )x như sau:

3 1

3 3

i) ( ) 1000

1000 1

iii) ( ) 1000

ϕ

Ta lần lượt xét sự hội tụ của nghiệm trong từng trường hợp:

[9,10]

2 3

[9,10]

i) ' ( ) 3 ; suy ra max ' ( ) 3.10 300 1

729 81

x

x x

∈

−

∈

−

Như vậy, cách đưa về hàm ϕ( )x trong hai trường hợp i) và ii) cho ta phép lặp phân kỳ, còn trường hợp iii) thì cho ta phép lặp hội tụ nhanh

Chú ý

Với λ≠ 0, ta có:

f x = ⇔ = +x x λf x

⇔ =x ϕ( )x với ϕ( )x = +x λf x( ) (*)

Giả sử [a,b] là khoảng cách li nghiệm (*)và f x'( ) > 0 trên [a,b]

a x b a x b

M Max f x m Min f x

Đặt 1, = 1q m

Xét hàm ϕ( )x dạng (*)

Ta có: '( )x 1 f x'( )

M

Vì 0 m f x'( ) M nê '( )n x 1 f x'( ) 1- m q 1

ϕ

Trang 6

Trang 7

Như vậy, ϕ( )x được xây dựng như trên thỏa mãn điều kiện thứ nhất của định lý cơ sở

Và ta cũng có thể chứng minh được rằng với cách chọn 2

m M

λ = −

+ thì ϕ( )x tạo ra dãy lặp

hội tụ nhanh nhất với số q M m

−

= + , trong đó | '( ) |, | '( )|

a x b a x b

M Max f x m Min f x

 Định lý 2

Gi ả sử ϕ sao cho là hàm liên t ục trên [ , ]a b và kh ả vi trong ( )a b, th ỏa mãn:

i) ∀ ∈x ( , ) ,a b ϕ'( )x ≤ <q 1

ii) ∀ ∈x [ , ] , ( ) [ , ]a b ϕ x ∈ a b

Khi đó:

- T ồn tại duy nhất ∗

x ∈[ ]a,b :ϕ( )x∗ =x∗

- Dãy { }x n n∈N định bởi :

( ), 01,2

1

0







=

x

c x

n

n ϕ v ới c∈[ ]a,b

là dãy h ội tụ về ∗

x Hơn nữa, ta có các ước lượng:

*

1 0 1

n n

q

−

ho ặc

*

1 1

n n n

q

−

Từ định lý 1 và mệnh đề ở trên, ta suy ra được định lý 2

2.2 Hai cách đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

- Cách 1: sử dụng công thức *

1 0 1

n n

q

− làm ước lượng tiên nghiệm, nghĩa

là cho trước ε , sau khi biết được x1 (sau lần lặp thứ nhất), ta có thể xác định được số bước

lặp n sao cho sai số ở bước thứ n không vượt quá ε , khi đó ta sẽ nhận được nghiệm gần đúng x n đạt độ chính xác ε

Thật vậy:

Trang 7

Trang 8

Muốn *

n

x −x ≤ε , ta chỉ cần 1 0

1

n

q

x x

q − ≤ε

1 0

(1 ) ln

1 ln

q

x x n

q

ε −

Ta có thể chọn 1 0

(1 ) ln

1 ln

q

x x n

q

ε −

- Cách 2: sử dụng công thức *

1 1

n n n

q

− tiện lợi trong quá trình tính toán

vì nó cho ta ước lượng hậu nghiệm Nếu sai số giữa hai xấp xỉ liên tiếp 1

1

n n

q

x x

q ε

−

*

n

x −x ≤ε

2.3 V ấn đề tìm nghiệm gần đúng của phương trình và biểu diễn nghiệm dưới dạng

th ập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với sai số 10 (p −k p∈{0,1, ,9})

Có hai vấn đề cần giải quyết:

Vấn đề 1

- Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x=ϕ( )x với sai số đặt ra bằng cách sử dụng định

lý điểm bất động

Vấn đề 2

- Biểu diễn nghiệm gần đúng vừa tìm được dưới dạng thập phân gần đúng dạng chuẩn tắc

với sai số 10 (p −k p∈{0,1, ,9})

Gi ải quyết vấn đề 1

Giả sử x∗ là nghiệm đúng của phương trình x=ϕ( )x

Sau khi xây dựng hàm ϕ thỏa mãn các điều kiện của định lý để dãy lặp hội tụ (bao gồm cả xác định hệ số co q), để tìm gần đúng của phương trình x=ϕ( )x với sai số đặt ra, ta sẽ sử dụng công thức: *

1 1

n n n

q

− Đầu tiên, đặt x1= ϕ(x0) thì sai số định bởi: *

1

−

q

Trang 8

Trang 9

Trong thực hành, nhiều khi ta không thể tính chính xác được giá trị x1= ϕ( )x0 nên ta gọi x 1

là giá trị làm tròn của x1= ϕ(x0) đến t chữ số sau dấu phẩy (t≥k)

Và ta cần đánh giá 1

∗

−

x x thỏa mãn: 1

∗

x x ε với ε là sai số do phương pháp đặt ra

Nếu x 1 thỏa mãn điều kiện trên thì x 1 chính là nghiệm gần đúng của phương trình

Còn nếu x 1 không thỏa mãn điều kiện trên thì ta làm lại thuật toán từ đầu với x0 =x1 Và ta thực hiện lại quá trình trên cho tới khi tìm được x 1 thỏa mãn điều kiện thì dừng thuật toán Bây giờ ta cần xác định 1

∗

x x ε

Ta xét

• x∗ là nghiệm đúng của phương trình

• x là giá tr1 ị làm tròn của x1= ϕ(x0)đến t chữ số sau dấu phẩy (t≥k)

• x là giá trị làm tròn của x1đến k chữ số sau dấu phẩy

Khi đó, nghiệm ghi ở dạng thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với sai số .10 k ( {0,1, ,9})

p − p∈ cần tìm là: x∗ = ±x p.10−k

- Trước hết, để ϕ ( )x1 xác định, ta cần có x1∈[ ]a b, Để có được điều đó, ta chỉ cần lấy

,

a b có tối đa k chữ số sau dấu phẩy

- Tiếp theo, ta đánh giá sai số: x x− ∗

1 10 2

Để x−x∗ ≤ p.10−k với p∈{0,1, ,9}, ta chỉ cần: 1− ∗ ≤8, 5.10−k

x x (nghĩa là sai số do phương pháp không vượt quá 8,5.10−k)

Để dễ dàng hơn trong quá trình tính toán, ta chọn: ε =8.10−k

Khi đó, ta cần: 1− ∗ ≤ = 8.10−k

- Tiếp theo, ta đánh giá sai số: 1

∗

−

x x

Ta có:

Trang 9

Trang 10

1 1 1 1

− ≤ − + −

−

t q

x x q

1

.10

−

t q

q

1 0

x x

1 10

−

t q

x x

Suy ra:

( )

1 10

t q

Khi đó, để : 1− ∗ ≤ =8.10−k

1 10

t q

x x

Ta có thể cho:

( )

1 0

1

.10

−





 −



t q

q

x x

q

ε ε

( ) ( )

1 0

1 2

 ≥ −  − 





q

x x

q

ε

K ết luận vấn đề 1

- Để tìm được x1 thỏa mãn điều kiện đặt ra là: 1− ∗ ≤ =8.10−k

x x ε , ta cần làm tròn các số

hạng của dãy đến t chữ số sau dấu phẩy với t là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa:

1 log (1 )

≥

−

t

q

ε

- Sau đó ta tính (1 )

2

−

q

ε

và ∆ = x1−x0

- Nếu ∆ ≤ ∆ε thì thì x 1 chính là nghiệm gần đúng của phương trình

- Còn nếu x 1 không thỏa mãn điều kiện trên thì ta làm lại thuật toán từ đầu với x0 =x1 Và

ta thực hiện lại quá trình trên cho tới khi tìm được x 1 thỏa mãn điều kiện thì dừng thuật toán

Trang 10

Trang 11

Gi ải quyết vấn đề 2

Sau khi tìm được x1 là nghiệm và lấy x là giá trị làm tròn của x1 đến k chữ số sau dấu

phẩy, ta cần tìm p∈{0,1, ,9}: x−x∗ ≤ p.10−k

Ta đã có:

1

.10

2

( )

q q , với ∆ = x1−x0

Để x−x∗ ≤ p.10−k, ta chỉ cần:

( )

p

( )

− +

t k k

q p

Ta chọn p nhỏ nhất thỏa yêu cầu trên

Như vậy, ta tìm được nghiệm của phương trình ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc là: x∗ = ±x p.10−k

3 Thu ật toán và ví dụ

3.1 Thu ật toán

Tên thu ật toán: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình bằng phương pháp điểm bất động

Input: f x a b k( ), , , ,ε =8.10−k {a b, có tối đa k chữ số sau dấu phẩy}

Output: x∗ {Ghi dưới dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc}

Gi ải thuật:

Bước 1

- Xây dựng hàm ϕ thỏa mãn các điều kiện của định lý để dãy lặp hội tụ (bao gồm cả xác định hệ số co q)

Bước 2

- Tính 1

2

q q

ε − ε

∆ =

- Tìm t là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa : log 1

(1 )

≥

−

t

q

ε

Trang 11

Trang 12

- Chọn x0∈[ ]a b,

Bước 3:

- Gán x:=ϕ(x0) (với ϕ( )x0 là làm tròn của ϕ(x0 ) đến t chữ số sau dấu phẩy)

- Gán ∆ = −: x x0

Bước 4

- Nếu ∆ ≤ ∆ε thì:

 Đặt x là giá trị làm tròn của x đến kchữ số sau dấu phẩy

 Tìm p N∈ nhỏ nhất thỏa mãn: 1 10 10 1

t k q k

p

− +

 Xuất nghiệm *

.10 k

x = ±x p − và kết thúc

- Gán x0: =x và quay lại bước 3

B ảng thuật toán

0 x0∈[ ]a b,

1

1 ( )0

2

2 ( ) 1

i

1

i i

n

1

n n

3.2 Ví d ụ

Ví d ụ 1

Cho phương trình: x+logx=2 ( )∗ có nghi ệm trên [ ]1, 2

Tìm nghi ệm của ( )∗ và ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với sai s ố 3

.10

p − .

Trang 12

Trang 13

Gi ải

Ta có: ( )∗ ⇔ = −x 2 logx

Suy ra ϕ( )x = − 2 logx

1

ln10

q

⇒ =

Mặt khác:

[ ]

1 2 0 log log 2 1 2 log 2 2 log 2

( ) 1, 2

x

ϕ

Vậy ϕ( )x thỏa điều kiện áp dụng định lý điểm bất động

Chọn x0 = 1, 5 ∈[ ]1, 2

10

.

=

ε Khi đó, ta có:

( ) 1 1 8.10 3

0, 00521 1

2

ln10

q q

ε

ε  −  −

Ta tìm t là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa:

3

1

ln10

−

t

q

ε

3

⇒ =t

Như vậy, ta sẽ làm tròn các x1 =ϕ( )x0 đến chữ số thứ 3 sau dấu phẩy

Ta tính các x1 ới lúc ∆ = x1−x0 ≤ ∆ =ε 0, 00521 thì dừng thuật toán

Trang 13

Trang 14

Ta lập bảng sau: Bảng chi tiết thể hiện việc chọn lại x0 ban đầu:

0 1,5

1 1,824 0,324

2 1,739 0,085

3 1,760 0,021

4 1,754 0,006

5 1,756 0,002 < ∆ε

Vậy ta đã tìm được nghiệm gần đúng của ( )∗ là 1,756

Bây giờ, ta tìm p N∈ nhỏ nhất thỏa mãn:

1

t k q k

p

Suy ra: p= 3

Vậy phương trình có nghiệm * 3

1, 756 3.10

Ví d ụ 2

Cho phương trình: 3

5x −20x+ =3 0 ( )∗ có nghi ệm trên [ ]0,1

Tìm nghi ệm của ( )∗ và ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với 4

ch ữ số sau dấu phẩy.

n x n =ϕ(x n−1) ∆n

1 1,823908741…

0 1,824 1,824 − 1, 5 = 0, 324

1 1,738975166…

1 1,759700418…

1 1,754487332…

1 1,755970411…

0 1,756 0,002 < ∆ε

Trang 14

Trang 15

Gi ải

Để áp dụng thuật toán của phương pháp điểm bất động, ta đưa phương trình ( )∗ về dạng :

( )

x=ϕ x với ( ) 5 3 3

20

x x

Ta kiểm tra các điều kiện của hàm ϕ

i

2

20 4

x

ϕ = < = < ,∀ ∈x [ ]0,1

ii 0 ( ) 8

20

x

ϕ

≤ ≤ ,∀ ∈x [ ]0,1 Nghĩa là: ϕ( )x ∈[ ]0,1 ,∀ ∈x [ ]0,1

Như vậy, ϕ thỏa các điều kiện của định lý cơ sở nên dãy { }x n n∈N định bởi:

( ), 01,2

1

0







=

x

c x

n

n ϕ với c∈[ ]a,b

là dãy hội tụ về ∗

x là nghiệm duy nhất của phương trình trên [ ]0,1

Chọn x0 = 0, 5 ∈[ ]0,1

10

8 −

=

3

10

3

4

q q

ε

ε  −  − −

4

3 (1 )

8.10 (1 )

4

t

q

4

⇒ =t

1 0

4 10 3

−

∆ = x −x ≤ ∆ =ε thì dừng thuật toán

Trang 15

Trang 16

0 0,5

1 0,1813 0,3187

2 0,1515 0,0298

3 0,1509 0,0006

4 0,1509 0 < ∆ε

Vậy ta đã tìm được nghiệm gần đúng của ( )∗ là: 0,1509

3

t k q k

p

Suy ra: p= 3

0,1509 3.10

Ví d ụ 3

Cho phương trình: 3x−cosx=0( )∗ có nghi ệm trên 0,

2

π

Tìm nghi ệm của ( )∗ và ghi ở dạng biểu diễn thập phân gần đúng, dạng chuẩn tắc với sai s ố 3

.10

p −

n x n =ϕ(x n−1) ∆n

1 0,18125

0 0,1813 0,1813 – 0, 5 = 0, 3187

1 0,1514898187…

1 0,1508693165…

1 0,1508590288…

Trang 16

Trang 17

Gi ải

Ta có: ( )∗ cos

3

x x

⇔ =

Suy ra: ( ) cos

3

x x

Ta kiểm tra các điều kiện của hàm ( ) cos

3

x x

Ta có: '( ) sin 1 1

x

2

x  π

∀ ∈  

Mặt khác:

1

0 ( )

3

x

ϕ

2

x  π

∀ ∈   Nghĩa là: ( ) 0; , 0;

ϕ ∈  ∀ ∈ 

Vậy ϕ( )x thỏa điều kiện áp dụng định lý phương pháp điểm bất động

Chọn 0 0, 5 0,

2

∈  

10

.

=

1

8.10

1 2

2.

3

q q

ε

ε  −  − −

3

1 (1 ) 8.10 (1 )

3

−

t

q

3

⇒ =t

Ta tính các x1tới lúc 3

1 0 8.10−

∆ = x −x ≤ ∆ =ε thì dừng thuật toán

Trang 17

Trang 18

Vậy ta đã tìm được nghiệm gần đúng của ( )∗ là: 0,317

1

t k q k

p

Suy ra: p= 3

0, 317 3.10

x = ± −

n x n =ϕ(x n−1) ∆n

1 0,2925275206…

0 0,293 0, 293 – 0, 5 = 0, 207

1 0,319127236…

1 0,3165165033…

0 0,317 0,002 < ∆ε

n x n ∆n

0 0,5

1 0,293 0,207

2 0,319 0,026

3 0,317 0,002 < ∆ε

Trang 18

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	255,69 KB