Dạng tiệm cận của phương trình tán sắc của sóng trong trường hợp xấp xỉ sóng dài

bằng việc do tốc độ lan truyền của sóng.. T rong lĩnh vực nền móng, bằng phương ph áp trên có th ể xác định dược chiều sâu củ a móng, rnô-dun dàn hồi của v ật liệu thi công, xác định khả

VIỆN C ơ HỌC

LỜI MỞ ĐẦU

MỞ ĐẦU ……… 3

Chương 1: Các hệ thức tuyến tính Hóa cơ bản của lý thuyết đàn hồi có biến dạng ban đầu thuần nhất………9

1.1- Các ký hiệu và các hệ thức cơ bản của lý thuyết đàn hồi phi tuyến ……9

1 2 Các hệ thức tuyến tính hoá của lý thuyết đàn hồi với biến dạng ban đầu hữu hạn ……….9

1 3 Các hệ thức cơ bản của lý thuyết đàn hồi với biến dạng ban đầu là thuần nhất ……… ………16

Chương 2 SÓNG HAI THÀNH PHAN TRONG MÔI TRƯỜNG VÔ HẠN , KHÔNG NÉN ĐƯỢC , PHÂN LỚP TUẦN HOÀN………20

2.1 Đặt bài toán ……… 20

2.2 Xác định phương trình tán sắc ……… 25

2.2.1 Biểu diễn nghiệm Y………25

2.2.2 Xác định ………28

2.3 Ví dụ bằng số ……… 49

Chương 3 SÓNG LOVE TRONG MÔI TRƯỜNG PHÀN LỚP KHÔNG NÉN ĐƯỢC……….………51

3.1 Mở đầu ……….51

3.2 Đặt bài toán ……… 51

3.3 Biểu diễn nghiệm ……….54

3.3.1 Nghiệm của phương trình (3.23 )……….56

3.3.2 Tìm nghiệm của phương trình ( 3.24 ) ………60

3.4 Tính các í ì i ( i = l , n )……… 63

3.4.2 Chứng minh … = 0 ……… ……… 64

3.4 3 Tính Q3………65

3.4 4 Chứn g minh …= 0 ………65

3.4.5 Tìm ……….67

3.4.6 Chứng minh 2n = 0……….68

3.4.7 Công thức truy hồi của ÍÌ 2n - i ( n > 1)……….………73

3.5 Ví dụ bằng số……….74

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ………77

T á c g iả x in c h ân th à n h cảm ƠI 1 các T h ầ y giáo, C ô giáo tro n g B an lãn h dạo V iện C ơ học, các T h ầ y giáo, C ô giáo tổ chứ c v à giảng d ạ y lớp cao học k h o á 6 c ủ a T ru n g T â m Đào

T ạ o sa u dại học tạ i viện C ơ học, T rư ờ n g Dại học C ông nghệ,

dã tạ o nhiều diều kiện th u ậ n lợi tro n g s u ố t k h o á học v à q u á trìn h v iế t lu ậ n v ă n tố t nghiệp T á c g iả c ũ n g xin b ày tỏ lòng

b iế t ƠI 1 sâu sắc dối với PG S T S P h ạ m C h í V ĩnh, người dã chì bảo, h ư ớ n g d ẫ n v à giú p dỡ n h iệ t tìn h dề T á c g iả hoàn

th à n h b ản lu ận v ă n này

T á c giả

Nguyền Thị Khánh Linh

M Ờ D À U

Nghiên cứ u các bài to á n truyền sóng tro n g môi trư ờ n g dàn hồi

có ý ng h ĩa th ự c tế to lớn v à dã dược áp dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau

T rong Địa chấn học, x u n g được tạo ra t ừ phương pháp nổ mìn tro n g các hố khoan, q u á trìn h lan truyền sóng th u dược q u a các

th iế t bị do C ác số liệu th u dược dem p h ân tích, so sánh, cho phép

t a xác định dược sự p h ân lớp của các lớp đất đá, xác định dược

bề d ày c ủ a từ n g lớp Q u a dó xác định dược địa tầng, khu vực cần nghiên cứu,

T rong công việc tìm kiếm và th ăm dò khoáng sản, việc phân tích

v à so sánh phổ củ a các q u á trìn h truyền sóng cho phép xác định vị trí, các th ầ n q uặng n ằm sâu trong lòng đất Q u a dó có thể xác định

p h ạ m vi p h â n bố c ủ a mỏ quặng, phục vụ tố t cho công tác diều tr a khảo sát

T rong lĩnh vực dộng lực học công trình, nghiên cứu quá trình lan tru y ề n sóng tro n g các kết cấu nhằm p h á t hiện các dị thường (khuyết tậ t) c ủ a kết cấu bên trong công trìn h T ừ dó có các biện

p h áp sử lý kịp th ờ i n h ằm đảm bảo an to à n cho các công trình trư ớ c khi dư a di s ử dụng

T rong chế tạo cũng n h ư lắp dặt cấu kiện, bằng phương pháp sóng siêu âm có th ể xác định dược ch ất lượng củ a mối hàn chịu lực, các k h u y ết t ậ t tro n g q u á trìn h gia công, chế tạo vv

Trong xây dựng công trìn h , dế đánh giá ch ất lượng các công trìn h , theo truyền thống, người ta th ư ờ n g d ù n g các phương pháp lấy m ẫu củ a các vật liệu, sau dó dược th ử tro n g phòng th í nghiệm, hoặc th í nghiệm trự c tiếp tại hiện trư ờ n g Các phương pháp lấy

m ẫu (phương pháp trự c tiếp) tu y có dộ chính xác cao, song phương

p h áp này thư ờ ng gây ra sự p h á vỡ k ết cấu, làm ảnh hưởng đến sử dụng công trìn h và rấ t tốn kém

D ự a vào nguyên lý truyền sóng tro n g các môi trư ờ n g dàn hồi

có th ể kiểm tr a đánh giá ch ất lượng các công trìn h , xác định trạng

th ái ứng su ất trư ớ c v.v bằng việc do tốc độ lan truyền của sóng

P hư ơng ph áp này hiện dang dược áp dụng rộng rãi trong th ự c tế

v à dược gọi là phương ph áp không p h á huỷ

T rong lĩnh vực nền móng, bằng phương ph áp trên có th ể xác định dược chiều sâu củ a móng, rnô-dun dàn hồi của v ật liệu thi công, xác định khả năng chịu tầi c ủ a móng công trình

N hư vậy, việc nghiên cứ u các bài to án tru y ền sóng trong môi trư ờ n g dàn hồi có nhiều ý nghĩa th ự c tiễn v à r ấ t cần dược nghiên cứu Trong số dó, các bài to án truyền sóng trong các môi trư ờ n g dàn hồi ph ân lớp dược các n h à nghiên cứu dặc biệt chú ý, do những ứng dụng to lớn củ a chúng C hẳng hạn các công trìn h [1], [3], [6], [11], [14] liên quan dến bài to á n tru y ền sóng tro n g môi trư ờ n g dàn hồi phân lớp không có ứng su ấ t trư ớ c Bài to án truyền sóng trong môi trư ờ n g dàn hồi phân lớp có ứng su ấ t trư ơ c dược nghiên cứu, chẳng hạn tro n g các công trìn h [5], [7]-[10], [12]

M ột trong những vấn dề quan trọ n g khi nghiên cứu bài toán

tru y ền sóng là tìm phương trìn h tá n sắc củ a sóng: ÍO = Lú(k), u là

tầ n số sóng, k là số sóng Sau khi xác định dược phương trình tán

sắc củ a sóng t a mới xác định dược vận tốc tru y ền sóng c = £ và

các dặc trư n g khác nhau chuyển dịch, ứng su ất, biến dạng củ a môi trư ờng

T rong số các bài toán truyền sóng trong môi trư ờ n g dàn hồi

p h ân lớp, bài toán truyền sóng trong môi trư ờ n g phân lớp tu ầ n hoàn dược nhiều tác giả quan tâm , dặc biệt khi các lớp đều mỏng

hay khi xấp xỉ sóng dài (tứ c là khi E = k l ì < < 1, Ả: là số sóng, h là

độ dày m ột chu kỳ)

T rong các công trình [7], [9], [10], [12], bằng cách sử dụng các khai triển tiệm cận củ a nghiệm, hay x u ấ t p h á t từ các phương trìn h của môi trư ờ n g com posite lớp có cấu trú c tu ầ n hoàn, bằng cách

cho £ —» 0, dã thu dược các phương trìn h th u ần n h ấ t hoá Giải bài

toán th u ầ n n h ấ t hóa tác giả th u được vận tốc truyền sóng, tứ c là tìm dược xấp xỉ “bậc không” (fỉi) trong khai triển sau củ a phươngtrìn h tá n sắc:

công th ứ c tín h Q\, ÍỈ3 v à chứng m inh dược ÍỈ2 = 0

4) Khi môi trư ờ n g vô hạn, phân lớp tu ầ n hoàn thay bằng môi trư ờ n g ph ân lớp h ữ u hạn thì các khẳng định trên còn đúng không?Mục tiêu của luận văn nhằm tr ả lời các câu hỏi nêu trên Cụ thể, các kết q u ả của luận văn khẳng dinh:

i) t h n — 0 Vn > 1 dối với sóng hai th à n h phần tru y ền trong môi

trư ờ n g vô hạn tu ần hoàn không nén dược, có biến dạng ban dầu

th u ần n h ấ t, v à sóng Love (sóng m ột th à n h phần) trong môi trư ờ n g không nén dược, có biến dạng ban dầu th u ầ n nh ất

ri) T ìm dược công th ứ c tính Qi, fỈ3 v à công th ứ c tru y hồi đổ tính

0 , 2 n+1(™ > 1) cho hai loại sóng trên N hờ công th ứ c này, ta có thể tính to án bằng số các xấp xì bậc cao

C ần nh ấn m ạnh rằng, với các m ục đích khác nh au , việc xác định các xấp xỉ bậc cao trong phương trìn h tá n sắc (*) là cần th iế t dối với môi trư ờ n g có ứng su ất trư ớ c cũng n h ư không có ứng suất trư ớc Vì môi trư ờ n g không có ứng su ất trư ớ c là m ột trư ờ n g hợp riêng c ủ a môi trư ờ n g có ứng su ấ t trư ớ c (khi các ứng suất trước bằng không) nên luận văn sẽ trìn h bày các k ế t q u ả cho môi trư ờng

có ứng su ấ t trư ớ c T ừ các kết quả th u dược cho môi trư ờ n g có ứng

ứng su ất trư ớc.

Luận văn gồm 3 chương:

* Chương I: Trình bày các hệ th ứ c tu y ến tính hoá cơ bản của

lý th u y ết dàn hồi có biến dạng ban đầu th u ầ n n h ất, cần th iết cho chương II và chương III

* C hương II: Nghiên cứu bài toán tru y ền sóng hai th àn h phần dọc lớp trong môi trư ờ n g vô hạn, phân lớp tu ầ n hoàn, mỗi chu kỳ

gồm N lớp v ậ t liệu khác nhau không nén dược có biến dạng ban

đầu th u ần nh ất

Dã chứng m inh dược:

ỉ) $hn — 0 Vn > 1.

li) Tìm dược công th ứ c tính fỉi, ÍỈ3

Ui) Xây dựng dược công th ứ c tru y hồi dề tín h n 2n+i (n > 1 )

* C hương III Khảo sá t sóng Love (sóng m ột th à n h phần) trong

môi trư ờ n g gồm N lớp v ật liệu khác nh au ( N > 2) dặt trên bán

không gian Môi trư ờ n g dược giả th iế t là không nén dược v à có biến dạng ban đầu thuần nh ất Các kết q u ả chính củ a chương IIIlà:

i) C hứng m inh dược 0 , 2,1 — 0 Vn > 1.

iỉ) Tìm dược các công th ứ c tính Í23, Q 5

Ui) Xâv d ự n g công th ứ c tru y hồi dể tín h ÍỈ2TĨ+1 (ft > !)•

giải các bài toán ờ các chương sau.

1.1 C á c k ý h iê u v à c á c h ê t h ứ c c ơ b à n c ủ a lý t h u y ế t đ à n hồi p h i t u y ế n

G iả sử trong hệ to ạ dộ trự c chuẩn Xi (2 = 1, 2, 3) với cơ sở ỹu chuyển dịch củ a điểm M trong môi trư ờ n g có dạng:

trong dó:

XmẨm'- là to ạ độ củ a điểm M trư ớ c v à sau khi biến dạng.

Vì giữa to ạ dộ của diem M trư ớ c và sau khi biến dạng có sự

tư ơ n g ứng dơn trị nên ta có:

um{ x l ì x 2 , x 3 ì T) = Ẹm( x i , x 2 , x 3 ỉ t ) - x m

u m: là các th àn h phần của véc tơ chuyển dịch ũ.

Đ ẳng th ứ c (1.2) xác định hai phương p h áp mô tả sự chuyển dộng của môi trường

P h ư ơ n g pháp mô tả Lagrăng coi x m (m à dược gọi là to ạ độ

Lagrăng) là tham số của chuyển dộng củ a môi trư ờ n g Các to ạ dộ này không th ay dổi trong q u á trìn h chuyển dộng, vì vậy các dường

to ạ dộ x m trong môi trư ờ n g biến dạng là đường cong không trự c giao với hệ cơ sở ĩm Phư ơng p h áp th ứ hai là phương pháp ơ le , coi th a m số chuyền dộng của môi trư ờ n g là Ẹm.

N H A T

(1.1)

Ẹ,m ĩ £ 2? £3? *7") U jii(£1 ? Ẹ,2 i £ 3? 7") (1.2)

dạng) làm to ạ dộ Lagrăng Khi dó, ờ trạ n g th ái tự nhiên ỹm v à ĩm

trù n g nhau T a biển thị dạo hàm theo biến L agrăng bằng các dấu

ph ầy theo chỉ số, và dạo hàm theo th ờ i gian bằng d ấu chấm

Trong hệ to ạ dộ Lagrăng, biến dạng c ủ a môi trư ờ n g dược xác định bằng ten x ơ biến dạng dối xứng Green:

T rạng th ái ứng suất dược mô tả bớ i ten x ơ ứng su ấ t suy rộng được xác định th eo công th ứ c sau:

* _ s*n ơmn

Nếu J m là véctơ dơn vị vuông góc với ph ần tử diện tích m à

trư ớ c biến dạng vuông góc với Irn th ì Sm v à s*n là diện tích của

ph ần tử diện tích này trư ớ c và sau biến dạng Ơmn là th àn h phần

th eo hướng ĩ n của véc tơ ứng suất, tác d ụ n g lên phần tử nói trên,

Đối với v ậ t thể không nén được, các biến phân củ a các thành

p h ần tenxơ biến dạng Green phụ thuộc lẫn nhau:

T ừ công th ứ c (1.7), (1.9) t a nhận dược công th ứ c xác định ứng

su ất suy rộng trong v ật th ể không nén dược:

trong dó: p là hàm vô hướng củ a x m.

Đối vói v ậ t thể dàn hồi, dẳng hướng, nén dược, th ế dàn hồi dược xác định d ư ớ i dạng n h ư sau:

trong dó: A, ịi là các hằng số Lame; a, ò, c là các hằng số cấp ba,

dược xác định bằng phương pháp siêu âm

Đối với v ậ t thể dàn hồi dẳng hướng, không nén dược th ế dàn hồi

có dạng:

ộ = ộ ự u Ỉ 2 ) = W { A u A 2) (1.15)

G iả s ử trên phần m ặ t s 1 cho trư ớ c ứng su ấ t, trên phần trên m ặt

s 2 cho trư ớ c chuyển dịch:

ờ dây x * u v à p*n: là hình chiếu trên trụ c ỹm củ a lực th ể tích và lực

m ặ t, tá c dụng lên v ậ t th ể trên m ột dơn vị th ể tích, v à trên m ột dơn

vị diện tích trước biến dạng

um\r=T = g { 2 ){xu x 2 , x 3) (1.21)

Còn dối với bài toán biến dộng học hỗn hợp thì thêm diều kiện

1.2 C á c h ệ t h ứ c t u y ế n t í n h h o á c ủ a lý t h u y ế t đ à n h ồ i v ớ i

b iế n d a n g b a n đ âu h ữ u h ạ n

Để nghiên cứ u sự lan truyền sóng tro n g v ậ t th ể dàn hồi có biến

d ạn g trư ớ c, ta cần phân biệt b a trạ n g th á i củ a môi trường: trạng

th á i tự nhiên khi m à môi trư ờ n g chưa bị biến dạng, trạ n g th ái ban đầu (có biến dạng trư ớ c) và trạ n g th ái tại th ờ i điổm dang xét.Các dại lượng dặc trư n g cho trạ n g th ái ban đầu dược ký hiệu bởi chỉ số “0” ỏ- trên (ví dụ uũ m,

Các dại lượng dặc trư n g cho trạ n g th á i tại thời điểm dang xét

dược đánh “d ấu phẩy” ờ trên (ví dụ u'm, ơ'mn ).

Còn các dại lượng nhiễu động (m à chúng gây ra trư ờ n g sóng)

th ì dược giữ nguyên không thêm ký hiệu gì (ví dụ urn,ơ*mn ).

Khi dó chúng ta có:

C húng t a dã giả th iế t rằng trạn g th ái tại thờ i điểm dang xét khác

r ấ t ít trạn g th á i ban đầu, tứ c là nhiễu dộng là r ấ t bé so với các dại lượng ờ trạ n g thái ban dầu Khi dó, bằng phương pháp tuyến tính hoá các đẳng th ứ c trong phần 1, chúng ta sẽ th u dược các đẳng thức đối với các nhiễu dộng Khi tính nhiễu dộng, ví dụ:

T uyến tính hoá biểu th ứ c (1.20), (1.21), (1.22) ta có:

N hư vậy để giải bài to án biên tu y ến tính hoá dộng học củ a v ật

th ể nén dược, ta phải giải các phương trìn h (1.35), với diều kiện clầii (1.33) và các diều kiện biên (1.32), (1.37)

Đối với bài toán hỗn hợp, thì ta phải giải các phương trìn h (1.35) với các điều kiện biên (1.32), (1.37) và điều kiện biên ban dầu (1.34).Dối với v ật thề không nén dược, bài toán biên tu y ến tính hoá dộng học d ẫ n dến việc giải các phương trìn h (1.36) với các diều kiện biên (1.32), (1.38) v à diều kiện dầu (1.33) Đối với bài to án biến hỗn hợp, th ì th a y các diều kiện (1.33) bằng diều kiện ban dầu (1.34)

1 3 C á c h ê t h ứ c c ơ b ả n c ủ a lý t h u y ế t đ à n h ồ i v ớ i b iế n

d a n g b a n đ ầ u là t h u ầ n n h ấ t

G iả sử biến dạng ban đầu trong v ật th ể là th u ần n h ấ t tứ c là:

P h ư ơ n g trìn h trạ n g th ái (1.25), có dạng (sử dụng các phương trìn h (1.27), (1.40), (1.41))

Mima /3 được xác dịnh n h ư sau:

N / n a U a — 0) r a, a = 1, 2, 3, 4 (1.55)

u 4 = p

Đối với v ậ t th ể dẳng hướng không nén dược, diều kiện biên dạng ứng suất là:

C h ư ơ n g 2

S Ó N G H A I T H À N H P H A N T R O N G M Ô I T R Ư Ờ N G V Ô

H Ạ N , K H Ô N G N É N D Ư Ợ C , P H Â N L Ớ P T U A N H O À N

2.1 D ặ t b à i t o á n

X ét môi trư ờ n g vô hạn, phân lớp tu ầ n hoàn, m ỗi chu kỳ gồm N lớp

v ật liệu khác nh au ( N > 2) G iả sử các lớp v ậ t liệu là không nén dược

và có biến d ạn g ban dầu thuần n h ất, tứ c là trư ờ n g chuyền dịch ban dầu

th ỏ a m ãn (1.40) T ại trạng thái biến dạng b an dầu ta sử dụng hệ tọ a độ

Đề-các vuông góc OZ 1 Z 2 Z 3 chung cho cả môi trư ờ n g , trong dó m ặt phẳng

OZ 1 Z 3 trù n g với m ặt đáy của lớp đầu tiên củ a m ột chu kỳ nào dó (xem hình vẽ 1) Ký hiệu hi và h là dộ dày lớp th ứ i v à dộ dày m ột chu kỳ

tại trạn g th á i ban dầu, khi dó ta có:

h = h\ + h,2 + • • • + h]\Ị.

/ z2

Đối với to ạ độ Lagrăng (xt), hệ phương trìn h chuyển dộng có dạng

(1.55) Bỏ q u a lực khối, chuyển sang hệ O 2 1 Z 2 Z 3 , hệ phương trìn h

chuyển động dối với trư ờ n g hợp sóng p hẳng (u 1 = U i( z i, z 2 , r ) , « 2 =

u 2 (z \ Z 2 ,t), wò = 0 ) c ó d ạ n g :

( B llll« lfl),l + ( #2112^1,2 ),2 + ( #2121^2,1),2 + (-^1122^2,2 ) 4 — p \ = pũ 1, ( #2222^2,2 ) ,2 + ( £ 1221^2,l),l + (-^1212^1,2),1 4- ( #2211^1,1),2 — p*2 — p ^2>

tro n g dó: = AiXpHimap, 'Himaíì xác dịnh bờ i (1.57), p* = - p , dấu

chi dạo hàm th eo các biến không gian Z ị dấu biểu th ị dạo hàm

th eo thời gian T, p*: nhiễu áp su ất, p: khối lượng riêng củ a v ật liệu (ỏr

trạ n g thái b an đầu)

Chú ý rằng: Bijki € Z 2 và (2.1 )3 là diều kiện không nén dược Khi không

có ứng su ấ t trư ớ c: Dntí = /i = Bijji (ỉ ^ j ) , Biijj = Bijij (i Ỷ j ) = 0

T heo (1.60), ứng suất trên m ặt Z 2 = co n st v à có dạng:

Do môi trư ờ n g là tu ần hoàn vô hạn nên th eo Floquet, các biên độ

U i , T ị (i = 1, 2) phải th ỏ a m ãn điều kiện tu ầ n hoàn:

Uị(kh) = ối(0), Ti(kh) = T ị (0), 2 = 1 , 2 (2.9)

r t2 £52222 -£>2222 0 2 2 2 2

T ừ (2.5) v à (2.16) ta th u dược:

p* = -2/2 + 2(-Ỡ2211 - #2 2 2 2 )^1 •

T hay (2.13) vào phương trìn h dầu của (2.4) t a có:

Dưới dạng m a trận , (2.22) được viết dưới d ạn g sau

N hư vậy bài toán dưa về tìm nghiệm củ a phương trìn h (2.27) trên đoạn [0, 1] với diều kiện tu ầ n hoàn.

£1221 —

R 22121 „ 0

~R -02112 ~ p U ì

1Ổ211200

• -Ỡ2121

—

&

00

—ỉ

0

2112

(2.31)

2 2 1 B iể u d iễ n n g h iệ m Y

Để giải (2.27), ta khai triển Y dưới dạng:

00

71=0

(2.32)

(2.37)

(2.38)

T a sẽ chứng m inh công th ứ c sau:

(2.46)

(2.47)

V ậy công th ứ c (2.39) đúng với j = 1,2 ,3

G iả sử (2.39) dứng với j = 1 , 2 , 3 71 — 1 T a sẽ chứng m inh (2.39)

*43 0

( 2 6 5 )

trong dó:

(2.66)

sh 0 S31 s 34

T hay các k ết q ủ a trên vào (2.73) và chú ý: S2!

d ei[/l0B 2C 0D 0] =

0 ,212 s-°13 0

«5°

* 2 1 0 0 0 S 21„0 0 s212 „013 SÕ

31 0 0 <?°

34 *31«jõ «5°34 42 s 43<jõ

0 q242 , 043 0

= *Ĩ1«Ỉ*(»Ỉ» 4