Toàn văn luận án tính ổn định và bền vững của một số tính chất hệ động lực tuyến tính

Một trong các vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứutính ổn định bền vững là tính bán kính ổn định của hệ dưới tác động của nhiều loại nhiễukhác nhau.. Pritchard [54]; sau đó, [35] nghi

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô và các bạn trong Khoa Công Nghệ Thông Tin

và Toán ứng dụng trường Đại học Tôn Đức Thắng đã luôn quan tâm và động viên tôitrong quá trình học tập

Tác giả luận án

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêutrong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một luận án nàokhác

Tác giả luận án

Dương Đặng Xuân Thành

Danh sách ký hiệu

L (X ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X

LR(X ) Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục trên X

L+(X ) Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục trên X

L (X , Y ) Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vàoY

LR(X , Y ) Tập các toán tử thực tuyến tính liên tục từ X vàoY

L+(X , Y ) Tập các toán tử dương tuyến tính liên tục từ X vàoY

σ(.) Tập phổ

ρ(.) Tập giải

svs(.) Tập các giá trị kỳ dị

r(A) Bán kính phổ -sup{|λ|:λ ∈ σ (A)}

s(A) Chận trên phổ -sup{ℜλ:λ ∈ σ (A)}

N(.) Không gian con nhân

R(.) Không gian con ảnh bởi

Mục lục

1.1 Toán tử Metzler 11

1.2 Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng 16

1.3 Bán kính ổn định 21

1.4 Tính ổn định không phụ thuộc trễ 23

1.5 Ví dụ 25

Chương 2 Hệ rời rạc cấp cao 27 2.1 Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng 28

2.2 Bán kính ổn định 31

2.3 Ví dụ 36

Chương 3 Phương trình sai phân 39 3.1 Tính ổn định của phương trình sai phân dương 40

3.2 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số 45

3.3 Bán kính ổn định 47

3.3.1 Hệ sai phân phụ thuộc tham số 47

3.3.2 Phương trình sai phân 53

3.4 Ví dụ 55

Phần 2: Bán kính điều khiển được 57

4.1 Kiến thức cơ bản 59

4.2 Bán kính điều khiển được 63

4.2.1 Nhiễu trên cả A vàB 63

4.2.2 Nhiễu trên chỉ A 64

4.2.3 Nhiễu trên chỉB 65

4.2.4 Bán kính điều khiển được thực và phức 66

4.3 Ví dụ 68

Chương 5 Hữu hạn chiều 69 5.1 Kiến thức cơ bản 71

5.2 Bán kính điều khiển được có cấu trúc 74

5.2.1 Nhiễu trên cả A vàB 74

5.2.2 Nhiễu trên chỉ A 77

5.2.3 Nhiễu trên chỉB 79

5.3 Tính bán kính điều khiển được có cấu trúc 80

Chương 6 Thuật toán tính toán 83 6.1 Mở rộng kết quả của Gu 85

6.2 Thuật toán chia ba 87

6.2.1 Thực hiện kiểm tra Gu mở rộng 88

6.2.2 Tìm trị riêng 90

6.3 Kết quả thực nghiệm 91

6.4 Bán kính ổn định hóa được 92

Phần 1

Bán kính ổn định

Chương 1

Hệ liên tục có chậm

Trong nhiều thập kỷ qua, tính ổn định bền vững của hệ liên tục theo thời gian đã đượcnhiều nhà toán học quan tâm Một trong các vấn đề quan trọng trong việc nghiên cứutính ổn định bền vững là tính bán kính ổn định của hệ dưới tác động của nhiều loại nhiễukhác nhau Các kết quả cho không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứu khá đầy đủtrong các tài liệu tham khảo [59, 61, 62, 87, 104] Một số mở rộng cho không gian vôhạn chiều được thực hiện trong [34, 35, 36, 39, 60, 96, 114]; đặc biệt, công thức tườngminh cho bán kính ổn định phức đối với hệ

˙x(t)=Ax(t), t≥0,dưới tác động của đơn nhiễu có cấu trúc

A,→A+D ∆E

đã được đưa ra trong [36], nhằm mở rộng một kết quả kinh điển của D Hinrichsen và A

J Pritchard [54]; sau đó, [35] nghiên cứu bài toán trong trường hợp Alà toán tử Metzler

và chỉ ra rằng bán kính ổn định thực và phức của hệ là trùng nhau và có thể được tínhtoán một cách dễ dàng

Trong chương này, chúng tôi xem xét hệ liên tục có chậm sau

(1.1) u(t)˙ =A0u(t)+A1u(t−h1)+ +A N u(t−h N ), t≥0,

trong đó A i là các toán tử trên không gian Banach X, và h i∈ R+:=(0,+∞), với mọi

i∈N :=1, 2, , N

Bố cục của chương này được trình bày như sau Trước hết, chúng tôi nghiên cứutính ổn định bền vững của toán tử Metzler dưới tác động của đa nhiễu có cấu trúc Tính

ổn định của hệ dương được nghiên cứu thông qua tựa đa thức đặc trưng trong phần 2.Bán kính ổn định được nghiên cứu trong phần 3 Cuối cùng là kết quả đối với tính ổnđịnh không phụ thuộc trễ Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong[T1, T5]

1.1 Toán tử Metzler

Cho X là không gian Banach phức và A : X −→X là toán tử đóng, tập phổ của A

được ký hiệu làσ (A), tập giải của Ađược ký hiệu làρ (A) :=C\σ (A),và đặt R( λ , A) :=(λ I−A)−1∈ L (X )- tập các toán tử tuyến tính liên tục trên X - vớiλ ∈ ρ (A) Bán kínhphổ r(A)và chận trên phổ s(A)được định nghĩa như sau

r(A) :=sup{|λ|:λ ∈ σ (A)} s(A) :=sup{ℜλ:λ ∈ σ (A)}

Kí hiệu nửa đóng trái mở của mặt phẳng phức bởi C − = {λ ∈ C: ℜλ < 0}, toán tử

A : X −→X được gọi là ổn định Hurwitz nếu σ (A)⊂ C −, và là ổn định Hurwitz chặt

nếu s(A)<0 Rõ ràng rằng một toán tử ổn định Hurwitz chặt thì sẽ ổn định Hurwitz.Giả sử rằng X , Y là các không gian Banach phức có thứ tự, và X+,Y+ lần lượt ký hiệucác nón dương của X,Y; vàLR(X , Y ),L+(X , Y )lần lượt là các tập của tất cả các toán

tử tuyến tính liên tục thực và dương đi từ X vàoY Trong suốt chương này, chúng tôiluôn giả sử rằng các không gian được xét đến là các không gian Banach phức có thứ tự

Định nghĩa 1.1.1. [35]Toán tử đóng A : X −→X được gọi là toán tử Metzler nếu tồn tại ω ∈ R sao cho (ω,∞)⊂ρ (A) và R(t, A) là toán tử dương với mọi t∈(ω,∞).

Toán tử Metzler còn được gọi là toán tử có phổ dương và được giới thiệu trong [6].Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu một số tính chất quan trọng của toán tử dương và toán tửMetzler

Định lý 1.1.2. [79]Cho T ∈ L+(X ) , ta có

(a) r(T)∈σ (T) ;

(b) R( λ , T)≥0khi và chỉ khi λ ∈ R và λ > r(T)

Định lý 1.1.3. [35]Cho A là toán tử Metzler trên X , ta có

(a) s(A)∈σ (A) và s(A)=t−[r(R(t, A))]−1,∀t >s(A) ;

(b) hàm số R(· , A) là dương và giảm dần với t>s(A)

s(A)<t1≤t2=⇒0≤R(t2, A)≤R(t1, A);

(c) nếu A sinh nửa nhóm dương liên tục thì R(t, A) là toán tử dương khi và chỉ khi

t>s(A) ;

(d) |ER(λ , A)x| ≤ER(ℜ λ , A)|x|, ℜλ > s(A), x∈X , với E ∈ L+(X , Y )

Bây giờ, chúng tôi giả sử rằng toán tử A bị nhiễu với cấu trúc như sau

Ta có hàm truyềnG i j(·)là giải tích trênρ (A)

Mệnh đề 1.1.4 Cho λ ∈ ρ (A) và∆i∈L(Y i ,U i ), i∈N , nếu

Chứng minh. Ta trang bị cho không gian Banach tíchU1× .×U N chuẩn sau

[λ I−(A+D ∆E)]−1=R( λ , A)[I−D ∆ER( λ , A)]−1

Hayλ ∈ ρ (A+D ∆E)=ρ (A+PN i=1 D i∆i E i)

Định nghĩa 1.1.5 Cho toán tử A là ổn định Hurwitz Các bán kính ổn định (Hurwitz) thực, phức và dương của A đối với nhiễu cấu trúc(1.2)được định nghĩa như sau

Định lý 1.1.6 Cho toán tử A là ổn định Hurwitz, ta có

1max

i, j∈N

sup

ℜs≥0

||G i j (s)||

Theo định nghĩa của bán kính ổn định phức, suy ra tồn tại(∆1, ,∆N),∆i ∈ L (Y i ,U i ), i∈

N, vàλ ∈ Cvớiℜλ ≥0sao cho λ ∈ σ (A∆)và

j=1||∆j|| = ||∆||, và(A+PN j=1 D j∆j E j )x=λ x, với x=R( λ , A)D u ∈ D (A) Từ

đó suy raλ ∈ σ (A∆) Do đó, theo định nghĩa của bán kính ổn định phứcrC thì

Cho εtiến về0ta có được điều cần phải chứng minh Hơn nữa, nếu D i=D j,∀i, j∈N

(hoặcE i=E j,∀i, j∈N) thì theo định nghĩa của hàm truyền ta cóG ii (s)=G i j (s),∀i, j∈

N (hoặcG j j (s)=G i j (s),∀i, j ∈N) Từ đó, định lý được chứng minh xong

Chú ý 1.1.7 Nếu toán tử A là ổn định Hurwitz thì hàm truyền G i j(.) là giải tích trên

C − ⊂ρ (A) Nên theo nguyên lý cực đại ta có

Định lý 1.1.8 Cho toán tử Metzler A là ổn định Hurwitz và D i , E i , i∈N , là các toán

tử dương Nếu D i=D j (hoặc E i=E j ) với mọi i, j∈N thì

rC=rR=r+ = 1

max

i∈N

||G ii(0)||

Chứng minh. Vì s(A)<0vàE i , D i , i∈N, là các toán tử dương, nên theo Định lý1.1.3 ta có

0≤G ii (t2)≤G ii (t1)và kG ii (t2)k ≤ kG ii (t1)k, ∀i∈N, 0≤t1≤t2,

kGii(λ)k ≤ kGii(ℜλ)k ≤ kGii(0)k, ∀λ ∈ C,ℜλ ≥0

Do đó, từ Định lý 1.1.6, suy ra

rC= 1max

i∈N

||Gii(0)||.Ngoài ra, theo định nghĩa ta có

rC≤rR≤r+.Nên việc còn lại là chứng minh

r+ ≤ 1max

i∈N

||Gii(0)||.Việc này được chứng minh tương tự như trong Định lý 1.1.6 bằng cách sử dụng định lýKrein-Rutman thay cho định lý Hahn-Banach để xây dựng nhiễu cụ thể

Định lý 1.1.6 và 1.1.8 mở rộng ra trường hợp vô hạn chiều các kết quả của [87] Kỹthuật chứng minh nằm chủ yếu ở Mệnh đề 1.1.4 khi chọn chuẩn vô cùng cho không giantích Khó khăn của chứng minh này là không thể sử dụng kỹ thuật như trong trường hợphữu hạn chiều, khi mà các bất đẳng thức được đánh giá thông qua các đẳng thức nhờ sựtồn tại của vectơ riêng - xem [87]

1.2 Tính ổn định của hệ dương và tựa đa thức đặc trưng

Gọi (S(t)) t≥0 là nửa nhóm liên tục được sinh bởi toán tử (A, D (A)) trên không gianBanach X , chận trên tăng trưởng của (A, D (A))được định nghĩa bởi

ω1(A) :=inf{ω ∈ R:∃M >0, ||S(t)x|| ≤M e ωt||x||D (A), ∀t ≥0, x ∈ D (A)},

với||x||D (A):= kxk+ kAxk Nửa nhóm(S(t)) t≥0(hay toán tử A ) được gọi là ổn định mũ

nếuω (A)<0 Cần chú ý là

và bất đẳng thức chặt có thể xảy ra, xem [36, 86].

Mệnh đề 1.2.1. [84 , tr 357] Nếu A sinh nửa nhóm dương liên tục thì s(A)=ω1(A)

Cho p∈[1,∞), các số thực không âm0≤h1<h2< <h N=: h, A1, , A N là cáctoán tử bị chận và A0sinh nửa nhóm liên tục(T(t)) t≥0trên X, ta viết lại một cách tườngminh hệ (1.1) như sau

Trong đó, x∈ X và f ∈L p([−h, 0); X )là các giá trị đầu Hàm u(·)∈L p l oc([−h,+∞); X )

được gọi là nghiệm của (1.1) nếu

D(A) := {(x, y) ∈ X : y∈W 1,p([−h, 0); X ), y(0)=x ∈ D (A0) ,trong đó, W 1,p([−h, 0); X ) ký hiệu tập các hàm y(.) nhận giá trị trên X liên tục trên[−h, 0)và có đạo hàm thỏa y0(t)∈L p([−h, 0); X ) Theo [8, 36], A sinh nửa nhóm liên

tục(T (t)) t≥0được định nghĩa bởi

(T (t))(x, f ) :=(u(t), u t ), t≥0,vớiu t (s) :=u(t+s), s∈[−h, 0); hơn nữa, hệ(1.1)là ổn định mũ khi và chỉ khi nửa nhóm(T (t)) t≥0 là ổn định mũ, hayω1(A)<0

Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.1), chúng tôi xét đến toán tử có dạng tựa đathức đặc trưng sau

Như vậy, việc nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.1) dương có thể được thực hiệnthông qua nghiên cứu toán tử tựa đa thức (1.4) Tiếp theo, chúng tôi mở rộng định lýPerron-Frobenius cho toán tử tựa đa thức (1.4).

Định nghĩa 1.2.4 Toán tử tựa đa thức (1.4)được gọi là dương nếu A0 sinh nửa nhóm dương liên tục và A i ∈ L+(X ) , với mọi i∈N

Cần chú ý rằng nếu toán tử tựa đa thức (1.4) là dương thì hệ (1.1) cũng là một hệdương, nghĩa là với mọi giá trị đầu f ∈L p([−h, 0); X+) và x∈ X+, nghiệm tương ứng

u(t, x, f ), t≥0thỏa mãn u(t, x, f )∈ X+ với mọi t≥0 Nên ta có định nghĩa tương tự

rằng hệ (1.1) được gọi dương nếu toán tử tựa đa thức (1.4) tương ứng là dương Nhờ

biểu diễn củaR(·,A)trong Mệnh đề 1.2.2, ta thu được kết quả sau

Mệnh đề 1.2.5 Cho toán tử tựa đa thức (1.4) dương, và λ1,λ2∈ R, các phát biểu sau đây là tương đương:

(a) R( λ1, P( λ1))≥R( λ2, P( λ2))≥0;

(b) R( λ1,A)≥R( λ2,A)≥0.

Chứng minh. Do E λ , H λ , F, và T λ là các toán tử dương với mọi λ ∈ R, ta suy ra

(a)⇒(b) Ngược lại, lấy f =0, và x∈X, ta có

R( λ,A )(x, 0)=R( λ , P( λ ))(x).

Do đó, ta nhận được(b)⇒(a)

Chú ý rằng toán tửA sẽ sinh nửa nhóm dương liên tục nếu A0sinh nửa nhóm dươngliên tục và A i ∈ L+(X ), với mọi i∈ N, xem [36] Sử dụng Định lý 1.1.3 và Mệnh đề1.2.5, ta thu được Định lý Perron-Frobenius cho toán tử tựa đa thức (1.4), là một mởrộng đối với kết quả trong [88]

Định lý 1.2.6 Cho toán tử tựa đa thức (1.4) dương, ta có

(a) s(P(·))∈σ (P(·));

(b) R( λ , P( λ))∈ L+(X ) khi và chỉ khi λ > s(P(·)), với λ ∈ R ;

Do đó, (a)⇔(d) Hơn nữa, toán tử(A0+A1+ +A N)sinh nửa nhóm dương liên tục,xem[84,Hệ quả VI.1.11] Nên theo Định lý1.1.3, ta có(d)⇔(b)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh(b)⇒(c) Sử dụng Định lý1.1.3(a), ta thu được

(1.5) s(A0)=t0−[r(R(t0, A0))]−1,∀t0>s(A0),

s(A0+ +A N)=t0−[r(R(t0, A0+ +A N))]−1,∀t0>s(A0+ +A N).Ngoài ra, với t0đủ lớn, ta có

R(t0, A0+ +A N)=R(t0, A0)

∞ X

n=0

[R(t0, A0)(A1+ +A N)]n

Vì vậy, R(t0, A0+ +A N) ≥R(t0, A0)≥ 0 Từ đây suy ra r[R(t0, A0+ +A N)]≥

r[R(t0, A0)] Do đó, từ (1.5), ta cós(A0)≤s(A0+A1 +A N) Như vậy, từ(b)ta suy rađược s(A0)<0 Tương tự, ta cós(A0+1

t (A1 +A N))<0với mọi t≥1 Mặt khác,

nên[1;∞)⊂ρ((−A0)−1(A1+ +A N)) Sử dụng Định lý 1.1.2, ta suy rar[(−A0)−1(A1+ +A N)]<1.

Vấn đề còn lại là chứng minh(c)⇒(d), điều này được suy ra nhờ đẳng thức sau

−A0−A1− −A N=(−A0)[I−(−A0)−1(A1+ +A N)]

Như vậy, định lý được chứng minh xong

Sử dụng công cụ về mối quan hệ giữa hệ liên tục có chậm và toán tử sinh nửa nhómliên tục, Định lý 3.6 và 1.2.7 tổng quát và mở rộng các kết quả của [88]

Định nghĩa 1.3.1 Cho hệ (1.1) là ổn định mũ Các bán kính ổn định phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu(1.6)được định nghĩa như sau

Vì toán tử A0sinh nửa nhóm liên tục, Nên theo Định lý 1.16 trong [84, tr 167], toán

tử (A0+D0∆0E0) cũng sinh nửa nhóm liên tục Và theo Bổ đề 2.4 trong [36], thì hệ(1.7) là không ổn định mũ khi và chỉ khi s(A∆)=s(P∆(·))≥0 Vì vậy các bán kính ổnđịnh của hệ (1.1) có thể được viết lại như sau

Với chứng minh tương tự như Mệnh đề 1.1.4 ta có được kết quả sau

Mệnh đề 1.3.2 Cho λ ∈ ρ (P(·)),ℜλ ≥0và∆i ∈ L (Y i ,U i), với mọi i∈N Nếu

Sử dụng Mệnh đề 1.3.2, và chứng minh tương tự như trong Định lý 1.1.6 và Định lý1.1.8, ta thu được các kết quả dưới đây về bán kính ổn định của hệ (1.1).

Định lý 1.3.3 Cho hệ(1.1)là ổn định mũ, ta có

1max

hệ sẽ ổn định mũ, nhưng điều ngược lại là không đúng Tuy nhiên, đối với hệ dương, haikhái niệm này là tương đương như trong định lý sau, được suy ra từ Định lý 1.2.7

Định lý 1.4.1 Cho hệ(1.1)là dương, các phát biểu sau đây là tương đương

(a) Hệ(1.1)là ổn định mũ;

(b) Hệ(1.1)là ổn định mũ không phụ thuộc trễ.

Ví dụ 1.4.2 Xét hệ

˙

u(t)=a0u(t)+a1u(t−h1)+ +a N u(t−h N),

trong đó a0∈ R, a i∈[0,∞), i∈N Theo Định lý 1.4.1, thì hệ này là ổn định mũ cũng như ổn định mũ không phụ thuộc trễ khi và chỉ khi a0+a1+ +a N<0.

Cần chú ý rằng tính ổn định mũ không phụ thuộc trễ là không vững đối với các tácđộng của nhiễu lên các toán tử A i Cụ thể, tập các hệ ổn định mũ không phụ thuộc trễđối với tôpô tích là không đóng và không mở, ngay cả đối với không gian hữu hạn chiềunhư trong ví dụ sau với X = R

Ngoài ra, các hệ (1.9) là ổn định mũ không phụ thuộc trễ với mọi n∈ N, nhưng hệ

˙x(t)= −x(t)−x(t−τ)là không ổn định mũ không phụ thuộc trễ Điều này nghĩa là tập các hệ ổn định mũ không phụ thuộc trễ là không đóng.

Tiếp theo, chúng tôi sẽ chứng minh rằng dưới giả thiết về tính dương, tính ổn định

mũ không phụ thuộc trễ là vững thông qua việc xác định khoảng cách từ hệ ổn định mũkhông phụ thuộc trễ đến tập các hệ không ổn định mũ không phụ thuộc trễ

Định nghĩa 1.4.4 Cho hệ (1.1) là ổn định mũ không phụ thuộc trễ Các bán kính ổn định mũ không phụ thuộc trễ phức, thực và dương của hệ dưới tác động của nhiễu(1.6)

được định nghĩa như sau

Định lý 1.4.5 Cho hệ (1.1)là dương và ổn định mũ không phụ thuộc trễ, và các toán

tử D i E i i∈N , là dương Nếu D i=D j (hoặc E i=E j ) với mọi i, j∈N , thì

r diesC =r diesR =r dies+ = 1

max

i∈N

||E i(−A0−A1− −A N)−1D i||>0

Chứng minh. Từ định nghĩa trên ta có

r diesC ≤r diesR ≤r dies+ ≤r (DE)+ Nên điều ta cần chứng minh là r diesC ≥r (DE)+ Thật vậy, xét ∆0i ∈ L (Y i ,U i ), i∈ N saocho P

N

i=0||∆0i|| <r+ và (h01, , h0N)∈ R+N, theo Định lý (1.2.7) thì hệ có các hệ số trễ

(h01, , h0N)cũng dương và ổn định mũ Do đó, theo Định lý 1.3.4, hệ bị nhiễu có các hệ

số trễ (h01, , h0N)và các toán tử nhiễu ∆0i , i∈ N, cũng ổn định mũ Như vậy, ta suy rađiều phải chứng minh

có thể viết lại dưới dạng của hệ(1.1)vớiN=2,h1=1,h2=2, và

A0(x1, x2, x3, )=(−3x1,−4x2,−5x3,−6x4, ), A1=A2=I d.

Vì A0 sinh nửa nhóm dương liên tục và A i ∈ L+(X ), hệ (1.5) là dương Sử dụngĐịnh lý1.4.1và Định lý1.2.7, do s(A0+A1+A2)= −1<0, ta suy ra được hệ (1.5)là

ổn định không phụ thuộc trễ

Giả sử các toán tử A i , i=0, 1, 2, bị nhiễu cấu trúc dạng(1.6) với E0=E1=E2=

E được định nghĩa bởi E(x1, x2, x3, )= (x2, x3, x4, ), D0 = I d, D1(x1, x2, x3, )=

Vì vậy, theo Định lý1.4.5, ta suy ra được

r (DE)C =r (DE)R =r (DE)+ =r diesC =r diesR =r dies+ =2

2.1 Tính ổn định của hệ dương và đa thức đặc trưng

Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (2.1), chúng tôi xét đa thức đặc trưng sau

Đa thức (2.2) được gọi là dương nếu A i ∈ L+(X ), ∀i ∈K Cần chú ý rằng đa thức

(2.2) là dương khi và chỉ khi hệ (2.1) là dương, nghĩa là, với bất kỳ giá trị đầu (x i)i∈N⊂

X+, nghiệm tương ứng x(t, x0, x1, , x K) của hệ (2.1) sẽ thỏa mãn x(t, x0, x1, , x K)∈

Mệnh đề 2.1.1 Cho đa thức(2.2)là dương, thì hàm g(.) là liên tục và đơn điệu giảm Chứng minh. Cho t1>t2>0, ta có H(t2)≥H(t1)≥0 Vì H(t1), H(t2)∈ L+(X )

nên, theo Bổ đề 3.5 trong [34], r(H(t2))≥r(H(t1)) Do đó, g(.)là đơn điệu giảm

Tính liên tục của hàm g(.)được suy ra nhờ bất đẳng thức sau

(b) nếu λ ∈ R+, thì P−1(λ)∈ L+(X ) khi và chỉ khi λ > r(P(.))

Chứng minh (a) Đặt r(P(·))= a, suy ra tồn tại λ ∈ σ (P(·)) sao cho |λ| = a Vì

λ ∈ σ (P(·)), nên 1 ∈ σ (H( λ)) Do đó, r(H( λ))≥ 1 Mặt khác, |(PK i=0 λ−i−1 A i)n x| ≤

(PK i=0|λ|−i−1 A i)n|x|, với mọi x∈X , n∈ N Từ đó suy ra g(a)=r(H(| λ|))≥r(H( λ))≥1

Giả sử rằng g(a)>1 Vì lim

t→+∞ g(t)=0 và hàm g(·) liên tục, nên tồn tạia0>a saocho g(a0)=1 Sử dụng Định lý 1.1.2, suy ra 1∈σ (H(a0)) Vì vậy, a0∈σ (P(·)), điềunày gây mâu thuẫn nên g(a)=1, haya∈σ (P(·))

(b) Giả sử rằng P−1(λ) ∈ L+(X ) Từ đó suy ra (I−H( λ))−1∈ L+(X ) Sử dụngĐịnh lý 1.1.2, suy ra 1> r(H( λ))= g( λ) Vì g(·) là đơn điệu giảm và g(r(P(·)))=1,nên λ > r(P(·)) Ngược lại, nếu λ > r(P(·)) thì g( λ)≤g(r(P(·)))=1 Mà g( λ)=1 thì

λ ∈ σ (P(·)), điều này gây mâu thuẫn nên g( λ)<1 Sử dụng Định lý 1.1.2 lần nữa, suy ra

(I−H( λ))−1∈ L+(X ), hayP−1(λ)∈ L+(X )

Chú ý 2.1.3.

(a) Điều kiện λ ∈ R+ trong Định lý 2.1.2 (b) không thể thay thế bởi λ ∈ R Chẳng hạn như trong ví dụ sau đây với A0=0, A1=1,λ = −2 Ta có P−1(λ)=(λ2−1)−1≥0

nhưng−2=λ < r(P(·))=1

(b) Theo chứng minh của Định lý 2.1.2, thì a=r(P(·))khi và chỉ khi g(a)=1.

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của hệ (2.1), thông qua hệ cấp mộttương đương sau

Nhắc lại rằng hệ (2.3) là ổn định (mũ) nếu tồn tại c≥1và0<β <1sao cho

°

°A t°

° ≤c β t, t∈ N.Theo kết quả đạt được ở [98, tr 516] thì điều kiện trên tương đương với r( A)<1 Dựavào (2.4) thì hệ (2.1) là ổn định mũ khi và chỉ khi r(P( λ))<1

Định lý 2.1.4 Cho hệ(2.1)là dương, các phát biểu sau đây là tương đương

Định nghĩa 2.2.1 Cho hệ (2.1) là ổn định Các bán kính ổn định phức, thực và dương

của hệ dưới tác động của nhiễu (2.6) được định nghĩa như sau

Chứng minh. Ta trang bị cho các không gian Banach tích U =Πi∈K , j∈N U i j và

Y =Πi∈K , j∈N Y i j chuẩn sau

Xét các toán tửE ∈ L (X , Y ), D ∈ L (U, X ) và∆(λ)∈ L (Y ,U)định nghĩa bởi

£

I−λ K D∆(λ )EP( λ)−1

¤cũng khả nghịch Hơn nữa,h

Định lý 2.2.3 Cho hệ(2.1)là ổn định, ta có

1max

Định lý 2.2.4 Cho hệ (2.1)là dương - nghĩa là A i ∈ L+(X ), ∀i ∈K - và ổn định, và các toán tử D i j , E i j , i∈K , j∈N , là dương Nếu D i j=D uv (hoặc E i j=E uv ) với mọi

trong đó B i j ∈ L (X ), i∈K , j∈ N, là các toán tử cho trước xác định cấu trúc nhiễu và

δ i j , i∈ K , j∈ N, là các tham số đặc trưng cho nhiễu chưa biết Đa thức đặc trưng bịnhiễu có dạng

trong đó hàm số đo độ lớn của nhiễu thỏa γ(δ)=γ(|δ|),với|δ| =(|δ i j|)i∈K , j∈N

Định lý 2.2.6 Cho hệ (2.1)là dương và ổn định, và các toán tử B i j là dương với mọi

i∈K , j∈N , ta có

Chứng minh. Theo định nghĩa ta có r δC ≤ r δR≤ r δ+ Như vậy, việc còn lại sẽ làchỉ ra rằng r δC ≥ r δ+ Thật vậy, giả sử rằng δ = (δ i j)i∈K , j∈N ∈ C(K +1)×N là nhiễu làmcho đa thức bị nhiễu không ổn định Suy ra tồn tại λ0∈σ (P δ(·)) sao cho |λ0| ≥1 Từđây suy ra λ0∈σ (H δ(λ0)), hay r(H δ(λ0))≥ |λ0| ≥1 Nên r(H|δ|(λ0))≥r(H δ(λ0))≥1,trong đó H|δ|(λ0) :=λ−01(A0+PN

j=1|δ 0 j|B 0 j)+ +λ−0K −1 (A K+PN

j=1|δ K j|B K j), hay

g(H|δ|(λ0))≥1 Xét hàm số g δ:R+\ {0} → R+ được định nghĩa bởi g δ (s) :=r(H δ (s))

Sử dụng Mệnh đề 2.1.1, thì hàm g δ(·)là liên tục và đơn điệu giảm, nên tồn tại s0≥λ0

sao cho g δ (s0)=r(H δ (s0))=1 Vì vậy, s0∈σ (P|δ|(·)), hay r((P|δ|(·))≥1 Từ đó suy ra

|δ| =(|δ i j|)i∈K , j∈N ∈ R(K +1)×N+ cũng là nhiễu làm cho đa thức bị nhiễu không ổn định

Do đó, r δC≤r δ+

Định lý 2.2.6 chỉ ra rằng dưới điều kiện dương thì ba loại bán kính ổn định là trùngnhau, nhưng vấn đề tính toán vẫn là rất khó Tuy nhiên, bằng cách chọnγ(δ)theo chuẩn

vô cùng, ta sẽ thu được công thức đơn giản và dễ tính toán cho bán kính ổn định

Bổ đề 2.2.7 Giả sử X , Y là các không gian Banach có thứ tự và A ∈ L+(X ), B ∈

Dựa vào mối quan hệ (2.5) của đa thứcP( λ)và toán tửA, ta có được kết quả tương

tự cho đa thức như sau

Hệ quả 2.2.8 Giả sử A i ∈ L+(X ) , với mọi i∈K và B ∈ L+(Y , X ) Ta có

Định lý 2.2.9 Cho hệ (2.1)là dương và ổn định, và các toán tử B i j là dương với mọi

r[P(1)− 1(Pi∈K , j∈N B i j)].Mặt khác, bằng cách chọn δ o i j:= 1

r[P(1)−1 (Pi∈K , j∈N B i j)], ta có toán tử P δ o(λ)là khôngkhả nghịch Nên

∞ X

và trị tuyệt đối

|x| =(|xi|)i∈N.Xét hệ rời rạc cấp hai sau

Chương 3

Phương trình sai phân

Phương trình vi phân phụ thuộc vào dữ liệu quá khứ có rất nhiều ứng dụng trong vật lý,sinh học, kinh tế, , và cũng đã thu hút được nhiều nhà nghiên cứu như trong các phầngiới thiệu và tham khảo của các tài liệu [7, 43, 47, 81] Một trong các phương trình quantrọng là

Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính ổn định của phương trình sai phân

(3.2) Đặc biệt, tính ổn định của phương trình sai phân (3.2) dương - nghĩa là, nghiệm

sẽ luôn không âm với mọi giá trị đầu không âm - sẽ được nghiên cứu thông qua một mởrộng của định lý Perron-Frobenius Để nghiên cứu tính ổn định bền vững của phươngtrình sai phân (3.2), một cách tổng quát chúng tôi xét đến hệ phương trình sai phân rờirạc phụ thuộc tham số

(3.3) x(k+1)=(A0+z1A1+ +z N A N )x(k), (z1, z2, , z N)∈ CN, k∈ N,

trong đó A0, A1, , A N ∈ Cn×n là các ma trận cho trước, và z i , i∈ N, là các tham sốxác định hệ.

Tính ổn định của hệ phương trình sai phân phụ thuộc tham số (3.3) là gắn liền vớitính ổn định không phụ thuộc trễ của phương trình sai phân (3.2), khái niệm này ra đời

là do việc thay đổi chút ít trong tham số thời gian trễ sẽ ảnh hưởng rất lớn đến tính ổnđịnh của phương trình sai phân (3.2) - thậm chí làm hệ không còn ổn định nữa - xem[44, 53, 77, 83, 103] Cần chú ý thêm rằng, tính ổn định của hệ phụ thuộc tham số cũng

đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học như trong [13, 14, 15, 52, 117, 118, 119,120] Các kết quả đạt được của chương này đã được công bố trong [T8, T9] và gửi đăngtrong [T2]

3.1 Tính ổn định của phương trình sai phân dương

Trước hết, chúng ta xem xét đến một số kí hiệu và khái niệm cơ bản sẽ được dùng đến.Cho n, l, q là các số nguyên dương, ma trận P := [p i j]∈ Rl×q được gọi là không âm(hay dương) - kí hiệu là P ≥0(hay P>0) nếu tất cả các thành phần p i j là không âm(hay dương) Cho P,Q∈ Rl×q, bất đẳng thứcP>Q (hayP≥Q) có nghĩa làP−Q>0(hay P−Q ≥0) Cho K = C hoặc R, với x∈ Kn và P ∈ Kl×q, ta định nghĩa |x| ∈ Rn+

và |P| ∈ Rl×q+ bởi |x|:=(|x i|),|P|:=[|p i j|] Cho ma trận A ∈ Kn×n bán kính phổ vàchận trên phổ của ma trận Ađược định nghĩa lần lượt là r(A) :=max{|λ|:λ ∈ σ (A)}và

s(A) :=max{ℜλ:λ ∈ σ (A)}, trong đó σ (A)là tập phổ của ma trận A Chuẩn vectơ trên

Kn được gọi là đơn điệu nếu

|x| ≤ |y| ⇒ kxk ≤ kyk,∀x, y ∈ Kn.Cần chú ý rằng chuẩn là đơn điệu khi và chỉ khikxk = k|x|k với mọix∈ Kn, xem [64].Trong chương này, tất cả các chuẩn dùng đến đều được giả sử là đơn điệu ChoA∈ Kl×q,chuẩn của ma trận Ađược định nghĩa bởikAk:=max{kA y k: y∈ Kq, kyk =1} Sau đây

là một số kết quả kinh điển về ma trận không âm

(a) r(A) là trị riêng của A và tồn tại vectơ riêng x≥0, x6=0sao cho Ax=r(A)x ;

(b) nếu λ ∈ σ (A) và |λ| = r(A) thì bội đại số của λ sẽ không lớn hơn bội đại số của

r(A) ;

(c) cho α >0, sẽ tồn tại vectơ x≥0, x6=0sao cho Ax≥α x khi và chỉ khi r(A)≥α ;

(d) (tI−A)−1tồn tại và không âm khi và chỉ khi t>r(A)

Định lý 3.1.2. [11, 88] Cho A∈ Kn×n , B∈ Rn×n+ Nếu |A| ≤B thì

r(A)≤r(|A|)≤r(B).

Để nghiên cứu tính ổn định của phương trình sai phân (3.2), chúng tôi xét đến tựa

đa thức đặc trưng sau

σ (H(·)) := {λ ∈ C : det H( λ)=0},

a H:=sup{ℜλ:λ ∈ σ (H(·))}.Cần chú ý rằng chúng ta không thể thaysupbởimaxtrong định nghĩa của chận trênphổ Bổ đề sau là một kết quả phổ biến đối với tính ổn định của phương trình sai phân(3.2)

Định lý 3.1.3. [43]Phương trình sai phân(3.2)là ổn định khi và chỉ khi a H<0.

Như chúng ta đã biết, công cụ chính để nghiên cứu tính ổn định của các hệ dương

là định lý Perron−Frobenius, xem [2, 88, 101, 102] Nên tiếp theo đây, chúng tôi sẽ mởrộng định lý Perron−Frobenius đối với tựa đa thức (3.4)

Định nghĩa 3.1.4 Tựa đa thức (3.4) được gọi là dương nếu A i là các ma trận không

âm với mọi i∈N= {1, 2, , N}.

Định lý 3.1.5 Nếu tựa đa thức(3.4)là dương, thì a H∈σ (H(·)).

Chứng minh Giả sử rằng (λ m)m∈N là một dãy số trongσ (H(·))sao cho limℜλ m=

a H Với mọi m∈ N, sẽ tồn tại x m∈ Rn sao cho

Ta có f (·) là liên tục và giảm ngặt trên R và limt→+∞ r(t)=0 Hơn nữa , từ (3.5) ta

có f (ℜλ m)≥1 Do đó, từ tính liên tục của f (·), suy ra tồn tại α m ≥ ℜλ m thỏa mãn

r(Pk=1 N e−α m r k A k)=1, nênα m∈σ (H(·))

Như vậy, ta đã xây dựng một dãy số thực (α m)sao cho:α m∈σ (H(·))vàα m≥ ℜλ m,với mọi m ∈ N Từ đó suy ra limα m =a H Mặt khác, σ (H(·)) là tập đóng Do đó,

a H∈σ (H(·))

Định lý 3.1.6 Cho tựa đa thức(3.4)là dương, ta có

(a) a H là trị riêng của H(.) và tồn tại vectơ riêng x≥0, x6=0sao cho H(a H )x=0;

(b) Cho α >0, sẽ tồn tại vectơ x≥0, x6=0sao cho(PN e−αr k A )x≥x khi và chỉ khi