Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu dao động tự do không cản của hệ dao động nhiều bậc tự do. Dao động tự do không cản là mô hình dao động đơn giản. Việc nghiên cứu trong bài này là cơ sở để nghiên cứu các mô hình phức tạp hơn, cụ thể là khi có cản ma sát và khi có kích động. Bài này sẽ trình bài một số định nghĩa, khái nhiêm cơ bản của dao động tuyến tính nhiều bậc tự do: như phương trình tần số, vector riêng, ma trận dạng riêng. Bài học cũng nghiên cứu và chứng minh tính trực giao của các véc tơ riêng, đưa ra các tọa độ chính để tìm nghiệm hệ phương trình vi phân dao động.
Trang 1MỞ ĐẦU
Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu dao động tự do không cản của hệ dao động nhiều bậc tự do Dao động tự do không cản là mô hình dao động đơn giản Việc nghiên cứu trong bài này là cơ sở để nghiên cứu các mô hình phức tạp hơn, cụ thể là khi có cản ma sát và khi có kích động
Bài này sẽ trình bài một số định nghĩa, khái nhiêm cơ bản của dao động tuyến tính nhiều bậc tự do: như phương trình tần số, vector riêng, ma trận dạng riêng Bài học cũng nghiên cứu và chứng minh tính trực giao của các véc tơ riêng, đưa ra các tọa độ chính để tìm nghiệm hệ phương trình vi phân dao động
I CÁC TẦN SỐ RIÊNG VÀ CÁC DẠNG DAO ĐỘNG RIÊNG
PTVP dao động của hệ tự do không cản n bậc tự do có dạng:
(6.1)
M, C là các ma trận vuông cấp n có các phần tử là các hằng số Trong nhiều bài toán M và C có dạng đối xứng
1 Nghiệm của hệ PTVP
Nghiệm của dao động tự do không cản có dạng dao động điều hòa Vậy hệ phương trình (6.1) có nghiệm dưới dạng
(6.2) Thế biểu thức (6.2) vào (6.1) rồi đơn giản biểu thức ta được:
(6.3)
Để thu được biểu thức (6.3) ta phải hiểu nghiệm của phương trình có dạng:
; - Dạng ma trận chuyển vị
Ở đó:
; Suy ra
Lúc này phương trình (6.1) có dạng:
(6.3a)
Để phương trình có nghiệm không tầm thường, thì điều kiện cần là định thức
Trang 2(6.4)
- PT (6.4) là một phương trình đại số bậc n đối với và được gọi là phương trình tần số hoặc phương trình đặc trưng
- Các nghiệm (k=1,…n) của phương trình tần số được gọi là các tần
số riêng
Thay lần lượt các giá trị của (k=1,…n) vào phương trình (6.3) ta nhận được các
hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất với các biến ak Giải hệ phương trình này ta xác định được ak:
(6.5) Các véc tơ ak này được gọi là các véc tơ riêng
2 Các dạng dao động riêng
Phương trình (6.5) là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất có định thức hệ
số bằng 0 nên các thành phần của véc tơ ak được xác định sai khác 1 hằng số nhân Tức là một vector ak có dạng thì mọi tọa độ của vector này có thể có nhiều giá trị khác nhau, nhưng phải đảm bảo tỷ lệ giữa các tọa độ là một hằng số Chọn a1k một cách tùy ý và đưa vào kí hiệu:
hoặc ; i,k=1,2,…n (6.6) Thay lần lượt các vào phương trình (6.5) ta xác định được ma trận:
(6.7) Mỗi cột của ma trận (6.7):
Cho ta biết một dạng dao động riêng của hệ dao động (6.1)
Ma trận V được gọi là ma trận dạng riêng Vì vậy ma trận dạng riêng cho ta biết tất
cả các dạng dao động riêng có thể có của hệ dao động
II TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC VECTO RIÊNG
Xét phương trình dao động tự do không cản của hệ n bậc tự do:
(6.8) Nếu các ma trận khối lượng M và ma trận độ cứng C là các ma trận thực đối xứng
thì các véc tơ riêng vk tương ứng với các tần số riêng sẽ trực giao với ma trận khối lượng M và ma trận độ cứng C Ta có:
khi (6.9)
Trang 3Chứng minh:
Từ (6.5) (6.10) (6.11)
(6.12) (6.13)
Do tính chất đối xứng của các ma trận M và C ta có:
; (6.14)
(6.15) Vậy: khi
Chú ý: Nếu , từ (6.15) không thể suy ra tính chất trực giao của các véc
tơ riêng tương ứng
III CÁC TỌA ĐỘ CHÍNH CÁC TỌA ĐỘ CHUẨN
Như trên đã trình bày, PTVP dao động tự do không cản của hệ n bậc tự do có dạng: (6.16) Nếu ta có thể chọn được các tọa độ suy rộng đặc biệt sao cho với các tọa độ đó, các
ma trận khối lượng và các ma trận độ cứng đều có dạng đường chéo thì các tọa độ suy rộng đó được gọi là các tọa độ chính Kí hiệu:
Thực hiện phép đổi biến: q=Vp (6.17) Trong đó V là ma trận dạng riêng Thế (6.17) vào (6.16) ta có:
(2.18)
Do tính chất (6.9) các ma trận và là các ma trận đường chéo
; (6.19)
Vậy phương trình (6.18) có dạng: (6.20) Trong đó: (6.21)
Kí hiệu: các phương trình (6.20) xác định các dạng dao động chính có dạng: (6.22)
Trang 4Các phần tử của vecto vi của ma trận riêng V được xác định sai khác 1 hằng số nhân Nên ta có thể chọn các vecto vi một cách thích hợp sao cho
(6.23)
Ma trận dạng riêng được chọn như thế được gọi là ma trận dạng riêng chuẩn Ta ký hiệu ma trận dạng riêng chuẩn bằng Vn
Phép thế q = Vnp đưa phương trình về dạng (6.25) Các tọa độ chính trong phép thế q = Vnp được gọi là các tọa độ chuẩn Như vậy các tọa độ chuẩn là các tọa độ chính đặc biệt
Quan hệ ma trận dạng riêng V và Vn
(6.26) (6.27)
IV BÀI TẬP
Tính toán các tần số riêng và dao động riêng của mô hình dao động 3 bậc tự do như hình 6.1 Bỏ qua các loại cản
Giải
Biểu thức động năng và thế năng
m/2 m
m
Hình 6.1
Trang 5Thế T và vào phương trình Lagrange II ta nhận được hệ phương trình vi phân dao động:
Phương trình đặc trưng có dạng
hay
Với phương trình đặc trưng có dạng
Giải phương trình trên ta được
Phương trình xác định các vecto riêng có dạng
Từ phương trình thứ nhất
Từ phương trình thứ ba
Cho a2i = 1 ( i = 1,2,3) thế các giá trị vào biểu thức trên ta nhận được ma trận riêng dạng:
Trang 6KẾT LUẬN
Kết hợp với kết quả thiết lập ptvp trong bài học trước, ở bài học này học viên nghiên cứu trường hợp hệ dao động nhiều bậc tự do không cản Cụ thể là đi xác định nghiệm của hệ ptvp chuyển động Qua bài học học viên cần năm chắc các khái niệm như các vector riêng, mà ứng với nó là các dạng dao động riêng Từ đó tìm ra các tọa độ chính, và tọa độ chuẩn thể hiện qui luật dao động của các dạng dao động riêng của cơ hệ
HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU
Để thuận tiện cho việc tự học tập và nghiên cứu tại đơn vị, củng cố và nắm chắc kiến thức bài học, học viên cần thực hiện các nội dung sau:
- Nắm chắc kiến thức trọng tâm của bài mục I.2 và III
- Nghiên cứu và tự giải lại bài toán mẫu ở mục IV
- Nghiên cứu thí dụ 3.6[129], 3.7 [132] SGT, thí dụ 2.6,2.10 [60] SBT
- Làm các bài tập 2.2.2, 2.2.3, 2.2.6 SBT
Ngày tháng năm 2015
NGƯỜI BIÊN SOẠN
Kalyrus