Hiệu chỉnh tìm nghiệm chung của một họ hữu hạn phương trình với ánh xạ liên tục lipschitz và j đơn điệu luận văn thạc sĩ

Möc löc1.1 Khæng gian Hilber v Banach... Mët sè k½ hi»u v chú vi¸t t­tE∗ Khæng gian li¶n hñp cõa khæng gian Banach E... Möc ½ch cõa luªn v«n n y l sû döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nhBrowder-T

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC

Möc löc

1.1 Khæng gian Hilber v  Banach 3

1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh 11

1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh 11

1.2.2 V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh 12

1.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov 14

2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh cho h» ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n vîi to¡n tû J-ìn i»u v  li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gian Banach 16 2.1 T¼m nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u 16

2.2 Nghi»m chung cho mët hå ph÷ìng tr¼nh to¡n tû J-ìn i»u 19

K¸t luªn 26 T i li»u tham kh£o 27

Lái c£m ìn

Trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îngd¨n v  gióp ï nghi¶m tóc cõa GS.TS Nguy¹n B÷íng (Vi»n Cængngh» thæng tin, Vi»n H n l¥m Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam).Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n Th¦y v  k½nh chócTh¦y còng gia ¼nh luæn luæn m¤nh khäe

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c quþ th¦y, cæ gi£ng d¤y t¤i ¤i håcTh¡i Nguy¶n v  t¤i Vi»n To¡n håc, Vi»n H n l¥m Khoa håc v  Cængngh» Vi»t Nam ¢ mang l¤i cho tæi nhi·u ki¸n thùc bê ½ch trong khoahåc v  quan t¥m gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu.Tæi công xin c£m ìn c¡c b¤n çng mæn ¢ gióp ï tæi trong suètthíi gian håc tªp t¤i ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  trong qu¡ tr¼nh ho n

th nh luªn v«n n y

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 - 2014Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

Qu¡ch Thà Y¸n

Mët sè k½ hi»u v  chú vi¸t t­t

E∗ Khæng gian li¶n hñp cõa khæng gian Banach E

A∗ : Y∗ → X∗ To¡n tû èi ng¨u cõa to¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y

D(A) Mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A

R(A) Mi·n £nh cõa to¡n tû A

A−1 To¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A

hx, yi T½ch væ h÷îng cõa x v  y trong khæng gian Hilbert.kxkE Chu©n cõa x trong khæng gian E

Do t¦m quan trång °c bi»t cõa lþ thuy¸t n y m  nhi·u nh  to¡nhåc n÷îc ngo i v  Vi»t Nam ¢ d nh ph¦n lîn thíi gian v  cæng sùccõa m¼nh cho vi»c nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh º gi£i c¡c

b i to¡n °t khæng ch¿nh Trong khuæn khê luªn v«n n y chóng tæixin ÷ñc tr¼nh b y · t i: Hi»u ch¿nh t¼m nghi»m chung cõa mët håhúu h¤n ph÷ìng tr¼nh vîi ¡nh x¤ li¶n töc Lipschitz v  J-ìn i»u.Luªn v«n ÷ñc têng hñp tø b i b¡o cõa GS.TS Nguy¹n B÷íng còngvîi cëng sü Nguy¹n ¼nh Dông

Möc ½ch cõa luªn v«n n y l  sû döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nhBrowder-Tikhonov t¼m nghi»m chung cõa mët hå húu h¤n ph÷ìngtr¼nh vîi to¡n tû J− ìn i»u v  li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gianBanach Trong â giîi thi»u ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh t¼m nghi»m cõa

hå húu h¤n ph÷ìng tr¼nh khi h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ch¿ câ nhi¹u ðv¸ ph£i v  h» ph÷ìng tr¼nh khi c£ v¸ ph£i v  to¡n tû ·u câ nhi¹u

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn, danh möc c¡c t i li»u tham kh£o, bècöc cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng.

Ch÷ìng 1 Tr¼nh b y c¡c kh¡i ni»m cì b£n v· khæng gian Hilbert

v  khæng gian Banach Ti¸p theo giîi thi»u b i to¡n °t khæng ch¿nh

çng thíi công tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov gi£iph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p t¼m nghi»m chung cho mët hå ph÷ìngtr¼nh to¡n tû ìn i»u, hi»u ch¿nh cho h» ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû

J-ìn i»u v  li¶n töc Lipschitz tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ v lçi ch°t câ chu©n kh£ vi Gateaux ·u

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håcTh¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TS Nguy¹n B÷íng M°c dòt¡c gi£ ¢ h¸t sùc cè g­ng nh÷ng do v§n · nghi¶n cùu l  kh¡ phùc t¤p

v  kinh nghi»m nghi¶n cùu cán h¤n ch¸ n¶n khæng tr¡nh khäi thi¸usât Trong qu¡ tr¼nh vi¸t luªn v«n công nh÷ xû lþ v«n b£n ch­c ch­nkhæng tr¡nh khäi nhúng sai sât nh§t ành T¡c gi£ r§t mong nhªn

÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp cõa quþ th¦y cæ v  c¡c b¤n º luªn v«n

÷ñc ho n thi»n hìn

Ch֓ng 1

C¡c kh¡i ni»m v  v§n · cì b£n

Ch÷ìng n y gçm 3 möc, tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n ÷ñc sûdöng li¶n quan tîi nëi dung nghi¶n cùu cõa · t i Möc 1 Giîi thi»uc¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t, sü hëi tö trong khæng gian Hilbert v  khænggian Banach, ngo i ra cán mët sè ành ngh¾a, bê ·, c¦n sû döng ºchùng minh c¡c k¸t qu£ trong ch÷ìng 2 Möc 2 Kh¡i ni»m v  v½ dö v·

b i to¡n °t khæng ch¿nh Möc 3 Tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nhTikhonov gi£i b i to¡n °t khæng ch¿nh C¡c ki¸n thùc tr¼nh b y trongch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o chõ y¸u tø c¡c t i li»u [1], [6] v  [7]

1.1 Khæng gian Hilber v  Banach

• Khæng gian Hilbert

ành ngh¾a 1.1 Khæng gian tuy¸n t½nh E ÷ñc gåi l  khæng gianti·n Hilbert hay cán gåi l  khæng gian câ t½ch væ h÷îng, n¸u tr¶n Ex¡c ành mët h m thüc hai bi¸n, k½ hi»u hx, yi v  ÷ñc gåi l  t½ch væh÷îng cõa x v  y n¸u thäa m¢n i·u ki»n sau:

1 Vîi méi x, y ∈ E, hx, yi = hy, xi;

2 Vîi méi x, y, z ∈ E, hx + y, zi = hx, zi + hy, zi;

3 Vîi méi x, y ∈ E vîi sè thüc β b§t k¼ hβx, yi = β hx, yi;

4 Vîi méi x ∈ E, hx, xi ≥ 0 v  hx, xi = 0 khi v  ch¿ khi x = 0

Vîi h m kxk = hx, xi1/2

th¼ E trð th nh mët khæng gian ànhchu©n Khæng gian vîi t½ch væ h÷îng ¦y õ ÷ñc gåi l  khæng gianHilbert

• Khæng gian Banach

ành ngh¾a 1.2 Khæng gian ành chu©n l  khæng gian tuy¸n t½nh Etrong â ùng vîi méi ph¦n tû x ∈ E ta câ mët sè k x k gåi l  chu©ncõa x, thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:

1 k x k> 0, ∀x 6= 0, k x k= 0 ⇔ x = 0,

2 k x + y k≤k x k + k y k, ∀x, y ∈ E, (b§t ¯ng thùc tam gi¡c)

3 k αx k= |α| k x k, ∀x ∈ E, α ∈ R

Khæng gian ành chu©n ¦y õ gåi l  khæng gian Banach

V½ dö 1.1 Khæng gian Lp[a, b] vîi 1 ≤ p < ∞ l  khæng gian Banachvîi chu©n:

x = (x1, x2, , xn) ∈Rn, y = (y1, y2, , yn) ∈Rn

ành ngh¾a 1.3 Gi£ sû E l  mët khæng gian Banach thüc v  E∗ l khæng gian èi ng¨u º cho ìn gi£n, chu©n cõa E v  E∗ ÷ñc kþhi»u bði k k C£ hai câ chu©n ÷ñc kþ hi»u l  hx∗, xi Vîi gi¡ trà cõaphi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc x∗ ∈ E∗, x ∈ E Mët ¡nh x¤ J tø E

v o E∗ ÷ñc gåi l  mët ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n t­c cõa E n¸u:

hx, j(x)i = k x k.k j(x) k,

v 

k x k=k j(x) k, ∀x ∈ X, j(x) ∈ J(X)

• Sü hëi tö trong khæng gian Banach

Trong khæng gian Banach E, d¢y {xn} ⊂ E ÷ñc gåi l  hëi tö y¸u tîi

x ∈ E, n¸u vîi måi x∗ ∈ E∗ , ta câ:

limn→∞hxn, x∗i = hx, x∗i ,D¢y hëi tö y¸u ÷ñc k½ hi»u: xn * x khi n → ∞ D¢y {xn} ⊂ E

÷ñc gåi l  hëi tö m¤nh tîi x ∈ E n¸u nâ hëi tö theo chu©n, tùc l 

kxn− xk → 0 khi n → ∞

• Khæng gian ph£n x¤

ành ngh¾a 1.4 Gi£ sû E l  khæng gian ành chu©n tr¶n R, E∗ l khæng gian li¶n hñp cõa E v  gåi E∗∗ = L(E∗, R) l  khæng gian li¶nhñp thù hai cõa E Ta cho t÷ìng ùng vîi méi x ∈ E mët phi¸m h mtuy¸n t½nh li¶n töc x∗∗ tr¶n E∗∗ nhí h» thùc

V½ dö 1.4 Khæng gian Lp[0, 1] vîi p > 1 l  khæng gian ph£n x¤ Måikhæng gian ành chu©n húu h¤n chi·u ·u ph£n x¤

• Khæng gian E-S (Ephimov Stechkin )

ành ngh¾a 1.5 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l  khæng gian mov Stechkin (hay khæng gian câ t½nh ch§t E-S) n¸u E ph£n x¤ v trong E sü hëi tö y¸u c¡c ph¦n tû (xn * x) v  sü hëi tö chu©n(k xn k→k x k) luæn k²o theo sü hëi tö m¤nh (k xn− x k→ 0)

Ephi-V½ dö 1.5 Khæng gian Hilbert câ t½nh ch§t E-S

• Phi¸m h m nûa li¶n töc d÷îi

ành ngh¾a 1.6 Cho E l  mët khæng gian Banach thüc ph£n x¤, E∗

l  khæng gian li¶n hñp cõa E ϕ : X → RS

{∞} l  mët phi¸m h mtr¶n E

a) Phi¸m h m ϕ(x) vîi x ∈ E ÷ñc gåi l  lçi, n¸u

ϕ(αx + (1 − α)y) ≤ αϕ(x) + (1 − α)ϕ(y), ∀α ∈ [0, 1], x, y ∈ E.b) Phi¸m h m ϕ(x) x¡c ành tr¶n khæng gian Banach E ÷ñc gåi

l  nûa li¶n töc d÷îi tr¶n E, n¸u limy→xϕ(y) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ E

c) Phi¸m h m ϕ(x) x¡c ành tr¶n khæng gian Banach E ÷ñc gåi l nûa li¶n töc d÷îi y¸u t¤i iºm x0, n¸u ∀{xn} : ϕ(x0) ≤ lim infϕ(xn)

• To¡n tû ìn i»u

ành ngh¾a 1.7 Cho E l  khæng gian Banach ph£n x¤ vîi khæng gianli¶n hñp cõa nâ l  E∗.Cho to¡n tû A vîi mi·n x¡c ành l  D(A) ⊆ E

v  mi·n £nh R(A) ⊆ E∗

a) To¡n tû A ÷ñc gåi l  ìn i»u n¸u:

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A),b) To¡n tû A ÷ñc gåi l  ìn i»u ch°t n¸u d§u b¬ng ch¿ ¤t ÷ñckhi x = y Trong tr÷íng hñp A l  to¡n tû tuy¸n t½nh th¼ t½nh ìn i»ut÷ìng ÷ìng vîi t½nh khæng ¥m cõa to¡n tû

c) To¡n tû A ÷ñc gåi l  d-ìn i»u, n¸u tçn t¤i mët h m khæng

¥m d(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, d(0) = 0 v  thäa m¢n t½nh ch§t:

hA(x) − A(y), x − yi ≥ [d(k x k) − d(k y k)](k x k − k y k), ∀x, y ∈

D(A)

d) To¡n tû A ÷ñc gåi l  ìn i»u ·u n¸u tçn t¤i mët h m khæng

¥m δ(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, δ(0) = 0 v 

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ(k x − y k), ∀x, y ∈ D(A)

N¸u δ(t) = CAt2 vîi CA l  mët h¬ng sè d÷ìng th¼ to¡n tû A ÷ñcgåi l  ìn i»u m¤nh

V½ dö 1.6 To¡n tû tuy¸n t½nh A : RM → RM ÷ñc x¡c ành bði

A = BTB,vîi B l  mët ma trªn vuæng c§p M, l  mët to¡n tû ìn i»u

Nhªn x²t 1.1 N¸u to¡n tû A câ t½nh ch§t tuy¸n t½nh th¼ A ÷ñc gåi

l  ìn i»u m¤nh n¸u

hAx, xi ≥ mA k x k2, mA > 0, ∀x ∈ D(A)

V½ dö 1.7 H m sè f : R → R ÷ñc x¡c ành bði f(x) = 2012x l to¡n tû tuy¸n t½nh ìn i»u m¤nh

• To¡n tû h-li¶n töc, d-li¶n töc

To¡n tû A ÷ñc gåi l  h−li¶n töc tr¶n X n¸u A(x + ty) * Ax khi

t → 0+, ∀x, y ∈ X, v  A ÷ñc gåi l  d-li¶n töc tr¶n E n¸u tø xn → xsuy ra Axn * Ax khi n → ∞

V½ dö 1.8 H m hai bi¸n ϕ(x, y) = xy2(x2 + y4)−1 khæng li¶n töc,nh÷ng li¶n töc theo tøng bi¸n t¤i (0, 0), do â nâ l  h-li¶n töc t¤i(0, 0)

ành ngh¾a 1.8 To¡n tû A : E −→ E ÷ñc gåi l :

a) J−ìn i»u tr¶n E, n¸u tçn t¤i j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ 0, vîi ∀x, y ∈ E.

b)J−ìn i»u m¤nh tr¶n E vîi h¬ng sè α, n¸u tçn t¤i mët h¬ng

sè α > 0 sao cho

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ α k x − y k2, ∀x, y ∈ E,

c) Li¶n töc Lipchitz tr¶n E, n¸u

kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ E,

Ð ¥y, L l  h¬ng sè d÷ìng Khi L = 1 th¼ A ÷ñc gåi l  to¡n tû khænggi¢n

d) Ng÷ñc J−ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè λ tr¶n E, n¸u tçn t¤i mëth¬ng sè d÷ìng λ sao cho

hA(x) − A(y), j(x − y)i ≥ λkA(x) − A(y)k2, ∀x, y ∈ E,

Rã r ng, n¸u A l  to¡n tû ng÷ñc J− ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè λ th¼

A l  li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè (1/λ)

e) m− J− ìn i»u trong E, n¸u A l  J− ìn i»u v  R(A+λI) =

E , ∀λ ≥ 0 Ð ¥y R(A) ÷ñc k½ hi»u l  kho£ng bi¸n thi¶n cõa A v 

I l  to¡n tû çng nh§t tr¶n E

Chó þ 1.1 N¸u E l  mët khæng gian Hilbert th¼ kh¡i ni»m to¡n tû

m-J-ìn i»u tròng vîi kh¡i ni»m to¡n tû ìn i»u cüc ¤i D¹ d ngnhªn th§y r¬ng mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh v  x¡c ành khæng ¥m l  mët

¡nh x¤ ìn i»u

• To¡n tû gi£ co

ành ngh¾a 1.9 To¡n tû T ÷ñc gåi l  gi£ co ch°t tr¶n khæng gianBanach E trong thuªt ngú cõa Browder [7] n¸u tçn t¤i λ ∈ [0, 1) saocho ∀x, y ∈ E ta câ

hT x − T y, j(x − y)i ≤ k x − y k2 - λ k x − y − (T x − T y) k2

Hay câ thº vi¸t d÷îi d¤ng:

h(I − T )x − (I − T )y, j(x − y)i ≥ λ k (I − T )x − (I − T )y k2

Do â, I − T l  ng÷ñc J−ìn i»u m¤nh vîi h¬ng sè λ N¸u λ = 0,th¼ T ÷ñc gåi l  gi£ co

ành ngh¾a 1.10 Cho E l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n thüc

v 

S1(0) := {x ∈ E : kxk = 1},Khæng gian E ÷ñc gåi l  câ chu©n kh£ vi G¥teaux (ho°c trìn) n¸u

∃ limt→0

ành ngh¾a 1.11 Cho khæng gian Banach l∞ vîi (a1, a2, ) ∈ l∞

v  chu©n k a k∞= supi∈N |ai| v  µ l  phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töctr¶n l∞ K½ hi»u µk(ak) := µ((a1, a2, )), khi â µ ÷ñc gåi l  giîi h¤nBanach n¸u µ thäa m¢n

k µ k = µk(1) =1, µk(ak+1) = µk(ak),vîi (a1, a2, ) ∈ l∞

Vîi giîi h¤n Banach µ, ta câ

lim infk→∞ak ≤ µk(ak) ≤ lim sup

k→∞

ak

Vîi méi (a1, a2, ) ∈ l∞ N¸u a = (a1, a2, ) ∈ l∞, b = (b1, b2, ) ∈ l∞

v  ak −→ c, (t÷ìng ùng ak − bk −→ 0 khi k −→ ∞) Ta câ µk(ak) =µ(a) = c (t÷ìng ùng µk(ak) = µk(bk))

Bê · 1.1 [6] Cho C l  mët tªp con lçi cõa khæng gian Banach E

câ chu©n l  kh£ vi G¥teaux ·u Gi£ sû {xk} l  mët tªp con giîi nëitrong E, z ∈ C v  µ l  giîi h¤n Banach, th¼

µk k xk − z k2 = min

u∈C k xk − u k2,khi v  ch¿ khi µkhu − z, J(xk − z)i ≤ 0 vîi måi u ∈ C

Trong [7] ch¿ ra ÷ñc vîi to¡n tû J- ìn i»u v  li¶n töc Lipschitztr¶n E l  m-J - ìn i»u èi vîi méi to¡n tû A l  m-J -ìn i»u trong

E v  iºm b§t ëng f ∈ E To¡n tû u = Tf(x) ÷ñc x¡c ành tø ¯ngthùc

vîi méi x ∈ E

Khi â Tf thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

• Tf l  khæng gi¢n

• F ix(Tf) = S, ð ¥y F ix(Tf) ÷ñc ành ngh¾a l  tªp c¡c iºm b§t

ëng cõa Tf

F ix(Tf) = {x ∈ E : x = Tf(x)}

1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh

1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh

Kh¡i ni»m b i to¡n ch¿nh ÷ñc J Hadamard ÷a ra khi nghi¶n cùuv· £nh h÷ðng cõa c¡c i·u ki»n bi¶n l¶n nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nhEliptic công nh÷ parabolic X²t b i to¡n Cauchy èi vîi ph÷ìng tr¼nhLaplace

∂y (x, 0) → 0 khi n → ∞, trong khi â

un(x, y) → ∞khi n → ∞ vîi måi y > 0 Vi»c t¼m nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh to¡n tû

Gi£ sû câ mët kh¡i ni»m th¸ n o l  nghi»m cõa mët b i to¡n Khi

â b i to¡n t¼m nghi»m x = R(f) ÷ñc gåi l  ên ành tr¶n c°p khænggian (X, Y ), n¸u vîi méi sè ε > 0 câ thº t¼m ÷ñc mët sè δ(ε) > 0,sao cho tø ρY(f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε, ð ¥y

x1 = R(f1), x2 = R(f2); x1, x2 ∈ X; f1, f2 ∈ Y

ành ngh¾a 1.12 B i to¡n t¼m nghi»m x ∈ X theo dú ki»n f ∈ Y

÷ñc gåi l  b i to¡n °t ch¿nh tr¶n c°p khæng gian metric (X, Y ), n¸ucâ:

1 Ph÷ìng tr¼nh (1.2) câ nghi»m x0 vîi måi f ∈ Y ,

2 Nghi»m x0 ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t,

3 Nghi»m x0 phö thuëc mët c¡ch li¶n töc v o f

N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng ÷ñc thäa m¢n th¼

b i to¡n (1.2) ÷ñc gåi l  °t khæng ch¿nh

èi vîi c¡c b i to¡n phi tuy¸n th¼ i·u ki»n thù hai g¦n nh÷ khængthäa m¢n Do vªy h¦u h¸t c¡c b i to¡n phi tuy¸n ·u l  b i to¡n °tkhæng ch¿nh

Trong nhi·u ùng döng th¼ v¸ ph£i cõa (1.2) th÷íng ÷ñc cho bði

o ¤c, ngh¾a l  thay cho gi¡ trà ch½nh x¡c f, ta ch¿ bi¸t x§p x¿ fδ cõa

nâ thäa m¢n k fδ − f k≤ δ Gi£ sû xδ l  nghi»m cõa (1.2) vîi f thaybði fδ (gi£ thi¸t r¬ng nghi»m tçn t¤i) Khi δ → 0 th¼ fδ → f nh÷ngvîi b i to¡n °t khæng ch¿nh th¼ xδ khæng hëi tö tîi x

1.2.2 V½ dö v· b i to¡n °t khæng ch¿nh

Sau ¥y ta s³ ch¿ ra mët sè v½ dö v· to¡n tû A m  (1.2) l  b i to¡n

°t khæng ch¿nh

V½ dö 1.11 Ta x²t b i to¡n cê iºn â l  b i to¡n khæi phöc h m

sè khi bi¸t h» sè Fourier cõa nâ Gi£ sû ϕk(t) l  mët h» trüc chu©n

¦y õ câ sup

P

k=1(ak− ck)2 ≤ δ2,

A l  mët ma trªn ÷ñc x¡c ành bði ma trªn vuæng c§p 3 To¡n tû

Khi â h» ph÷ìng tr¼nh tr¶n câ d¤ng x1 = f1, x2 = f2, 0x1 + 0x2 +0x3 = f3 vîi f = (f1, f2, f3) ∈ R3.

Hiºn nhi¶n, h» ph÷ìng tr¼nh n y câ nghi»m khi f = (f1, f2, 0), vîi

f1, f2 tòy þ

Khi v¸ ph£i ÷ñc cho x§p x¿ bði fδ = (f1, f2, f3δ) vîi fδ

3 6= 0 th¼ h»ph÷ìng tr¼nh tr¶n trong tr÷íng hñp n y væ nghi»m

1.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov

º t¼m nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n (1.2) khi khæng bi¸t thæng tinv· nghi»m ch½nh x¡c x0, A.N Tikhonov ¢ ÷a ra mët sè kh¡i ni»mmîi â l  ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh düa tr¶n vi»c x¥y düng to¡n tûhi»u ch¿nh v  c¡ch chån gi¡ trà cõa mët tham sè mîi ÷a v o

Gi£ sû A−1 khæng li¶n töc v  thay cho f ta bi¸t fδ : ρY(fδ, f ) ≤

δ → 0 B i to¡n °t ra l  düa v o thæng tin v· (A, fδ) v  mùc sai sè δ,t¼m mët ph¦n tû xδ x§p x¿ nghi»m ch½nh x¡c x0 cõa b i to¡n (1.2) Rã

r ng l  khæng thº x¥y düng ph¦n tû xδ theo quy t­c xδ = A−1fδ V¼thù nh§t l  A−1 câ thº khæng x¡c ành vîi f ∈ Y , thù hai A−1 khængli¶n töc n¶n A−1fδ n¸u tçn t¤i công ch÷a ch­c ¢ x§p x¿ A−1f Tham

sè δ ch¿ cho ta ë sai sè v¸ ph£i cõa (1.2) V¼ vªy mët i·u tü nhi¶nn£y sinh l  li»u câ thº x¥y düng ph¦n tû x§p x¿ phö thuëc v o mëttham sè n o â v  tham sè n y ÷ñc chån t÷ìng th½ch vîi δ sao chokhi δ → 0 th¼ ph¦n tû n y x§p x¿ hëi tö ¸n nghi»m x0 Ta công th§yn¸u ÷ñc th¼ tø fδ ∈ Y ta câ ph¦n tû x§p x¿ thuëc E, tùc l  tçn t¤imët to¡n tû n o â t¡c ëng tø khæng gian Y v o khæng gian X

ành ngh¾a 1.13 To¡n tû R(f, α) phö thuëc tham sè α, t¡c ëng

tø Y v o X ÷ñc gåi l  mët to¡n tû hi»u ch¿nh cho b i to¡n (1.2) n¸u:

1 Tçn t¤i hai sè d÷ìng δ1 v  α1 sao cho to¡n tû R(f, α) x¡c ànhvîi måi α ∈ (0, α1) v  vîi måi fδ ∈ Y : ρY(fδ, f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);