Sử dụng hàm cực đại trong phân tích nhận dạng thống kê cho nhiều tổng thể nhiều chiều

Trong bài toán nhận dạng được giám sát, chúng ta biết rõ ràng về sự tách biệt của k tổng thể, dựa vào đó tìm ra quy luật phân loại phần tử mới vào một trong k tổng thể đã biết trước.. V

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-*** -

VÕ VĂN TÀI

SỬ DỤNG HÀM CỰC ĐẠI TRONG PHÂN TÍCH NHẬN DẠNG THỐNG KÊ

CHO NHIỀU TỔNG THỂ NHIỀU CHIỀU

Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

PHẦN MỞ ĐẦU

1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN PHÂN BIỆT VÀ PHÂN LOẠI TRONG BÀI TOÁN NHẬN DẠNG

Xuất phát từ những đòi hỏi cần phải giải quyết trong thực tế, bài toán nhận

dạng ra đời Bài toán nhận dạng được phát triển theo hai hướng chính: Nhận dạng được giám sát và nhận dạng không được giám sát

Trong bài toán nhận dạng được giám sát, chúng ta biết rõ ràng về sự tách biệt của k tổng thể, dựa vào đó tìm ra quy luật phân loại phần tử mới vào một trong

k tổng thể đã biết trước Thông thường trước đó người ta tìm ra quy luật để phân

biệt k tổng thể ban đầu, tuy nhiên hai vấn đề này có thể giải quyết độc lập Nhận

dạng nói chung và nhận dạng được giám sát nói riêng gồm nhiều lĩnh vực khác

nhau Tuy nhiên trong luận án này, phần đầu chúng tôi chỉ giải quyết vấn đề quan

trọng được đặt ra trong thống kê dưới hình thức hai bài toán: bài toán phân biệt và bài toán phân loại

Bài toán phân biệt: Từ một tập hợp gồm các phần tử mà ta biết rõ các

phần tử đến từ tổng thể nào trong số k tổng thể, dựa trên các biến quan sát từ mỗi phần tử cần tìm ra một quy luật để phân chia chúng đúng như k tổng thể

ban đầu (Trong luận án tổng thể được hiểu là tập các phần tử trong phạm vi khảo sát có chung đặc tính nào đó)

Bài toán phân loại: Với k tổng thể đã cho và một phần tử mới có biến

quan sát đã biết, cần tìm một quy luật tối ưu để xếp nó vào tổng thể thích hợp

nhất trong số k tổng thể đã biết trước

Thông thường nếu tìm được những biểu thức giải tích cụ thể cho bài toán phân biệt thì cũng sẽ giải quyết được bài toán phân loại và trong trường hợp này cả hai bài

toán đặt ra đều được giải quyết trọn vẹn Khi không tìm được hàm phân biệt, sử

dụng hàm cực đại, chúng ta vẫn có thể giải quyết được bài toán phân loại

Trong nhận dạng không được giám sát, cũng được gọi là phân tích chùm,

chúng ta không có những dự kiến trước về sự phân nhóm Tập các dữ liệu không biết đến từ bao nhiêu tổng thể, chúng ta cần phân chia những phần tử của tập hợp này thành những nhóm với những mức độ khác nhau, sao cho các phần tử trong cùng nhóm thì gần nhau theo một tiêu chí nào đó và các phần tử khác nhóm nhau thì ít gần nhau hơn Việc xác định bao nhiêu nhóm được phân chia tùy thuộc vào tập dữ liệu hiện có và cũng tùy thuộc vào chủ quan của người thực hiện Phân tích

chùm được xem là sự mở rộng của bài toán phân loại và phân biệt Với bài toán

phân tích chùm, luận án này xét phần tử là hàm mật độ xác suất

Trong luận án, hàm cực đại được sử dụng trong bài toán phân biệt, bài toán

phân loại và bài toán phân tích chùm Các bài toán này được đặt ra vốn xuất phát từ

yêu cầu phát triển của kinh tế xã hội và đã được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực kinh tế học, sinh học, xã hội học,… Đã có nhiều kết quả ứng dụng thực tế được công bố, tổng kết những khía cạnh khác nhau của các bài toán này (xem [1], [4], [22], [25], [35], [57]) Trước sự phát triển nhanh chóng của khoa học kỹ thuật và

kinh tế xã hội, nhu cầu phân loại, phân biệt, phân tích chùm dữ liệu càng đòi hỏi

cấp thiết hơn, vì vậy vấn đề đặt ra của luận án là thiết thực

Hiện nay có nhiều nhà toán học quan tâm đến các bài toán này, tuy nhiên trong cách giải quyết nhiều khía cạnh vẫn chưa trọn vẹn Luận án này góp phần giải quyết một số khía cạnh chưa trọn vẹn đó

2 CÁC KẾT QUẢ TRONG VÀ NGOÀI NƯỚC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

Bài toán phân loại và phân biệt lần đầu tiên được đưa ra bởi Fisher (1936)

giải quyết cho trường hợp hai tổng thể với hàm phân biệt tuyến tính Fisher Hàm phân biệt này chỉ được thiết lập khi ma trận hiệp phương sai của hai tổng thể bằng nhau Năm 1948, Rao đã mở rộng cho trường hợp nhiều hơn hai tổng thể, nhưng cũng trên cơ sở giả thiết ma trận hiệp phương sai các tổng thể bằng nhau Một

phương pháp khác, đó là phương pháp thống kê tuần tự do Kendall (1973) đề nghị Nhưng đây chỉ là phương pháp mang tính chất thủ công, rất phức tạp mà thực tế gần như không thể thực hiện được

Một số khía cạnh liên quan của bài toán phân loại và phân biệt chưa được đề

cập cho đến 1970 khi mà máy tính chưa được phát triển Andrews (1972), Chen (1973), Young và Calvert (1974), Tou và Gonzales (1974), Hand (1981), Devijer và Kittler (1982), Fukunaga (1990), McLachlan (1992), Webb (2002), đã tổng kết những kết quả đạt được của bài toán phân loại và phân biệt, (xem [5], [8], [12], [18], [27], [35], [53], [57], [58] Dựa vào phương pháp Bayes họ đã đưa ra những

tiêu chuẩn khác nhau để phân loại và phân biệt như: Tiêu chuẩn về phần tử kế cận

gần nhất, tiêu chuẩn về độ rủi ro của sự phân loại, tiêu chuẩn Neyman-Pearson, tiêu chuẩn Minimax,… Hàm phân biệt tuyến tính, hàm phân biệt bậc hai đã được nêu ra

từ các tiêu chuẩn này Ở đây xác suất sai lầm của phân loại và phân biệt đã được

xem xét Phương pháp Bayes với các tiêu chuẩn đã nêu cho đến nay được xem có nhiều ưu điểm nhất vì đã giải quyết được yêu cầu đặt ra của bài toán: Tìm ra thuật

toán, đồng thời đưa ra biểu thức tính sai số phân loại và phân biệt Tuy nhiên vấn

đề giải quyết chỉ mang tính chất lý thuyết, việc tính toán thực tế hầu như chưa có sự tiến bộ nào đáng kể do tính chất phức tạp của các tiêu chuẩn, hay tính tích phân,…

Việc phân loại và phân biệt đặc biệt là việc tính xác suất sai lầm cụ thể chỉ được

thực hiện khi có các giả thiết về ma trận hiệp phương sai bằng nhau, về tính chuẩn của dữ liệu và hầu như chỉ xem xét cho trường hợp hai tổng thể Trong nỗ lực xét những vấn đề liên quan, nhóm tác giả Pham-Gia, T và Turkkan, N (2006), Pham-Gia, T.,Turkkan, N và Bekker, A (2006) (xem [40], [41]) đã có những đóng góp

quan trọng trong việc xác định xác suất tiên nghiệm, tỷ lệ trộn của hai tổng thể và

sai số Bayes trong phân biệt hai tổng thể Tuy nhiên việc phân loại và phân biệt,

việc tính sai số Bayes cho nhiều tổng thể, nhiều chiều cũng chưa được đề cập

Trong bài toán phân tích chùm, dựa vào định nghĩa khoảng cách của hai phần

tử cũng như hai nhóm dữ liệu rời rạc Sibson (1973), Defays (1977), Rohlf (1982),

… (xem [11], [44], [47]) đã đưa ra hai thuật toán cụ thể cho việc xây dựng chùm

Các thuật toán này xây dựng chùm chỉ với các phần tử rời rạc Hạn chế chung của

các phương pháp này là đánh giá mức độ “gần” và “xa” của những phần tử trong cùng chùm và giửa các chùm với nhau chỉ đơn thuần dựa vào định nghĩa khoảng cách truyền thống mà không dựa vào sự phân bố của dữ liệu nên đôi lúc tạo ra

nghịch lý cho kết quả phân tích chùm: Phần tử đúng phải xếp vào chùm này nhưng

lại xếp vào chùm kia, hay ngược lại

Ở Việt Nam hầu như chưa có nhà toán học nào nghiên cứu sâu về các vấn đề trên Một số tác giả như Vương Qưân Hoàng, Đào Gia Hưng, Nguyễn Văn Hữu, Trần Minh Ngọc, Lê Hồng Phương, Tô Cẩm Tú, (xem [1],[4]) quan tâm đến khía cạnh ứng dụng của nó

3 ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN

Trên cơ sở phân tích những hạn chế còn tồn tại, dựa vào phương pháp Bayes cùng với hàm cực đại, chúng tôi đưa công cụ mới để giải quyết một số vấn đề còn

hạn chế của bài toán phân loại, phân biệt, bài toán phân tích chùm các hàm mật độ

xác suất Cụ thể luận án đã đóng góp những vấn đề sau:

Sử dụng hàm cực đại, dựa theo Glick (1973) đưa ra một định nghĩa được

xem là khoảng cách L1 của nhiều hơn hai hàm mật độ xác suất Định nghĩa này là nền tảng giải quyết các bài toán đặt ra Ở đây, chúng tôi đã đưa ra mối quan hệ giữa khoảng cách này với các độ đo khác và với các đại lượng liên quan của bài toán

phân loại, phân biệt

Hàm cực đại đã được áp dụng để đưa ra một nguyên tắc phân loại một phần

tử mới trong các trường hợp: một chiều, nhiều chiều cho hai tổng thể và nhiều hơn hai tổng thể Chúng tôi đã viết thành công một chương trình trên phần mềm Maple

để giải quyết trọn vẹn bài toán phân loại Khi xác định được hàm cực đại trên những

miền cụ thể thì bài toán phân biệt được giải quyết hoàn toàn cùng bài toán phân

loại Với trường hợp một chiều, luận án đã đưa ra được những biểu thức giải tích cụ

thể Các điểm phân biệt trong trường hợp một chiều và các hàm phân biệt trong trường hợp chuẩn nhiều chiều cũng được nêu ra cụ thể trong luận án

Sai số Bayes luôn là một vấn đề đặc biệt được quan tâm trong bài toán phân

loại và phân biệt Ở đây sai số Bayes được tính thông qua nguyên hàm của hàm cực

đại Chúng tôi đã trình bày nhiều kết quả lý thuyết mới về cận trên và dưới cho sai

số Bayes Sai số Bayes được tính bằng biểu thức giải tích hoặc bằng kết quả số nhờ việc tính gần đúng tích phân bằng phương pháp Monte Carlo với các chương trình

đã viết Ngoài sai số Bayes, một số kết quả lý thuyết liên quan đến khoảng cách L1

và hệ số chồng lấp của các hàm mật độ xác suất cũng được thiết lập Mối quan hệ trong từng đại lượng đã nêu với sai số Bayes cũng đã được khảo sát

Thông qua hàm cực đại, luận án đưa ra một tiêu chuẩn mới “độ rộng chùm”

để thực hiện bài toán phân tích chùm trong tổng thể các hàm mật độ xác suất Ba

thuật toán xây dựng chùm các hàm mật độ xác suất được thiết lập Độ rộng chùm đánh giá mức độ gần nhau của các phần tử trong cùng chùm, cũng như mức độ cách

xa nhau giữa các chùm có chú ý đến sự phân bố dữ liệu nên được xem là hợp lý hơn

so với tiêu chuẩn khoảng cách hiện tại được sử dụng để xây dựng chùm

Có thể nói hàm cực đại đã tạo ra một công cụ mới thuận lợi, hiệu quả để giải

quyết bài toán phân loại, phân biệt và phân tích chùm các hàm mật độ xác suất Sự

thuận lợi và hiệu quả này được thể hiện rõ rệt trong việc tính toán Như vậy luận án không những đóng góp những kết quả lý thuyết mà còn đóng góp về phương diện tính toán cho các bài toán này

Sơ đồ trong trang 6 trình bày những công việc đã thực hiện trong luận án

SƠ ĐỒ ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN ÁN

(IN MÀU)

4 BỐ CỤC CỦA LUẬN ÁN

Bố cục của luận án gồm: phần mở đầu, phần nội dung, phần kết luận cùng với phụ lục, danh mục các công trình của tác giả và tài liệu tham khảo Ngoài chương 1 là phần kiến thức cơ sở, các chương 2, 3, 4 và 5 là phần chính của luận án trình bày những đóng góp cho bài toán phân loại, phân biệt và phân tích chùm

Phần mở đầu: Giới thiệu bài toán, các kết quả trong và ngoài nước liên

quan đến luận án và những đóng góp chính của luận án

Phần nội dung:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương này nêu những kiến thức được sử dụng trong luận án: kiến thức về khoảng cách, phân phối nhiều chiều, các phương pháp ước lượng hàm mật độ xác suất, tính gần đúng tích phân, đặc biệt bằng phương pháp Monte – Carlo

Chương 2: Bài toán phân loại và phân biệt

Chương này trình bày tóm tắt các phương pháp chính cho đến hiện tại để giải quyết bài toán phân loại và phân biệt: Phương pháp thống kê tuần tự, phương pháp Fisher và phương pháp Bayes Ở đây có nhận xét về những thuận lợi, khó khăn và mối quan hệ giữa các phương pháp này, những phương hướng nghiên cứu chính liên quan đến hai bài toán đã nêu trong thống kê, máy tính, trí tuệ nhân tạo và kỹ thuật Đóng góp của luận án trong chương này là tìm hàm mật độ xác suất cho sai

số Bayes qua tổng hai thành phần sai số và xét cho một số hàm mật độ xác suất thông dụng

Chương 3: Khoảng cách giữa các hàm mật độ xác suất

Chương này tổng kết các định nghĩa về khoảng cách giữa các hàm mật độ xác suất, từ đó dựa trên hàm cực đại đưa ra một định nghĩa được xem là khoảng

cách L1 của nhiều hơn hai hàm mật độ xác suất f i ( x) và g i ( x) với

)(

)

k i

Khi k = 2, mối quan hệ giữa khoảng cách

1 2

1, f

1 2

1,g , ,g k

cho các khoảng cách này thông qua số lượng hàm mật độ xác suất, xác suất tiên nghiệm, hàm cực đại của f i ( x),g i ( x) và khoảng cách L1 của các hàm mật độ xác suất

Chương 4: Sử dụng hàm cực đại trong bài toán phân loại và phân biệt

Trong chương này dựa vào hàm cực đại đã đưa ra một qui tắc rất thuận lợi để phân loại phần tử mới, viết một chương trình cụ thể dựa trên qui tắc này để giải quyết về mặt tính toán bài toán phân loại cho nhiều tổng thể nhiều chiều Ở đây đã khảo sát hàm cực đại của của các hàm mật độ xác suất và hàm phân biệt của các tổng thể Hàm cực đại của hai hàm mật độ xác suất thông dụng: Phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Beta được tìm chi tiết Đặc biệt chúng tôi đã viết một chương trình tìm hàm cực đại của các hàm mật độ xác suất một chiều trên phần mềm Maple, có thể đưa vào thư viện phần mềm để người khác có thể sử dụng Hàm phân biệt tuyến tính và bậc hai khi các hàm mật độ xác suất có phân phối chuẩn được xét ở đây Qua hàm cực đại của các hàm mật độ xác suất, công thức tính sai số Bayes cho trường hợp hai tổng thể và nhiều tổng thể đã được thiết lập Với công thức được nêu, một chương trình bằng phần mềm Maple để tính sai số Bayes cho bài toán phân loại và phân biệt nhiều tổng thể có phân phối một chiều được viết Chương trình tính sai số Bayes cũng được xây dựng cho nhiều tổng thể nhiều chiều

sử dụng việc tính gần đúng tích phân bằng phương pháp Monte- Carlo Với trường hợp hai tổng thể đã đưa ra biểu thức cụ thể về mối quan hệ giữa sai số Bayes, hàm cực đại fmax(x)maxf1(x), f2(x) và khoảng cách

1 2

1, f

f cũng như mối quan

hệ giữa sai số Bayes với xác suất tiên nghiệm (q)(q , q ),

1, g

g Khi có nhiều hơn hai tổng thể, chúng tôi nhận được các kết quả quan trọng sau về mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán phân loại và phân biệt:

- Mối quan hệ giữa

1 2

q l j

) ( , , ,

 của các hàm số g i ( x) Hệ quả của

kết quả này là mối quan hệ giữa

1 2

Chương 5: Giải tích chùm trên tổng thể các hàm mật độ xác suất

Dựa vào hàm cực đại, trong chương này đưa ra một tiêu chuẩn mới “độ rộng chùm” thống nhất cho hai hàm mật độ xác suất cũng như nhiều hơn hai hàm mật độ xác suất để xây dựng chùm các hàm mật độ xác suất Ở đây đã xây dựng ba phương pháp chùm: Phương pháp thứ bậc, phương pháp không thứ bậc và phương pháp xây dựng chùm với độ rộng chùm cho trước Một định lý về mối quan hệ giữa hai độ rộng chùm chỉ khác nhau một phần tử và độ rộng của hợp hai chùm đã được thiết lập Dựa vào định lý này có thể đánh giá được mức độ gần nhau của các phần tử trong chùm cũng như mức độ cách xa nhau giữa các chùm Cũng trong phần này, hai ví dụ cụ thể được xét: biết hàm mật độ xác suất và từ dữ liệu rời rạc thực tế, để minh họa cho ba phương pháp xây dựng chùm đã đưa ra Trong mỗi ví dụ có so sánh cách thành lập chùm theo các phương pháp cũ

Phần kết luận: Trình bày các kết quả đã đạt được trong luận án, cũng như

đề xuất hướng phát triển luận án trong tương lai

Phần phụ lục: Trình bày dữ liệu về hoa Iris, tính toán chi tiết ví dụ 4.3 đến

ví dụ 4.12 của chương 4 và ví dụ 5.1, 5.3 của chương 5

Các kết quả của luận án đã được công bố trong [2], [3], [42] và [49]

Trong luận án này các ký hiệu biểu thị cho ma trận và véc tơ được tô đậm

v

DANH MỤC DỊCH MỘT SỐ THUẬT NGỮ TIẾNG ANH

vi

DANH MỤC CÁC BẢNG

dụng với khoảng cách William và Lance

sinh viên bảy nhóm Trường ĐH Moncton

Canada năm học 2008

7 Bảng 5.3 Bình phương khoảng cách Euclide từ 115

trung bình của ba chùm cuối cùng đến trung

bình của các tổng thể một chiều

8 Bảng 5.4 Bình phương khoảng cách Euclide từ trọng 115

tâm ba chùm cuối cùng đến trọng tâm các

nhóm hai chiều

vii

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ VÀ ĐỒ THỊ

1 Hình 1.1 Dãy điểm ngẫu nhiên miền trong và miền ngoài 31

của hàm cực đại 2 Hình 4.1 Đồ thị của bảy hàm mật độ xác suất một chiều, 81

fmax(x) và gmax(x)

3 Hình 4.2 Đồ thị của ba hàm mật độ xác suất hai chiều 83

5 Hình 5.1 Đồ thị của bảy hàm mật độ xác suất một chiều và 106

hàm fmax(x) của nó

6 Hình 5.2 Cây phân loại cho bảy hàm mật độ xác suất một 107

chiều sử dụng khoảng cách cực đại

7 Hình 5.3 Cây phân loại cho bảy hàm mật độ xác suất một 109

chiều sử dụng khoảng cách city-block

8 Hình 5.4 Điểm thi bảy nhóm sinh viên bảng 5.2 trên 0xy 112

9 Hình 5.5 Đồ thị hàm mật độ xác suất hai chiều ước lượng 113

bằng phương pháp hàm hạt nhân cho bảy nhóm sinh viên

10 Hình 5.6 Cây phân loại bảy hàm mật độ xác suất hai chiều 114

được ước lượng bằng phương pháp hàm hạt nhân

11 Hình 5.7 Sơ đồ cây sử dụng phương pháp 1 – trung bình 116

12 Hình PL1 Hình PL1a Đồ thị của f(x1,x3) cho hai tổng thể với ma trận 123

hiệp phương sai bằng nhau trong R3

Hình PL1b Đồ thị của f(x1,x3) cho hai tổng thể với ma trận 123

hiệp phương sai khác nhau trong R3

Hình PL1c Đồ thị hàm phân biệt tuyến tính và bậc hai trong R2 124

13 Hình PL2 Hình PL2a Đồ thị của f(x1,x3) cho ba tổng thể với ma trận 126

hiệp phương sai bằng nhau và những đường cong giao K1, K2 và K3 trong R3

viii

Hình PL2b Đường thẳng phân biệt tuyến tính của ba tổng thể 126

trong R2

Hình PL2c Đường thẳng phân biệt tuyến tính từng khúc 126

của ba tổng thể trong R2

14 Hình PL3 Hình PL3a Đồ thị của f(x1,x3) cho ba tổng thể với ma trận 128

hiệp phương sai khác nhau và những đường cong giao  , 1  và 2  trong R3 3

Hình PL3b Đường cong phân biệt của ba tổng thể ước 128

lượng bằng phương pháp tham số trong R2

Hình PL3c Đường cong phân biệt bậc hai của ba tổng thể 128

ước lượng bằng phương pháp hàm hạt nhân trong R2

15 Hình PL4 Đồ thị của hai hàm mật độ xác suất Beta hai chiều, 132

đường cong giao và hình chiếu của nó

iii

MỤC LỤC

TRANG

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục dịch một số thuật ngữ tiếng Anh v

Danh mục các bảng vi

Danh mục các hình vẽ và đồ thị vii

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 11

1.1 Khoảng cách của các phần tử rời rạc 11

1.2 Định lý Bayes 14

1.3 Phân phối xác suất nhiều chiều 16

1.4 Ước lượng hàm mật độ xác suất 19

1.5 Tính gần đúng tích phân 23

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN PHÂN LOẠI VÀ PHÂN BIỆT 34

2.1 Giới thiệu 34

2.2 Các phương pháp phân loại và phân biệt 35

2.3 Nhận xét về các phương pháp phân loại và phân biệt cùng 42

những hướng nghiên cứu hiện tại 2.4 Sự phân bố sai số Bayes qua tổng hai thành phần sai số 45

2.5 Kết luận 54

CHƯƠNG 3: KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC HÀM 55

MẬT ĐỘ XÁC SUẤT

3.1 Giới thiệu 55

3.2 Khoảng cách giữa các hàm mật độ xác suất 56

iv

3.3 Một số kết quả liên quan đến khoảng cách L1 và các phép đo khác 60

3.4 Kết luận 65

CHƯƠNG 4: SỬ DỤNG HÀM CỰC ĐẠI TRONG BÀI TOÁN 67

PHÂN LOẠI VÀ PHÂN BIỆT

4.1 Giới thiệu 67

4.2 Hàm cực đại trong bài toán phân loại 68

4.3 Sử dụng phần mềm toán học trong bài toán phân loại và phân biệt 77

4.4 Mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán phân loại và phân biệt 84

4.5 Ví dụ áp dụng 89

4.6 Kết luận 92

CHƯƠNG 5: GIẢI TÍCH CHÙM TRÊN TỔNG THỂ 94

HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT 5.1 Giới thiệu 94

5.2 Một số kết quả về độ rộng chùm 96

5.3 Một số thuật toán phân tích chùm 100

5.4 Ví dụ áp dụng 105

5.5 Kết luận 116

KẾT LUẬN 118

PHỤ LỤC 121

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 138

TÀI LIỆU THAM KHẢO 139