MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT ÔN THI ĐẠI HỌC

Bài viết này sẽ giới thiệu 20 bài toán GTNN, GTLN có lời giải của thầy Tôn Thất Hiệp, GV Toán trường THPT Phan Đăng Lưu Huế. Hầu hết chúng đều được tác giả giải bằng nhiều cách và có những lời bình, nhận xét để giúp độc giả hiểu sâu hơn phương pháp.Đi cùng với lời giải của 20 bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài viết này, chúng tôi đề xuất thêm một số bài toán mới, đồng thời mỗi bài đề xuất đều có đáp số và lời giải chi tiết ở đằng sau bài viết. Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một số kỹ thuật phân tích bình phương; kỹ thuật biến đổi biểu thức hai biến, ba biến; tư tưởng hàm số trong một số lời giải bài toán bất đẳng thức.

154

3

Ta có 3(2x2+2x+1)≥ 4x2

+6x+3= a2

+b2−3, suy ra ( )2

342

Theo giả thiết xy yz zx 2xyz 1 1 1 2

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 5

a) Về biểu thức và phương pháp S.O.S (phương pháp phân tích bình phương)

1 Hàm phân thức đối xứng chuẩn, hàm phân thức nửa đối xứng ba biến:

a) Hàm phân th ứ c đố i x ứ ng F(a, b, c) đố i v ớ i ba bi ế n a, b, c đượ c g ọ i là hàm phân th ứ c đố i

x ứ ng chu ẩ n, n ế u F(x,x,x) = 0 v ớ i m ọ i x

b) Hàm phân th ứ c đố i x ứ ng S(a, b, c) đố i v ớ i ba bi ế n a, b, c đượ c g ọ i là hàm phân th ứ c n ử a đố i

x ứ ng n ế u S(a, b, c) = S(a, c, b) v ớ i m ọ i a, b, c Hàm phân th ứ c đố i x ứ ng S(a, b, c) đố i v ớ i ba bi ế n

a, b, c đượ c g ọ i là hàm phân th ứ c n ử a đố i x ứ ng chu ẩ n, n ế u S(x,x,x) = 0 v ớ i m ọ i x

2 Biểu thức dạng S.O.S

Ta công nhận các định lý và hệ quả dưới ây

Định lý : (dạng biểu diễn S.O.S đối với lớp hàm đa thức)

Cho F(a, b, c) là hàm đ a đố i x ứ ng chu ẩ n theo ba bi ế n F(a, b, c) đố i v ớ i ba bi ế n a, b, c, khi đ ó

N(a,b,c) N(b,c,a) N(b,c,a)

b) Một số đẳng thức thường được sử dụng trong phân tích bình bình phương.

c)Biểu thức P trong bài toán 1 là biểu đối xứng theo ba biến a, b, c, nên ta liên tưởng đến

phương pháp phân tích bình phương, nếu các phương pháp khác hầu như không sử dụng được trong việc tìm giá trị GTLN hoặc GTNN của P

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 7

−+ ≤ , iều này tương đương với

Như vậy R≤3 3, với 3 2 27

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 9

Cho ba số thực không âm a, b, c sao cho c = min{a; b; c} và(a2+ c2) (b2+ c2)≠ 0 Hãy tìm

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 11

* Khi n ≥ m > 0 (thỏa (8)) thì ta có thể giải bài toán bằng ba cách: sử dụng BĐT Cauchy,

phương pháp phân tích bình phương, phương pháp hàm số

Từ hướng giải của bài toán 10, chúng tôi đề xuất hai bài toán sau đây:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện 0 ≤ x + y + z ≤ 4 và m là số dương cho trước lớn

hơn 2,72 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = m x- y + m y- z + m z- x − x + y + z3 3 3−3xyz

Đ áp s ố : minP = 3, đạt được khi và chỉ khi x = y = z = 0

yz

−

=+

M ≤ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

4 21

1sin

sin3

z= Bài toán 10.2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai điểm A(a; a + 1) và B(2b + 2; b), ta có N = OA + OB +

AB với A và B lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: y = x + 1 và d2: 1 1

2

y= x− Bài toán trởthành tìm GTNN của N khi A và B lần lượt chạy trên hai đường thẳng d1 và d2

www.mathvn.com

Để ý rằng điểm O nằm trong góc nhọn được tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2

Gọi O1, O2 lần lượt là điểm đối xứng của O qua hai đường thẳng d1 và d2 Ta có

N = OA + OB + AB = O1A + O2B + AB ≥ O1O2, suy ra N = O1O2 là nhỏ nhất, khi và chỉ khi

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 15

Cho ba số thực dương a, b, c Hãy tìm GTLN của biểu thức

1 1 1

131

33

1 1 1

131

33

1 1 1

131

33

7 173

t t

Suy ra đồ thị hàm số g(t) nằm trên các tiếp tuyến của của đồ thị này

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số g(t) tại điểm có hoành độ 0 1

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 17

Xét hàm số ( )

( )

2 2

, suy ra đồ thị hàm số h(t) là lõm trên ℝ Suy ra đồ thị ham số h(t) nằm trên các tiếp tuyến của

của đồ thị này Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số h(t) tại điểm có hoành độ 0 1

2 2

12

t = là nghiệm kép Tìm được 13

27 542

t

t t

+ (bạn đọc tự kiểm chứng) Suy ra

2 2

− +

≥ − ++ −

(bạn đọc tự kiểm chứng) Suy ra ( )

( )

2 2

và ( )2

(21)4

mt n t t

t t

y y

−



+

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 19

Qua hai bài toán 12 và bài toán 13 ta nhận thấy: khi đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên

đ ạn [ α β; ] thì bao giờ cũng tồn tại ít nhất một đồ thị (C/) của hàm số y = g(x) liên tục trên đ ạn

[ α β; ] nằm dưới (hoặc nằm trên) đồ thị (C) Từđó suy ra: f(x) ≥ g(x) (hoặ

,i = 1; n ( α i , β i , h là 2n + 1 số thực không đổi) ”, ta nên xét đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên

tục trên đ ạn [ α β; ] và một đồ thị (C/) của hàm số y = g(x) liên tục trên đ ạn [ α β; ] trong hai

trường hợp b) hoặc c)

Khi không có điều kiện nào của các số a1, a2,…, an thì ta nên xét tính lồi, lõm của đồ thị (C) và nghĩđến phương pháp tiếp tuyến (xem cách 1 của bài toán 13)

Khi có điều kiện của các số a1, a2,…, an thì ta nên xét tính lồi lõm của đồ thị (C) và nghĩđến

phương pháp dây cung của đồ thị l i, đồ thị lõm (xem bài toán 6)

T ổ ng quát: Khi điều kiện của các số a1, a2,…, anđưa đến điều kiện của biểu thức

g(a1) + g(a2) +…+ g(an) ≥ h (hoặc g(a1) + g(a2) +…+ g(an) ≤ h) vớ a i∈[ α βi; i],i=1;n (α βi, i, h

là 2n + 1 số thực không đổi), ta nên tìm p, q sao cho f(x i ) ≥ pg(x i ) + q (hoặc f(x i ) ≤ pg(x i ) + q) với mọi x i∈ [α i ; β ,i = 1;n i] (xem bài toán 14 , bài toán 15, cách 2 của bài toán 6 và cách 2 bài toán 13)

Bài toán 16:

Cho x, y, z > 0, thỏa mãn: x + y + z = 1 Tìm GTNN của biểu thức

3 Xét biểu thức

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 21

34

f f

tương tự ta cũng có:

3 3

53

− ≥ − + ++ , ∀x y z, , >0 Từđó ta

− ≤ − ++ ,∀x y, >0, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y; chứng minh tương tự ta cũng có:

3 3

2

5

23

0

( ) ( 1)

n

l l l

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 23

+ Các bước chứng minh hằng đẳng thức dạng (28) đã cho ta một phương pháp biến đổi biểu

thức vế trái của của nó (là biểu thức đẳng cấp đối với hai biến a và b)

+ Ta có thể đồng nhất hệ số hai đa thức là hai vế của đẳng thức (28) để tìm các hệ số q i , p l theo các hệ số α βj, s cho trước

i i

0 1 0

(1) 0(1) 0

k n

i i k n

i i

f f

0

( 1)

n j j j

++

=

=

b a b

b a

a b

2

<

++

−

−+

−

=

′

a b a

a b b b a

b a

f a , ∀a,b∈[ ]1;4 , suy ra

1

1411

4),4()

b b

f P

123)

;4(

++

−

=

′

b b

b b

[ ]1;420

Nhận xét 9:

Từ cách giải bài toán 20, chúng tôi đề xuất bài toán sau

Lời giải bài toán 5.2:

Không mất tính tổng quát ta giả sử c = min{a; b; c}, thì 21 2 21 2 1 2 1 2

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 25

S≥ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c=0,a= =b 8

Vậy minS=25, đạt được khi và chỉ khi a = b = 8, c = 0 hoặc các hoán vị của nó

Lời giải bài toán 5.3:

Không mất tính tổng quát ta giả sử c = min{a;b;c}, thì 31 3 31 3 1 3 1 3

Biên soạn: Tôn Thất Hiệp 27

Lời giải bài toán 9.1:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử x ≥ y ≥ z, khi đó ta có (x – y)2 + (y – z)2≤ (x – z)2, đẳng

yz y

z

π β

β β

x

a= , = ,a,b∈[ ]1;4 Ta có

1

13

++

=

=

b a b

b a

a b

2

<

++

−

−+

−

=

′

a b a

a b b b a

b a

1

1411

4),4()

b b

f P

123)

;4(

++

−

=

′

b b

b b

[ ]1;420

29

ii) Nếu y = max{x; y; z} Đặt

z

y b x

y

a= , = , a,b∈[ ]1;4 Ta có

b a

a b

b a

b a g P

+

++

++

=

=

12

3

1),(( ) ( )

( ) (2 )2

2

1

1)

,

(

a b b

b a a

b

a

g b

++

1,(min)

,()

y

a= , = thì ∈  ∈4;1

1,4

;4

1

b

b a

a b

b a

++

=

=

12

3

1)

,(

a b b

b a a b a

g b

++

1

;4

1175

6

b a

a g

1,14

1,1

,1

4

;4

110

117minP= , đạt được khi và chỉ khi