Luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành phương trình vi phân

2 1.2 Tính chất ổn định của phương trình vi phân hàm.. 7 2 Phương pháp trung bình hóa trong lí thuyết ổn định của phương trình vi phân hàm 8 2.1 Mở đầu.. Tiếp theo đây ta sẽ đưa ra một s

Mục lục

1.1 Phương trình vi phân hàm 2

1.2 Tính chất ổn định của phương trình vi phân hàm 4

1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình vi phân thường 5 1.4 Một số bổ đề 6

1.4.1 Bổ đề Gronwall - Bellman 6

1.4.2 Bổ đề Bihari 6

1.4.3 Định lí xấp xỉ 7

2 Phương pháp trung bình hóa trong lí thuyết ổn định của phương trình vi phân hàm 8 2.1 Mở đầu 8

2.2 Các điều kiện đủ về tính ổn định 11

2.3 Nhận xét 18

2.4 Thí dụ 19

2.5 Điều kiện đủ về tính không ổn định 24

2.6 Kết luận 30

3 Tính chất ổn định của hệ phương trình vi phân hàm xấp xỉ tuyến tính 32 3.1 Ma trận A có tất cả các giá trị riêng có phần thực âm 32

3.2 Ma trận A có ít nhất một giá trị riêng với phần thực dương 35

3.3 Ma trận A là xyclic, tức A có tất cả các giá trị riêng với phần thực không dương và các giá trị riêng có với phần thực bằng không ứng với ước sơ cấp đơn 37

3.4 Thí dụ 49

1

Giả sử D là tập con của R × C và hàm f : D −→ Rn là hàm cho trước, ta gọimọi phương trình dạng:

Bổ đề 1.1.1 Nếu σ ∈ R, ϕ ∈ C cho trước và f(t, ϕ) liên tục thì bài toán (1.1)với điều kiện đầu (σ, ϕ) tương đương với bài toán

Ta có các kết quả về sự tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào điều kiệnđầu và sự thác triển liên tục của nghiệm Trước hết, để thuận lợi trong quátrình sau, ta đưa ra một số kí hiệu cần thiết.

Với (σ, ϕ) ∈ R × C, kí hiệu eϕ ∈ C([σ − h, ∞), Rn) xác định như sau

eϕ(t + σ) =

(ϕ(t) t ∈ [−h, 0]

ϕ(0) t > 0Nếu x là nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu (σ, ϕ) và x(t + σ) = eϕ(t + σ) +y(t), t ≥ −h, thì từ Bổ đề 1.1 ta có y thỏa mãn

y(t) =

Z t

0 f (s + σ, eϕs+σ + ys)ds, t ≥ 0 (1.2)Ngược lại, nếu y thỏa mãn phương trình (1.2) thí cũng suy ra được nghiệm xcủa hệ (1.1) bằng phép đổi tọa độ trên Do đó, việc tìm nghiệm của hệ (1.1)cũng tương đương với tìm nghiệm của phương trình (1.2)

thì T liên tục và tồn tại tập compact K trong C([−h, 0], Rn) sao cho

có điểm cố định trên U

Định lý 1.1.1 (Sự tồn tại nghiệm) Nếu Ω là tập mở trong R × C,f ∈◦C(Ω, Rn), (σ, ϕ) ∈ Ω thì phương trình vi phân (1.1) với f được thay bởi f◦luôn có nghiệm với mọi điều kiện đầu (σ, ϕ) Hơn nữa nếu W ⊂ Ω là tậpcompact thì có một lân cận V của W trong Ω sao cho f ∈◦ C(V, R◦ n), và cólân cận U ⊂ C(V, R◦ n) của f◦ sao cho có α > 0 để mỗi f ∈ U, phương trình

vi phân RF DE(f) (retarded functional differential equation) có nghiệm trên[σ − h, σ + α) với mỗi điều kiện đầu (σ, ϕ)

Định lý 1.1.2 (Tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu và vế phải) Giả sử

Ω là tập mở trong R × C,f ∈ C(Ω, R◦ n), (σ,◦ ϕ) ∈ Ω, và◦ x◦ là nghiệm duy nhấtcủa phương trình RF DE(f ) với điều kiện đầu (◦ σ,◦ ϕ) xác định trên [◦ σ − h, b].◦Cho tập W ⊆ Ω là tập compact xác định bởi◦

◦

W = {(t,x◦t) : t ∈ [σ, b]}◦

và V◦ là lân cận mở của W◦ mà trong đó f◦ bị chặn Nếu (σk, ϕk, fk), k =

1, 2, 3, thỏa mãn σk →σ, ϕ◦ k →ϕ, f◦ k→f ,◦ khi k → ∞ thí có k0 sao cho đốivới RF DE(fk) với k ≤ k0 sao cho mỗi nghiệm xk = xk(σk, ϕk, fk) với điềukiện đầu (σk, ϕk) tồn tại trên [σ − h, b]; được hiểu là với  > 0 bất kỳ, tồn tại◦

k1() sao cho xk(t), k ≥ k1(), xác định trên [σ − h + , b] và x◦ k →x◦ đều trên[σ − h + , b].◦

Định lý 1.1.3 (Định lí tồn tại và duy nhất) Giả sử Ω là tập mở trong

R× C, f : Ω −→ Rn liên tục và f(t, ϕ) Lipschitz theo ϕ với mỗi tập compacttrong Ω Với mọi (σ, ϕ) ∈ Ω, tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1) với điềukiện ban đầu (σ, ϕ)

Định lý 1.1.4 (Thác triển liên tục nghiệm) Giả sử Ω là một tập mở trong

R× C, f : Ω −→ Rn là liên tục hoàn toàn, tức f liên tục và biến một tập đóng,

bị chặn của Ω thành một tập bị chặn trong Rn, và x là một nghiệm không tháctriển được của phương trình (1.1) trên [σ − h, b) Khi đó, với mọi tập đóng, bịchặn U trong R × C, U ⊂ Ω, thì tồn tại một số tU sao cho (t, xt) /∈ U với mọi

tU ≤ t < b

ra các định nghĩa về ổn định của nghiệm không đối với hệ (1.3).

Kí hiệu

B(0, ) = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < }

là hình cầu tâm O bán kính  trong C

Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm x = 0 của hệ (1.3) được gọi là

ổn định nếu với bất kỳ σ ∈ R,  > 0, tồn tại δ = δ(σ, ) > 0 sao cho nếu

ϕ ∈ B(O, δ) thì xt(σ, ϕ) ∈ B(O, ) với mọi t ≥ σ

ổn định đều nếu δ ở trên không phụ thuộc vào σ

ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại η = η(σ) > 0 sao cho nếu

ϕ ∈ B(O, η) thì x(t, σ, ϕ) → 0 khi t → ∞

ổn định tiệm cận đều nếu nó là ổn định đều và tồn tại η > 0 sao cho với mọi

 > 0, tồn tại T = T () > 0 sao cho nếu ϕ ∈ B(O, η) thì x(t, σ, ϕ) ∈ B(O, )khi t ≥ σ + T với mọi σ ∈ R

ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại số α > 0 sao cho với mọi  > 0 tồn tại

η = η() > 0 thỏa mãn với mọi σ ∈ R, ϕ ∈ B(O, η) thì

||xt(σ, ϕ)|| ≤ .e−α(t−σ).||ϕ|| ∀t ≥ σ

Tiếp theo đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ cho sự ổn định của nghiệm

x = 0 đối với hệ (1.3) nhờ việc mở rộng phương pháp hàm Liapunov trongphương trình vi phân thường

Nếu V : R × C −→ R là hàm liên tục và x(t, ϕ) là nghiệm của hệ (1.3) đốivới điều kiện đầu (t, ϕ) thì ta xác định

Định lý 1.2.1 (Ổn định đều và ổn định tiệm cận đều) Giả sử tồn tại cáchàm a, b ∈ K(K − hàm lớp Hahn) và c là hàm liên tục, không âm Nếu tồntại hàm liên tục V : R × C −→ R sao cho

1 V (ϕ)) > 0 trên U, V (ϕ) = 0 trên biên U,

2 0 thuộc bao đóng của U ∩ B(O, γ),

Khi đó nghiệm x = 0 của hệ (1.3) là không ổn định Hơn nữa, mọi nghiệm

xt(σ, ϕ) với điều kiện đầu (σ, ϕ) với ϕ ∈ U ∩b(O, γ) sẽ tiến ra biên của B(O, γ)sau thời gian hữu hạn

Định lý 1.3.2(Định lí không ổn định) Nếu ít nhất một giá trị riêng λj(A), (j =

1, 2, , n) của ma trận A có phần thực dương, thì nghiệm tầm thường x = 0của hệ (1.4) không ổn định theo Liapunov khi t → +∞

Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Gronwall - Bellman mở rộng) Cho m, n, h ∈ C(R+, R+)

t

t 0

f (s)ds < Ξ(u − 0), (t0 ≥ t < ∞)thì với t0 ≤ t < ∞ ta sẽ có bất đẳng thức:

trong đó Ξ−1(u) là hàm ngược của hàm Ξ(u) Đặc biệt, nếu u =∞ và Ξ(∞) =

∞ thì kết luận của Bổ đề không có sự hạn chế nào

Hệ quả 1.4.1 (Trường hợp Φ(u) = ud(d > 1) ) Giả sử các giả thiết của Bổ

đề 1.4.3 vẫn đúng với hàm Φ(u) = ud, (d > 1) Khi đó, nếu

Z t

t 0

f (s)ds < 1

(d − 1)cd−1,thì với t0 ≤ t < ∞ ta sẽ có bất đẳng thức:

Chương 2

Phương pháp trung bình hóa

trong lí thuyết ổn định của

f : DH −→ Rn liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x

F, g : GH −→ Rn liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo xt và

F (t, 0) ≡ 0

với DH = R+× BH; GH = R+× ΩH

trong đó BH = {x ∈ Rn: |x| < H} và ΩH = {ϕ ∈ C ([−r, 0] ; Rn) : kϕk < H}Giả sử:

|g(t, ϕ (.))| ≤ m0kϕ(.)|d0

(m0 > 0, d0 > 1) (2.2)Khi đó hệ (2.1) trong lân cận đủ bé của điểm O trong ΩH sẽ "gần" với phươngtrình vi phân thường

Ta sẽ phát biểu và chứng minh một vài khẳng định bổ trợ:

Bổ đề 2.1.1 Giả sử hàm F thỏa mãn trong miền GH điều kiện Lipschitz vớihằng số L và giả sử đã cho điểm ϕ ∈ ΩH Khi đó: đối với x(t; t0, ϕ) ∈ BH

đánh giá sau đây là đúng

Chứng minh Do x(t + s) = xt0(t + s − t0) nên với s ∈ [−h, 0], ta có

x(t + s) =

(ϕ(0) +Rt+s

t 0 F (u, xu)du với t0 − t ≤ s ≤ 0ϕ(t − t0+ s) với −h ≤ s ≤ t − t0

Bổ đề 2.1.2 Giả sử đã cho t0 và hàm ϕ ∈ ΩH và giả sử x(t0, ϕ) và y(t0, ϕ(0))

là các nghiệm của hệ (2.1) và (2.3) tương ứng mà giá trị trùng nhau tại t = t0.Khi đó:

và nhờ vào tính toán (2.2) ta nhận được đánh giá

|x(t) − y(t)| =

ϕ(0) +

Z t

t 0

f (s, y(s))ds



=

... m0, |b(t)| ≤ m0 ≤ ∆(t) ≤ h ∀ t ≥ 0.Nhờ Nhận xét 2.2, phương trình (2.37) so sánh với phương trình vi phânthường:

Lấy hàm Liapunov v = x2/2 Khi

˙v(2.37)... vấn đề

ổn định nguyên tắc mức độ cao

Thí dụ 2.4.3 Bây xét hệ phương trình vi phân hàm dạng trễ với trễ phânphối:

˙x = a(t)f (x(t)) + b(t)

Z 0

−∆(t)... class="text_page_counter">Trang 23

Thí dụ 2.4.1 Xét phương trình vi sai phân khơng ôtônôm phi tuyến với trễbiến thiên:

˙x = a(t)[x(t)]2k+1+ b(t)[x(t