Giải bài tập toán cao cấp a1 đh nông lâm

Cách này rất lâu và dễ sai xót.. Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa chọn phương pháp phù hợp... Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến x e y sin .cos .cossin sin si

Trang 1

ĐẠI HỌC NÔNG LÂM

happiness Life

BIÊN SOẠN: BBT ĐỀ THI NÔNG LÂM

- LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 - -

Trang 2

Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục

Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục

Câu 6 Tính các giới hạn sau

4.3

314

3.4

4.3

314

3.4

44

3

34

34.4

3

34

34.43

2

34

x n n n

n n

x n n

n n

x n n

n n

x n n

n n

121

12

)

lim lim

n n

n n n

n b

x x

x

11

21

12

3

3 2

3

3 2

lim lim

n n n n

x x

B A B A

11

21

1

21

1

3 3

3

lim lim

n n

n

x x

x

2

11

12

11

12

1

2

2 2

x n

x

n n

n

n d

Có thể giải bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass)

2

sin1

n n

n

n n

x x

L

1cos

.2sin

2

sin12

sin

2

2 2

2

lim lim

2cos

Trang 3

6 ) lim  210 lim  2 1 lim  n 1

x n

x

a Vì

Do f

n x

n n

A

x x

n x

1ln1

ln

11

1

11

ln

lim lim

x

, Vậy ln(A)0A1

Cách 2: Với mọi giá trị: n1ta có: n n n

n n

n  1 2 lim  n 1

x

n Mà

Trang 20 Giáo Trình Toán CC A1 ĐHNL

.2

x n

x n x n

x

n Và

Do n

n Mà

Vậy ta có lim n 11

x

n Mà

1

7.5

15.3

13.1

1

5

13

111

2)12

1

7.5

15

x x

2

112

11

B AB A

B A B

2

3 3

n n

x x

Trang 4

2

11

1)

2 2

2

11

1

lim

Với n1, Ta có:

n n n

n2   2    2 

1

2

11

1

11

2 2

3 Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 3

63

ln.3ln.3.1

63

ln.3ln.3.1

63

ln.3.1

3

3 2

' '

2 '

3

lim lim

L n

x

L n

123

2

1

2 2

lim x x x      

a

x

Trang 5

Do thế vào không có dạng vô định

11

12

1

22

2

2 2

2 2 2

2 4 2

x

x b

x x

x

 g :  g cách 1: (Dùng ’Hosp tal)

112

12

4

2

22

2

2 2 3

2 2

4 2 2

' 2 4

x

x x

x

x x

x L

12

1

22

2

2 2 2

2 4

x

x x

26

3 2 3

2 2

x x x

x x

x

x x

146264

2

1

3 2 3

2 2

3 3 2

12/13

6

31

8

268

26

2

2 3

3 2 3

x x

x

x x

L x

Với                

6.6.3

16

6 1/3 1/3 1

3

x x

x d

02

516

238)

4

3 0

lim

Công thức tổng quát:       

u u

u   1

Trang 6

/ 3

3 / 2 0

1 4 / 1

1 3 / 1 0

516

1.4/5

381

5164/5

385

.5164/

1

3.38.3/

1

lim lim

lim

x

x x

x

x x

16.5

43

8

516

sinsin

x

b bx a

ax x

bx ax

x L x

0

cos1

.cos

costan

sinsin

lim lim

ax

x

bx ax

x

2sin.2cos.2

tan

sinsin

lim

0 0

Do

2

~2sinvà

bx ax bx ax x

x x

a x

x

bx ax bx

ax

x

bx ax bx

ax

x x

cos.2.2

tan

2sin.2cos

2

lim lim

lim

0 0

0

2

cos2

cos

lim

0 0

b a bx ax b

a

x x

bx ax

x x

~

sinsin

2

12cos

1tansin

tan

2

0 3

x x

x

x x b

x x

x

2

~cos1vàx

~

tan

2

x x

Trang 7

t t

2sin

2cos

2

cot2

cot1

2

lim

0 0

2

2cos

2

2cos

2sin

2

cos

lim lim

lim

0 0

t

t t

tan1

2cot

1.1

VĐ x

x

'0

0

2cot

2 1

2 0

3cos.3coscos

2

113

cos.2cos.cos1

x x

x x x d

x x

2 0

6cos14

14cos14

12cos14

16

cos14

14cos4

12cos

x x

x

x x

2

1) lim

 g :

Trang 8

Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có:

1ln

)

3 2

x

x x

x

x A

x x

t t

t

t t

x

x x

t t

1ln32

21

11ln322

1ln3

lim

0 0

1321

121

1ln322

1

1ln3

2

lim lim

lim

0 0

t t

t

t t

t t t

t t

t

t t

'0

02

962

1

33

2

2 2 0

lim

64

9 6 1

2

1 3 2 3

2

lim lim

x x x

x e

x

x x

x x x

2

2 2

2

lim lim

1 1

lim

Trang 9

0

2cos

x

x c

2 2 0

2 0 2

sin 2 1

sin 2 1 1

2 cos 1 /

1 0

lim lim

lim 2

cos

x x

x

x x

x

e e

e x

x x x

Khi Do

2

2 2

12

1cos1

cos1lncos

ln

0 2

2 0 2

0 2

x x

x d

2

~1cos

;1cos

~1cos1ln0

2

x x

Và x x

e

bx ax

e bx

ax

x

bx ax

0

Ta có:

b b bx

e x

e và

a a ax

e x

x bx

x ax

11

lim lim

lim

0 0

x x

x x x

x

x x

e e

x x

f

1 cos sin 1

cos sin 1 /

1

0

lim lim

cos sin

.

2

2 sin 1

cos 1

sin

lim lim

lim

0 2

2 2 0 2

2 2

0 0

x x

x Và

x

x x

0

cos sin

lim

Trang 10

 g :

01sin

,1sin

1sin

sin

lim

0 0

x

x x

x

x Xét

x x

Giới hạn đã cho có dạng vô định: 1 , Ta có: 

e e

x

x x

x x x

x

x x

1

sin sin

sin

0

0 0

2 1

lim   

x x a

1

311

321

32

lim lim

lim

1 1

2 2 1 2

x

x x x

x x

 g cách 2: Biến đổi

3.11

1

311

32

lim lim

lim

1 1

x x

x x x

x x

1

31

1

3.1

lim

1 1

x

x x

14

2arctan

Trang 11

4tan

4

4tan

4

14

4

tan

lim lim

4 4

x

x x

VĐ x

x

'0

04

4tan

t x

x

04

tan4

4tan

lim lim

4 4

t t

x

13

x

,0

01

10

1.3ln.2

12

3.3ln.2

11

2

1.3ln.3

x

L

 g cách 2:

Trang 12

x

e x

x x

x

3ln,13ln

13

ln3ln

11

13

3 ln 3

ln 0

3 0

VĐ o x

x b

x

',

0

cos2

sin2

x x

x

cos1121

1cos2cos

2

lim lim

lim

0 0

x x

Chú ý công thức: a x -1 ~ x.lna ; 1 – cosax ~  

01

ln1

arcsin

)

2 0

ln

1arcsin

2 0

~ 2

x x x

x x

x

x x

x

x x

x

L

11

1.11

11111

111

12

21

1

2 2

2

0 2

2 2

0 2

2 2

11

2 2

2 0

x

Cách này rất lâu và dễ sai xót Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa

chọn phương pháp phù hợp

Trang 13

x

x d

x

,0

0

2sin.2arcsin

arctan)

2 0

.22

sin.2arcsin

arctan

2 2 0 2

2 0 2

0

~ 2

x x

x

x x

x

x x

x e

x

,0

03

tan.2sin2

2cos1

26

2

23

.22

2

2 2 0 2

2 2 0

x

x x

x

x x

VĐ x

x f

x

',

0

0lg

10ln

x

a

ln

1log  

x g

x

,0

01

4

12arcsin

1

arcsin1

4

12arcsin

lim lim

lim

0 0

~ 0

2 2

t

t x

x

t t

t x

x x

x

x x

h

x x

x

1ln2

11

ln2

111

ln1

ln11

1ln

1

0 0

0

12

22

2

1ln1

ln

lim lim

lim

0 0

x

Trang 14

)

1 0

x x

x A

x x

x

02

cossin

ln2

cossin

ln

12

cossin

ln

)

0 1

cossin

sincos1

2cossin

sincos2

cossin

ln

lim lim

lim

0 0

0 '

x x x

x

x x

x

x x

x L

x

112

12

2 2

1cossin

2cossin

ln

lim lim

lim

0 2

0 0

x x x

x x

x

x x

Vậy ln(A)1Ae

x

0 1

Trang 15

c Áp dụng gi i bài tập k) :

x

e x A

VĐ x

e

x x

x

'0

0ln

VĐ e

x e e

x e x

x x

x

x x

x

L

'1

1

.1

lim lim

VĐ e

e

x x

x

L

'1

x

L

e e

* Vậy A Ae1 e

1ln

x z

x

1cot

VĐ x

x

x x x x

x

x x

x

x x

x

'0

0sin

sincos.1

sin

cos1

lim

0 0

.sin

sincos

.sin.1

cossin

cos.1sin

sincos

lim lim

lim

0 0

0

VĐ x

x x

x x x

x x

x x x

x

x x x

x x

0cos

.1cos

x

x x

Câu 16 Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm x0=0

0sin

x Khi

x Khi x

x x

Trang 16

1 sin

lim lim

0 0

x

x x

f

x

x x

f x

f

x x

Do đó f(x) không tồn tại tại x0 = 0

sin

lim

0 0

VĐ x

x x

f

x x

)0(

f

f x

f

thay Ta

x

thay Ta

x

Nhận thấy: Hàm số chỉ liên tục phải tại x = 0 mà không liên tục trái

Kết luận: Hàm số không liên tục tại x0 = 0

1

0

\2

;2sin

cos1

2

x Khi

x Khi x

x x

2/1

cos1

.sin

cos1

sin

cos

1

2 2

2 0

x x x

x

x x

cos1

2 0

x

x x

f

x x

Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0=0

 g 2:

 g chi tiết:

Kiểm tra:

i) Hàm số f(x) xác định tại x0 = 0 vì f(0)= 1/4 ,  Xác định

Trang 17

cos1

2 0

x

x x

f

x x

, Giới hạn này có 2 cách giải: L’Hospital hoặc liên hợp, Cách giải sau sử dụng lien hợp sau đó tương đương

x x

f

x

hop Liên

x

cos1sin

cos1

2 0

_ 2

1cos

1.2

1cos

 Thỏa i) và ii) nên hàm số lien tục tại x0 = 0

Câu 17 Tìm giá trị của a (và b, nếu có) để hàm số sau liên tục lien tục tại x0

21

2.2

x Khi x

x x

f

Hàm số f(x) liên tục tại x0=0, Nếu lim      0 1

0

f x f

x x x

f

x x

lim

0 0

f

a

x x

x Khi x

x

f

 g :

Kiểm tra:

i) Hàm f(x) xác định tại x0=0 vì f(0) = a.0 = 0,  Xác định

ii) Điều kiện để hàm số lien tục tại x0=0  liên tục phải, liên tục trái tại x0=0

f x f x

f

x x

Ta có:

0 0

a x a x

f

x x

2arctan

1arctan

lim

0 0

x x

f

x x

Trang 18

arccos

1

x Khi b

x

x Khi

x

x Khi a

x

y

0

111

cosarccos

f

x x

lim

1 1

x x

f

x x

Thế vào ( I ) Vậy để hàm liên tục tại x01 thì a = 

* Tương tự hám số liên tục tại x01

Ta có : f x1  f 1 0

x x

lim

1 1

Vậy để hàm liên tục tại x01 thì b = 1

1

11

x x

lim

1

x

Trang 19

Vậy đây là đ ểm g án đoạn loại 2

0sin

x Khi

x Khi x

x x

f

x x

x0 0 gọi là điểm gián đoạn bỏ được:

Trang 20

Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến

Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM 1 BIẾN

3 0

x x

x

x f x x

1

2 3

x x

x f

x x

2

32

1

2

2 3

x

x x

x f

x x

2

32

1

3

2 3

x

x x

x f

x x

Câu 2.2 Tính đạo hàm

22

ln2

22

ln

2ln2

12

ln2

12

ln x  x  x

Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x ta có:

2 2

3 2 2

22

32

2

12

32

12

22

12

1

x

x x

x

x x

3 2

22

32

2

12

2

32

2

1

x x

y x

x x

3 2 1 3

3

12

111

1

x x

x y x

x x x x x

y             

c) ysinxcos2.tan3xsinxcos2.tan3 xcosx.cos2 x.tan3x

x x

x

cos

1.tan3.costan

sin.cos

x

y

Trang 21

x x x y x

x y

x x

x

2 ln

ln ln

ln

1ln

2.2lnln

.2ln.22

f)

0,

2

0,

2

x x y

.0

0

lim lim

lim

0 0

x x x

y

x

y

x x

11

1

11

1

2 2

x Khi x

x

x Khi x

231

1

11

2311

2 2

x Khi x

x x

x

x Khi x

x x

11

0,

1

11

ln

1

x x

x y

x Khi x

y

11

ln0

0

lim

0 0

y

x

y

x x

   

10

0

lim

0 0

y

x

y

x x

y

e

e x

ln

12lnlog

12log12

x x x

x x

ln.12

12ln.12ln.2ln

12lnlnln.12

1arcsin

2

Trang 22

2 2

1

11

2

11

arcsin

x x

x y

1arctan 2

12

1

.2

11

arctan

2 2 2

2 2

x x

x y

1arccos

21

2121

11

2arccos

x y

y

t t

a

x

cos1

b t

a

t t

b t a

t b dx

dy t

b t b

dt

dy

t a a t t

cos1sincos

1

sinsin

cos1

cossin

t x

.sin2

cos.cos2

t t t

t

t t t

Cách 1:

Xem y = y(x), đạo hàm 2 vế phương trình theo x, ta có:

x y

xy

x2 2  2 2

Trang 23

y x

x x

x

x y

x x

x

x y

x x

x

y

x x

x

y

22

121

222

241

22

121

222

241

22

2 2

2

2 2

1 2

2

2 1

ln2

1arctanln

x

y y

x x

2

.222

1

y x

y y x x

y y x



 y e y y x y

10

y

Câu 2.8 Tính đạo hàm cấp cao tương ứng

a) yesinx.cossinx, Tính y

e x x

e x e

y sin cossin   sin cossin  cossin  sin



Trang 24

x e

y sin cos cossin sin sin cos sin

e x x x

x e

e x x x

cosx.esinxcosx.cossinx cosx.esinxsinsinx.cosx

cos2x.esinxcossinxsinsinx 

x y

2 8

8 2 8

1

11

10

1

11

x x

12

11

1

2 1

x x

8 8

2 8

1

11

12

11

12

11

1

x x

x y

 

8 8 9

11

n n

b ax n a b

ax ADCT

y Tính x

g x x

f

Xét:      

20

2

1 2

/ 1 2

/ 1

12

11.1

2

11

2

1 2

/ 3

14

311

2

32

11

x g x

x x

7 2

5 3

112

1.2

11

8

151

k n n

C x

g x

f C

                n      n

n n

n

x x

C x

x C x

x C

11



n n

n

x n x x

x x

C x

x C

y

Trang 25

y Tính x

ycos2

Hạ bậc ta có:

2

2cos1cos2 x x

n n

x x

2

12

cos2

102

cos2

12

cos2

12

n x

y Tính e

e x

C e

x

20 0 20 20

2

0 19 2 1 20 0 2

x C e

222cos22

92cos22

.102cos22

e d x d C y

d

0

n x

n n

x n n x n

1 2 2

/ 1 2 2

12

.1

2

11

1

x

x x

Trang 26

2 2

2

2 2

11

1

12

21

.1

1

x x

x x x

x

x x

x

x x

x

x x

 

2

2 2

2

11

x x dx

0 5 0

5

ln

1ln

x C x

x C

y

5

4 1 4 5

3 2

3

5

1ln

x C x

x

C

x x x

x x

ln

4 4

1 0

x x

x

5 5

2 2 2 5 3 5 1 5

1 3 4

5 0 5

4

ln1

11

x C C C x x C C x x

y

6

1 5 3

3 4

1 3 5

1 4

.ln

21015

1.3.16

1.4.1

x

x x

6

dx x

x x

x

y

1 2 2 1

2 2 3

x x

y

1 5 5 6

5 1

4 4 5

4 1

3 3 1

3 3 4

;

!4.124

;.!

3.121.3.16

y x

x

y x

x x

y

!

Trang 27

n n n

dx x n y

x

f

1802146

4

1

0

4 3 4

5,0

.0

x

f

Trang 28

Vậy   0,04 0,56978

3

32654

1arctan 2   0   

12

2cos1cos2    



4 2

0

!4

!21cosx x  x  x

4 2

03

11

0

!4

16

!2

412

12

12cos2

12

1

x x x x

x x

12

11

1x   x x  x , Bài này để đơn giản ta xét  2

02

11

1x   x x

5 3

0

!5

!3sinxx x  x  x

5 3 5

5 3

024012210

!5

!32

11sin0sin2

7 5 3

0

!7

!5

!31

sin0

!7

!5

x x x

x

Trang 29

12

11

1x   x x  x , Bài này để đơn giản ta xét  2

02

11

1x   x x

4 2

0

!4

!2cosx x x  x  x

4 2 4

4 2

0484210

!4

!22

11cos0cos2

x x

x

'0

01

1

1ln1

x

x x x x

x

x x

x x x x

x

x x

x

'0

0sin

sincos1

sin

cos1

lim

0 0

x x x

x x

x

x x

L

'0

0cos

sin

sincos

sin

cossin

cos

lim

0 0

'

0sin

cos2

cossin

sincos

cos

cossin

lim

0 0

x x x

x x

lim

x x

x A

x x

A

x x

2ln

2cos2

sin2

ln2tan2

ln

)

1 1

2 tan

L x

'0

0

2cos

2ln2

sin

lim



Trang 30

2

sin2

12

ln2

cos2

x

x x

'

ln1

arctan2ln

ln21

ln2

ln11

12

2

2 '

'

lim lim

x x

x

x x

x L x

x x

tanlncos2tan

cos2ln

tanln

ln

lim

2 2

cos 2 2

x

x x

x A

x x

L

x x

x

2 2

'

2 2

2

cos2sintan.cos1

cos21

tanln

cos21

tanlntan

ln.cos2

.tan.cos

cos2

2 2 2

x

x x

x x x

x

L x

x

x x

e e

x

x e

e x

x e

11

1

lim lim

lim

0 0

' 0

0

Trang 31

11

1

lim lim

lim

0 0

e e

e xe

e

e xe

e

x x

x x x x x

x x x

x

x x x

cos

1tan

2tan

0 2

0 0

x x

x

x x

x

L x x

x

e e x

x

e e x

e e

Câu 2.18 Đưa phương trình tọa độ cực về phương trình tọa độ Descartes vuông góc

2

1

y x

x a

r   2  2 

tan

Trang 32

Toán Cao Cấp A1 Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến

Chương 3: Phép Tính Tích Phân Của Hàm 1 Biến

T C P T Đ

C c T n Tích Phân Đ nh Cơ n

Ch :

Trang 33

Trang 34

Trang 35

Trang 36

D

Trang 37

Trang 38

:

Trang 39

x x

112

12ln

24

1

2 4

12

22

2

112

22

2

11

21

x x

x

x x

x x x

x x

:

Trang 40

:

Trang 41

Trang 42

Câu 54

x x dx x x x

x x dx

x x

3 2 3

11

2

12

13

116

111

31

211

11

1

41

13

Trang 43

:

Trang 44

x b

x a

b a

dx b

x x

2 2 2

2 2

x

cos

1tan  

C a

x b ba

C a

bt ba

C a

bt a

b b t b

a

dt b

2 2

Chú ý: Áp d ng công thức:

C a

x a

x

x dx

x

x x

x dx

x

x x

2 3

3 2 3

2

1

11

1

11

Trang 45

31

t

I    2   3  2   3 / 2   6  3    5 / 2

2 / 3 2

2

3

3.1.23

.3.13

33

.1

1.5

28

137

232

1.5

28

133

5 3

8 3

17

21

2

11

.5

21

t

t x x

x t

3 3

3

1

61

11

16

t t t

t

cos1

cos1cos

.sin2cos

1

cos

1

2 2

22

cos1cos2cos

arccos

sin

2

Trang 46

Câu 93   dx

x

x I

2 6

1

1 NL 118 ạng 3.1.6.2

2 2

2

1

;1

;11

t x x t

x

t t

31ln

8

31

11

8

31

x x

dx

2 2

2 2 2

1

;1

;11

t x x

t x

2 2

1

dt dt

t t

11

8

31

;cos

u

t u

du dt

u

du u du

1cos

33cos4

1.coscos

2

5

C x

x x

x C t

t t

t C u

3 2 2

3

111

3

11

3

1

;1

3

2

;11

t x

x t

x

C x

x C

t

t t

dt t

11

ln2

11

1ln2

11

3 2

Định dạng
Số trang	68
Dung lượng	2,96 MB