Ứng dụng của toán học và một số mô hình toán học trong kinh tế

Đề tài: Ứng dụng của toán học và một số mô hình toán học trong kinh tế

LỜI MỞ ĐẦU

* *

*

Phát triển kinh tế là mục tiêu của tất cả các nước trên thế giới để đạt được mục tiêu đó thì đòi hỏi các nước phải có sự kết hợp hài hòa việc phát triển của tất cả các ngành khác nhau trong quá trình phát triển kinh tế đó thì toán học là một yếu tố có ứng dụng rất quan trọng việc ứng dụng tốt các

mô hình kinh tế vào trong nền kinh tế đòi hỏi các nước phải có một cơ sở toán học vững chắc bằng chứng là các mô hình kinh tế từ trước đến nay như mô hình IS_LM ,mô hình tăng trưởng SOLOW tất cả đều in đậm dấu ấn của toán học trong đó

Ngày nay vai trò của toán học được thể hiện qua nhiều khía cạnh khác nhau từ giảng dạy nghiên cứu đến chính sách kinh tế nhiều người cho rằng toán học là phần tương ứng lý thuyết của kinh tế lượng một ngành có mục đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê Trên bình diện chính sách kinh tế thì các mô hình kinh tế toán và kinh tế lượng được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi

và thường xuyên trong việc đánh giá và dự báo ảnh hưởng của các chu trình, xu hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế công

Do đó có thể nói rằng ngày nay toán học có một vai trò rất quan trọng trong tất cả các lĩnh vực đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế dựa vào toán học chúng ta có thể tiến hành phân tích và dự báo sự biến động trong nhiều lĩnh vực khác nhau như về giá cả và tài chính

Sau đây chúng ta xẽ đi xem xét tầm quan trọng của toán học trong kinh tế

và sự ứng dụng của nó ở trong một số các mô hình tăng trưởng và phát triển kinh tế

NỘI DUNG

* *

*

I _ Ứng dụng của toán học và một số mô hình toán học trong kinh tế.

1 _ Lịch sử của toán trong kinh tế học

Sự ứng dụng của toán trong kinh tế không phải là một hiện tượng mới Thật ra toán đã đóng vai trò đáng kể trong kinh tế học trên dưới một thế kỷ nay mặc dù các thuyết kinh tế cổ điển đã được phát triển và hệ thống hoá

mà không cần dùng toán Lấy thí dụ, hai kinh tế gia cổ điển lớn nhất là Adam smith và David Ricardo , chỉ dùng thí dụ bằng số để minh hoạ các

lý thuyết của mình Họ phối hợp các quan sát thực tế một cách phi toán với các lý luận suy diễn về liên hệ nhân quả để giải thích hệ thống kinh tế làm việc như thế nào Ngay trong công trình của các kinh tế gia cổ điển vĩ đại cuối cùng như John stuart Mill và Karl Marx, công thức toán hay đồ thị cũng chỉ là một loại tốc ký hay phương cách trình bày mà thôi Một ngoại

lệ đáng kể là thuyết dân số của Thomas Malthus (1798) trong đó Malthus lập luận rằng dân số tăng theo cấp số nhân trong khi thực phẩm chỉ tăng theo cấp số cộng

Ngày nay, phần lớn các nhà kinh tế đồng ý rằng Augustin Cournot, triết gia

và toán gia Pháp, xứng đáng nhận danh hiệu “cha đẻ của kinh tế toán học” Cournot (1838) được coi là khai sinh ra kinh tế toán học vì ông đã

hệ thống hoá sự ứng dụng ký hiệu, công thức và lý luận toán trong kinh tế Sau thời Cournot, hầu hết các kinh tế gia danh tiếng đều phải sử dụng toán, không ít thì nhiều, trong việc phát triển và truyền đạt các lý thuyết của mình Cournot được xem là một trong những kinh tế gia đầu tiên đã thành công trong việc thành lập một lý thuyết giá trị nhất quán qua các phân tích

về tiêu thụ Một vài đóng góp cụ thể của ông cho kinh tế gồm có: ý niệm hàm và xác xuất trong phân tích kinh tế, hàm cầu, hàm cung, thuyết độc quyền và lưỡng độc quyền Cũng nên nhắc là thuyết lưỡng độc quyền của Cournot đánh dấu bước đầu nghiêm túc của thuyết trò chơi và giải pháp của Cournot là một hình thức hạn chế của cân bằng Nash

Các công trình của Cournot đánh dấu sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua kinh tế tân cổ điển Cả hai thuyết đều quan tâm đến sản xuất, phân bố, trao đổi và tiêu thụ của cải (của cải theo nghiã hàng hoá) Các kinh tế gia cổ điển chú ý đến sản xuất và phân phối của cải qua thời gian Họ nhấn mạnh

tỷ lệ tăng truởng dân số và nguồn lực vật chất, và xem xét hậu quả của các nhân tố này lên tiến bộ kinh tế cũng như phúc lợi của nhân dân và xã hội Các kinh tế gia tân cổ điển ít quan tâm đến các khiá cạnh động Thay vào

đó, họ đặt câu hỏi: “trong một nền kinh tế với dân số có sở thích, nguồn lực và kỹ thuật cho sẵn, làm sao các nguồn lực có thể phân phối qua một

hệ thống thị trường để cực đại hoá sự thoả mãn của người tiêu thụ?”

Ngày nay, sự chuyển đổi từ kinh tế cổ điển qua tân cổ điển là sự xê dịch từ phân tích kinh tế vĩ mô sang vi mô Đường hướng mới này có thể giải quyết một cách toán học bằng phương pháp giải tích Walras (1874) lý luận: “Chỉ có toán mới có thể giúp chúng ta hiểu ý nghĩa của điều kiện hữu dụng tối đa (maximum utility).”

Kinh tế tân cổ điển khởi đầu với ba kinh tế gia là : Stanley Jevon (Anh), Carl Menger (Áo) và Léon Walras (Pháp) Ba kinh tế gia này thường được xem là ông tổ của “Cách mạng Biên tế” (Marginalist Revolution) Danh từ biên tế liên quan đến kết quả toán của điều kiện biên tế cho cân bằng thị trường Quan trọng nhất trong ba kinh tế gia này là Walras ông đã khám phá ra lý thuyết cân bằng tổng thể Thuyết này giải thích quân bình của một hệ thống kinh tế thị trường qua quá trình điều chỉnh giá cả mà trong đó các tác nhân kinh tế riêng rẽ không thể ảnh hưởng lên giá thị trường Nói tóm gọn, Walras đã xếp đặt một chương trình nghiên cứu mà rất nhiều kinh

tế gia thế kỷ 20 đã theo đuổi Cùng với học trò là Vilfredo Pareto, Walras sáng lập trường phái Lausanne, có thể xem là trường phái kinh tế toán đầu tiên trên thế giới

Từ khi kinh tế tân cổ điển xuất hiện đến nay, phấn lớn những đóng góp quan trọng nhất cho lý thuyết kinh tế là từ kinh tế gia có đầu óc toán học Những kinh tế gia này đều xem toán là cần thiết và không thể thiếu Hai ngoại lệ đáng chú ý là hai kinh tế gia Anh, Alfred Marshall và John Maynard Keynes Tuy Marshall đã mang tính nghiêm túc của toán vào kinh tế, nhưng ông tỏ vẻ nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế Ông cho rằng các biến số thật trong đời sống quá nhiều và tương hỗ với nhau do

đó các cố gắng toán hoá sẽ làm vấn đề quá phức tạp, không nghiên cứu được, và nếu phải bỏ sót để vấn đề có thể phân tích được, thì lời giải thích

sẽ trở thành thiếu thực tế Keynes, giống như Marshall, ban đầu được đào

tạo để trở thành một nhà toán học và cũng nghi ngờ vai trò của toán trong kinh tế Keynes chỉ dùng một ít toán và lý luận rằng khả năng của toán trong việc thu hút nội dung của kinh tế rất là hạn chế Việc này dễ hiểu được vì quan tâm chính của Keynes là chính sách kinh tế và một kinh tế gia muốn phát biểu các đề xuất cho các vần đề kinh tế khẩn cấp, phải dùng ngôn ngữ càng ít toán càng tốt Nhưng cũng vì thế mà công trình vĩ đại nhất của Keynes (1936) có nhiều chỗ không rõ ràng và mâu thuẫn Dù sao Keynes cũng dặt nền móng cho kinh tế vĩ mô hiện đại và mở màn cho một chương trình nghiên cứu thúc đẩy vai trò của toán trong kinh tế và ứng dụng của toán trong các công trình thực nghiệm

Trong thế kỷ 20, các công trình kinh tế toán to lớn nhất xuất hiện sau Thế

chiến Thứ hai , ba thí dụ tiêu biểu nhất đó là :

Thí dụ thứ nhất, Paul Samuleson, lý thuyết gia kinh tế lỗi lạc nhất của thế

kỷ 20 Samuelson (1947) được nhiều người xem là cha đẻ của kinh tế toán học hiện đại qua cuốn sách “ Nền tảng của Phân tích Kinh tế “ , dùng ngôn ngữ toán nghiêm túc thống nhất các thuyết kinh tế bằng một vài nguyên lý

cơ bản, và đặt nền tảng cho các nghiên cứu kinh tế toán hiện đại

Thí dụ thứ nhì là mô hình cạnh tranh hoàn hảo Arrow–Debreu–McKenzie

(ADM), dựa trên các công trình của Arrow & Debreu (1954) và Lionel McKenzie (1954) Mô hình ADM là mô hình trung tâm của lý thuyết cân bằng tổng thể và thường được dùng làm một tham khảo tổng quát cho các

mô hình kinh tế vi mô khác So sánh với các mô hình trước đó, mô hình ADM dùng một ý niệm hàng hoá rất tổng quát, phân biệt hàng hoá bằng không gian lẫn thời gian

Thí dụ thứ ba là lý thuyết trò chơi nhà bác học von Neumann được xem

là cha đẻ của thuyết trò chơi vì ông đã phát triển khá hoàn hảo và phổ thông hoá thuyết này Von Neumman đề xuất thuyết trò chơi như một thứ ngôn ngữ mới dùng để biểu diễn và giải quyết các vấn đề kinh tế một cách chính xác Lối tư duy mới này nhấn mạnh sự tương tác chiến lược giữa các tác nhân kinh tế (cá nhân, doanh nghiệp, chính phủ, ) Như vậy, lý thuyết cân bằng tổng thể có thể xem là một trường hợp đặc biệt của thuyết trò chơi

Ngoài von Neumann, nhiều toán gia khác cũng tìm cách ứng dụng toán thuần lý vào lĩnh vực kinh tế trong nửa sau thế kỷ 20 Nổi tiếng nhất có lẽ

là toán gia Steve Smale Smale đã đóng góp rất nhiều cho lý thuyết kinh tế

trong thập kỷ 1970 Ông đã thành công trong việc mang giải tích toàn bộ vào những nghiên cứu về cân bằng kinh tế tổng quát

2_ Hạn chế của toán trong kinh tế

Để có một cái nhìn khách quan và toàn diện hơn, chúng ta xét qua vài thí

dụ về các ứng dụng toán không thành công lắm trong kinh tế Hai thí dụ tiêu biểu nhất có lẽ là thuyết tai biến (catastrophe theory) và thuyết hỗn độn (chaos theory) Sau nhiều thập kỷ phát triển dần dần, thuyết tai biến chính thức xuất hiện vào đầu thập kỷ 1970 qua những công trình đột phá của René Thom (1969) Sau đó, thuyết tai biến đã được áp dụng trong khá nhiều nghiên cứu kinh tế, thí dụ như thị trường chứng khoán, thị trường độc quyền, chu trình kinh tế, mô hình lạm phát, đầu cơ hối suất, thuyết tăng trưởng, kinh tế thành phố và vùng, kinh tế sinh thái, Vào cuối thập

kỷ 1970, nhiều tác giả bắt đầu chỉ trích sự lạm dụng của thuyết tai biến (không phải chỉ trong kinh tế) vì ba lý do chính như sau :

Thuyết tai biến dựa quá nhiều trên các phương pháp định tính, nhiều ứng dụng đòi hỏi các định lượng hoá giả mạo hay phương pháp thống kê không thích hợp, và rất nhiều mô hình không thoả những điều kiện toán cần cho thuyết tai biến

Ngày nay, phần đông các nhà kinh tế có một cái nhìn đúng đắn và lạc quan hơn về thuyết tai biến Tuy không phải là kỹ thuật tổng quát có thể dùng cho mọi trường hợp, thuyết tai biến vẫn đóng một vai trò nhất định nào đó trong việc nghiên cứu hiện tượng bất liên tục động trong kinh tế

Giống như thuyết tai biến, thuyết hỗn độn có nguồn gốc sâu xa từ những công trình nghiên cứu về toán và cơ học thiên thể của “toán gia phổ quát cuối cùng” Henri Poincaré vào cuối thế kỷ 19 Poincaré nhận thấy rằng các hệ thống xác định, động, phi tuyến, đơn giản dưới một số điều kiện nào

đó tiến hoá một cách có vẻ như ngẫu nhiên, phức tạp Những hệ thống này rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu và do đó dự đoán dài hạn với bất kỳ độ chính xác nào đòi hỏi các điều kiện ban đầu được định rõ tới mức chính xác vô cực Bắt đầu từ giữa thập kỷ 1970, thuyết hỗn độn đã được áp dụng vào rất nhiều lĩnh vực kinh tế khác nhau

Ứng dụng của thuyết hỗn độn trong kinh tế gây ra vài trở ngại chính như sau :

Thứ nhất, sự có mặt của thuyết hỗn độn làm dự đoán dài hạn không khả

thi, và người dự báo sẽ phải trả giá cực kỳ cao nếu chỉ muốn tăng tầm xa

dự báo lên chút ít Tính không dự đoán dài hạn này cũng trái ngược với giả thiết kỳ vọng hợp lý (rational expectations), một ý niệm cơ bản trong các lý thuyết kinh tế hiện đại

Thứ hai, các nhà nghiên cứu chưa tìm được bằng chứng có tính thuyết

phục về sự hiện diện của hỗn độn xác định trong các chuỗi dữ kiện kinh tế thời gian Nếu như thế, các nhà kinh tế có nên tiếp tục bỏ công sức vào thuyết hỗn độn hay nên khảo sát các dạng động lực phi tuyến khác với khả năng tiên đoán tốt hơn? Tuy nhiên, thuyết hỗn độn nói chung không bị các nhà kinh tế tránh né như thuyết tai biến Một số nhà kinh tế cho rằng thuyết hỗn độn vẫn cần cho lý thuyết kinh tế, nhưng các dụng cụ và phương pháp nghiên cứu phải khác hơn những kỹ thuật dùng trong quá khứ

3 _ vai trò của toán trong nghiên cứu kinh tế

Toán chỉ là một phương tiện, không phải là cứu cánh, và do đó tầm nhìn về

sự kiện và ý nghĩa phải nhất thiết đi trước việc phân tích vấn đề (hai thí dụ tốt cho điểm này là tác phẩm “Sự Thịnh vượng của các Quốc gia” của Adam Smith (1776) và “Lý thuyết Chung” của Keynes (1936))

Phẩm chất của một lý thuyết kinh tế hoàn toàn không tùy thuộc vào chiều sâu hay tính phức tạp của nội dung toán trong thuyết đó (hai thí dụ là Định luật Coase (1937) và Thuyết Thị trường Hàng hoá xấu của George Akerlof (1970))

Cuộc tranh cãi về vai trò của toán trong kinh tế học đúng ra không phải tranh luận về nên hay không nên dùng toán trong kinh tế, mà là về “dùng bao nhiêu toán” và “dùng toán loại nào” (hình học, đại số, giải tích , thống

kê, toán số) Không phải ngẫu nhiên mà Francis Edgeworth (1881) gọi giải tích là “tiếng mẹ đẻ của kinh tế học”

Để thấy rõ được vai trò của toán trong kinh tế chúng ta xẽ đi xem xét hai thí dụ sau :

Thí dụ thứ nhất : dựa trên công trình của Allingham và Sandmo (1972) về

sự trốn thuế Mô hình này đã gây một tiếng vang khá lớn trong lý thuyết tài chính công và đã được nới rộng rất nhiều sau đây chúng ta xẽ đi xem xét

mô hình nguyên thủy Đây là một mô hình tương đối đơn giản, thuộc loại cân bằng cục bộ , tĩnh và ngẫu nhiên với một biến số nội sinh duy nhất

Vấn đề: Một kinh tế nhân sẽ tuân thủ luật thuế thu nhập như thế nào, giả sử một hệ thống kiểm tra và nộp phạt cho sẵn?

Giả thiết : Kinh tế nhân cực đại hoá hàm hữu dụng (utility function) tùy thuộc vào thu nhập sau thuế

Mô hình hoá vấn đề:

Gọi:

y = thu nhập thật (y > 0)

t = thuế suất (0 < t < 1)

x = thu nhập khai báo (x < y)

z º y – x = số lượng thu nhập trốn thuế

p = xác xuất bị kiểm tra (0 < p < 1)

q = tỉ lệ nộp phạt cho mỗi đồng trốn thuế

u = hàm hữu dụng (tăng và lõm theo thu nhập)

Đặt vấn đề : Nếu trốn thuế và không bị Cục Thuế kiểm tra, thu nhập sau

thuế của người đóng thuế sẽ là :

y - tx = (1-t)y + tZ

Nếu bị kiểm tra, thu nhập sau thuế và sau khi bị phạt của người đóng thuế

sẽ là :

y-tx-(t+θ)Z =(1-t)y-θtZ)Z =(1-t)y-θ)Z =(1-t)y-θtZtZ

Như vậy, vấn đề này có thể đặt dưới dạng toán như sau:

Chọn z để cực đại hoá hàm EU= pu[(1-t)y-qtZ]+(1-p)u[(1-t)y+tZ] → max

tùy theo y, t, p, q , 0 < t < 1 và 0 < p < 1 cho sẵn.

Phân tích mô hình: Trong một mô hình như trên, ta gọi các thông số như

y, t, p, q, t và p là các biến số ngoại sinh (exogenous variables) và biến số chọn lựa Z là biến số nội sinh Đi tìm cân bằng của mô hình là tìm cực trị của biến số nội sinh Z theo tập hợp các biến số ngoại sinh Vì đây là một vấn đề cực đại hoá bị ràng buộc, phép toán vi phân là dụng cụ phân tích thích hợp Lấy đạo hàm của EU theo Z, điều kiện bậc một cực đại của EU là:

- pqu ’[(1-t)y-qtZ] +(1-p)tu’[(1-t)y + tZ)] = 0

Trong đó u’ là đạo hàm bậc một của u lưu ý là điều kiện bậc hai cho cực đại toàn bộ thoả mãn vì giả thiết u” < 0 Trên nguyên tắc, ta có thể giải phương trình trên để tìm trị của Z theo y, t, p,q, tức là :

Z = f(y, t, p, q)

Đây là dạng rút gọn của mô hình Phân tích so sánh tĩnh có nghiã là chúng

ta xác định dấu của các đạo hàm bậc một từng phẩn của f Trong trường hợp này, trong khi cả hai f p và f q đều âm (nếu xác xuât kiểm tra tăng hay tỉ

lệ nộp phạt tăng, số lượng thu nhập trốn thuế sẽ giảm), dấu của f y và f t

không rõ (nghiã là ảnh hưởng của thu nhập hay thuế suất lên số thu nhập trốn thuế không minh bạch trong trường hợp tổng quát)

Thí dụ bên trên cho thấy sức mạnh cũng như hạn chế của các phương pháp toán trong việc mô hình hoá các hành xử về thuế Trong khi phép tính vi phân cung cấp một dụng cụ phân tích rất mạnh, công thức hoá một mô hình kết hợp tính trung thực của người đóng thuế hay tìm được kết quả minh bạch mà không cần đòi hỏi thêm giả thiết về ý muốn của người đóng thuế không phải là chuyện dễ dàng

Thí dụ thứ hai : là mô hình tăng trưởng nội sinh trong mô hình này dân

số (đồng nghĩa với lực lượng lao động) tăng theo luật số mũ với một tỷ lệ cho sẵn Người lao động làm việc trong khu vực kiến thức hay sản xuất Kiến thức nẩy sinh ra vốn con người (human capital) trong khi sản phẩm cuối (final output) có thể tiêu thụ hay để dành thành vốn nhân tạo (physical capital)

Đặt:

L(t) = tổng lao động tại thời điểm t;

L p (t)= tổng lao động dùng trong sản xuất tại thời điểm t (0 £ L p(t) £ L(t);

A(t) = trữ lượng kiến thức tại thời điểm t;

K(t) = trữ lượng vốn nhân tạo tại thời điểm t,

Q (t) = tổng sản phẩm tại thời điểm t; và

C (t) = tổng tiêu thụ tại thời điểm t.

Dưới một số giả thiết sự tăng trưởng qua thời gian của nền kinh tế có thể diễn tả bắng hệ thống phương trình vi phân sau:

trong đó :

n (tỷ lệ tăng dân số) n ≥ 0

a (tỷ lệ hiệu quả trong khu vực kiến thức) a > 0 và L(0), A(0) và K(0) cho

sẵn

Tổng sản phẩm là hàm của hai nhân tố không thể thiếu: vốn nhân tạo (K)

và vốn con người dùng trong sản xuất (ALp):

Q(t) = F[K(t), A(t)L p (t)]

AL p có thể xem là lao động trong sản xuất tính theo đơn vị hiệu quả thay vì

đầu người Hàm sản xuất F được giả sử là hàm đồng nhất bậc một, tăng

nghiêm ngặt , lõm

Để hoàn tất mô hình ta giả sử một chính phủ vĩnh cửu cho nền kinh tế Chính phủ này đánh thuế lên người làm việc trong khu vực sản xuất (vì những người thợ này hưởng lợi trực tiếp từ kiến thức) để trả cho khu vực

kiến thức Thuế suất tại thời điểm t là r(t), được cho bởi điều kiện :

r(t) w(t) L(t) = w(t)[L(t)–Lp(t)]

trong đó :

w(t) là lương thợ sản xuất tại thời điểm t Đơn giản hoá, ta có :

r(t) = 1 – Lp(t)/L(t).

Hơn nữa, chính phủ chọn C(t) và Lp(t) để cực đại hoá hàm phúc lợi xã hội.

Theo bốn ràng buộc về và Q, r (> n) là tỷ suất chiết khấu xã hội

Mô hình tăng trưởng nội sinh như trên trở thành bài toán diều khiển tối ưu với hai biến điều khiển là C(t) và Lp(t) và hai biến trạng thái là K(t) và A(t)

Nếu hạn chế thêm n = 0 và (0 < β < 1), chúng ta

có thể mô tả sự tiến hoá của nền kinh tế với các công thức tường minh và chứng minh rằng, tuỳ theo điều kiện ban đầu, nền kinh tế hoặc đạt cân bằng vững ngay từ đầu, hoặc sẽ tiến tới cân bằng vững một cách đều đặn khi thời gian tiến tới vô hạn

Thí dụ này làm sáng tỏ các lời phát biểu của Debreu nói trên: làm sao toán

có thể giúp chúng ta tìm ra những kết quả mạnh hơn dưới những giả thiết yếu hơn và các điều kiện tổng quát hơn Về ý kinh tế, kiến thức trong mô hình như trên là một đầu vào thuần túy công , không thể cung cấp được trong nền kinh tế thị trường