Phương trình dao động và các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa

Các khái niệm cơ bản a Dao động: Là chuyển động có giới hạn trong không gian xung quanh một vị trí cân bằng VTCB.. VTCB MIỀN DAO ĐỘNG CỦA VẬT Các vị trí giới hạn được gọi là các biên, VT

1 Các khái niệm cơ bản

a) Dao động: Là chuyển động có giới hạn trong không gian xung quanh một vị trí cân bằng (VTCB) Ví dụ chiếc lá đung đưa trong gió, mũi thuyền nhấp nhô trên mặt nước, con lắc của chiếc đồng hồ là những hình ảnh của dao động Vị trí cân bằng thường là vị trí của vật khi nó không dao động

VTCB

MIỀN DAO ĐỘNG CỦA VẬT

Các vị trí giới hạn được gọi là các biên, VTCB nằm giữa hai biên Trong quá trình dao động vật

chỉ chuyển động trong miền nằm giữa hai biên Tại các biên vật đổi chiều chuyển động

b) Dao động tuần hoàn: Là dao động mà vị trí và vận tốc (trạng thái dao động) của vật được lặp lại sau những khoảng thời gian bằng nhau

Khoảng thời gian ngắn nhất để vị trí và vận tốc của vật lặp lại như cũ được gọi là chu kì dao động

T (đơn vị là s) Lúc này ta nói vật đã thực hiện được một dao động toàn phần (hay dao động) Vậy có thể định nghĩa chu kì T là thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần

Số dao động vật thực hiện được trong một giây được gọi là tần số của dao động f (đơn vị Hz)

Ta có liên hệ giữa T và f: f 1 T 1

  

Chú ý:

VTCB

chưa được một dao động

VTCB

đã được một dao động

PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG VÀ CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA DĐĐH

(LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ)

GV: Phùng Hùng (Trường THPT Liễn Sơn - Vĩnh Phúc) Email: phunghung@toanlyphothong.edu.vn – SĐT: 0983823000

(Tải tài liệu miễn phí tại http://toanlyphothong.edu.vn)

+) Vật thực hiện được trọn một dao động toàn phần chỉ khi vật trở lại vị trí cũ và theo chiều cũ

Trong trường hợp chỉ vị trí được lặp lại thì chưa thể kết luận vật đã thực hiện được một dao động toàn phần

+ Nếu trong khoảng thời gian t vật thực hiện được N dao động (toàn phần) thì chu kì dao động của vật tính theo công thức: T t

N



 c) Dao động điều hòa: Là một loại dao động tuần hoàn mà trong đó tọa độ của vật là một hàm côsin (hay sin) của thời gian: xA cos  t  hay xA sin  t 

Các phương trình xA cos  t  và xA sin  t  được gọi là phương trình của dao động điều hòa

hòa dạng chuẩn được viết dưới dạng hàm côsin xA cos  t 

2 Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa

Trong biểu thức của phương trình dao động điều hòa: xA cos  t  thì:

a) x được gọi là li độ (đơn vị m hoặc cm…): Cho biết độ lệch và chiều lệch của vật ra khỏi VTCB

O

chiều dương

x=3 cm x=-3 cm

3 cm

3 cm

O là vị trí cân bằng (trùng với gốc tọa độ) Nếu chiều dương được chọn từ trái qua phải thì khi vật lệch sang phải O li độ vật dương, vật lệch sang trái O lị độ vật âm, tại O li độ bằng 0 Như

vậy giá trị của li độ của vật dao động điều hòa có thể âm, dương, hoặc bằng không Giá trị tuyệt đối của li độ hay độ lớn của li độ x là một số không âm, cho biết độ lệch của vật khỏi VTCB (khoảng cách từ vật tới VTCB)

b) A được gọi là biên độ (A > 0, đơn vị m, cm,…): Cho biết giới hạn dao động của vật, là độ lệch lớn nhất của vật khỏi vị trí cân bằng: A xmax Tại hai biên vật có li độ x   A, dấu cộng

ứng với biên dương, dấu trừ ứng với biên âm Chiều dương sẽ là chiều từ biên âm tới biên dương

chiều dương luôn là chiều từ biên âm tới biên dương

chiều dài quỹ đạo L=2A

Chú ý:

+) Do   A cos t    Avà   1 sin t    1 nên dù được viết dưới dạng nào thì ta luôn có

A x A

   và 0 x A  

+) Phân biệt hai khái niệm giá trị và độ lớn của li độ Giá trị của li độ thỏa mãn    A x A, suy

ra giá trị cực đại của li độ xmax A, giá trị cực tiểu của li độ xmin A Tại VTCB li độ có giá trị bằng 0 Độ lớn của li độ (bằng x ) thỏa mãn 0 x A   , suy ra độ lớn li độ có giá trị nhỏ nhất bằng 0, lớn nhất bằng A

+) Khoảng cách giữa hai biên được gọi là chiều dài quỹ đạo L có độ dài gấp 2 lần biên độ:

L2A

c) ω là tần số góc của dao động (ω > 0, đơn vị của ω là rad/s): là đại lượng trung gian cho phép xác định chu kì T và tần số f của dao động: T 2 ; f 1 ,

2

2 f T



   

d) (ωt + φ) là pha của dao động (đơn vị là rad): là đại lượng trung gian cho phép xác định trạng thái của dao động (gồm li độ và vận tốc) của vật ở thời điểm t bất kì:

Cho: t     t x A cos  t 

Cho :t      t v A sin  t  (vận tốc của dao động điều hòa, sẽ học kỹ ở bài sau)

e) φ là pha ban đầu của dao động (-π ≤ φ ≤ π, đơn vị là rad): là pha của dao động tại thời điểm t = 0, đại lượng trung gian cho phép xác định trạng thái (li độ và vận tốc) của vật ở thời điểm t = 0 (trạng thái ban đầu):

Cho:t         0 t x0  A cos 

Cho:t         0 t v0   A sin 

Chú ý:

+) Biên độ dao động A và pha ban đầu φ phụ thuộc vào cách kích thích dao động tại thời điểm ban đầu còn tần số góc ω chỉ phụ thuộc bản thân hệ dao động chứ không phụ thuộc yếu tố bên ngoài

+) Quãng đường vật đi được trong một chu kì luơn bằng 4A

+) Thời gian vật đi từ biên này tới biên kia là T/2

-A

T/2

O

S = 4A

3 Các ví dụ minh họa

Tìm A, ω, φ, T, f của dao động điều hịa

+) Tìm A: A chiều dài quỹđạo quãng đường trong một chu kỳ 

+) Tìm ω, T, f:

   







 





 





T t T N 1 f T

Ví dụ 1: Tìm A, ω, φ, T, f

a) x 4 cos 5 t      3 (cm)

b) Vật dao động vạch ra một đoạn thẳng dài 20 cm, trong thời gian 2 phút vật thực hiện được 40 dao động

c) Sau thời gian 2 phút, vật thực hiện được 40 dao động Quãng đường vật đi được trong 9 (s) là

60 cm

d) Vật đi từ biên âm tới biên dương mất 1 (s) Sau 12 (s) vật đi được quãng đường 144 cm

Giải

a) A = 4 cm,   5 (rad/s),   

3 (rad),

 

  

 

5 (s),  

1

T (Hz) b) L 20 (cm) A L 10

2 (cm)



 t 120  

1 1 f

T 3 (Hz),

 

  2  2

T 3 (rad/s) c) T 120 3

40 (s) t 9 s    3T   S 3.4A 12A 60   (cm)  A 5 (cm)

d) T 1 

2 (s) T 2(s)  t 12 s  6T   S 6.4A 24A 144   (cm) A 6(cm)

Chuẩn hóa phương trình dao động

Yêu cầu:Đưa một phương trình dao động có dạng không chuẩn về dạng chuẩn xA cos  t , trong đó A          0, 0, Ta xét các trường hợp sau:

+) Nếu phương trình có dạng sin, xuất hiện –A, -ω, hoặc   , ta sử dụng các công thức lượng giác sau để chuẩn hóa:

 cos acos a  ; cos a k2    cosa k  

  sin a sin a     ; sin a k2    sin a k  

   

 

cosa sin a

2 ;

  

   

 

sina cos a

2 (Ghi nhớ: CSCT)

 cos a b   cos a b ;    sin(a b) sin( a b)    

Ví dụ 2: Chuẩn hóa các phương trình sau:

a) x   4 cos 10t   4 (cm) b) x 4cos 5 t      6 (cm)

c) x   6 cos 5 t    3 (cm) d) x   cos 2 t    12 (cm)

Giải

a) x   4cos 10t   4 4cos 10t      4  4cos 10t 3 4    (cm)

b) x 4cos 5 t      6 4cos 5 t    6 (cm)

c) x   6cos 5 t    3 6cos 5 t       3  6cos 5 t 2 3     6cos 5 t 2 3     (cm) d) x   cos 2 t    12 cos 2 t    12    cos 2 t 11 12     cos 2 t 11 12     (cm)

Ví dụ 3: Chuẩn hóa các phương trình sau:

a) x 4sin 10t     4 (cm) b) x 5sin 4t     6 (cm)

c) x   3sin t   8 (cm) d) x   sin 4 t 7 12     (cm)

Giải

a) x 4sin 10t     4 4cos 10t     4 2 4cos 10t 3 4    (cm)

b) x 5sin 4t     6  5sin 4t   6 5sin 4t      6  5sin 4t 5 6   

 5cos 4t 5 6     2  5cos 4t   3 (cm)

c) x   3sin t   8 3sin t 7 8    3cos t 3 8    (cm)

d) x   sin 4 t 7 12     sin 4 t 7 12     cos 4 t    12 (cm)

Ví dụ 4: Tính pha ban đầu của các dao động sau:

a) x A cos t 15 3      b) x Asin t 41 10     

c) x   A cos   t 14 5 d) x   Asin t 27 10   

e) x   Asin   t 33 4

Giải

a) x A cos t 5      A cos t 4      A cos t       (rad)

b) x Asin t 41 10      A cos t 18 5    A cos t 4     2 5 A cos t 2 5   

     2 5(rad)

c) x   A cos   t 14 5 A cos t 9 5    A cos t 2     5 A cos t   5

    5 (rad)

d) x   Asin t 27 10    A cos t 6 5    A cos t 2     4 5 A cos t 4 5   

     4 5 (rad)

e) x   Asin   t 33 4 Asin t 33 4    A cos t 31 4    A cos t 8     4

 A cos t    4      4 (rad)

+) Nếu phương trình dao động có dạng x a A cos t     , ta biến đổi thành

    

x a A cos t Vế trái x – a chỉ độ lệch của vật khỏi vị trí có tọa độ x = a Vậy vật dao động điều hòa quanh vị trí có tọa độ x = a (vị trí cân bằng) với biên độ A, tần số góc , pha ban đầu 

Một số dạng phương trình dao động có thể đưa về dạng trên là:

 x a A cos t     ; x a Asin t     

 x Asin 2   t  A 1 cos 2 t 2      A A cos 2 t 2   

 x A cos 2   t  A A  cos 2 t 2   

            

Ví dụ 5: Xác định tọa độ VTCB, biên độ, tần số góc và pha ban đầu của các dao động có phương trình:

a) x    3 sin t   4 (cm)

b) x 4sin 2 t 3 2  2     (cm)

c) x   cos 2    5 t 6 (cm)

d) x cos t     6 3 sin t   6 (cm)

Giải

a) x    3 sin t   4   3 cos t   4 (cm)

 VTCB có tọa độ x = - 3 cm, A = 1 (cm),    (rad/s),    4 (rad)

b) x 4sin 2 t 3 2  2      2 2cos 4 t 3      2 2cos 4 t  (cm)

 VTCB x = 2 (cm), A = 2 (cm),   4 (rad/s),   0 (rad)

c) x cos2   5 t 6   1 1cos 10 t    3   1 110 t 2 3   

 VTCB x = -0,5 (cm), A = 0,5 (cm),   10 (rad/s),     2 3 (rad)

d)                   

                  

 VTCB tại gốc tọa độ, A = 2 (cm),    (rad/s),    6 (rad)

Tính pha và li độ của vật tại thời điểm bất kì

Ví dụ 6: Tính pha và li độ của vật dao động có các phương trình sau:

a) x 5cos 6 t      6 (cm), tại thời điểm t = 1/12 (s)

b) x   2sin t 2 3    (cm), tại thời điểm t = 1 (s)

c) x 2cos 10t 0,2     (cm), tại t = 0,2 (s)

Giải

a) Pha:        6 t 6 2 3(rad), li độ x 5cos 2 2,5

3 (cm)

b) Li độ x   2sin   2 3  2sin  3

3 (cm)

        

x 2sin t 2 3 2cos t 6 (cm)  Pha:        t 6 5 6(rad)

c) Pha:   10t 0,2 1,8   (rad), li độ x 2 cos1,8 0,454   (cm)

Ví dụ 7: Tính pha của dao động:

a) Biên độ A = 4 cm, tính pha của dao động tại vị trí có li độ x = - 2 cm

b) Biên độ A = 18 cm, tính pha của dao động tại vị trí có li độ x = 9 3 (cm)

c) Biên độ A = 9 cm, tính pha của dao động tại vị trí có li độ x = 2 cm

Giải

Gọi     t là pha của dao động

a) x A cos  4 cos  2 cm cos    1 cos2    2

b) 18cos 9 3 cm cos  3 cos   .

c) 9 cos 2 cm cos      2 arccos2  1,347

Xác định thời điểm vật qua vị trí có tọa độ x

Ví dụ 8: Cho vật dao động điều hòa có phương trình x 10 cos 4 t      6 (cm)

a) Xác định thời điểm vật qua vị trí có tọa độ x 5 (cm)

b) Xác định thời điểm vật qua vị trí x 5 2 lần thứ 5

c) Xác định thời điểm vật cách VTCB một đoạn 5 3 cm

Giải

a) x 10 cos 4 t     6 5 cm cos 4 t    6   1 cos2

          

             



4 t 6 2 3 k2 t 1 8 k 2

4 t 6 2 3 k2 t 5 24 k 2

Chú ý rằng do t 0 nên ta được kết quả t 1 8 k 2   k 0,1,2,3,   và

t 5 24 k 2 k 1,2,3,

b) x 10 cos 4 t     65 2 cos 4 t    6 2 cos

          

            



4 t 6 4 k2 t 1 48 k 2

4 t 6 4 k2 t 5 48 k 2

Do t 0 nên: t 1 48 k 2   k 0,1,2,3,   và t   5 48 k 2  k 1,2,3,  

Với họ nghiệm đầu tiên, 3 thời điểm vật qua vị trí 5 2 (cm) ứng với k = 0,1,2 lần lượt là:

1/48 (s), 25/48 (s), 49/48 (s)

Với họ nghiệm thứ hai, 2 thời điểm vật qua vị trí 5 2(cm) ứng với k = 1,2 lần lượt là:

23/48 (s), 43/48 (s)

Sắp xếp theo thự tự thời gian ta được 5 thời điểm đầu tiên vật qua vị trí 5 2 (cm) là:

1/48 (s), 23/48 (s), 25/48 (s), 43/48 (s), 49/48 (s) Vậy thời điểm lần thứ 5 là: 49/48 (s)

c) Vật cách VTCB một đoạn 5 3 (cm)  x 5 3 (cm)

TH1: x 10 cos 4 t      6 5 3(cm)cos 4 t    6 3 cos

          





           



TH2: x 10 cos 4 t      6  5 3(cm) cos 4 t    6  3 cos5

           





            



Ví dụ 9: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình x 4sin t     4 (cm)

a) Xác định thời điểm vật qua vị trí cân bằng lần thứ nhất, lần thứ 10

b) Xác định các thời điểm vật qua biên âm?

Giải

a) Khi vật qua vị trí cân bằng:

              

Lần thứ nhất ứng với k = 0 t 1 0,25 (s)

Lần thứ 10 ứng với k = 9 t 10 9,25 (s)

b) Vật qua biên âm thì:

     

x 4sin t 4 4(cm)     t 4 2k 1     t 5 4 2k  k 0,1,2,3,  

Tính số lần vật qua vị trí nào đó trong khoảng thời gian Δt

Ví dụ 10: Cho vật dao động điều hòa theo phương trình x 5cos 5 t      6 (cm) Xác định số lần

a) vật qua vị trí x = -2,5 (cm) trong khoảng thời gian 2 (s) kể từ t = 0

b) vật qua vị trí x 2.5 3 (cm) trong khoảng thời gian 1 (s) kể từ t = 0

c) vật qua vị trí x 2,5 2 (cm) trong khoảng thời gian từ t1 = 1 (s) đến t2 = 3 (s)

Giải

a) x 5cos 5 t      6  2,5(cm)cos 5 t    6   1 cos2

       



        5 t5 t 6 2 3 k26 2 3 k2 t 1 6 2k 5t 1 10 2k 5 k 0,1,2,3, k 1,2,3, 

Trong 2 (s) đầu kể từ t = 0 thì t 2 s   

+) Họ nghiệm thứ nhất cho k 4,58   k = 0,1,2,3,4

+) Họ nghiệm thứ hai cho k 5,25    k 1,2,3,4,5.

 Vật qua 10 lần!

b) x 5cos 5 t      6 2,5 3(cm)        

         



5 t 6 6 k2

5 t 6 6 k2







t 1 15 2k 5 k 0,1,2,3,

Trong 1 (s) đầu t 1 s   :

+) Họ nghiệm 1 cho k 2,33    k 0,1,2.

+) Họ nghiệm 2 cho k 2,5    k 0,1,2.

 Vật qua 6 lần

c) x 5cos 5 t      6 2,5 2(cm)        

        



5 t 6 4 k2

5 t 6 4 k2







t 1 12 2k 5 k 0,1,2,3,

t 1 60 2k 5 k 1,2,3,

Ta có: 1 s   t 3 s :

+) Họ nghiệm thứ nhất cho: 2,29 k 7,29     k 3,4,5,6,7.

+) Họ nghiệm thứ hai cho: 2,54 k 7,54     k 3,4,5,6,7

 Vật qua 10 lần