nghiên cứu và phát triển lý thuyết về các mô hình rủi ro trong bảo hiểm và tài chính

Đối với các mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập, chẳng hạn như ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình

MỞ ĐẦU

Bảo hiểm là biện pháp chia sẻ rủi ro của một người hay một số người cho cả cộng đồng những người có khả năng gặp rủi ro cùng loại, bằng cách mỗi người trong cộng đồng góp một số tiền nhất định vào một quỹ chung

và từ quỹ chung đó bù đắp thiệt hại cho thành viên trong cộng đồng không may bị thiệt hại do rủi ro đó gây ra Bảo hiểm được xem như là một cách thức chuyển giao rủi ro tiềm năng một cách công bằng từ một cá thể sang cộng đồng thông qua phí bảo hiểm Bảo hiểm góp phần bảo đảm cho các quá trình tái sản xuất và đời sống xã hội được diễn ra bình thường Ngày nay, bảo hiểm đã trở thành một ngành kinh doanh hết sức phát triển và dần trở nên một khái niệm quen thuộc với hầu hết mọi người Ở nhiều quốc gia, mua bảo hiểm từ lâu đã là một việc làm không thể thiếu đối với người dân

Ở Việt Nam, bảo hiểm xuất hiện dưới hình thức sơ khai vào khoảng năm 1880 Những năm gần đây, ngành bảo hiểm, tài chính đã thực sự trở thành ngành kinh tế giữ vai trò trọng yếu, có vai trò điều chỉnh và thúc đẩy hoạt động của các ngành kinh tế khác và đã trở thành nơi tập trung của các

ý tưởng, xuất phát từ các lĩnh vực tri thức và ứng dụng thực tế khác nhau Các vấn đề của bảo hiểm, tài chính đã thu hút sự chú ý của các nhà toán học nói chung và lý thuyết xác suất và thống kê toán học nói riêng Hiện nay, chúng ta đang được chứng kiến sự cộng tác chặt chẽ giữa các nhà kinh

tế, tài chính và toán học, nhằm mục đích ứng dụng các thành tựu toán học hiện đại vào việc nghiên cứu các mô hình kinh tế, phân tích và tìm hiểu các quy luật chi phối các hoạt động kinh tế, từ đó có các đề xuất và giải pháp phù hợp với quy luật

Trong cuộc sống sinh hoạt nói chung cũng như trong những hoạt động sản xuất, kinh doanh phục vụ cuộc sống, con người luôn gặp phải những tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ, ngẫu nhiên xảy ra, gây thiệt hại về tài

sản, con người Các tai họa, tại nạn, sự cố bất ngờ ấy gọi là rủi ro Các công ty bảo hiểm mở ra nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần rủi ro cho chủ thể, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro (có thể dẫn đến thua lỗ hoặc phá sản) Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm xảy ra rủi ro là nhu cầu cấp thiết đặt ra, đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra

Năm 1903, một công trình của Lundberg, F đã đặt nền móng cho lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm, tiếp theo đó, Cramer, H và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học

Mô hình cơ bản đầu tiên là mô hình rủi ro của Cramer – Lundberg, mô hình này thường liên quan đến các trường hợp chi trả bảo hiểm bình thường, và chưa được nghiên cứu nhiều cho các trường hợp phải chi trả bồi thường bảo hiểm lớn

Trong thời gian gần đây Lý thuyết rủi ro (Risk Theory) được nghiên cứu và phát triển mạnh, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, kinh tế, tài chính Một trong các vấn đề trọng tâm mà lý thuyết này quan tâm, là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại (hay xác suất rủi ro - Ruin Probability) trong các mô hình rủi ro Đối với các mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập, chẳng hạn như ước lượng xác suất thiệt hại trong

mô hình rủi ro của tác giả Cramer – Lundberg với giả thiết về dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối Chủ đề này cũng được rất nhiều tác giả khác quan tâm, thể hiện trong các công trình nghiên cứu của nhiều nhà toán học có tên tuổi như: Asmussen [9], Buhlman, H [12], De Vylder, F.E [20], [21], [22], Embrechts, P [24], Ignatov [30], [31], Kluppelberg, C [24], Lèfèvre, Cl [19], [40], Loisel, S [19], Mikosch, T.[24], Grandell, J.[28], Hipp, C [29],

Schmidli, H [29], Marceau, M [20], Musiela, M [35], Nyrhinen, H [36], Rutkowski, M [35], Paulsel, J [37] [38], Picard, Ph [40], Schmidt, K.D [43], …

Ngoài ra, còn có một số công trình nghiên cứu mô hình rủi ro có xét đến tác động của yếu tố lãi suất như: Bùi Khởi Đàm [11], Cai, J [13], [14], [15], [17], Dickson, D C M [15], [16], [23] Gaier, J [26], Grandist, P [26], Kluppelberg, C [32], Stadtmuller, U [32], Konstantinides, D G [33], Tang, Q H [33], Tsitsiashvili, G S [33], Sundt, B [44], [45], Teugels, J.L [44], [45], Tang Q [46], [47], [48], Yang, H [51], [53], Zhang, L H [53], Yuen, K C [54], [55], Wang, G [54], [55], Wates, H.R [23], Wu, R [54],…

Bên cạnh đó, một số tác giả xét mô hình rủi ro với giả thiết dãy số tiền thu bảo hiểm, đòi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc: Như

m- phụ thuộc của tác giả Bùi Khởi Đàm [1], [2], [3], [10], Nguyễn Huy

Hoàng [1], [2], [3], [10], dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa tự hồi quy cấp một, hoặc là xích Markov như Albrecher, H [8], Cai, J [18], Dickson, D

C M [18], Gerber, H U [27], Muller, A [34], Pfug, G [34], Promislow,

S D [39], Valdez, E A [49], Mo, K [49], Xu, L [50], Wang, R [50], Yang, H [52], Zhang, L H [52],…

Tính toán xác suất rủi ro là bài toán rất quan trọng trong ngành bảo hiểm Đây là bài toán khó và cho đến nay vẫn được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Các nghiên cứu về đề tài này thường được thực hiện theo những cách tiếp cận sau:

- Ước lượng xác suất rủi ro bằng các bất đẳng thức (như bất đẳng thức Cramer-Lundberg)

- Dùng kỹ thuật mô phỏng Monte Carlo để tính xác suất rủi ro

- Phương pháp tính đúng (như công thức Picard- Lefèvre tính xác suất rủi ro)…

Với những lý do nói trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiên cứu của luận án là các mô hình rủi ro trong bảo hiểm, thời gian rời rạc với các dãy biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov Ngoài ra, các mô hình còn xét tới tác động của yếu tố lãi suất, với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov Luận án

đã đánh giá xác suất thiệt hại cho mô hình này Đóng góp chính của luận án

là tìm ra công thức tính xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro khi

dãy số tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, có phân phối bất kỳ (trường hợp riêng là dãy biến ngẫy nhiên độc lập cùng phân phối) và mở rộng công thức tính chính xác xác suất này cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Bên cạnh đó, bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình rủi ro có số tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục cũng được đưa ra

Các kết quả chủ yếu của luận án đã được công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5] (xem danh mục công trình khoa học đã công bố của luận án)

Luận án đã thu được các kết quả mới sau đây:

a Trong mô hình rủi ro có dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập

Lần đầu tiên đưa ra được công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hình rủi ro này (trước đó, các tác giả Claude Lefevre

và Stephane Loissel (2008) chỉ đưa ra công thức tính chính xác cho mô hình cổ điển khi dãy tiền thu là tất định, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức)

Phương pháp tiếp cận (tính toán) trực quan, cho phép mở rộng đối với các mô hình mà dãy thu, dãy chi là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov

b Trong mô hình rủi ro có dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên liên tuc

Luận án đã đưa ra được bất đẳng thức ước lượng xác suất rủi ro cho

mô hình khi dãy tiền thu là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối

và có phân phối liên tục

c Áp dụng phương pháp Monter Carlo tính xác suất rủi ro

Chúng tôi nghiên cứu xác suất rủi ro đối với mô hình rủi ro của các công ty bảo hiểm với thời gian rời rạc, hữu hạn, khi có tác động của yếu tố lãi suất, dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm trong mô hình được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối Đồng thời chúng tôi còn xem xét mô hình rủi ro tổng quát hơn khi có tác động của lãi suất là dãy các biến ngẫu nhiên không âm, phụ thuộc Markov

Qua việc hoàn thành bản luận án, chúng tôi cũng hy vọng được góp phần vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết về các mô hình rủi ro trong bảo hiểm và tài chính, với dãy các biến ngẫu nhiên độc lập hoặc phụ thuộc Markov (đặc biệt là tính được chính xác xác suất rủi ro trong bảo hiểm) và các ứng dụng của chúng vào thực tiễn

Nội dung của luận án bao gồm 3 chương và 1 phụ lục, được cấu trúc như sau:

Chương 1 được dành cho việc trình bày các khái niệm, các kết quả

cơ bản về xác suất, xác suất điều kiện, biến ngẫu nhiên, phân phối của biến ngẫu nhiên, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính

Chương 2 là đóng góp chính của luận án Trong chương này, chúng tôi mở rộng mô hình rủi ro trong [19]

Chúng tôi tìm ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro (không rủi ro) cho các mô hình rủi ro tương ứng Chúng tôi đã mở rộng công thức Picard-Lefèvre (xem [40]) cho xác suất rủi ro (không rủi ro) với mô hình rủi ro mà

quá trình thu, chi là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc Kết quả này là mở rộng đáng kể kết quả trước đó của Claude Lefèvre và Stephane Loisel (xem [19]) Trong bài báo này các tác giả chỉ xét mô hình rủi ro trong đó quá trình chi trả bảo hiểm có phân phối nhị thức, còn quá trình thu thì giả thiết đơn giản là quá trình tất định, tuyến tính theo thời gian Chúng tôi đã mở rộng mô hình khi dãy số tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ (hệ quả là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối) Thuật toán được thiết lập để tính toán kết quả số, minh họa cho công thức tính chính xác suất rủi ro khi hai dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối

Bên cạnh đó, chúng tôi còn mở rộng công thức tính chính xác xác

suất rủi ro (không rủi ro) cho mô hỉnh rủi ro khi dãy tiền thu bảo hiểm và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov

Luận án còn đưa ra được ước lượng xác suất rủi ro với độ chính xác tùy ý cho mô hình khi dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục

Chương 3 nghiên cứu mô hình rủi ro được xét với thời gian rời rạc khi có tác động của yếu tố lãi suất Trong chương này phương pháp Monte- Carlo được áp dụng để tính xác suất rủi ro khi xét mô hình rủi ro có tác động của lãi suất Lãi suất được giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối hoặc phụ thuộc Markov Một vài ví dụ số minh họa cho mô hình được đưa ra

Cuối cùng là phụ lục phần code các chương trình tính

Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại:

- Đại hội toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang (8/ 2013)

- Xêmina tại Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội

- Hội thảo khoa học tại trường Đại học Công nghiệp Việt Trì (10/ 2011)

- Hội thảo khoa học tại trường Cao đẳng Sư phạm Hà Nội (5/ 2013) Các kết quả chủ yếu của luận án đã được đăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5] (xem trong danh mục công trình khoa học đã công bố của luận án)

Chương 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm về không gian xác suất, các khái niệm và kết quả về biến cố ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính (một công cụ quan trọng sử dụng trong việc chứng minh các kết quả của luận án)

Các kết quả này có trong tài liệu tham khảo [4], [5], [6], [7] và [42]

1.1 Không gian xác suất

1.1.1 Xây dựng không gian xác suất Kolmogorov

Xét  là một tập tùy ý khác  Ký hiệu   ( ) là tập hợp gồm tất cả các tập con của 

1.1.1.1 Đại số Lớp A    ( ) được gọi là một đại số nếu:

1.1.1.3 Không gian đo Cặp  , A, trong đó    bất kỳ, còn A là một   đại số các tập con của  được gọi là một không gian đo

Trong lý thuyết xác suất, người ta gọi:  là biến cố chắc chắn, tập

 được gọi là biến cố không Và nếu A A thì A được gọi là biến cố đối

( ).

i i

1.1.1.5 Độ đo xác suất Hàm tập hợp P xác định trên đại số A được gọi là

độ đo xác suất nếu

i i

a)    là tập hợp tùy ý có các phần tử ký hiệu là  ; hay   

b) A là   đại số các tập con của  ;

c) P là độ đo xác suất hay gọi là xác suất trên A ,

Tập  được gọi là không gian các biến cố sơ cấp

Mỗi    được gọi là một biến cố sơ cấp

Mỗi A A được gọi là một biến cố ngẫu nhiên

( )

P A là xác suất của biến cố A

P được gọi là xác suất trên A

k k

C C





thì P C( n)  P C( ) (n   )

Mệnh đề trên và hệ quả của nó nói lên tính liên tục của độ đo xác suất

1.1.3 Xác suất điều kiện

Trong phần này ta sẽ xây dựng một đại lượng để biểu thị khả năng

xuất hiện một biến cố A khi có một biến cố B đã xuất hiện với xác suất nào

đó

Định nghĩa 1.1 Xét không gian xác suất  , A, P Giả sử B là biến cố

ngẫu nhiên cóP B( )  0,A A Đại lượng  |  ( )

xác suất có điều kiện của A với điều kiện B

Nhận xét 1.1 Trong lược đồ định nghĩa cổ điển, ta có  |  ( )

nghĩa là xác suất điều kiện P A B( | ) có thể xem như xác suất của A xét

trong không gian B

Với B A , ( )P B  0 ánh xạ P( |  B) từ A vào ℝ+

là một xác suất (thỏa mãn hệ tiên đề Kolmogorov)

Mệnh đề 1.4 (Công thức nhân xác suất)

Giả sử A A1 , 2 , ,A n là họ các biến cố ngẫu nhiên sao cho

P A A( 1 2 A n1)  P A P A A( 1) ( 2 1) (P A n A A1 2 A n1).

1.2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối xác suất

Giả sử  , A là không gian đo đã cho, ℝ

Định nghĩa 1.2 Hàm thực X  X   xác định trên  lấy giá trị trên ℝ sẽ được gọi là một hàm A đo được hoặc một biến ngẫu nhiên nếu

 ,X( )  B A với mỗi B B ( ) (ở đây B ( ) là   đại số các tập

Borel của tập số thực ℝ)

Biến ngẫu nhiên X được gọi là rời rạc nếu miền giá trị X( ) chỉ gồm hữu hạn hoặc đếm được giá trị

Biến ngẫu nhiên X được gọi là liên tục nếu miền giá trị X( ) lấp kín một khoảng trên tập số thực ℝ (số phần tử của miền giá trị X( ) là một tập

vô hạn không đếm được)

Định nghĩa 1.3 Hàm số F X( )x  P X(  x), x được gọi là hàm phân

phối của biến ngẫu nhiên X

1.3 Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

Giả sử X là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

nếu chuỗi hội tụ

Phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc X là một số thực không âm

Phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục X là số thực không âm xác

1.4 Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên theo một số nghĩa khác nhau đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất Trong phần này, các dạng hội

tụ: theo xác suất, hầu chắc chắn, trung bình bậc p, theo phân phối sẽ được

giới thiệu Giả sử X nn1 là dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất  , A, P

1.4.1 Hội tụ theo xác suất

Dãy biến ngẫu nhiên X nn1 được gọi là hội tụ theo xác suất tới biến

ngẫu nhiên X nếu với   0 bất kỳ

là hội tụ theo độ đo

1.4.2 Hội tụ hầu chắc chắn

Dãy biến ngẫu nhiên X nn 1

 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn (a.s)

đến biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại tập A có xác suất không sao cho

X   X

1.4.3 Hội tụ trung bình

Dãy biến ngẫu nhiên X nn1 được gọi là hội tụ theo trung bình bậc

0

p  p   đến biến ngẫu nhiên X, nếu E X n  X p  0, n  

Sự hội tụ theo trung bình bậc p được kí hiệu là p

n

X  L X

1.4.4 Hội tụ theo phân phối

Dãy biến ngẫu nhiên X nn 1

 được gọi là hội tụ theo phân phối đến

biến ngẫu nhiên X, nếu

n

F  F (n   ) tại mọi điểm liên tục của F X.

Sự hội tụ theo phân phối được kí hiệu là X n  D X.

Giả sử  , A, P là một không gian xác suất

a Cho X t,t  0 là biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất

 , A, P

Quá trình ngẫu nhiên X X t,t  0 là một hàm hai biến X t( ,  ) xác định trên    lấy giá trị trong và là một hàm đo được đối với  trường tích B   A Trong đó B là  trường các tập Borel trên  0, 

Điều đó có nghĩa là với mọi tập Borel B trên ℝ thì tập hợp

ứng với yếu tố ngẫu nhiên ấy

c Nếu X lấy giá trị trong n(n 1) thì ta có một quá trình ngẫu nhiên

1.5.2 Phân phối hữu hạn chiều

Định nghĩa 1.4 Giả sử X X t t, T là quá trình ngẫu nhiên và

hạn chiều của quá trình ngẫu nhiên X

Phân phối hữu hạn chiều là một trong những khái niệm then chốt của

lý thuyết quá trình ngẫu nhiên Nhiều tính chất quan trọng của quá trình ngẫu nhiên được xác định bởi các tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều của nó

1.5.3 Tính chất của họ các phân phối hữu hạn chiều

Họ các phân phối hữu hạn chiều thỏa mãn các điều kiện sau:

i Điều kiện đối xứng, tức là F x x 1, 2, ,x t t n, ,1 2, ,t n không thay đổi khi hoán vị các cặp x k,t k,k  1, n

ii Điều kiện nhất quán theo nghĩa:

tả vị trí của hệ tại thời điểm t Tập hợp các vị trí có thể của hệ sẽ được gọi

là không gian trạng thái E của quá trình ngẫu nhiên X xét trên Về phương

diện toán học, tính Markov có thể định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.5 Ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên X  {X t, tT} là có tính

Xích Markov là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc, không

gian trạng thái hữu hạn hoặc đếm được và có tính chất Markov

Với s  t , ta ký hiệu p s i t j , , ,   P X t  j X s i là xác suất có

điều kiện để quá trình tại thời điểm s ở trạng thái i, đến thời điểm t chuyển

sang trạng thái j, vì thế ta gọi p s i t j , , ,  là xác suất chuyển trạng thái hay xác suất chuyển của quá trình ngẫu nhiên X  {X t, tT}

Nếu xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào t s, tức là:

 , , ,   , , , 

p s i t j  p s h i t h j

thì ta nói quá trình ngẫu nhiên được xét là thuần nhất theo thời gian

Ví dụ 1.2 Cho  0, 1, , n, là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, E k là tập hợp các giá trị của k, E k là hữu hạn hoặc đếm được với  k ℕ

Đặt

0

k k

Do xích Markov có tính thuần nhất nên p ij không phụ thuộc vào n mà chỉ

phụ thuộc vào khoảng thời gian xảy ra sự chuyển trạng thái này và p ij còn

được gọi là xác suất chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j của xích

Markov sau 1 bước

Đặt P   p ij thì ma trận P   p ij được gọi là ma trận xác suất chuyển sau một bước

Từ công thức xác suất đầy đủ, suy ra ma trận P   p ij có tính chất:

 có tính chất trên, sẽ gọi là ma trận ngẫu nhiên

1.6.3 Phương trình Chapman – Kolmogorov

Xác suất chuyển sau n bước, ký hiệu là ( )n

Đây là xác suất để quá trình tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau

n bước chuyển sang trạng thái j

Rõ ràngp ij(1)  p ij Ta quy ước:

(0) ij 1 0

i j p

Đặt ( )n  ( )n 

ij

P  p , đó là ma trận xác suất chuyển sau n bước

Từ công thức xác suất đầy đủ và tính Markov ta có:

Tổng quát hơn, với mọi n m,  0,1, 2 ta có:

Phương trình (1.1) gọi là phương trình ngược

Phương trình (1.2) gọi là phương trình thuận

Phương trình (1.3) gọi là phương trình Chapman – Kolmogorov

1.6.4 Phân phối hữu hạn chiều

Phân phối hữu hạn chiều của xích Markov được tính theo công thức sau:

Phân phối ban đầu được gọi là phân phối dừng nếu ( )

 n

không phụ

thuộc vào n, tức là    ( )n hay    .P

Như vậy mô hình xác suất của một xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba X n,  ,P, trong đó:

n

X là dãy các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

 là phân phối ban đầu

P là ma trận xác suất chuyển

Chú ý 1.1 Xích Markov hoàn toàn xác định một cách duy nhất bởi bộ ba

X n,  ,P, nhưng nếu thay P bởi P( 2 ) thì tính duy nhất không còn đúng

1.6.5 Xích Markov có hữu hạn trạng thái

Bây giờ ta xét trường hợp đơn giản nhất của xích Markov với giả thiết không gian trạng thái E của xích {X n} gồm hai phần tử Ta kí hiệu

Điều này nói lên rằng, trong tương lai (xa xôi) quá trình sẽ rơi vào

trạng thái 0 với xác suất b

a  b và rơi vào trạng thái 1 với xác suất

a

a  b

1.7 Mô phỏng các thí nghiệm ngẫu nhiên trên máy tính

1.7.1 Sơ lược về phương pháp Monte-Carlo

Tên gọi “phương pháp Monter Carlo” xuất hiện trong từ điển toán học vào những năm 1949 -1950, nhưng thật ra nó ra đời vào những năm

1943 -1944 gần như cùng thời với những máy tính điện tử đầu tiên ở Mỹ,

sự ra đời của các máy tính điện tử đã đảo lộn những quan niệm trước đó về phương pháp số giải toán Nhưng khi sử dụng các máy tính điện tử ta lại lựa chọn các phương pháp thích hợp với hoạt động của máy tính điện tử Bởi vậy, nếu chọn được những phương pháp số thích hợp cho máy tính thì cái “lợi” do thuật toán đơn giản sẽ lấn át cái “hại” do tăng khối lượng tính toán Một trong những phương pháp như vậy là phương pháp Monte- Carlo, đôi khi người ta còng gọi nó là “phương pháp thử thống kê”

Trên cơ sở nền tảng là luật mạnh số lớn, phương pháp Monte-Carlo

là phương pháp giải bằng số các bài toán thông qua việc tạo ra và sử dụng các số ngẫu nhiên Để giải bằng số mỗi bài toán ta cần thiết lập các phép thử ngẫu nhiên tương ứng và xác định lời giải gần đúng của bài toán đã nêu

từ các kết quả của các phép thử này Với một đại lượng khó tính toán về mặt giải tích, người ta tìm cách tính một loạt các giá trị cụ thể của nó (xem như các thể hiện của một biến ngẫu nhiên) rồi lấy trung bình cộng các giá trị đó

Đối với các bài toán tất định, tức là bài toán không liên quan đến phép tính xác suất, đây là những bài toán trong giải tích số thông thường

Để sử dụng phương pháp Monte-Carlo vào mỗi bài toán tất định nói trên, trước hết ta cần lập các bài toán xác suất tương đương (mô hình xác suất

tương ứng) mà lời giải y của bài toán tất định được xác định từ lời giải x

của bài toán xác suất bởi quan hệ hàm tính y f x( ) nào đó Để giải gần

đúng bài toán xác suất tương đương trong mô hình thông qua việc tiến hành các phép thử ngẫu nhiên Đây là quá trình thể hiện mô hình xác suất tương ứng Từ kết quả của các phép thử trong quá trình nói trên, ta có thể thiết lập một véc tơ ngẫu nhiên X ℝm

xấp xỉ với lời giải xℝm

của mô hình xác suất (theo một nghĩa nào đó) Nếu lời giải yℝn

của bài toán tất định được

xác định từ x bởi quan hệ hàm tính y f x( )(với f là hàm liên tục), thì ta có thể xấp xỉ nó (theo một nghĩa nào đó) bởi véc tơ ngẫu nhiên Y  f X( ) ℝn

, nghĩa là X  x ℝm

và loại thí nghiệm đắt giá Tương tự như trường hợp của bài toán tất định,

để giải bằng số các bài toán xác suất với các hiện tượng ngẫu nhiên không

quan sát được ở trên, ta thiết lập một bài toán xác suất tương đương (gọi là

mô hình mô phỏng tương ứng), sao cho tuy nó có cùng lời giải x với bài

toán xác suất ban đầu nhưng lại có thể mô hình hóa trên máy tính, nghĩa là

có thể xác định phỏng ước của X đối với lời giải x thông qua quá trình thể

hiện một mô hình xác suất cơ bản nào đó Với mỗi bài toán xác suất khác nhau, sẽ có những mô hình mô phỏng khác nhau

Tiếp theo, ta xét việc mô hình hóa trên máy tính (tạo lập những thí nghiệm ngẫu nhiên), nghĩa là xét các quá trình thể hiện các mô hình xác suất cơ bản trên máy tính, cụ thể ta xét thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên trong phần sau đây bằng phương pháp nghịch đảo hàm phân phối

1.7.2 Thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên

Bây giờ ta xét việc mô phỏng thể hiện của đại lượng ngẫu nhiên  có hàm phân phối F x( ) P{   x} đã cho, tức là ta xét những thể hiện (trong phép thử mô phỏng) của đại lượng ngẫu nhiên  ứng với hàm phân phối

( ),

F x trong đó F x( ) là hàm không giảm, liên tục trái và 0 F x( )  1 Tuy

nhiên, nói chungF x( ) không có hàm ngược theo ý nghĩa giải tích thông thường Từ hàm phân phối xác suất, ta cần tìm một hàm ngược 1

( )

F x (theo nghĩa rộng) của F x( ) sao cho: 1

x G y  x y  F x  F y (1.4)

Ta thu được kết quả

Bổ đề 1.1 ([42]) Đại lượng ngẫu nhiên  có hàm phân phối F x( )  P{   x}

đã cho trước và từ hàm phân phối xác suất F x( ), ta định nghĩa hàm ngược của y F x( ) (theo nghĩa rộng) bởi (1.4) Giả sử R [0,1] là đại lượng ngẫu nhiên phân phối đều trên [0,1]

Khi đó, phương trình

( )

có nghiệm duy nhất

1 ( )

Trong chương 1, chúng tôi đã giới thiệu một số khái niệm và kết quả

đã có liên quan trực tiếp đến nội dung, phương pháp chứng minh của luận

án bao gồm các định nghĩa: Xác suất, xác suất có điều kiện, dãy biến ngẫu nhiên độc lập, các dạng hội tụ của biến ngẫu nhiên, quá trình ngẫu nhiên, xích Markov và mô phỏng các đại lượng ngẫu nhiên trên máy tính Luận án

sẽ tập trung nghiên cứu mô hình rủi ro trong bảo hiểm (thời gian rời rạc) với giả thiết dãy các số tiền thu, đòi trả bảo hiểm là độc lập; đồng thời, luận

án còn nghiên cứu các mô hình này trong trường hợp có xét đến tác động của lãi suất Các nội dung, cũng như các kết quả nghiên cứu mà tác giả đã đạt được về các vấn đề này, sẽ được trình bày trong các chương tiếp theo

Chương 2

CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT RỦI RO

Trong chương này, chúng tôi xét ba mô hình rủi ro với thời gian rời rạc mở rộng Mô hình thứ nhất được xét đến khi dãy các số tiền đòi trả bảo hiểm (X i)i1và dãy số tiền thu bảo hiểm (Y i)i1 là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, có phân phối bất kỳ, hơn nữa, hai dãy (X i)i1 và (Y i)i1 là độc lập với nhau (hệ quả của nó là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối) Từ đó, chúng tôi mở rộng cho mô hình thứ hai với giả thiết về dãy số tiền đòi trả bảo hiểm (X i)i1 và dãy số tiền thu bảo hiểm (Y i)i1 là các dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Hơn nữa, luận án còn xét mô hình rủi

ro thứ ba, đây là mô hình có dãy tiền thu bảo hiểm là tất định, tuyến tính theo thời gian còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không

âm, độc lập, cùng phân phối và có phân phối liên tục

Nội dung chương này được công bố trong công trình [1], [2], [3], và [5], phần các công trình đã công bố của tác giả

2.1 Các công thức tính chính xác xác suất rủi ro

Trong lý thuyết rủi ro, có hai mô hình cổ điển sau đây là rất quan trọng và được nghiên cứu nhiều: Một là mô hình rời rạc, đó là quá trình với thời gian rời rạc và lượng tiền chi trả trong mỗi chu kỳ thời gian được giả thiết là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương (hoặc bằng không) Hai là mô hình Poisson phức hợp, đó là mô hình liên tục hóa (thời gian liên tục) của mô hình rời rạc (lượng tiền chi trả được giả thiết có phân phối liên tục) Mặc dù mô hình liên tục là tổng quát nhưng mô hình rời rạc trực quan

và dễ áp dụng hơn trong nhiều trường hợp thực tế

Bây giờ chúng tôi xin giới thiệu mô hình rủi ro rời rạc

Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm

về một dịch vụ tài chính nào đó Khách hàng là những người mua chứng từ

đó Công ty bảo hiểm có số vốn ban đầu là uℕ*

, thu được của khách hàng một số tiền mua bảo hiểm với phí suất c  0, trên một đơn vị thời gian Tại mỗi thời kỳ t *, công ty phải trả một số tiền bảo hiểm tổng cộng là S t cho các khách hàng có nhu cầu đòi trả bảo hiểm Thặng dư của

công ty bảo hiểm tại thời kỳ t được xác định bởi

[0, T], và với giả thiết công ty này có vốn ban đầu u, sẽ được ký hiệu là

Bây giờ, nếu ta giả thiết là, trước một thời kỳ t T chưa xảy ra rủi ro và T u

là thời kỳ đầu tiên xảy ra rủi ro, thì rõ ràng giữa T u và t giả thiết ở trên có

quan hệ: T u  t 1 (vì ít nhất phải sau một đơn vị thời gian, mới có thể xảy

Bây giờ, thay cho việc tính xác suất rủi ro trong thời gian hữu hạn  ( ,u T)

ở trên, ta sẽ đặt mục tiêu là tính xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P(T u t  1 ) cho mô hình rủi ro (2.1) nêu trên Các tác giả Claude Lefèvre và Stephanne Loisel đã đưa ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình (2.1) khi dãy (X i)i1 có phân phối nhị thức, điều đó được thể hiện trong mệnh đề sau đây

* 1

1

) (

* 1

J u t

n u t P

P t

T

P

t u

J n

J u t J n

t u

u J

u J J

t u

J

t J

và

) 1 (

) 1

Ta nhận thấy, trong mô hình rủi ro ở trên, các tác giả Claude Lefèvre

và Stephanne Loisel đã đưa ra công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho

mô hình (2.1) khi dãy tiền thu bảo hiểm là tất định, tuyến tính theo thời gian, còn dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có phân phối nhị thức Nhưng trong thực tế, thì dãy tiền thu bảo hiểm cũng là dãy

biến ngẫu nhiên, để mô hình phù hợp với thực tế hơn, sau đây, ta sẽ xét mô hình rủi ro khi mà số tiền thu bảo hiểm, chi trả bảo hiểm là các dãy biến

ngẫu nhiên không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ

2.1.1 Công thức tính chính xác xác suất rủi ro, cho mô hình rủi ro có

dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, nhận giá trị nguyên, không âm

Bây giờ, chúng ta khảo sát hoạt động của công ty bảo hiểm mà việc hạch toán thu, chi, lỗ, lãi được xét theo những thời kỳ cố định cho trước (ví

dụ theo tháng, theo quý hoặc theo năm…), công ty có số vốn ban đầu là

uℕ*

Tại mỗi thời kỳ t (t =1, 2,…), ta ký hiệu X , t Y t tương ứng là tổng số tiền chi

trả và tổng số tiền thu bảo hiểm trong thời kỳ thứ t

Ta ký hiệu U t là thặng dư của công ty bảo hiểm ở cuối mỗi thời kỳ t, khi đó

Thặng dư phải dương thì công ty mới có lãi, ngược lại tại cuối thời kỳ t xảy

ra rủi ro nếu như U t  0

Ký hiệu T u là thời kỳ đầu tiên xảy ra rủi ro, nghĩa là:

Tương tự như đã xét trên, T u  t 1 có nghĩa là: Trước thời kỳ t, rủi ro chưa

xảy ra, tức là tại thời kỳ 1  i  t thì thặng dư U i  0

Ta cũng có quan hệ

( ,u T) 1 P T( u t 1)

Nhận xét 2.1  ( , )u t là hàm không giảm theo t và không tăng theo u

Thật vậy, giả sử 0  u1  u2, khi ký hiệu (n)

do đó  ( , )u t là hàm không tăng theo u

Tương tự,  ( , )u t là hàm không giảm theo t

Cũng như trên, thay cho việc tính xác suất rủi ro trong thời gian hữu hạn  ( , )u T , ta sẽ tính xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn

)

1

(T  t

P u , điều đó được thể hiện trong định lý sau đây

Định lý 2.1 ([2], [5] phần các công trình đã công bố của tác giả)

Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là uℕ*

, tại cuối mỗi thời kỳ t (t

=1, 2,…), thặng dư của công ty là biến ngẫu nhiên U t , được thể hiện bởi:

2) Tồn tại số nguyên dương M   sao cho P(Y j  M )  1với j

Ta có (2.7) bởi vì do tính chất sau của V i: Các Y i nhận giá trị nguyên

không âm, suy ra nếu i j và k i  k jthì

(1) ( 2 ) ( )

1 1

0 ( ) 1 0

2 2 (S k u) (S t  k t u)]. (2.8) Tiếp tục tính toán vế phải của (2.8) ta có

, [(X1 i1 i1 k1 u X1 X2 i1 i2 i1 i2 k2 u



(X1  X2   X t  i1 i2  i i t, 1i2  i t  k t u)]. (2.9) Kết hợp các kết quả (2.8),(2.9) lại ta có công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn (2.4) ở định lý 2.1

Vậy định lý đã được chứng minh □

Ta nhận thấy, trong trường hợp đặc biệt, khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập cùng phân phối thì định lý trên vẫn còn đúng, điều đó được thể hiện qua hệ quả sau đây

Hệ quả 2.1 ([1], [2] và [5] phần các công trình đã công bố của tác giả)

Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là uℕ*

, tại cuối mỗi thời kỳ t

(t = 1, 2,…), thặng dư của công ty được thể hiện bởi

i i

U

1 1

trong đó X , i Y i tương ứng là tổng số tiền chi ra và tổng số tiền thu được trong thời kỳ thứ i i,  1, 2, , t

Ta cũng giả thiết rằng:

1) Các dãy biến ngẫu nhiên (X i)i1và (Y i)i1 là các dãy biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên, không âm, độc lập, cùng phân phối Hơn nữa, dãy (X i)i1 là độc lập với dãy (Y i)i1

2) Tồn tại số nguyên dương M   sao cho P Y( 1  M )  1 và

1 )

Khi đó ta có công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong

thời gian hữu hạn P(T u t  1 ) như sau:

1 2 2 0

1 1 2 2 0

0

với chú ý dãy (X i)i1 là dãy độc lập, cùng phân phối

Kết hợp các kết quả (2.11),(2.12) lại ta có công thức (2.10) trong hệ quả 2.1

Vậy hệ quả 2.1 đã được chứng minh □

Nhận xét 2.2 Trong trường hợp tổng quát, khi không tồn tại hằng số

nguyên dương M sao cho P(Y1  M)  1 thì ta có thể lập luận như sau:

Với mọi   0 (có thể nhỏ tùy ý), tồn tại M sao cho: P(Y1  M )   ,

khi đó trong công thức tính xác suất trên, ta có thể ước lượng như sau:

T P

t

i

i i

nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối ở công thức (2.10) của hệ quả 2.1, trong trường hợp:

M = 10

Dãy q: 0.93159240 0.06819402 0.00008155 0.00000410 0.00012399 0.00000385 0.00000000 0.00000000 0.00000005 0.000000004

Dãy p: 0.44511175 0.27795150 0.09868925 0.12949805 0.02708238 0.02034434 0.00100900 0.00002661 0.00005986 0.00022724

ta thu được kết quả cho trong bảng sau :

xác suất không rủi ro với thời gian hữu hạn P(T u t 1 ) giảm Điều này là

phù hợp với kết quả của hệ quả 2.1 ở trên

Nhận xét 2.3 Trong phần trên, chúng tôi đã đưa ra được công thức tính

chính xác xác suất không rủi ro (tương ứng rủi ro), thời gian hữu hạn cho

mô hình rủi ro rời rạc, khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên, không âm, độc lập, có phân phối bất kỳ Trong phần kế tiếp, chúng tôi tiếp tục mở rộng công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn ở định lý 2.1, cho mô hình rủi ro rời

rạc, khi dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là phụ thuộc Markov

2.1.2 Công thức tính chính xác xác suất rủi ro cho mô hình rủi ro có các dãy tiền thu và chi trả bảo hiểm là các dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov

Định lý 2.2 ([3],[5] phần các công trình đã công bố của tác giả)

Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là uℕ*, tại cuối mỗi thời

kỳ (t  1, 2 ), thặng dư của công ty được thể hiện bởi công thức sau

i i

U

1 1

, trong đó X , i Y i tương ứng là tổng số tiền chi ra và tổng số tiền thu được của công ty bảo hiểm trong thời kỳ thứ i i,  1, 2, , t

Ta cũng giả thiết rằng:

1) Tồn tại số nguyên dương M   sao cho P Y( 1  M)  1 và

1 )

(X1  M 

P (vì số tiền thu và chi trả bảo hiểm chỉ hữu hạn)

2) Quá trình chi trả bảo hiểm (X i)i1 là xích Markov rời rạc, thuần nhất, nhận giá trị nguyên, không âm với phân phối ban đầu P(X1 k)  p k,

   và ma trận xác suất chuyển [q ij] với q ij  P Y( n1  j Y n  i).

Khi đó ta có công thức tính chính xác xác suất không rủi ro trong thời gian hữu hạn P T( u  t 1) như sau:

1 1 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 1 2 1

1 2 2 0

Chứng minh Tương tự như định lý 2.1 ở trên, ta ký hiệu T u là thời kỳ đầu

tiên xảy ra rủi ro

Mục đích là tính xác suất P(T u t  1 ): Nghĩa là, cho đến cuối thời kỳ

t, công ty vẫn không xảy ra rủi ro

Hiển nhiên, ta có sự tương đương giữa các biến cố ngẫu nhiên sau

Ta có biểu thức trên bởi vì do tính chất sau của V i, chú ý rằng các Y i nhận giá trị nguyên không âm Từ đó ta suy ra nếu i  j và k i  k jthì

0

0 ( ) 1 0

) (

) (Y1 k1 P Y2 k2 k1Y1 k1 P Y3 k3 k2Y1 k1 Y2 k2 k1



) , ,

, (Y t k t k t1Y1  k1 Y2 k2 k1 Y t1 k t1 k t2

( ) (

) (S1 k1 u P S2 k2 u S1 k1 u P S3 k3 u S1 k1 u S2 k2 u

) , ,

, (S k u S1 k1 u S2 k2 u S 1 k 1 u

) (S1 k1 u P S2 k2 u S1 k1 u P S3 k3 u S2 k2 u

1 3 2 2 1



 (2.17)

Kết hợp các kết quả (2.15), (2.16) và (2.17) lại, ta có công thức tính

chính xác xác suất không rủi ro (2.14)

Vậy định lý đã được chứng minh □

Để tính xác suất rủi ro cho mô hình rủi ro (2.3) cho dưới dạng

, trong đó dãy tiền chi trả bảo hiểm X1, ,X t và dãy tiền

thu bảo hiểm Y1, ,Y t là dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương (không nhất

thiết phải nguyên), độc lập, cùng phân phối và chỉ nhận hữu hạn giá trị (là

sự mở rộng của định lý 2.1), ta có thể sử dụng định lý 2.3 dưới đây

Chú ý 2.1 Gần đây, các tác giả Bùi Khởi Đàm và Phùng Duy Quang (xem

[11]) đã phát triển kỹ thuật chứng minh, tổng quát hóa kết quả của chúng tôi và thu được công thức tính chính xác xác suất rủi ro khi có tác động của yếu tố lãi suất

Định lý 2.3 ([1], phần các công trình đã công bố của tác giả)

Giả sử công ty bảo hiểm có vốn ban đầu là uℕ*, tại cuối mỗi thời kỳ t

ℕ*, thặng dư của công ty là biến ngẫu nhiên U t , được thể hiện bởi:

X  X  , là dãy biến ngẫu nhiên độc

lập, cùng phân phối, nhận các giá trị dương trong tập hữu hạn

 , là dãy biến ngẫu nhiên độc lập,

cùng phân phối, nhận các giá trị dương trong tập hữu hạn