Kiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhất

Kiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhấtKiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhấtKiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhấtKiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhấtKiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhấtKiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhấtKiến thức trọng tâm môn Toán lớp 10 đầy đủ nhất

chương I hμm số bậc nhất vμ bậc hai

A Kiến thức cần nhớ .7

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan .10

Đ 1: Hμm số 10

Đ 2: Hμm số bậc nhất 26

Đ 3: Hμm số bậc hai 32

C Các bμi toán chọn lọc 38

chương II phương trình vμ hệ phương trình A Kiến thức cần nhớ 43

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan 48

Đ 1: Đại cương về phương trình 48

Đ 2: Phương trình bậc nhất vμ bậc hai một ẩn 53

Đ 3: Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất vμ bậc hai 71

Đ 4: Phương trình vμ hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 93

Đ 5: Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

101 C Các bμi toán chọn lọc 114

chương IV bất đẳng thức vμ bất phương trình A Kiến thức cần nhớ 129

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan 133

Đ 1: Bất đẳng thức 133

Đ 2: Bất phương trình .154

Đ 3: Bất phương trình vμ hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn 156

Đ 4: Dấu của nhị thức bậc nhất 162

Đ 5: Bất phương trình vμ hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 168

Đ 6: Dấu của tam thức bậc hai 171

Đ 7: Một số phương trình, bất phương trình quy về bậc hai 188

C Các bμi toán chọn lọc 194

chương V cung vμ Góc lượng giác  công thức lượng giác

A Kiến thức cần nhớ 219

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan 222

C Các bμi toán chọn lọc 255

phần II: hình học chương I vectơ A Kiến thức cần nhớ 267

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan 271

Đ 1: Vectơ 271

Đ 2: Hệ trục toạ độ 287

C Các bμi toán chọn lọc 296

chương II tích vô hướng của hai vectơ vμ ứng dụng A Kiến thức cần nhớ 305

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan 307

Đ 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kì 307

Đ 2: Tích vô hướng của hai vectơ 309

Đ 3: Hệ thức lượng trong tam giác 322

C Các bμi toán chọn lọc 327

chương III phương pháp toạ độ trong mặt phẳng A Kiến thức cần nhớ 337

B Phương pháp giải các dạng toán liên quan 347

Đ 1: Đường thẳng 347

Đ 2: Đường tròn 359

Đ 3: Đường Elíp 377

Đ 4: Đường Hypebol 389

Đ 5: Đường Parabol 399

Đ 6: Ba đường Côníc 408

C Các bμi toán chọn lọc 410

2 sự biến thiên của hàm số

Định nghĩa: Cho hμm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b)

1 Một hμm số y = f(x) gọi lμ tăng hay đồng biến trong khoảng (a, b) nếu với x1,

x2 bất kỳ thuộc khoảng đó ta có:

x1 < x2  f(x1) < f(x2)

2 Một hμm số y = f(x) gọi lμ giảm hay nghịch biến trong khoảng (a, b) nếu với

x1, x2 bất kỳ thuộc khoảng đó ta có

D x

D x

 Nhận xét:

 Hμm số chẵn nhận trục tung lμm trục đối xứng

 Hμm số lẻ nhận gốc toạ độ O lμm tâm đối xứng

4 trục đối xứng của đồ thị hàm số

Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a lμ trục đối xứng của đồ thị y = f(x)

 với phép biến đổi toạ độ:

a x X

a X x

hμm số Y = F(X) lμ hμm số chẵn

5 tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Định nghĩa: Điểm I(a; b) lμ tâm đối xứng của đồ thị y = f(x)

 với phép biến đổi toạ độ:

a x X

a X x

 Nếu b = 0, đồ thị của (d) đi qua gốc toạ độ O vμ điểm A(1, a)

 Nếu b  0, đồ thị của (d) đi qua hai điểm B(0, b) vμ C(

a

b, 0)

Hệ số góc: hệ số a được gọi lμ hệ số góc của đường thẳng (d)

 Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1) vμ (d2):

Nhận xét rằng:

ax2 + bx + c = a   2 

2 2

a4

ba2

b.x

a4

b2+ c =

2a2

ac4

b

vμ q = 

a4



thì hμm số y = ax2 + bx + c có dạng y = a(x  p)2 + q

Như vậy, nếu gọi (P0): y = ax2 thì để có được đồ thị của parabol y = ax2 + bx + c

ta tịnh tiến hai lần như sau:

1 Tịnh tiến (P0) sang phải p đơn vị nếu p > 0, sang trái p đơn vị nếu p < 0, ta nhận được đồ thị hμm số y = a(x  p)2 gọi lμ (P1)

2 Tịnh tiến (P1) lên trên q đơn vị nếu q > 0, xuống dưới q đơn vị nếu q < 0, ta nhận được đồ thị hμm số y = ax2 + bx + c

Đồ thị hμm số bậc hai: đồ thị của hμm số lμ một Parabol (P) có đỉnh S(

a2

b, a4

) vμ

nhận đường thẳng x = 

a2

b lμm trục đối xứng vμ:

 Hướng bề lõm lên trên nếu a > 0

 Hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0

Từ đồ thị hμm số bậc hai, ta suy ra bảng biến thiên:

bhμm số đạt cực tiểu

a

b

)

o Hμm số nghịch biến trên khoảng (-

bhμm số đạt cực đại

 Nối ASB để được một góc rồi thực hiện vẽ đường cong parabol lựon theo

  > 0 Parabol cắt trục hoμnh tại hai điểm phân biệt

  = 0 Parabol tiếp xúc với trục hoμnh

  < 0 Parabol không cắt trục hoμnh

B Ph-ơng pháp giải các dạng toán liên quan

)x(f2

nghĩacó)x(f),x(f2

2 1

(P)

-b/2a

-b/a -/4a

y

x

S O

y

x

S O

(P)

-b/2a

-b/a -/4a

y

x

S O

-b/2a

-b/a -/4a

a y =

3xx

1x

2  

 b y = x 1 + x23x 2

D = \{3} Đây lμ lời giải sai vì phép biến đổi hμm số không phải lμ phép biến đổi tương đương

Thí dụ 2 Tìm tập xác định của các hμm số:

a y =

x1

1x2

1xvới3x

1

0x

2

1xvới03

1xvới3x

1x Vậy, ta được D = 

 Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên:

 ở câu a), miêu tả điều kiện có nghĩa của biểu thức trong dấu căn

ở dạng đơn vμ ở mẫu số

 ở câu b), chúng ta gặp dạng hμm số hợp

Thí dụ 3 Tìm m để hμm số sau xác định trên đoạn [1; 3]:

y = 1 2x 2mx m 15 

 Giải

Hμm số nghĩa khi:

1  2x2 + mx + m + 15  0  2x2 + mx + m + 15  1 (1) Bμi toán được chuyển về việc tìm m để (1) nghiệm đúng với x  [1; 3]

Điều kiện cần: Bất phương trình nghiệm đúng với x[1; 3]

|23m3

|

1

|17m2

117m21

8m9

 m = 8

Vậy, với m = 8 lμ điều kiện cần để (1) nghiệm đúng với x  [1; 3]

Điều kiện đủ: Với m = 8, ta có:

2

08xx

0)2x(2

2

 1  x  3

Vậy, với m = 8 thoả mãn điều kiện đầu bμi

Dạng toán 2: Xét sự biến thiên của hàm số

2 1

xx

)x()x(





Bước 2: Khi đó:

 Nếu A > 0 với mọi x1, x2(a, b) vμ x1  x2 thì hμm số

2 1

x x

) x ( ) x (





=

2 1

2 1

x x

) b ax ( ) b ax (

2a  + )

 NÕu x1, x2 <  b

2a th× A < 0 nªn hμm sè nghÞch biÕn trªn (;  b

2a)

b Víi a < 0, ta cã:

 NÕu x1, x2 >  b

2a th× A < 0 nªn hμm sè nghÞch biÕn trªn ( b

2a + )

 Nếu x1, x2 <  b

2a thì A > 0 nên hμm số đồng biến trên (;  b

2[(x1 + x2)2 +6(x1 + x2) + 9] + 1

2(x12x22) + 5

2 = 1

3} vμ x1 < x2 ta có:

3x1 < 3x2  3x1  1 < 3x2  1  3(3x1  1) < 3(3x2  1)



1

53(3x 1) > 2

53(3x 1) 

2

3 +

1

53(3x 1) >

2

3 +

2

53(3x 1)

x 1 x 1 > 0 Vậy, hμm số luôn đồng biến trên \{1}

Thí dụ 4 Khảo sát sự biến thiên của các hμm số:

2 1

xx

)x()x

2 2 2

1xx

2x2x

xx

(

)2x()2x(

2 2 2

1 2 1

2 2 2

xx

2 2 2

1

2 1

 Nếu x1, x2 > 0 thì A > 0 suy ra hμm số đồng biến trên (0; +)

 Nếu x1, x2 < 0 thì A < 0 suy ra hμm số nghịch biến trên (; 0)

b Với x1, x2   vμ x1  x2 ta có:

A =

2 1

2 1

xx

)x()x(

 Nếu x1, x2 < 1 thì A < 0 suy ra hμm số nghịch biến trên (; 1)

Thí dụ 5 Cho hμm số:

y = f(x) =

2x

2 1

xx

)x()x(





=

2 1 2 2 1

1

xx

2x

ax2xax

2x(

a22

1 

a Với a = 1, suy ra:

A < 0 với mọi x1, x2(2; +) vμ x1  x2

Vậy, với a = 1 hμm số nghịch biến trên (2; +)

b Để hμm số đồng biến trên (2; +) điều kiện lμ:

A > 0 với mọi x1, x2(2; +) vμ x1  x2  2a > 0  a < 0

Vậy, với a < 0 thoả mãn điều kiện đầu bμi

 Giải

a Vì tập xác định D = \{1} không phải lμ tập đối xứng nên hμm số không chẵn, không lẻ

4 2 2

2 víi g(x) lμ hμm lÎ tuú ý trªn 

Dạng toán 4: Sơ l-ợc về phép tịnh tiến

Phương pháp thực hiện

Sử dụng kết quả: Trong mặt phẳng toạ độ, cho (G) lμ đồ thị của hμm số y = f(x), p

vμ q lμ hai số tuỳ ý Khi đó:

1 Đồ thị hμm số y = f(x) + q có được khi tịnh tiến (G)

 Lên trên q đơn vị nếu q > 0

 Xuống dưới q đơn vị nếu q < 0

2 Đồ thị hμm số y = f(x  p) có được khi tịnh tiến (G)

 Sang phải p đơn vị nếu p > 0

 Sang trái p đơn vị nếu p < 0

Thí dụ 1 Cho (H): y =

x

2 Hỏi muốn có đồ thị hμm số y =

x

x

2 

thì phải tịnh tiến (H) như thế nμo ?

2  3

Vậy, muốn có đồ thị của hμm số nμy ta cần tịnh tiến (H) xuống dưới 3 đơn vị

Thí dụ 2 Hãy lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Oy để nhận được đồ

thị hμm số y =

x2

3x

7

x2



 =

x2

)x2(23x2

3x

7

x2



, để trả lời câu hỏi nμy thông thường chúng ta lựa chọn cách trình bμy, giả sử:

y =

x2

7

x2



 = f(x) + b



x2

7

x2



 =

x2

3x

b3x)2b(

2b0

11

 b = 2

Vậy, ta được:

y =

x2

7

x2



 = f(x)2

Do đó, đồ thị của hμm số được suy ra bằng phép tịnh tiến (H) theo Oy xuống dưới 2 đơn vị

Dạng toán 5: Trục đối xứng của đồ thị hàm số

a x X

a X x

hμm số có dạng:

Bước 2: Nhận xét rằng hμm số (1) lμ hμm số chẵn

Bước 3: Vậy, đồ thị hμm số nhận đường thẳng x = a lμm trục đối xứng

2 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hμm số y = f(x) nhận đường thẳng x = a lμm trục đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Với phép biến đổi toạ độ

a x X

a X x

hμm số có dạng:

Bước 2: Đồ thị hμm số nhận đường thẳng x = a lμm trục đối xứng

 hμm số (1) lμ hμm số chẵn  tham số Bước 3: Kết luận

3 Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường thẳng y = a,

ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi (H) lμ đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua đường y = a

Bước 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)(H)

 M1(x1; y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = a

x x

) x ( y

1 1

1 1

(I)

Bước 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H)

Thí dụ 1 Tìm trục đối xứng của đồ các thị hμm số:

a y = x2 + 4x + 3 b y = x4 + 2x2 + 2

 Giải

a Giả sử đồ thị hμm số có trục đối xứng lμ x = a

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 lμ hμm số chẵn

Ta có:

Y = (X + a)2 + 4(X + a) + 3 = X2 + 2(a + 2)X + a2 + 4a + 3 (1) Hμm số (1) lμ hμm số chẵn

 a + 2 = 0  a = – 2

Vậy, đồ thị hμm số có trục đối xứng lμ đường thẳng x + 2 = 0

b Giả sử đồ thị hμm số có trục đối xứng lμ x = a

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

Giả sử đồ thị hμm số có trục đối xứng song song với Oy lμ x = a (a  0)

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m–1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1 lμ chẵn

Ta có:

Y = (X + a)4 + 4m(X + a)3 – 2(m – 1)(X + a)2 – 2m(X + a) + 1

= X4 + (4a + 4m)X3 + (6a2 + 12ma – 2m + 2)X2 +

+ (4a3 + 12ma2 – 4ma + 4a – 2m)X +

+ a4 + 4ma2–2(m–1)a2–2ma + 1 (1)

thoả mãn điều kiện đầu bμi

Dạng toán 6: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số

a x

a X x

hμm số có dạng:

Y + b = f(X + a)  Y = F(X) (1) Bước 2: Nhận xét rằng hμm số (1) lμ hμm số lẻ

Bước 3: Vậy, đồ thị hμm số nhận điểm I(a, b) lμm tâm đối xứng

2 Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hμm số y = f(x) nhận điểm I(a, b) lμm tâm

đối xứng, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Thực hiện phép biến đổi toạ độ

a x

a X x

hμm số có dạng:

Y + b = f(X + a)  Y = F(X) (1) Bước 2: Đồ thị hμm số nhận I(a, b) lμm tâm đối xứng

 hμm số (1) lμ hμm số lẻ  tham số Bước 3: Kết luận

3 Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hμm số y = f(x) đối xứng qua điểm I(a, b), ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lấy hai điểm A(xA, y(xA)) vμ B(xB, y(xB)) thuộc đồ thị hμm số

Bước 2: Hai điểm A vμ B đối xứng qua điểm I(a, b)

a 2 x x B A

B A

 toạ độ A vμ B

4 Tìm phương trình đường cong đối xứng với (C): y = f(x) qua điểm I(x0, y0), ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Gọi (H) lμ đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(x0, y0)

Bước 2: Khi đó, với mỗi M(x, y)(H)

 M1(x1, y1)(C) sao cho M đối xứng với M1 qua I

0 1

1 1

y y y

x x x

) x ( y

Bước 3: Khử x1, y1 từ hệ (I) ta được phương trình của đường cong (H)

Thí dụ 1 Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hμm số sau:

a y = 2x36x + 3 b y = x

2x 1

 Giải

a Giả sử hμm số nhận điểm I(a, b) lμm tâm đối xứng

Với phép biến đổi toạ độ:

Vậy, hμm số có tâm đối xứng I(0; 3)

b Viết lại hμm số dưới dạng:

y = 1 1

22(2x 1)

 Giả sử hμm số nhận điểm I(a; b) lμm tâm đối xứng

Với phép biến đổi toạ độ:

 Chú ý: Đồ thị hμm số:

 y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, với a  0 luôn nhận điểm U(

a 3

b

, f(

a 3

b

)) lμm tâm đối xứng

 y = f(x) =

d cx

b ax

 y = f(x) =

e dx

c bx

 ) thuộc (Cm)

Hai điểm A vμ B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

3 hoặc m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bμi

Dạng toán 7: Tìm ph-ơng trình đ-ờng cong đối xứng

Thí dụ 1 Tìm phương trình đường cong đối xứng với đồ thị hμm số (C) qua

a Gọi (H) lμ đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1; y1)(C) với y1 = 2x1 + 3 (1) sao cho M đối xứng với M1 qua đường thẳng y = 1   x1, y1 thoả mãn:

Vậy, đường cong (H) có phương trình: y = – 2x – 1

b Gọi (H) lμ đường cong đối xứng với (C) qua đường thẳng y = 1

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

Thay (I) vμo (1), ta được:

Gọi (H) lμ đường cong đối xứng với (C) qua điểm I(1; 1)

Khi đó, với mỗi M(x; y)(H)

 M1(x1, y1)(C) với y1 =

2 1 1

2

x



1.3.3 =

2

9 (đơn vị diện tích)

c Trong OAB, ta có ABO = , suy ra:

tan =

3

3OB

OA  = 1   = 450

d Từ đồ thị suy ra:

 y > 0  x < 3, ứng với phhần đồ thị phía trên trục Ox

 y  0  x  3, ứng với phhần đồ thị phía dưới trục Ox

0xvớix

1xvới1

x

 Giải  Bạn đcọ tự vẽ hình

a Đồ thị gồm hai tia:

 Tia Ot trùng với đồ thị hμm số y = 2x với x  0

 Tia Ot' trùng với đồ thị hμm số y =

2

1

x với x < 0

b Đồ thị gồm hai tia:

 Tia A1B đi qua hai điểm A(1; 2) vμ B(2; 3)

 Tia A2B đi qua hai điểm A(0; 4) vμ B(2; 3)

Thí dụ 3 Khảo sát sự biến thiên vμ vẽ đồ thị các hμm số:

a Tìm m để hμm số lμ đồng biến, nghịch biến, không đổi

b Chứng tỏ rằng khi m thay đổi (Cm) luôn đi qua 1 điểm cố định

Vậy, đồ thị hμm số luôn đi qua điểm cố định M(–2 ; –1)

Thí dụ 5 Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình:

d (dm) vuông góc với đường thẳng (1): 3x + 2y100 = 0

e (dm) song song với đường thẳng (2): x2y + 12 = 0

2 Tìm điểm cố định mμ họ (dm) luôn đi qua

Vậy, đường thẳng (dm) luôn đi qua điểm cố định M(5 ; – 2)

Thí dụ 6 Cho hai hμm số f(x) = (m2 + 1)x  4 vμ g(x) = mx + 2, với m  0

do đó, nó lμ hμm đồng biến

2 < 0

do đó, nó lμ hμm nghịch biến

Thí dụ 7 Cho hμm số y = f(x) = ax + b, với a  0

a Chứng minh rằng với một giá trị x0 tuỳ ý cho trước, bao giờ cũng tìm được hai số m vμ n sao cho f(m) < f(x0) < f(n)

b Chứng minh rằng hμm số bậc nhất không có giá trị lớn nhất vμ nhỏ nhất

b Giả sử trái lại hμm số có:

 Giá trị lớn nhất f(x1) ứng với x1

 Giá trị nhỏ nhất f(x2) ứng với x2

Theo kết quả câu a), luôn tìm được hai số m vμ n sao cho:

f(x1) < f(n)  f(x1) không phải lμ giá trị lớn nhất

f(x2) > f(m)  f(x2) không phải lμ giá trị nhỏ nhất

Thí dụ 8 Cho hμm số y = f(x) = ax, với a  0

a Chứng minh rằng f(kx1) = kf(x1) vμ f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2)

b Các hệ thức trong câu a) còn đúng với hμm số:

y = g(x) = ax + b, với b  0 hay không ?

Thí dụ 1 Viết phương trình y = ax + b của các đường thẳng:

a Đi qua hai điểm A(4, 3) vμ B(2, 1)

b Đi qua điểm A(1, 1) vμ song song với Ox

Thí dụ 2 Cho hμm số y = ax  3a

a Xác định giá trị của a để đồ thị hμm số đi qua điểm A(0; 4) Vẽ đồ thị hμm số với a vừa tìm được

b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm được trong a)

 Giải

a Đồ thị hμm số đi qua điểm A(0; 4) khi vμ chỉ khi:

4 = a.0  3a  3a = 4  a = 

34

b Gọi H lμ hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng

Trong OAB vuông tại O, ta có:

2 2 2

OB

1OA

1OH

2 2OBOA

OB.OA

34

3.4

 = 5

12

Vậy, khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng bằng

5

12

a Khảo sát sự biến thiên vμ vẽ đồ thị hμm số

b Từ đó lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận được

 =  2

c Vì số nghiệm của mỗi phương trình đúng bằng số giao điểm của đường thẳng y = m với

đồ thị của các hμm số y = x24x + 2 vμ y = x22, do đó chúng đều có cùng số nghiệm

Thí dụ 2 Cho hai hμm số (P1) vμ (P2), biết:

 = 4

 Bảng biến thiên:

 a2

b = 4 vμ 

a4

 = 5

0x Khi đó, toạ độ các giao điểm lμ:

(P1) 4

-5

3

S2

(P2)

b Viết phương trình đường thẳng đi qua đỉnh của (P0) vμ giao điểm của (P0) với Oy

c Xác định m để (Pm) lμ Parabol Tìm quĩ tích đỉnh của Parabol (Pm) khi m thay đổi

d Chứng tỏ rằng (Pm) luôn đi qua một điểm cố định, tìm toạ độ điểm

 = 4

Vậy, đồ thị hμm số lμ một parabol có đỉnh S(1, 4), nhận đường thẳng x = 1 lμm trục đối xứng vμ hướng bề lõm lên trên

3x

3

0CB4A

0B3B4A

BA

(I) Thay (I) vμo (1), ta được:

1m



, 1m

(d) A

B

C

1m

1m

1m

1mx

 x =

1y

y4

1y

y4

Vậy, quĩ tích đỉnh Sm lμ đường thẳng (): 2x + y  2 = 0

d Giả sử M(x0; y0) lμ điểm cố định mμ (Pm) luôn đi qua, khi đó:

01xx

0 0

2

0

0 2

1x0

0 Vậy, họ (Pm) luôn đi qua điểm cố định M(1; 0)

Thí dụ 4 Khảo sát sự biến thiên vμ vẽ đồ thị hμm số y = |x1|(x + 3)

Đồ thị: ta lấy các điểm A(3; 0), S(1; 4), B(1; 0)

Dạng toán 4: Hàm số dạng y = ax 2 + bx + c, với a  0

Phương pháp thực hiện

Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Vẽ đồ thị hμm số (P): y = ax2 + bx + c, với a  0

Bước 2: Đồ thị hμm số y = ax2 + bx + c gồm hai phần:

 Phần từ trục hoμnh trở lên của đồ thị (P)

 Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoμnh của (P) qua trục hoμnh Bước 3: Dựa vμo đồ thị ta lập được bảng biến thiên của hμm số y = ax2 + bx + c





y=x  1(x + 3)

B

 = 4

Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị lμ A(3; 0), B(1; 0)

b Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hμm số y = |x2 + 2x3| (phần đường đậm) vμ đường thẳng (d): y = m, ta được:

 Với m < 0, phương trình vô nghiệm

 Với m = 0, phương trình có hai nghiệm x = 1 vμ x = 3

 Với 0 < m < 4, phương trình có bốn nghiệm phân biệt

 Với m = 4, phương trình có ba nghiệm phân biệt

 Với m > 4, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Dạng toán 5: Lập ph-ơng trình Parabol

Phương pháp thực hiện

Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Giả sử Parabol (P): y= ax2 + bx + c, với a  0

Bước 2: Dựa vμo điều kiện K để xác định a, b, c

Trong bước nμy ta cần lưu ý các điều kiện thường gặp sau:

 Điểm A(x0, y0)  (P) ta nhận được điều kiện:

a2

bx

0a0

0a0

)

 (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) tại điểm có hoμnh độ bằng x0

ta nhận được điều kiện:

0a0

bx

0a0

)

 (P) nhận đường thẳng x = x0 lμm trục đối xứng ta nhận được điều kiện:

x0 = 

a2

b Bước 3: Kết luận

Thí dụ 1 Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết rằng parabol đó:

a Đi qua hai điểm M(1; 5) vμ N(2; 8)

b Đi qua điểm A(3; 4) vμ có trục đối xứng lμ x = 

2

3

c Có đỉnh lμ I(2; 2)

d Đi qua điểm B(1; 6) vμ tung độ của đỉnh lμ 

4

1

b

= 2

 = 4

1   = a  b2  8a = a  b2 = 9a (2)

Từ (1) vμ (2) ta có:

4b

4ab

4ab

4ab2

1a

4ab

16a

3b

1a 

2xxy:P(

2 2

Vậy, có hai parabol thoả mãn đề bμi

Thí dụ 2 Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c

a Đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 1), C(1; 1)

b Có đỉnh I(1; 4) vμ đi qua điểm D(3; 0)

c Có giá trị cực tiểu bằng 1 vμ đi qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3)

Vậy, với m = 2 thoả mãn điều kiện đầu bμi

Ví dụ 2: Cho a  , xác định tất cả các hμm số f(x) sao cho:

 Giải

Để (d1), (d2), (d3) đồng quy thì (d3) phải đi qua giao điểm của (d1) vμ (d2)

Hoμnh độ giao điểm của (d1) vμ (d1) được xác định bởi:

2x – 1 = 2 – x  x = 1  y = 1

Do đó, giao điểm của (d1) vμ (d2) lμ điểm M(1 ; 1)

Lại có, M  (d3) suy ra:

Y = a

2bX2a

bX2a

  + c = a

2bX2a

bX2a

  + c = a

2 2

  + c = aX2 +

2b4a –

2b2a + c lμ hμm số chẵn với mọi a, b, c

Vậy, hμm số nhận đường thẳng x = – b

2a lμm trục đối xứng

Ví dụ 6: Cho hμm số (P): y = x2 + 2x

a Khảo sát sự biến thiên vμ vẽ đồ thị hμm số

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x22|x| + m = 0

 = 1

Vậy, đồ thị hμm số lμ một parabol có đỉnh S(1; 1),

nhận đường thẳng x = 1 lμm trục đối xứng vμ hướng bề

lõm xuống dưới

Bảng biến thiên:

Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm trên đồ thị lμ O(0; 0), A(2; 0)

b Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hμm số y = x2 + 2x (phần đường đậm) vμ đường thẳng (d): y = m, ta được:

 Với m > 1, phương trình vô nghiệm

 Với m = 1, phương trình có hai nghiệm x = 1 vμ x = 1

 Với 0 < m < 1, phương trình có bốn nghiệm phân biệt

 Với m = 0, phương trình có ba nghiệm phân biệt

 Với m < 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 7: Tìm m để đồ thị hμm số y = x4 + 4x3 + mx2có trục đối xứng song

song với Oy

 Giải

Giả sử đồ thị hμm số có trục đối xứng song song với Oy lμ x = a (a  0)

Khi đó, với phép biến đổi toạ độ:

Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 lμ hμm số chẵn

Ta có:

Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2

= X4 + (4 + 4a)X3 + (6a2 + m + 12a)X2

+ (4a3 + 12a2 + 2ma)X + a4 + ma2 + 3a3 (1) Hμm số (1) chẵn

Vậy, với m = 4 hμm số nhận đường thẳng x = –1 lμm trục đối xứng

B

x  3m 2

B

x + 3(m21)xB + 1m2, (2) thuộc đồ thị hμm số

Hai điểm A vμ B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ

ch-ơng 2  ph-ơng trình, hệ ph-ơng trình

A Kiến thức cần nhớ

I đại c-ơng về ph-ơng trình

1 khái niệm ph-ơng trình một ẩn

Định nghĩa: Cho hai biểu thức f(x) vμ g(x) của cùng biến số x

1 Mệnh đề chứa biến x dạng f(x) = g(x) được gọi lμ phương trình một ẩn; x gọi

lμ ẩn số (hay ẩn) của phương trình

2 Ngoμi các điều kiện để hai biểu thức f(x) vμ g(x) có nghĩa, đôi khi x còn phải thoả mãn thêm những điều kiện khác nữa Ta gọi chung các điều kiện ấy lμ

điều kiện xác định của phương trình f(x) = g(x)

3 Số x0 gọi lμ nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu nó thoả mãn ĐKXĐ của phương trình vμ mệnh đề f(x0) = g(x0) lμ đúng

4 Việc tìm tất cả các nghiệm của phương trình gọi lμ giải phương trình Nói cách khác, giải một phương trình lμ tìm tập nghiệm của phương trình đó

 Chú ý:

1 Hệ thức x = m (với m lμ một số nμo đó) cũng lμ một phương trình Phương trình nμy chỉ rõ rằng m lμ nghiệm duy nhất của nó

2 Ta thường kí hiệu tập nghiệm của phương trình lμ T Phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, , nhưng cũng có thể không có nghiệm nμo (tức lμ T = ) thì

ta gọi lμ vô nghiệm, phương trình có T =  thì gọi lμ nghiệm đúng với mọi x

3 Nhiều trường hợp, ta không thể tính được giá trị chính xác của nghiệm, hoặc bμi toán chỉ yêu cầu tính giá trị gần đúng của nghiệm (với độ chính xác cho trước) Giá trị đó gọi lμ nghiệm gần đúng của phương trình

2 Ph-ơng trình t-ơng đ-ơng

Định nghĩa: Hai phương trình f1(x) = g1(x) vμ f2(x) = g2(x) có cùng một tập nghiệm lμ

hai phương trình tương đương Khi đó, ta viết:

f1(x) = g1(x)f2(x) = g2(x)

 Chú ý: Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng điều kiện xác định D vμ

tương đương với nhau, ta nói:

"Hai phương trình tương đương trong điều kiện D"

hoặc "Với điều kiện D, hai phương trình lμ tương đương với nhau"

Định nghĩa (Phép biến đổi tương đương): Các phép biến đổi không lμm thay đổi tập

nghiệm của phương trình được gọi lμ các phép biến đổi tương đương Phép biến đổi tương đương biến một phương trình thμnh phương trình tương đương với nó

Định lí 1: Cho phương trình f(x) = g(x) với ĐKXĐ D, h(x) lμ một biểu thức xác định

với mọi x thoả mãn điều kiện D (h(x) có thể lμ hằng số) Khi đó, với điều kiện D, phương trình f(x) = g(x) tương đương với mỗi phương trình sau:

Định nghĩa: Cho phương trình f1(x) = g1(x) có tập nghiệm T1 Phương trình f2(x) = g2(x) có

tập nghiệm T2 được gọi lμ hệ quả của phương trình f1(x) = g1(x) nếu T1

 T2

Định lí 2: Khi bình phương hai vế của phương trình, ta được phương trình hệ quả của

phương trình đã cho:

f(x) = g(x)  f2(x) = g2(x)

 Chú ý: 1 Nếu hai vế của một phương trình luôn cúng dấu với mọi x thoả mãn

ĐKXĐ của phương trình thì khi bình phương hai vế của nó, ta được phương trình tương đương

2 Nếu phép biến đổi một phương trình dẫn đến phương trình hệ quả thì sau khi tìm được nghiệm của phương trình hệ quả, ta phải thử lại vμo phương trình đã cho để phát hiện vμ loại nghiệm ngoại lai

4 Ph-ơng trình nhiều ẩn

Định nghĩa: Cho hai biểu thức f(x, y, ) vμ g(x, z, )

1 Mệnh đề chứa các biến dạng f(x, y, ) = g(x, z, ) được gọi lμ phương trình nhiều ẩn ẩn; x, y, z, gọi lμ các ẩn số của phương trình

2 Các số x = x0, y = y0, z = z0, thoả mãn ĐKXĐ của phương trình vμ mệnh đề f(x0, y0, ) = g(x0, z0, ) lμ đúng thì bộ (x0, y0, z0, ) được gọi lμ một nghiệm của phương trình

II ph-ơng trình bậc nhất và bậc hai một ẩn