Khảo sát hiệu quả của tấm phẳng điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu bằng phương pháp số

Trước sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử cũng như ngành tin học, việc ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trở nên phổ biến

iv

TÓM T T

Dầm chính cầu dây văng dễ bị dao động do gió, như xoáy hoặc rung xoắn Đặc biệt hiện nay các cầu dây văng được thiết kế ngày càng dài hơn và nhẹ hơn thì mức độ ảnh hưởng càng trở nên nghiêm trọng Tấm phẳng đã được

sử dụng rộng rãi như các thiết bị giảm xóc khí động học Việc lắp đặt tấm phẳng lên dầm chính của cầu dây văng, nhằm mục đính ngăn chặn sự kích thích xoáy và rung xoắn

Trong nghiên cứu này, tác giả sử dụng phương pháp biên nhúng để khảo sát hiệu quả của tấm phẳng điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu Kết quả cho thấy tấm phẳng có tác dụng ổn định khí động học rất tốt tới cầu dây văng

v

ABSTRACT

The study of the aerodynamic stability of long-span suspension bridge is very important in design state One of control methods is to change the flow over the bridge deck, so that the aerodynamic forces will be changed This study investigates the effectiveness of control surface attached to bridge deck by using the immersed boundary method The results show that the values of the aerodynamic forces are reduced after controlling the control surfaces

vi

MỤC LỤC

TRANG T A

QUY T Đ NH GIAO Đ TÀI

Lụ L CH CÁ NHỂN i

L I CAM ĐOAN ii

C M T iii

TịM T T iv

ABSTRACT v

M C L C vi

Kụ HI U KHOA H C viii

DANH SÁCH CÁC B NG ix

DANH SÁCH CÁC HÌNH x

Chương 1 TỔNG QUAN 1

1.1 GI I THI U CHUNG 1

1.2 L CH S NGHIểN C U TRONG VÀ NGOÀI N C 2

1.3 PH NG PHÁP BIểN NHÚNG IBM 4

1.4 NHI M V C A LU N VĔN 5

Chương 2 TỔNG QUAN V PH NG PHÁP BIểN NHÚNG 6

Chương 3 PH NG PHÁP BIểN NHÚNG CHO BIểN CỨNG 8

3.1 PH NG TRỊNH Đ NG L NG 8

3.2 PH NG PHÁP S .9

3.2.1 Rời rạc không gian và thời gian 9

3.2.2 Giải vật thể 10

3.2.3 Giải hệ phương trình Navier-stokes 11

3.2.3.1 Sử lý phi tuyến độ nhớt 11

3.2.3.2 Hiệu chỉnh áp suất 12

3.2.3.3 Lưới so le 13

vii

3.2.3.3.1 Đạo hàm xấp xỉ 14

3.2.3.3.2 Điều kiện biên 16

3.2.3.3.3 Phương trình poisson 18

3.3 BIểN C NG 19

Chương 4 C U TRÚC HÀM DIRAC DELTA 21

Chương 5 K T QU TệNH TOÁN 26

5.1 S LI U TệNH TOÁN VÀ L P TRỊNH 26

5.2 K T QU TệNH TOÁN VÀ NH N XÉT 28

Chương 6 K T LU N VÀ H NG PHÁT TRI N 42

6.1 K T LU N 42

6.2 H NG PHÁT TRI N 43

TÀI LI U THAM KH O 44

THE 2012 INTERNATIONAL CONFERENCE ON GREEN TECHNOLOGY AND SUSTAINABLE DEVELOPMENT 45

NUMERICALLY STUDY EFFECTIVENESS OF CONTROL SURFACE ON AERODYNAMIC OF BRIDGE DECK BY USING IMMERSED BOUNDARY METHOD 46

INVESTIGATING THE FLOW OVER BRIDGE DECK CONTROLLED BY CONTROL SURFACES BY USING IMMERSED BOUNDAY METHOD 51

viii

KÝ HI U KHOA H C

 X s,t X   s,t ,Y s,t   X k,Y k là hàm vecto được cho bởi tọa độ của các điểm

trên biên Γ(như là một hàm của độ dài cung s và thời gian t) k=0,1,2,…,m-1

 FF x   s,t ,F y s,t  là lực biên (boundary force density)

 U s,t U   s,t ,V s,t   U k,V klà vận tốc của điểm lưới Lagrangian

 f f x   x,t ,f y x,t là lực vật thể được tích hợp vào phương trình Navier-Stokes

 x x,y là tọa độ theo lưới Eulerian

 u x,t u   x,t ,v x,t là vận tốc của lưu chất ( theo 2 chiều x, y)

 (.) xem như là một ký hiệu và được dùng : (.) thay vì

(với grap,div là các hàm được sử dụng trong toán tử laplace)

 L b là chiều dài của đường cong khép kín Γ

 � � − � , = � � − � � y − Y là hàm Dirac Delta

2

2 2

δ x δ δ div

ix

DANH SÁCH CÁC B NG

B ng 5.1: Các hệ số tính toán .27

B ng 5.2: Kí hiệu các hệ số trong biểu đồ 27

B ng 5.3: Kết quả hệ số cản C D 37

B ng 5.4: Kết quả hệ số nâng C L 38

B ng 5.5: Kết quả hệ số moment C M 40

x

DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 1.1: Kích thước tiết diện cầu 2

Hình 1.2: Kích thước và vị trí tấm phẳng lắp đặt lên tiết diện cầu 3

Hình 1.3: nh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu không có tấm phẳng 3

Hình 1.4: nh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu có lắp đặt tấm phẳng 3

Hình 2.1: Biểu diễn lưới chứa vật thể biên nhúng 6

Hình 3.1: a) Biểu đồ lưu chất – hệ thống biên nhúng b) Rời rạc Eulerian (chấm sáng) và lưới Lagrangian (chấm đen) 10

Hình 3.2: Lưới so le 13

Hình 4.1: Rời rạc hàm Dirac delta 25

Hình 5.1: Kích thước tính toán tiết diện cầu không có tấm phẳng 26

Hình 5.2: Kích thước tính toán tiết diện cầu lắp đặt tấm phẳng với góc θ=300 26

Hình 5.3: Dòng chảy qua tiết diện cầu tại góc tới α là 00 28

Hình 5.4: Dòng chảy qua tiết diện cầu tại thời gian t = 6.6s 31

Hình 5.5: Áp suất cho cầu không có tấm phẳng với góc tới α = 00 33

Hình 5.6: Áp suất cho cầu lắp đặt tấm phẳng θ=300với góc tới α = 00 33

Hình 5.7: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số cản và góc tới α 37

Hình 5.8: Biểu đồ giữa hệ số nâng và góc tới α 39

Hình 5.9: Biểu đồ quan hệ giữa hệ số moment và góc tới α 40

Trước sự phát triển vượt bậc của máy tính điện tử cũng như ngành tin học, việc ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng vượt trội của nó (giải quyết nhanh và cho kết quả chính xác) Vì vậy nhiều phương pháp tính số đã và đang phát triển mạnh mẽ và trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu được khi giải quyết các bài toán khoa học – kỹ thuật (phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp phần tử biên, các phương pháp không lưới, thể tích hữu hạn )

Trong lĩnh vực tính toán động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamics-CFD) hay tương tác giữa lưu chất và kết cấu (Fluid-Structure Interaction-FSI) đã có sự tiến bộ đáng kể về phương pháp tính toán chính xác và hiệu quả đối với những hình dạng phức tạp bất kỳ hay biên di chuyển Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary Methods - IBMs) gần đây đã được đưa ra để áp dụng đối với những dạng hình học phức tạp hay biên di chuyển trong khi yêu cầu tính toán ít hơn

2

so với các phương pháp khác mà vẫn đảm bảo được sự chính xác Những ưu điểm chính của IBMs là tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên di chuyển

IBMs lần đầu tiên được giới thiệu bởi Peskin (1972) ng dụng của IBMs là tập trung chủ yếu vào dòng chảy với sự di chuyển của các biên và mô phỏng dòng chảy xung quanh những vật thể có dạng hình học phức tạp

Trong nghiên cứu này tác giả sử dụng phương pháp số là phương pháp biên nhúng (IBM) để khảo sát hiệu quả của tấm phẳng, điều khiển dòng chảy qua tiết diện cầu Tính toán và lập trình với sự hỗ trợ của phần mềm matlab

1.2 L CH S NGHIểN CỨU TRONG VÀ NGOÀI N C

nh hưởng của tấm phẳng đến sự ổn định khí động học của cầu dây văng được thí nghiệm bởi 3 nhà khoa học người Nhật: Shinichi MIYACHI, Masahiro YONEDA và Katsuya EDAMOTO

Mặt cắt ngang của mô hình cầu sử dụng để thí nghiệm trong hầm gió được thể hiện trong hình 1.1

Hình 1.1: Kích thước tiết diện cầu

Chiều rộng của tấm phẳng lắp đặt ở mặt bên của mô hình là b = 20 mm Thí nghiệm được thực hiện bằng cách thay đổi góc θ như trong hình 1.2 với góc θ = 300

và góc θ = 450

3

Hình 1.2: Kích thước và vị trí tấm phẳng lắp đặt lên tiết diện cầu

Thí nghiệm mô phỏng dùng một luồng khói được thổi liên tục với tốc độ gió

là u = 5 m/s Kết quả thử nghiệm trên hai mô hình cầu không có tấm phẳng hình 1.3

và cầu có lắp đặt tấm phẳng hình 1.4 với góc thổi là α = + 30

Hình 1.3: nh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu không có tấm phẳng

Hình 1.4: nh chụp luồng khói thổi qua tiết diện cầu có lắp đặt tấm phẳng

Sau khi tiến hành thí nghiệm với hai loại trên, ba nhà khoa học người nhật đã đưa ra một số kết luận chính như sau

Theo đó cần phải tìm ra một phương pháp mà việc chia lưới là đơn giản hơn để phân tích một cách có hiệu quả cho việc tính toán, và hiện nay nhiều nước và nhiều nhà khoa học trên thế giới đang nghiên cứu một phương pháp mà việc chia lưới rất

là đơn giản bằng cách chia lưới trực tiếp trên các ô vuông của lưới Cartesian Phương pháp đó có tên là “Phương pháp nhúng biên ” (Immersed Boundary Method)

Phương pháp Immersed Boundary (IB) lần đầu tiên được sử dụng và phát triển bởi Peskin (1972) để nghiên cứu lưu lượng máu quanh van tim Đặc trưng phân biệt của phương pháp này là toàn bộ việc mô phỏng được tiến hành trực tiếp trên lưới Cartesian, mà không phụ thuộc vào hình dạng của vật thể Từ khi Peskin giới thiệu phương pháp này, thì nhiều phương thức tiếp cận về phương pháp này được đưa ra nghiên cứu và phát triển không ngừng Có khá nhiều phương thức khác nhau sử phương pháp lưới Cartesian, mà phát triển ban đầu là việc mô phỏng dòng chảy

5

không nhớt trên lưới Cartesian khi được nhúng vào một vật thể có hình dạng phức tạp (Berger & Aftosmis 1998, Clarkeet 1986, Zeeuw & Powell 1991) Các phương pháp này sau đó đã được mở rộng để mô phỏng dòng chảy nhớt tỉnh (Udaykumar

1996, Ye 1999) Về sau các ứng dụng của phương pháp này liên quan đến các bài toán chất lỏng tương tác chất lỏng hoặc chất lỏng tương tác với khí đã được phát triển bởi Andersone(1998) và Scardovelli & Zaleski (1999) Đối với phương pháp

IB thì các công trình nghiên cứu trong nước vẫn chưa lớn mạnh và còn mang tính khởi đầu

IBM đã được pháp triển từ 1972 nên đã và đang có rất nhiều công trình nghiên cứu và bài báo về chúng Trong nghiên cứu này tác giả dựa trực tiếp vào các bài báo khoa học quốc tế và một số tài liệu đã có về IBM để tìm hiểu và phát triển

Sau khi nghiên cứu lý thuyết, tác giả sử dụng sự trợ giúp của phần mềm Matlab

để tính toán và lập trình

1.4 NHI M VỤ CỦA LU N VĂN

Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn:

- Vận dụng phương pháp biên nhúng để tính toán, mô phỏng động học tương tác giữa lưu chất và tiết diện cầu Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab tính toán và lập trình

- Tính lực nâng, lực cản, moment, áp suất, và mô phỏng dòng chảy qua tiết diện cầu

- Xác định mức độ hiệu quả ổn định khí động học của tấm phẳng đối với tiết diện cầu

- Xác định vị trí lắp đặt tấm phẳng cho hiệu quả ổn định khí động học tốt nhất

- Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả thực hiện Nêu lên các vấn

đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của đề tài

Phương pháp biên nhúng là phương pháp trong tính toán động lực học chất lỏng

Mô hình và mô phỏng hệ thống trong đó các cấu trúc đàn hồi (hoặc màng) tương tác với dòng chảy chất lỏng Xử lý biên đàn hồi thay đổi dòng chảy của chất lỏng và đồng thời chất lỏng di chuyển làm biên đàn hồi biến dạng cấu trúc và dòng chảy chất lỏng, gây ra một số vấn đề thách thức đối với mô phỏng số Phương pháp biên nhúng được thể hiện trong hệ lưới Euler kết hợp với các cấu trúc trong hệ lưới Largange

Hình 2.1: Biểu diễn lưới chứa vật thể biên nhúng Phương pháp biên nhúng là xây dựng một bài toán và phương pháp giải quyết các vấn đề động lực học lưu chất Trong phương pháp này, các phương trình động lực học chất lỏng được sử dụng, để mô tả không chỉ chất lỏng mà còn phần tử đàn hồi nhúng mà nó tương tác Các phương trình chất lỏng được giải quyết trên một mạng lưới cố định Euler và các lực đàn hồi được tính toán từ một đại diện Larange của vật thể đàn hồi nhúng Vật thể di chuyển tự do thông qua các hệ thống lưới Hai thành phần Euler/Largange được liên kết bởi một hàm Dirac delta Chức năng của hàm này được sử dụng để áp dụng các lực đàn hồi chất lỏng và nội suy vận tốc chất lỏng ở các điểm đại diện của vật thể đàn hồi

7

Phương pháp IMB kết hợp cả công thức toán học và một chương trình số Việc xây dựng toán học sử dụng một hỗn hợp của các biến Euler và Largange, có liên quan bởi các phương trình tương tác Trong đó các chức năng của hàm Dirac Delta đóng một vai trò nổi bật

Lợi thế lớn của phương pháp này khi so sánh với các phương pháp số khác là để

mô phỏng một vật thể nhúng cố định hoặc di chuyển, với bất kỳ hình dạng hình học,

sử dụng một mạng lưới Cartesian cố định (Euler lưới)

u điểm của phương pháp IBM:

 Sử dụng phương pháp chia lưới giống như phương pháp sai phân hữu hạn

là chia lưới trên toàn miền Chia lưới trên toàn miền có lợi hơn các phương pháp khác là có thể chia lưới cho các vật có cấu trúc phức tạp

 Tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên

di chuyển

đường cong  với chiều dài s và thời gian t Biên nhúng được cho bởi một lực đơn

Lực này được kết hợp lại thành lực vật thể f trong hệ phương trình Navier-Stokes

Khi đó hệ phương trình Navier-Stokes được giải để xác định vận tốc dòng chảy của miền lưu chất  Khi đó biên nhúng tương tác với dòng lưu chất, vận tốc của nó phải phù hợp với điều kiện biên không trượt Phương trình động lượng của hệ thống được xác định như sau:

u

+Δ

=

∇+.∇

+

∂

∂

μ p ρ

x x u X

u U

X

d t s t

t t s t

s t

t

s

,,

,,,

Phương trình (3.3) và (3.4) biểu diễn tương tác giữa biên nhúng và lưu chất Trong phương trình (3.3) lực vật thể được áp dụng cho lưu chất giống như biên nhúng Phương trình (3.4) thì biên nhúng được xác định bởi vận tốc miền lưu chất

Hai tính chất then chốt mà chúng ta cần áp đặt là xX s,t  (chương 4)

x X

3.2.1 Rời r c không gian vƠ thời gian

Phương pháp biên nhúng kết hợp Eulerian-Lagrangian bằng phương pháp sai phân hữu hạn tính toán cho tương tác giữa lưu chất và biên nhúng Một ví dụ thiết lập 2D với một biên nhúng là một đường cong khép kín được biểu diễn trong hình

3.1b Hai vấn đề của lưới tính toán: Một ô trung tâm lưới Đề Các cho biến Eulerian, và một tập hợp các điểm nút cho biến Lagrangian

10

Cho miền lưu chất f [0,l x][0,l y] và N xN y

Lưới Eulerian với hh x h y là khoảng cách lưới, và h x h y l x/N x l y /N y Với

uij biểu thị giá trị biến u tại điểm thứ (i,j) Chúng ta thiết lập N b điểm lưới Lagrangian (Biên nhúng được chia thành sL b/N b) Với Fk là giá trị của biến F

tại điểm lưới thứ k Vị trí của điểm lưới thứ k Lagrangian là giá trị X k Chúng ta sử dụng biến phía trên để biểu diễn biến tại các bước thời gian; Như vậy

n x u x, 

u và Xn s Xs,nt

Hình 3.1: a) Biểu đồ lưu chất – hệ thống biên nhúng b)Rời rạc Eulerian (chấm

sáng) và lưới Lagrangian (chấm đen)

j h n

x h

Với  là hàm liên tục được xây dựng trong chương 4 như sau:

11

 















































r

r r

r r

r r

r r

r

2 ,

0

2 1

, 4 12 7 2

5

8

1

1 0

, 4 4 1 2 3

8

1

2

2

Hệ phương trình Navier–Stokes với các giới hạn lực khi đó được giải để tìm áp suất 1

,



n

j

p và trường vận tốc 1

,



n j

u tại điểm lưới Đề Các sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn trong hệ thống lưới so le [3] Trường vận tốc được nội suy để tìm ra vận tốc tại điểm điều khiển



j

n k j h n j n

k n

d

,

2 1 ,

1 , 1

3.2.3 Gi i h phương trình Navier-stokes

Xét phương trình Navier-Stokes cho bài toán không nén được trong không gian hai

chiều (hệ phương trình (3.1)-(3.2)) là



































0

u

f u u

u































































































































































0

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

y

v

x

u

f y

v x

v y

v x

uv y

p t

v

f y

u x

u y

uv x

u x

p t

u

y

x













(2.13)

Chúng ta tìm lời giải tại  st

n1 bước thời gian bằng ba cách tiếp cận sau:

3.2.3.1 X lý phi tuy n đ nh t

Các điều kiện phi tuyến về độ nhớt được xử lý như sau:

n n

n n

n n n

p t

u u u

Áp suất được ký hiệu là n 1

p , phương trình trên được viết lại như sau:

p t

p t

Đây là phương trình Poisson cho áp suất n 1

p tại thời gian  st

Khi giải phương trình Navier-Stokes, miền lưu chất  f thường dùng lưới so le Đối

với lưới này thì áp suất p có vị trí giữa ô Vận tốc theo phương ngang u tại trung điểm cạnh thẳng đứng của ô Vận tốc theo phương thẳng đứng v tại trung điểm cạnh

nằm ngang của ô

Xét n x  ô lưới, khi nói đến trường áp suất p, vận tốc u và v thì phải xét đến n y

những điểm bên trong và biên của ô lưới Bất cứ điểm nào nằm bên trong miền chính là những điểm bên trong, trong khi những điểm bên trên hoặc bên ngoài biên

là những điểm biên Như trong hình 3.2 chấm đen là điểm trung tâm, trong khi chấm sáng là điểm biên

Hình 3.2: Lưới so le

, 1 ,

, 1 ,

2

2 2

2

,

22

h

u u u

h

u u u

y

u x

u

u i j j i j j j i j

j j

, 1 , ,

1 ,

2

2 2

2

,

22

h

v v v

h

v v v

y

v x

v

j j

x

u i j i j

, 1 , 1 ,

h

u u

 Thành phần phi tuyến (sai phân trung tâm)

Thành phần phi tuyến là một khoảng không gian nhất định, nơi mà sự rời rạc trên

lưới so le không làm việc trực tiếp Chẳng hạn như thành phần uv thì không được xác định trực tiếp khi mà u và v nằm ở hai vị trí khác nhau Việc giải quyết là làm cho các đối số lùi về một bước, để cập nhật u, chúng ta cần  /u2 x và  /uv y Nếu mà dòng chảy trên mỗi bước thời gian là so sánh chậm, chúng ta sử dụng rời rạc trung tâm lưới so le giống như trước đó Nó yêu cầu 2

u phải được xác định tại

trung tâm của ô, và uv phải được xác định tại các góc của ô

u u

 

2

1 , ,

 

2

, 1 ,

v   

Tương tự cho các thành phần v Tất cả những gì chúng ta cần làm là nạp một giữ liệu mới giữa trung bình hai điểm Sử dụng gạch ngang bên trên với mũ x chỉ dẫn số

lượng giá trị trung bình theo phương ngang, và sử dụng gạch ngang bên trên với mũ

ychỉ dẫn số lượng giá trị trung bình theo phương thẳng đứng Chúng ta có thể viết lại cho các thành phần phi tuyến như sau:

 

y

v u x

u t

v u

2

2

, 1 , 2

1 , ,

1 ,

2

1

,

, , 1 , 2 1 ,

, 1 ,

2

1

j j

j y j

j j

y

j j i j i x j

j i

j

i

x

v v

v u

u

u

v v

v u

 Thành phần phi tuyến (sai phân tiến)

Khi một vấn đề đối lưu khuếch tán với một thành phần đối lưu cưỡng bức được rời rạc sử dụng phương pháp sai phân trung tâm, vấn đề ổn định được đặt ra khi khoảng

cách lưới h là quá thô Thì kết quả của phương pháp số sẽ có sai số so với kết quả

giải tích Phương pháp sai phân trung tâm là phù hợp nếu số lượng chuyển đổi không quá lớn cho mỗi bước thời gian Đối với những dòng chảy nhanh hoặc bước thời gian lớn thì rời rạc sẽ gần hơn so với việc áp dụng sai phân tiến Sự chuyển đổi

Giá trị của γ là một thành phần lớn nhất của các ô lưới, làm cho vận tốc có thể dịch

chuyển trong mỗi bước thời gian, được nhân với 1.2, và mũ 1 Hệ số 1.2 được lấy từ nhiều lần thử nghiệm cho sự chính xác của phương pháp sai phân tiến [3]

Tổ hợp tuyến tính giữa sai phân trung tâm và sai phân tiến được thực hiện đầy đủ theo các bước sau:

2

~ 2

~

2

~ 2

~

, 1 , 2

1 , ,

1 ,

2

1

,

, , 1 ,

2 1 ,

, 1 ,

2

1

j j

j y j

j j

y

j j i j i x j

j i

j

i

x

v v

v u

u

u

v v

v u

u x

u u u

x

v u v

Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng điều này sẽ trở thành sai phân trung tâm cho γ=0

và bảo toàn cho sai phân tiến cho γ =1

3.2.3.3.2 Đi u ki n biên

Áp dụng điều kiện biên một cách chính xác đòi hỏi phải hết sức tỉ mỉ Từ một vài điểm nằm trên một biên của lưới so le trong khi các điểm khác thì biên nằm giữa chúng Tại những điểm nằm trên biên thì giá trị của nó được xác định trực tiếp, Như

u nằm tại biên phía tây và đông, và v tại phía bắc và nam của biên Chúng ta phải

xác định một giá trị giữa hai điểm là giá trị trung bình của hai điểm đó Biên phía

17

bắc nằm giữa những điểm với vận tốc u Cho hai điểm u,j và u,j1, và quy định giá trị trên biên là u N Khi đó điều kiện biên là:

NORTH j

i j NORTH

j

j

u u

u u

i SOUTH i

i

u u

u u

i j i EAST j

i

j

v v

v u

j WEST

j

j

v v

v u

,

, ,

,





SOUTH NORTH

EAST

WEST

SOUTH NORTH

 Điều kiện trượt tự do

Trong điều kiện biên trượt tự do, thành phần vận tốc pháp tuyến với biên sẽ bị triệt tiêu cùng với đạo hàm pháp tuyến của thành phần vận tốc tiếp tuyến với biên:

i SOUTH

NORTH

j NORTH

j i EAST EAST

v

u u

v v

u v

v

u

 Điều kiện dòng chảy ra

Trong điều kiện biên của dòng chảy ra, đạo hàm pháp tuyến của hai thành phần vận tốc được cho bằng không tại biên:

0 , 1

,

1 , ,

1

, 1 ,

0

,

0

i SOUTH

i SOUTH

j NORTH

j NORTH

j i EAST

j i EAST

u u

v v

u u

v v

u u

 Điều kiện dòng chảy vào

11

a

a

h

Sự lựa chọn của tham số a11cho phép ba loại điều kiện biên

Điều kiện biên Dirichlet (a112):

1

2

0 0 2

2 1

2

1 1

1 2

2 1 0

2

h

g f h

u u

h

g f h

u u

f h

g u u

f h

u u g g

u

g

u

N N N

N N

N N

N N

N N

N N

N N

N

N

f h

u u u

f h

u u u hg

u u

hg u

u

g h

u u

g h

u u

1 2

2 1 0

1 1

1 2

0 1

1

1 0 2 1

1

2

22

2

22

u

h

g f h

u

u

N N N N

B A

B A

B A

B A,

Kronecker 2,1 2,2

2,11

,1

I K Kronecker K

, I Kronecker

L L y x

,

2

2 2 2

s p

t u u u F , x X ,

t t s t

s t

t

s

,,

,,,

Khi biên nhúng cứng, vấn đề chính là xây dựng một quy luật (Ví dụ định luật Hooke cho lò xo) và không đặt trong một giới hạn cứng nhắc Điều đó có nghĩa là biến dạng nhỏ của một biên rất cứng Để giải quyết vấn đề này, chúng ta giả sử vật thể đàn hồi nhưng rất cứng Thành phần lực trong phương trình (3.47) chắc chắn rằng những điểm ở biên sẽ ở gần bề mặt vật thể theo định luật Hooke cho lò xo

 s t X s t Xe s 

F ,  ,  or F s,t Xe   s X s,t  (3.50) Với là độ cứng của lò xo, Xe s là vị trí ban đầu, và X s,t là những điểm trên biên nhúng sau khi tương tác với chất lỏng Khi áp đặt điều kiện biên nhúng trên

biên cứng thì giá trị của κ phải được chọn rất lớn Khi đó dịnh chuyển của biên coi

x h

j

j r j

j r j

r

j r j j

r

r

j r j

r r

r

r r

r r r

r r

r

r r

r r

2 2

2 2

11

2

011

11

22

odd 2/111

even 2/12

14

1161

10

1

4/111

2/10

10

1

011

2/11

2

2 2

2

011

2

2

2/111

2/12

2 2

2 2

r r

r r

r r

r

r r

r r