Phân tích mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM

Luận văn này trình bày một số kỹ thuật mới phát triển gần đây như làm mịn phương pháp phần tử hữu hạn SFEM [6,7,14], hiệu chỉnh XFEM [31] và áp dụng chúng vào XFEM tiêu chuẩn để có được

M C L C

Quyết định giao đề tài

Lý lịch khoa học i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Tóm tắt v

Danh sách các chữ viết tắt vii

Danh sách các hình x

Danh sách bảng biểu xii

Chương 1: T ng quan 1

1.1 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn và lý do của đề tài 1

1.2 Mục tiêu đề tài 4

1.3 Giới hạn của đề tài và các vấn đề cần giải quyết 4

Chương 2: Cơ sở lý thuy t 6

2.1 Tính toán cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính 6

2.1.1 Hệ số cường độ ứng suất và miền vết nứt trong LEFM 6

2.1.2 Sự phát triển của vết nứt trong chất rắn đàn hồi tuyến tính 9

2.1.3 Phương pháp số dựa trên tích phân J 10

2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 12

2.2.1 Điều chỉnh phương trình 12

2.2.2 Sự phân chia của phần tử đơn vị 14

2.2.3 Phép xấp xỉ phần tử hữu hạn mở rộng 15

2.2.4 Lựa chọn tiêu chuẩn của các nút được làm giàu 19

2.2.5 Phương pháp tập mức 20

2.2.6 Tích phân số 24

2.3 Cải thiện hệ số hội tụ của XFEM 25

2.3.1 XFEM với vùng làm giàu cố định 25

2.3.2 XFEM được hiệu chỉnh cho bài toán pha trộn 26

2.4 Làm mịn Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 29

2.4.1 Giới thiệu tóm tắt về làm mịn phương pháp phần tử hữu hạn 29

2.4.2 Làm mịn Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 31

2.5 Bài toán khảo sát dao động riêng của tấm 33

Chương 3: K t qu s 36

3.1 Khảo sát dao động riêng của tấm hình vuông làm bằng vật liệu thép 36

3.2 Khảo sát dao động riêng của tấm hình chữ nhật làm bằng vật liệu thép 39

3.3 Tấm chữ nhật có vết nứt biên dưới tác dụng của tải kéo 42

Chương 4: K t lu n và đề xuất 48

4.1 Kết luận 48

4.2 Đề xuất và hướng phát triển 49

Tài li u tham kh o 50

Ph l c 54

TÓM T T

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ mạnh mẽ được sử dụng rộng rãi để tính toán và mô phỏng nhiều vấn đề thực tế Nhiều phần mềm được xây dựng dựa trên mã FEM để đáp ứng mục tiêu này, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thuật

FEM thực sự hiệu quả khi áp dụng cho các vấn đề làm mịn Nhưng đối với vấn đề không mịn, như cơ học phá hủy thì có nhiều hạn chế và khó khăn Đối với vấn đề phát triển vết nứt bắt buộc phải chia lại lưới và làm mịn lưới hơn ở vùng lân cận đỉnh vết nứt Nhưng điều này cũng làm cho chi phí tính toán tăng lên

Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) của T Belytschko đề xuất vào năm 1999 được coi là cách xử lý đặc biệt cho các vấn đề về vết nứt Sau hơn mười năm phát triển, nhiều phương pháp đã được thực hiện để cải thiện XFEM tiêu chuẩn Tập trung vào một số vấn đề chính như vấn đề pha trộn, độ hội tụ trong XFEM và làm giàu đỉnh vết nứt

Luận văn này trình bày một số kỹ thuật mới phát triển gần đây như làm mịn phương pháp phần tử hữu hạn (SFEM) [6,7,14], hiệu chỉnh XFEM [31] và áp dụng chúng vào XFEM tiêu chuẩn để có được giải pháp tốt hơn Luận văn sẽ nghiên cứu các trường hợp vết nứt tĩnh và sự tăng trưởng vết nứt trong khuôn khổ Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (LEFM)

SUMMARY

Finite Element Method (FEM) is powerful tools that have been widely used

to compute and simulate many practical problems Many softwares were built based

on FEM code to serve this aim, especially in engineering area

FEM is really effective when applying for smooth problems But for smooth problem, such as Fracture mechanics, it revealed many drawbacks and difficulties For crack growth problems, remeshing and finer mesh at crack tip vicinity domain are required This has a huge impact on computational cost

non-The extended finite element method (XFEM) proposed by T Belytschko in

1999 is regarded as a special cure to crack problems After more than ten years of development, many strategies and procedures have been implemented to improve the standard XFEM They concentrated on some main problems such as blending problem, integration in XFEM and crack tip enrichment

This thesis presents some new techniques developed recently such as Smoothed Finite Element Method (SFEM) [6,7,14], corrected XFEM [31] and applies them to standard XFEM to get better solutions The thesis will study the case of static crack and growing crack in Linear Elastic Fracture Mechanics (LEFM) framework

d/dt Đạo hàm theo thời gian

D Ma trận mô đun vật liệu

E Mô đun đàn hồi Young

E ij Ma trận hệ chống cắt theo phương ngang

FEM Phương pháp phần tử hữu hạn

LEFM Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính

DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 2.1: Các kiểu vết nứt cơ bản 6

Hình 2.2: Hệ tọa độ cực kết hợp với đỉnh vết nứt 9

Hình 2.3: Đường biên và miền xác định tại đỉnh vết nứt 12

Hình 2.4: Khối có vết nứt 13

Hình 2.5: Sự lựa chọn các nút làm giàu cho vấn đề vết nứt 2D 16

Hình 2.6: Hệ tọa độ cho hàm làm giàu đỉnh vết nứt 17

Hình 2.7: Các loại phần tử trong XFEM tiêu chuẩn 19

Hình 2.8: Tiêu chuẩn vùng cho lựa chọn nút làm giàu H(x) 20

Hình 2.9: Định nghĩa hàm tập mức 21

Hình 2.10: Hàm tập mức cho đại diện vết nứt 2D 22

Hình 2.11: Lựa chọn nút làm giàu bởi tập mức nút 23

Hình 2.12: Lựa chọn nút làm giàu bởi tập mức nút – phương pháp đã hiệu chỉnh 23

Hình 2.13: Việc phân chia thành các tam giác con cho tích phân 24

Hình 2.14: Sự chuyển đổi của các điểm Gauss từ tam giác con đến phần tử quy chiếu 25

Hình 2.15: Làm giàu cho vùng cố định xung quanh vết nứt 26

Hình 2.16: Các tập hợp con điểm nút I * và J *với định nghĩa của sự mô phỏng và các phần tử pha trộn dựa trên I * 28

Hình 2.17: Sự lựa chọn của tập hợp con điểm nút I* 29

Hình 2.18: Trường hợp đơn giản của việc kết hợp kỹ thuật ES-XFEM trong XFEM 32

Hình 2.19: Mô hình tính toán tấm 33

Hình 3.1: Hình ảnh tấm vật liệu thép được khảo sát 36

Hình 3.2: Hình vẽ 3 Mode đầu tiên của tấm hình vuông 39

Hình 3.3: Hình vẽ 3 Mode đầu tiên của tấm hình chữ nhật 41

Hình 3.4: Hình dạng và tải của vấn đề về vết nứt cạnh 42

Hình 3.5: Các điểm Gauss được phân bố trong các phân tử 43

Hình 3.6: Sơ đồ chuẩn hóa K I và bán kính tích phân J R d 44

Hình 3.7: Bán kính tích phân J R d cho sự tính toán SIF 44

Hình 3.8: Hình biến dạng và đường biên chuyển vị 45

Hình 3.9: Tốc độ hội tụ năng lượng biến dạng 46

Hình 3.10: So sánh sai số của cường độ ứng suất thu được từ bốn phương pháp 47

DANH SÁCH CÁC B NG

B ng 3.1: Tần số dao động riêng của tấm hình vuông 37

B ng 3 2: Tần số dao động riêng của tấm hình chữ nhật 39

B ng 3.3: So sánh các giá trị của hệ số cường độ ứng suất KI 46

Chương 1

T NG QUAN

1.1 ụ nghĩa khoa học, thực ti n và lý do của đề tài:

Sự phát triển ngày càng cao của khoa học và công nghệ luôn mang lại nhiều hiệu quả thiết thực trong nhiều lĩnh vực đời sống, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thuật nói chung và cơ học nói riêng Công nghệ chế tạo phát triển cho ra đời ngày càng nhiều những vật liệu mới đáp ứng tốt nhu cầu làm việc, nâng cao tuổi thọ và tính kinh tế cho các chi tiết

Tuy nhiên việc xuất hiện các khuyết tật ở chi tiết (các bọng khí, các vết nứt vi mô…) trong quá trình chế tạo là rất khó tránh khỏi Những khuyết tật này ảnh hưởng rất lớn đến khả năng làm việc và tuổi thọ của chi tiết, đặc biệt là trong khoảng thời gian dài dưới tải trọng dao động thay đổi bất kỳ

Trong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu nhằm tìm ra phương pháp để giải quyết một cách chính xác các vấn đề về rạn nứt

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một trong các công cụ số mạnh mẽ nhất được sử dụng rộng rãi để tính toán, nghiên cứu về kỹ thuật và các vấn đề vật

lý Một trong những ứng dụng quan trọng của FEM là phân tích sự lan truyền vết nứt FEM là một trong những phương pháp số đầu tiên được áp dụng để giải quyết các vấn đề về phá hủy ng dụng FEM vào cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (LEFM) và phần mở rộng của nó là cơ học phá hủy trong vật liệu biến dạng dẻo đàn hồi (EPFM) đã mở rộng đến gần như tất cả các vấn đề về vết nứt Tuy nhiên, cũng

có những thiếu sót mà chúng ta cần phải đề cập đến Đối với các vấn đề vết nứt không mịn, xây dựng lưới thích hợp rất quan trọng cho sự thành công của phép gần đúng: phần tử biên liên kết với một điểm gián đoạn và sự sàng lọc lưới là giải pháp được dự kiến sẽ có các điểm kì dị hay độ chênh lệch lớn Đối với sự lan truyền vết nứt, việc duy trì lưới chính xác rất khó khăn hay thậm chí là không thể

Một phương pháp mới dựa trên ý tưởng nền tảng của sự phân vùng phần tử duy nhất đã được giới thiệu vào năm 1999 và đã trở thành một phương pháp xử lý mạnh mẽ cho các vấn đề gián đoạn Nó chính là phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM)

Những nỗ lực đầu tiên để phát triển phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng được bắt nguồn từ công việc của Belytschko và Black (1999) khi họ trình bày phương pháp phần tử hữu hạn chia lại lưới tối thiểu cho sự phát triển vết nứt Họ đã

bổ sung chức năng làm giàu gián đoạn vào tiệm cận của phần tử hữu hạn để giải thích cho sự hiện diện của vết nứt Việc chia lại lưới chỉ cần thiết cho các vết nứt bị uốn cong Sau đó, Moes [20] đã cải tiến phương pháp này và gọi nó là phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM)

Một bước tiến quan trọng đã đạt được bởi Dolbow với các giải pháp của tấm đàn hồi hai chiều (2D) và tấm Mindlin-Reissner sử dụng cả hai hàm bước nhảy và trường tiệm cận gần đỉnh vết nứt sử dụng XFEM, giải pháp này trình bày về kỹ thuật của mô hình gián đoạn bất kì trong kết cấu của phần tử hữu hạn bằng cách làm giàu cục bộ một chuyển vị cơ bản thông qua phân vùng của phương pháp đơn vị Sau đó Sukumar đã mở rộng XFEM cho mô hình vết nứt ba chiều (3D) và giải quyết các vấn đề hình học liên kết với các đại diện của vết nứt và sự làm giàu của phần tử hữu hạn tiệm cận

Phương pháp điều chỉnh mức độ được sử dụng đại diện cho vị trí của vết nứt, bao gồm cả các vị trí của các đỉnh vết nứt Stolarska [29] đã giới thiệu cách sử dụng phương pháp điều chỉnh mức độ kết hợp với XFEM vào mô hình phát triển vết nứt Belytschko (2001) đã xây dựng đường tiệm cận không liên tục trong điều kiện đánh dấu hàm khoảng cách, vì vậy điều chỉnh mức độ được sử dụng để cập nhật vị trí của

sự gián đoạn

Sukumar và Prevost (2003) đã mở rộng phương pháp mô hình gián đoạn mạnh

và yếu Đầu tiên thảo luận về cách thức xây dựng các yếu tố pha trộn bởi Chessa [11] Sukumar đã phát triển kỹ thuật số mô phỏng sự phát triển vết nứt mỏi trên mặt phẳng ba chiều (3D) vào năm 2003 Béchet (2005) đã đề xuất chương trình làm giàu

hình học, trong đó kích thước miền được làm giàu ngay cả khi các phần tử không tiếp xúc với mặt ngoài của vết nứt

Độ chính xác, ổn định và hội tụ cũng được nghiên cứu bởi Laborde (2005) Ventura [33] đã chỉ ra các phương pháp để tính toán chính xác quy tắc tiêu chuẩn phép cầu phương Gauss trong các phần tử chứa có sự gián đoạn mà không tách rời phần tử thành các ô nhỏ hay thêm vào bất kỳ tiệm cận bổ sung nào

XFEM với sự làm giàu nội tại cũng được giới thiệu bởi Fries và Belytschko [32], phương pháp này đã được phát triển để xử lí các chức năng gián đoạn bất kỳ trong phần tử hữu hạn, không bổ sung ẩn số đã đưa ra tại các nút có điểm tựa mà đã vượt qua bởi sự gián đoạn và nó là phương pháp mà trong đó bài toán pha trộn có

Các thiết bị thực hiện để xử lý các vấn đề trong phạm vi pha trộn được phát triển bởi Fries [31], Tarancón [10] và Ventura [8] Những phương pháp này đánh dấu kết quả trong việc cải thiện tính chính xác và hội tụ của XFEM

S Bordas [27, 28] đã đề xuất một cải tiến mới khi kết hợp kỹ thuật làm mịn FEM với XFEM để hình thành một phương pháp làm mịn và gọi là Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng Phương pháp này đơn giản hóa các dạng tích hợp và tăng

sự hội tụ và độ chính xác của XFEM tiêu chuẩn

Việt Nam, việc nghiên cứu ứng dụng các phương pháp số để giải quyết vấn

đề cơ học phá hủy chưa nhiều Và với mong muốn đóng góp vào việc xây dựng, phát triển phương pháp giải quyết các vấn đề trong cơ học phá hủy ở Việt Nam là lý

do tôi chọn đề tài “Phân tích Mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM”

1.2 M c tiêu của đề tài:

Trong XFEM, có ba miền trực tiếp ảnh hưởng đến kết quả chúng ta cần tính toán: miền làm giàu, miền tiêu chuẩn và miền pha trộn đó là lớp chuyển tiếp giữa miền làm giàu và miền tiêu chuẩn Nếu các miền này được xử lý tốt thì sẽ đạt được kết quả tốt nhất

Mục tiêu của đề tài này là cung cấp các kỹ thuật và phương pháp phát triển trong vài năm qua và áp dụng chúng đến tiêu chuẩn XFEM để tính toán dao động tự

do của tấm đồng thời nâng cao tính chính xác và hội tụ của các giải pháp thuộc vấn

đề rắn hai chiều (2D)

 Áp dụng kỹ thuật làm mịn phần tử hữu hạn để tính toán miền tiêu chuẩn, kết hợp với việc sử dụng chiến lược diện tích làm giàu cố định xung quanh đỉnh vết nứt để có được độ chính xác và hội tụ cao hơn so với các giải pháp thu được từ tiêu chuẩn XFEM

 Kỹ thuật giải quyết các vấn đề trong phần tử pha trộn là một trong những yếu

tố quan trọng giảm sai số và tăng độ chính xác của các giải pháp tiêu chuẩn

 Những kỹ thuật này cũng sẽ được áp dụng để giải quyết vấn đề phát triển vết nứt để có được kết quả tốt hơn

1.3 Giới h n của đề tài và các vấn đề cần gi i quy t:

Cơ học phá hủy là một lĩnh vực rộng lớn và quan trọng trong kỹ thuật Việc ứng dụng Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng để giải quyết các vấn đề trong cơ học phá hủy cũng còn khá mới mẻ Nên giới hạn đề tài chỉ thực hiện trên chi tiết tấm mỏng đồng nhất và trong khuôn khổ cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính

Luận văn này có bốn chương và được tổ chức như sau:

 Trong chương 1, giới thiệu tóm tắt về lịch sử và sự phát triển của XFEM

 Trong chương 2, đầu tiên giới thiệu tóm tắt các lý thuyết cơ bản về cơ học phá hủy và tiêu chuẩn XFEM Sau đó, đưa ra các kỹ thuật cần thiết phát triển gần đây để thực hiện tiêu chuẩn XFEM bao gồm phương pháp phần tử hữu hạn phẳng, hiệu chỉnh XFEM và kỹ thuật làm giàu hình học

 Chương 3, trình bày kết quả của việc khảo sát dao động riêng của tấm hình vuông và hình chữ nhật làm bằng vật liệu Thép, và các vấn đề về cạnh vết nứt hai chiều (2D) thu được từ sự so sánh giữa XFEM tiêu chuẩn, XFEM với diện tích làm giàu cố định và ES-XFEM với diện tích làm giàu cố định

 Trong chương 4, trình bày nhận xét và kết luận về các ảnh hưởng và kết quả thu được đồng thời đưa ra các đề xuất cho các công trình trong tương lai

Ch ương 2

C S Lụ THUY T

2.1 Tính toán cơ học phá hủy đàn h i tuy n tính (Linear Elastic Fracture Mechanics-LEFM):

2.1.1 H s cư ng độ ứng suất và miền v t nứt trong LEFM:

Trong việc tính toán cơ học phá hủy, ứng suất, sự biến dạng và chuyển vị xung quanh vết nứt là những hệ số quan trọng Độ lớn của miền ứng suất được xác định bằng hệ số vô hướng được gọi là hệ số cường độ ứng suất K (SIF) Khái niệm

về tập trung ứng suất được đưa ra bởi Irwin (1975), đó là sự đo lường về độ bền của điểm kỳ dị Tập trung ứng suất thường được thể hiện ở chỉ số dưới để chỉ trạng thái của tải Theo lý thuyết cơ học phá hủy, một vết nứt hở có thể có 3 dạng chính như trong hình 2.1 được gọi là các kiểu (mode) vết nứt Vì thế chúng ta có hệ số cường

độ ứng suất tại các đầu vết nứt tương ứng ký hiệu K I , K II , K III cho các Mode I, II, III

tương ứng

- Mode I: Vết nứt có dạng mở rộng do lực kéo một chiều hay hai chiều Bề mặt của vết nứt di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng có chứa vết nứt

- Mode II: Vết nứt mở rộng do lực trượt nằm trong mặt phẳng tấm, sự chuyển dịch nằm trong mặt phẳng của vết nứt và vuông góc với cạnh có chứa vết nứt

x

y

z

Hình 2.1: Các kiểu vết nứt cơ bản Mode 1: Mode 2: Mode 3:

Kiểu vết nứt mở Kiểu vết nứt trượt Kiểu rách

- Mode III: Vết nứt có dạng trượt ngang (trượt 3 chiều) thường xảy ra trên những tấm thép mỏng do lực cắt nằm ngoài mặt phẳng tấm Sự chuyển dịch nằm trong mặt phẳng của vết nứt và song song với cạnh có chứa vết nứt

Một vết nứt kiểu hỗn hợp xảy ra khi có nhiều hơn một hệ số cường độ ứng suất cần thiết để biểu diễn các miền vết nứt

Hãy xem xét một khối trong một hệ tọa độ Đề Các, sử dụng các tọa độ cực

P = x =( , )r  , thì vùng ứng suất và vùng chuyển vị như sau:

I x

I y

K r

K r

K r

II x

II y

III xz

K r

III yz

K r

lim 2

II xy r

(2.1.22)

2.1.2 Sự phát triển của v t nứt trong chất r n đàn h i tuy n tính:

Xét về sự phát triển của vết nứt, có hai đại lượng cần tính toán, đó là góc độ lan truyền c

và độ dài gia số da đối với phần mới của vết nứt

Theo những phụ tải chế độ hỗn hợp nói chung, ứng suất chu vi đường tiệm cận

và ứng suất cắt có dạng thức như sau [20]:

3cos( / 2) cos(3 / 2) 3sin( / 2) 3sin(3 / 2)

Nhìn chung, có 4 tiêu chí để xác định hướng phát triển của vết nứt:

 Tiêu chí về tỉ lệ giải phóng năng lượng tối đa (Nuismer, 1975)

 Tiêu chí về ứng suất chu vi tối đa (ứng suất tiếp tuyến) hoặc tiêu chí về ứng suất chính tối đa (Erdogan và Sih, 1963)

 Tiêu chí về mật độ năng lượng biến dạng (Sih, 1973)

 Tiêu chí giá trị 0 K II

Luận văn này sử dụng tiêu chí về ứng suất chu vi tối đa, tiêu chí này đã thể hiện rằng vết nứt sẽ lan truyền từ ngay đỉnh của vết nứt c

theo một hướng để ứng suất chu vi hay ứng suất chính đạt tối đa  Vì thế, góc tới hạn định rõ hướng ngược lại của sự lan truyền có thể được xác định bằng cách thiết lập ứng suất cắt ở (2.1.25) về giá trị 0

Phương trình xác định góc của sự lan truyền vết nứt c

Giải phương trình (2.1.26) sẽ tìm được góc lan truyền c:

Từ (2.1.27), chúng ta thấy rằng nếu K II =0, thì c = 0 (mode I thuần túy), nếu

KII > 0 thì c< 0 và c > 0 khi K II < 0 Vì thế, Suo đã đưa ra một biểu thức để tính

2.1.3 Phương pháp s dựa trên tích phơn J:

Hệ số tập trung ứng suất được tính toán sử dụng dạng miền của phương pháp tích phân tương tác Trong phương pháp này, các miền bổ trợ được giới thiệu và xếp chồng lên miền hiện tại thỏa mãn bài toán giá trị biên ng suất và sự biến dạng đối với trạng thái phụ nên được lựa chọn để thỏa mãn cả phương trình cân bằng và điều kiện biên lực kéo tự do trên bề mặt vết nứt trong biểu đồ miền Đối với các bài toán kiểu hỗn hợp nói chung, mối quan hệ giữa giá trị tích phân J và hệ số cường độ ứng suất là như sau:

(2.1.29)

(2.1.30)

(2.1.31)

(2.1.32) (2.1.27)

(2.1.28)

trong đó E*được xác định trong tham số vật liệu E (môđunYoung – môđun đàn hồi)

và  (hệ số Poinsson – hệ số biến dạng ngang) như sau:

*

2

: : 1

( ij, ij,u i )là trạng thái vùng bổ trợ được lựa chọn như là vùng tiệm cận cho Mode I và Mode II Tích phân

J cho tổng của hai trạng thái là:

(1) (2) (1 2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)

Tích phân theo chu tuyến (2.1.36) không phải là biểu thức phù hợp nhất để tính toán phần tử hữu hạn Vì thế một biểu thức miền tương đương được xây dựng

bằng cách nhân biểu thức tích phân với hàm trọng số trơn q(x)là hàm dẫn của phần

tử đơn vị trên đỉnh vết nứt chứa tập mở và bị triệt tiêu trên đường biên định mức C 0.Sau đó, với mỗi chu tuyến , tích phân tương tác có thể được viết như sau:

Dùng định lý phân kỳ đưa ra phương trình sau cho tích phân tương tác trong biểu thức miền:

2.2 Phương pháp phần t h u h n mở rộng:

2.2.1 Điều chỉnh phương trình

Xét miền  được giới hạn bởi  Đường biên là sự kết hợp của u, t, và

c

Hình 2.3: Đường biên và miền xác định tại đỉnh vết nứt

(2.1.40)

(2.1.41)

t c c u

b

n t n n

Với s là phần đối xứng của toán tử gradient Mối quan hệ kết cấu được đưa

ra bởi định luật Hooke:

:

C

 với C là tenxơ Hooke

(2.2.6)

(2.2.7)

Thảo luận chi tiết về việc lựa chọn không gian của hàm cơ sở S khi khối chứa đường biên trong hay góc lõm có thể tìm thấy ở Babuska (1972) và Grisvard (1985) Không gian S cho phép các hàm gián đoạn ngang qua đường nứt

Dạng yếu của phương trình cân bằng được cho bởi:

Phương trình trên được thể hiện để tương đương với dạng mạnh (2.2.1)

2.2.2 Sự phơn chia của phần t đơn vị:

Sự phân chia của phần tử đơn vị được định nghĩa là một tập hợp của các hàm

f x x  x





Điều này tương đương với định nghĩa của điều kiện tái tạo Tập hợp của hàm

hình dạng phần tử hữu hạn cùng tham số, N j, cũng thỏa mãn điều kiện phân chia của phần tử đơn vị

1

( ) 1

n j j

Với I là tập hợp các nút nằm trong miền, I * là tập hợp các nút mà bệ đỡ của nó

là điểm giao với vết nứt N i , N j là hàm hình dạng phần tử hữu hạn Bệ đỡ của nút j, j

 , là tập hợp của tất cả các phần tử với nút j là một trong những đỉnh của nó

Để giữ lại tính chất nội suy của phép xấp xỉ, tức là u h( )x i u i, người ta thường điều chỉnh như sau [25]:

của hàm hình dạng, được làm giàu bằng sự làm giàu tiệm cận (hàm B(x)) (xem hình

2.5)

(2.2.15)

(2.2.17) (2.2.16)

H (x) là hàm Heaviside bổ sung và hàm B(x) là hàm làm giàu đỉnh vết nứt

Với x là một điểm mẫu, x * (nằm trên vết nứt) là điểm chiếu gần nhất của x, và

n là đơn vị pháp tuyến ngoài đến vết nứt tại điểm x *

Hình 2.5: Sự lựa chọn các nút làm giàu cho vấn đề vết nứt 2D

Các nút tròn được làm giàu bởi các hàm bậc thang Trong khi đó, các nút vuông được làm giàu bởi hàm đỉnh vết nứt Hình (a) trên lưới cấu trúc; Hình (b) trên lưới không cấu trúc

(2.2.18)

(2.2.19)

(2.2.20)

Hàm làm giàu đỉnh vết nứt trong đàn hồi đẳng hướng B

được xác định từ miền chuyển vị tiệm cận:

Trong (2.2.17), hai loại hàm hình dạng được sử dụng, Ni là hàm hình dạng

phần tử hữu hạn chuẩn và N j (N k) nhân với hàm làm giàu để hình thành hàm hình dạng được làm giàu Xem chi tiết ở tài liệu [21]

Bằng cách chuyển đổi phép xấp xỉ chuyển vị (2.2.17) sang định nghĩa sự biến dạng:

Ta có biểu thức sau:

1 _ _

2 3 4

i j k

k k k

u a b

b b b

0 0

i x u

2.2.4 Lựa chọn tiêu chuẩn của các nút đư c làm giàu:

Trong tiêu chuẩn XFEM, có 4 loại phần tử như được minh họa ở hình 2.7

 Phần tử đỉnh hoặc chứa đỉnh là trong khoảng cách cố định r enr của đỉnh nếu sự làm giàu hình học được sử dụng Tất cả các nút thuộc phần tử đỉnh được làm giàu bằng hàm làm giàu gần đỉnh Bk( )x

 Phần tử bị tách ra (hay phần tử chóp) là những phần tử bị cắt hoàn toàn bởi vết nứt Những nút của chúng được làm giàu bằng hàm gián đoạn

H(x)

 Phần tử pha trộn là những phần tử kế cận phần tử đỉnh hoặc phần tử bị tách ra Chúng là những phần tử mà chỉ một số nút của chúng được làm giàu

 Phần tử chuẩn là những phần tử mà không thuộc các loại trên Các nút của chúng không được làm giàu

Phần tử chuẩn

Sự pha trộn

Phần tử chóp Phần tử bị tách ra

Phần tử đỉnh

Hình 2.7: Các loại phần tử trong XFEM tiêu chuẩn

Tiêu chuẩn để lựa chọn các nút làm giàu H(x) khá đơn giản Với một nút bất

kỳ, khu vực bệ đỡ của nó được ký hiệu là A w được tính toán Phần trên và dưới của

A r A

 ,

be w be w

A r A

Nếu một trong hai hệ số trên dưới dung sai đã xác lập (thường là 10-4 ), nút sẽ

không được làm giàu bằng H(x)

2.2.5 Phương pháp t p mức:

Định nghĩa hàm tập mức:

Xét một miền  được chia thành 2 miền con không giao nhau 1 và  2, chia

sẻ một giao diện , như được minh họa ở hình 2.9 Hàm tập mức được xác định:

1

2

0 x( ) 0 x

Một trong những lựa chọn phổ biến cho hàm tập mức ( )x , có thể được xác định xét về mặt hàm khoảng cách đánh dấu:

1 2

( ) ( )

A

be w

Với d là khoảng cách pháp tuyến từ một điểm x đến giao diện :

d x x

Với x là hình chiếu vuông góc của x trên 

Hình 2.9: Định nghĩa hàm tập mức Trong các vấn đề về vết nứt, một hàm tập mức  là không đủ để mô tả vết nứt, nên một tập mức khác  tại đỉnh vết nứt được đưa ra để cùng mô tả vết nứt Do đó, một vết nứt được mô tả bởi 2 hàm tập mức (hình 2.10)

 Tập mức chuẩn  cho bề mặt vết nứt: khoảng cách được đánh dấu đến hợp của mặt vết nứt và sự mở rộng tiếp tuyến của nó từ mặt trước

 Tập mức tiếp tuyến  cho mặt trước của vết nứt: khoảng cách được đánh dấu đến bề mặt qua mặt trước và vuông góc với bề mặt vết nứt



0

  0

   n

Hàm tập mức tiếp tuyến và vuông góc ban đầu như sau:

Với max ,min là giá trị tối đa và tối thiểu tương ứng của  tại các nút của phần

tử được kiểm tra

Một phương pháp khác để ghi nhãn các cạnh có giao tuyến với tập mức zero 

và tính toán vị trí của giao tuyến Sau đó, vòng lặp trên các phần tử với 2 cạnh được ghi nhãn: phần tử đỉnh là nơi những tập mức  ở các giao tuyến đổi dấu, trong khi

đó, phần tử tách rời là nơi các tập mức  ở các giao tuyến đều là giá trị âm (hình 2.12)

Hình 2.11: Lựa chọn nút làm giàu bởi tập mức nút

2.2.6 Tích phơn s :

Tích phân số của phần tử cắt (phần tử đỉnh và phần tử tách rời) nhìn chung được thực hiện bằng cách phân chia chúng thành các tam giác con chuẩn (hình 2.13) và vì thế mỗi khi vết nứt lan truyền, một tập hợp mới của các tam giác con và các điểm Gauss mới phải được phát sinh và tính toán lại

Quy trình tích phân số cho các phần tử được cắt bởi vết nứt như sau:

1 Xây dựng phép tam giác phân Delaunay để có được các tam giác con

2 Với mỗi tam giác con, tọa độ và trọng lượng của các điểm Gauss được tính toán và sau đó chuyển thành hệ tọa độ gốc của phần tử ban đầu

Để xây dựng được phép tam giác phân Delaunay, cần thiết phải xác định được giao tuyến giữa các cạnh phần tử với vết nứt Một cạnh phần tử bị cắt bởi vết nứt nếu tập mức đổi dấu trên cạnh này Việc biểu diễn tham số của một cạnh phần tử là (phần tử đường) [19]:

(2)

(4)

(3) (1)

(2)

(4) (5)

Vết nứt

Để hiệu quả, tất cả các tam giác con được xây dựng trong hệ tọa độ của phần

tử gốc Có nghĩa là x a ,x b là các tọa độ tự nhiên của nút Với mỗi tam giác con, các điểm Gauss này được xác định và chuyển đến phần tử gốc bằng ánh xạ thông thường (hình 2.14)

Cũng có một số kỹ thuật được phát triển nhằm tính toán tích phân trong XFEM Ventura [33] giới thiệu phép khử các ô nhỏ vuông góc cho các hàm không liên tục trong phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng Trong đó, phép cầu phương Gauss chuẩn có thể được sử dụng trong các phần tử chứa điểm gián đoạn mà không tách rời phần tử thành các ô nhỏ hoặc giới thiệu hàm xấp xỉ bổ sung bất kỳ

Quy luật phép cầu phương Gauss được suy rộng cho các điểm gián đoạn và điểm kỳ dị của vết nứt được đưa ra bởi Mousavi và Sukumar [10] để giải quyết vấn

đề này một cách hoàn hảo

2.3 C i thi n h s hội t của XFEM:

2.3.1 XFEM với vùng làm giàu c định:

Trong sơ đồ làm giàu XFEM chuẩn, chỉ có các nút của phần tử đỉnh là được làm giàu Đồng thời bệ đỡ của hàm được làm giàu biến mất khi h (tham số lưới) về giá trị 0 Một chiến lược khác để làm giàu toàn bộ vùng cố định xung quanh đỉnh Hình 2.14: Sự chuyển đổi của các điểm Gauss từ tam giác con đến phần tử quy chiếu

vết nứt độc lập của h được giới thiệu bởi Laborde vào năm 2005 [22] Xác định chu

vi C(x 0 ,R) với bán kính R được biết trước, mà tâm của nó là đỉnh vết nứt x0 Từ đó, bất kỳ nút nào nằm trong chu vi đều được làm giàu bởi hàm đỉnh vết nứt (hình 2.15) Sơ đồ làm giàu tương tự để làm giàu một lớp của phần tử xung quanh phần tử đỉnh

Hàm xấp xỉ làm giàu mới được viết như sau:

4 ( ) 1

Với tập hợp nút I(R) chứa các nút nằm bên trong chu vi C(x 0 ,R)

2.3.2 XFEM đư c hi u chỉnh cho bài toán pha trộn:

Các phần tử pha trộn trong XFEM nói chung có 2 tính chất quan trọng:

1 Trong những phần tử này, chỉ có một số phần tử được làm giàu, chức năng làm giàu không thể sao lại một cách chính xác bởi vì thiếu sự phân chia phần

tử đơn vị

2 Những phần tử này sản sinh ra các số hạng thừa trong hàm xấp xỉ mà không được bù bởi phần tử hữu hạn chuẩn của hàm xấp xỉ Điều này có thể dẫn đến

Hình 2.15: Làm giàu cho vùng cố định xung quanh vết nứt

Các nút tròn được làm giàu bởi hàm bậc thang, trong khi đó nút vuông được làm giàu bởi hàm đỉnh vết nứt

(2.3.1)

việc giảm đáng kể của tỉ lệ đồng quy cho các hàm làm giàu nói chung [11, 22]

Một xử lý đặc biệt đã được yêu cầu, nói chung các yếu tố hỗn hợp loại bỏ được các điều kiện thừa Một kết cấu tổng thể để giải quyết vấn đề pha trộn được phát triển trong [11] Trong tác phẩm này, phát biểu về biến dạng tiêu chuẩn đã được chấp nhận trong các yếu tố hỗn hợp đã khử các điều kiện tạp trong hàm xấp

xỉ Điều này đã cho kết quả tốt trong cả độ chính xác cao lẫn độ chính xác tối ưu Một phương pháp khác đã được giới thiệu trong [23], trong đó phương pháp Galerkin liên tục được áp dụng cho việc pha trộn Trong phương pháp này, miền được chia ra thành các phần được làm giàu đầy đủ và phần không được làm giàu, chúng được rời rạc độc lập Sự liên tục giữa các phần bị bắt buộc bằng phương pháp điểm phạt nội bộ Kết quả cho thấy đã cải thiện được độ chính xác và tốc độ tối ưu của sự hội tụ Phương pháp XFEM nội tại [32] là một phương pháp làm giàu thay thế mà không có pha trộn

Fries [31] đã đề xuất một phương pháp dựa trên sự hiệu chỉnh của việc làm giàu mà các cạnh của miền phụ được làm giàu bị triệt tiêu Phương pháp này là thực

sự đơn giản và mang lại hệ số hội tụ tối ưu cho các vấn đề vết nứt đàn hồi Ventura [8] cũng đã được đề xuất một phương pháp cải tiến dựa trên công việc của Fries cho vấn đề này Phương pháp này cũng tương tự như đề xuất trong công việc thú vị của Fries, nhưng các chức năng hiệu chỉnh có một hình thức tổng quát hơn Trong luận văn này, phương pháp của Fries [31] đã được lựa chọn để trình bày cụ thể như cách hiệu quả và dễ dàng nhất để xử lý vấn đề pha trộn

Xác định hàm làm giàu được sửa đổi mod

hạn tiêu chuẩn (các nút phần tử 0 thì thuộc I*) Trong các phần tử pha trộn, hàm làm

giàu cải biến mod

Điều quan trọng cần lưu ý là việc làm giàu ký hiệu là một trường hợp đặc biệt

do XFEM tiêu chuẩn không hướng đến những vấn đề trong các phần tử pha trộn

Do việc làm giàu ký hiệu là một hàm liên tục trong các phần tử pha trộn Vì vậy, không có nhu cầu điều chỉnh của XFEM tiêu chuẩn với hàm dốc R (x).

Đối với trường hợp đỉnh vết nứt, bốn chức năng làm giàu sau đây thường được

và J *với định nghĩa của sự mô phỏng và

các phần tử pha trộn dựa trên I *