Mô phỏng dòng chảy lưu chất nhớt không nén được qua trụ tròn bằng phương pháp biên nhúng

Ch ng 1 TỔNG QUAN 1.1 T ng quan chung về lĩnh vực nghiên c u Trong tính toán động lực học lưu chất, các vấn đề cần quan tơm nhất đó lƠ sự chính xác, hiệu suất tính toán, độ ổn định c a

M C L C

Quyết định giao đề tƠi

Lý lịch khoa học i

Lời cam đoan ii

C m t iii

Tóm tắt iv

M c l c vi

Ký hiệu khoa học viii

Danh sách các hình ix

Danh sách các b ng x

Ch ng 1 TỔNG QUAN 1

Ch ng 2 PH NG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO PH NG TRÌNH NAVIER - STOKES VỚI BIÊN CỨNG 4

2.1 Phư ng trình chuyển động 4

2.2 Phư ng pháp số 5

2.2.1 Sự rời r c hóa theo không gian vƠ thời gian 5

2.2.2Phư ng pháp gi i 6

2.2.3 Gi i phư ng trình Navier-Stokes 7

2.2.3.1 Xử lý các thƠnh phần phi tuyến, độ nhớt vƠ thƠnh phần lực khối 8

2.2.3.2 Sự hiệu chỉnh áp suất 8

2.2.3.3 Lưới xen kẽ 9

2.2.3.3.1 Đ o hƠm xấp xỉ 10

2.2.3.3.2 Các điều kiện biên 14

2.2.3.3.3 Phư ng trình Poisson 16

2.3Biên c ng 17

Ch ng 3C U TRÚC HÀM DIRAC DELTA 20

Ch ng 4K T QU MỌ PHỎNG SỐ 25

4.1 Dòng ch y qua tr tròn cố định 25

4.2 Dòng ch y qua tr tròn dao động 39

Ch ng 5 K T LUẬN 44

TÀI LI U THAM KH O 47

Kụ HI U KHOA H C

 X s,t X   s,t ,Y s,t   X k,Y klà hàm vector được cho bởi tọa độ c a các điểm trên biên Γ(như lƠ một hàm c a độ dài cung s và thời gian t) k=0,1,2,…,m-1

 FF x   s,t ,F y s,t là lực khối tác d ng trên biên

 U s,t U   s,t ,V s,t   U k,V klà vận tốc c a điểm lưới Lagrangian

 f f x   x,t ,f y x,t là lực vật thể được lồng vƠo phư ng trình Navier-Stokes

 x    x , y là tọa độ theo lưới Eulerian

 u     x,t u x,t ,v x,t là vận tốc c a lưu chất ( theo 2 chiều x, y)

 (.) xem như lƠ một ký hiệu vƠ được dùng : (.) thay vì

(với grap, div lƠ các hƠm được sử d ng trong toán tử Laplace)

 L b là chiều dài c a đường cong khép kín Γ

2

2 2

 � � − � , = � � − � � y − Y là hàm Dirac delta

DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 2.1 a) Hệ lưu chất-kết cấu đ n gi n b) Lưới rời r c Euler (đánh dấu sáng) vƠ

lưới Lagrange (đánh dấu tối) 6

Hình 2.1 c) Hình vẽ phác họa việc tính toán thƠnh phần lực khối sử d ng hƠm Dirac delta 6

Hình 2.2 Lưới xen kẽ với các ô biên 10

Hình 2.3 Sự dao động trong bƠi toán đối lưu-khuếch tán khi sử d ng sai phơn trung tâm 13

Hình 3.1 Hàm Dirac delta 24

Hình 4.1 Đường dòng cho hệ số Re=20 và Re=40 28

Hình 4.2 Trường áp suất cho hệ số Re=20 và Re=40 24

Hình 4.3 Đường bao xoáy t i Re=100 và Re=200 31

Hình 4.4 Hệ số c n t i Re=100 và Re=200 32

Hình 4.5 Hệ số nơng t i Re=100 và Re=200 33

Hình 4.6 Đường dòng t i Re=100 và Re=200 34

Hình 4.7 Trường áp suất t i Re=100 và Re=200 35

Hình 4.8 Đường bao xoáy vƠ trường áp suất t i Re=300 36

Hình 4.9 Hệ số c n vƠ hệ số nơng t i Re=300 37

Hình 4.9 Đường bao xoáy c a tr tròn dao dộng sau 40 chu kỳ dao động t i Re=200, (a: Zhang & Zheng; b: Hiện t i) 40

Hình 4.10 Hệ số c nC D t i Re=200 đối với tr tròn cố định vƠ tr tròn dao động 41

Hình 4.12 Trường áp suất vƠ đường dòng t i Re=200 cho trường hợp tr tròn dao

động 43

DANH SÁCH CÁC B NG B NG TRANG B ng 1.1 Kế ho ch thực hiện luận văn 3

B ng 4.1 Chiều dƠi vùng tuần hoƠn (L/d), hệ số c n (C D ) cho Re=20,Re=40 29

B ng 4.2 Hệ số c n t i Re=100 và Re=200 32

B ng 4.3 Hệ số nơng t i Re=100 và Re=200 33

B ng 4.4 Hệ số Strouhal t i Re=80, 100, 200, 300 38

Ch ng 1

TỔNG QUAN

1.1 T ng quan chung về lĩnh vực nghiên c u

Trong tính toán động lực học lưu chất, các vấn đề cần quan tơm nhất đó lƠ sự chính xác, hiệu suất tính toán, độ ổn định c a lời gi i vƠ đặc biệt lƠ xử lý được các d ng hình học ph c t p Có rất nhiều phư ng pháp cho việc gi i các bƠi toán dòng không nén được trong miền hình học ph c t p Trong một số ng d ng, phư ng pháp phần

tử hữu h n (FEM) trên lưới phi cấu trúc thì được sử d ng rộng rƣi nhất hiện nay Sự chính xác c a FEM có thể được c i thiện bằng cách sử d ng các hƠm nội suy bậc cao Tuy nhiên, t o ra lưới phi cấu trúc theo yêu cầu bằng FEM đòi h i một kỹ thuật cao và khá tốn kém H n nữa, để gi i các bƠi toán với một biên chuyển động mƠ đặc biệt lƠ trong lĩnh vực tư ng tác giữa kết cấu vƠ lưu chất thật không d thực hiện, trường hợp nƠy ta ph i chia lưới l i sau m i lần di chuyển c a biên

Đƣ có sự tiến bộ vuợt bậc đáng kể c a các phư ng pháp trong việc tính toán chính xác vƠ hiệu qu đối với những vật thể có hình d ng ph c t p bất kỳ Phư ng pháp biên nhúng (Immersed Boundary Methods - IBM) được đề xuất bởi C.S Peskin [1,2] gần đơy đƣ được đưa ra để gi i quyết đối với các bƠi toán có những d ng hình học ph c t p trong khi yêu cầu tính toán ít h n, t o lưới d h n so với các phư ng pháp khác mƠ vẫn đ m b o được sự chính xác Phư ng pháp này quy định một lực khối để thay thế sự hiện diện c a một bề mặt mƠ không lƠm thay đổi lưới tính toán Đặc biệt đối với trường hợp biên di chuyển, c thể h n lƠ trong sự tư ng tác giữa lưu chất vƠ kết cấu lƠm biên dịch chuyển Lưới bám theo vật thể ph i được chia l i ở

m i bước thời gian khi tính toán, việc chia lưới nh hưởng trực tiếp đến chi phí tính toán, độ chính xác vƠ sự ổn định c a lời gi i Có thể nói đó lƠ vấn đề cần xem xét

cần gi i thuật ph c t p vƠ đặc biệt lƠ không bị nh hưởng đáng kể đến sự ph c t p

c a hình d ng vật thể Đơy được xem lƠ ưu điểm nổi bật bậc nhất c a phư ng pháp biên nhúng Vì vậy trong bƠi toán tư ng tác giữa lưu chất vƠ kết cấu thì có thể nóiphư ng pháp biên nhúng lƠ phư ng pháp số tốt nhất t i thời điểm hiện nay

Các k t qu nghiên c u trong n c vƠ ngoƠi n c đƣ công b

IBM lần đầu tiên được giới thiệu bởi C.S Peskin (1972) với việc mô ph ng sự

tư ng tác giữa các c vƠ dòng máu ch y trong lúc tim đang đập vƠ nhìn chung kết

qu phù hợp cho dòng lưu chất với biên đƠn hồi được nhúng Trong phư ng pháp nƠy dòng lưu chất được điều khiển bởi phư ng trình Navier-Stokes không nén được

vƠ chúng được xử lý trên lưới Đềcác cố định Một số công trình nghiên c u điển hình về IBM đƣ công bố trên các t p chí khoa học uy tín trên thế giới:

C.S Peskin, The immersed boundary method, Acta Numerica 11 (2) 479-517, 2002

Bài báo này trình bày về nền t ng toán học c a IBM, mƠ nó thì được dùng để mô

ph ng sự tư ng tác giữa lưu chất vƠ kết cấu, đặc biệt lƠ trong tính toán động lực học lưu chất, lĩnh vực c y sinh học

C.S Peskin, Numerical analysis of blood flow in the heart, J Comput Phys 25

220–252 (1977) Bài báo này nghiên c u về việc gi i phư ng trình Navier-Stokes khi có sự hiện diện c a biên nhúng di chuyển mƠ nó thì tư ng tác với dòng lưu chất ( tư ng tác giữa c tim vƠ dòng máu) Về phư ng pháp nƠy thì ở nước ta vẫn đang trong thời kỳ nghiên c u s khai, vƠ có rất ít công trình được đăng t i trên t p chí khoa học quốc tế

Lĩnh vực ng d ng c a ph ng pháp biên nhúng

- Nghiên c u dòng ch y lưu chất qua vật thể bất kỳ nhằm kh o sát ng suất, biến d ng, chuyển vị c a hệ thật: Turbine gió, van, ống dẫn dầu, c y sinh

- Kh o sát chuyển động c a các robot trong môi trườngkhông khí vƠ nước như: cá, chim, chuồn chuồn

- Tính toán, thiết kế các thiết bị vận chuyển như: Xe h i, tƠu th y, máy bay,…

- Tính toán, thiết kế các thiết bị th y lực: Van th y lực, máy b m, tua bin, qu t gió, máy nén,

- Y khoa: Mô ph ng tuần hoƠn máu trong c thể, tính toán các thiết bị tr tim nhơn t o, …

- VƠ rất nhiều lĩnh vực khác như trong khí tượng th y văn, thiết kế cầu, nhƠ cao tầng,…

1.2 M c đích c a đề tƠi

- Thiết lập mô hình toán học c a hệ kết cấu vƠ lưu chất

- Xơy dựng phư ng trình toán học

- Chia lưới vƠ gi i bằng phư ng pháp biên nhúng ( Immersed Boundary Method)

- Giới h n cho bƠi toán 2D

1.3 Nhiệm v c a đề tƠi vƠ gi i h n c a đề tƠi

Nội dung nghiên c u cho phư ng pháp biên nhúng có thể chia ra thƠnh năm phần chính với nhiệm v c thể như sau:

- Phần 1: Tổng quan

- Phần 2: Phư ng pháp biên nhúng cho biên c ng

- Phần 3: Cấu trúc hàm Dirac delta

- Phần 4: Kết qu mô ph ng số

- Phần 5: Kết luận vƠ kiến nghị

Giới hạn của đề tài

- Phư ng pháp biên nhúng chỉ áp d ng để gi i cho những bƠi toán 1D, 2D Còn với bƠi toán 3D thì độ ph c t p cao h n nên đòi h i nhiều thời gian nghiên c u h n nữa

- NgoƠi ra, vấn đề sai số c a phư ng pháp cũng như lời gi i là điểm cần hoƠn thiện h n cho luận văn trong tư ng lai

1.4 Ph ng pháp nghiên c u

- Phư ng pháp tham kh o tƠi liệu từ gi ng viên hướng dẫn, thư viện, m ng internet

- Phư ng pháp trao đổi, th o luận trực tiếp với gi ng viên hướng dẫn

- Phư ng pháp thu thập thông tin từ các buổi báo cáo chuyên đề c a nhóm Tính toán Cao cấp trong Khoa học vƠ Kỹ thuật (GACES) thuộc Khoa Xơy dựng vƠ C học ng d ng, trường Đ i học Sư ph m Kỹ thuật TP.HCM

- Phư ng pháp lập trình, tính toán mô ph ng với công c h trợ lƠ phần mềm Matlab c a hƣng MatWorks

1.5 K ho ch thực hiện

Kế ho ch thực hiện luận văn được trình bày tóm tắt trong b ng 1.1

B ng 1.1 Kế ho ch thực hiện luận văn

đ n gi n  b (Hình 2.1a), hình d ng đường biên nhúng sẽ được cho dưới d ng tham

số như sau: X s ,t ,0sL b, X 0,t XL b,t, trong đó L b lƠ chiều dƠi c a đường cong kín  , và b X s t, lƠ hƠm vector cho biết vị trí c a các điểm trên biên nhúng t i

thời gian t vƠ chiều dƠi cung lƠ s Biên được mô hình bởi một lực đ n mà nó thì

được kết hợp l i thƠnh lực khối, f, trong phư ng trình Navier-Stokes Phư ng trình

Navier-Stokes sau đó được gi i để xác định vận tốc c a dòng lưu chất trên toƠn bộ miền lưu chất  Kể từ khi biên nhúng tiếp xúc với dòng chất lưu chất xung f

quanh, vận tốc c a nó ph i phù hợp với điều kiện biên không trượt Phư ng trình chuyển động c a hệ như sau [1]:

Trong đóF s,t F x   s,t ,F y s,t  lƠ lực khối t i điểm biên vƠ      x  x y là hƠm Dirac delta Chuyển động c a biên nhúng lƠ

t t s t

s t

t

s

,,

,,,

Phư ng trình (2.3) vƠ (2.4) thể hiện sự tư ng tác giữa biên nhúng vƠ lưu chất Trong phư ng trình (2.3) thƠnh phần lực khối tác d ng đến lưu chất bởi biên nhúng, trong khi đó phư ng trình (2.4) biên nhúng được di chuyển cùng với lưu chất

2.2 Ph ng pháp s

2.2.1 Sự rời r c hóa theo không gian vƠ thời gian

Phư ng pháp biên nhúng lƠ phư ng pháp sai phơn hữu h n h n hợp Euler-Lagrange cho việc tính toán dòng lưu chất tư ng tác với một biên nhúng Hình 2.1b lƠ ví d

về đường biên nhúng đ n gi n trong không gian 2D Một cặp lưới tính toán bao gồm: một ô lưới Đềcác trung tơm cho biến Euler vƠ một tập các điểm rời r c cho biến Lagrange Cho miền lưu chất f  0,l x  0,l y và có N xN y ô lưới Euler, với hh x h y l x/N x l y/N y lƠ kích thước lưới Euler Một cặp chỉ số trên biến

sẽ chỉ rõ vị trí mƠ t i đó biến Euler đang được xem xét, đánh giá, chẳng h n như uij

chỉ rõ giá trị c a biến u t i điểm lưới th ij Chúng ta sẽ sử d ng một tập các điểm

lưới Lagrange N b (biên lưới được chia vớisL b/N b) vƠ các điểm lưới Lagrange nƠy được định nghĩa bởi một chỉ số duy nhất, với các biến t i nhiều điểm lưới thì

được định nghĩa bằng các chỉ số tư ng ng, do đó Fkbiểu thị cho giá trị c a biến F

t i điểm lưới th k Vị trí c a điểm lưới Lagrange th k thì được theo dõi một cách

rõ ràng trong Xk Chúng ta sử d ng các chỉ số để biểu thị giá trị c a biến t i một bước thời gian nhất định, do đó un  x u x,ntvà Xn s Xs,nt

Hình 2.1 c) Hình vẽ phác họa việc tính toán thƠnh phần lực khối sử d ng hƠm Dirac

j h n

x h

Với x/h và y/h ký hiệu lƠ r

HƠm liên t c  r sẽ được giới thiệu c thể ở chư ng 3

Phư ng trình Navier-Stokes với các thƠnh phần cư ng b c sau đó được gi i cho trường áp suất 1

, 

n j

p vƠ trường vận tốc 1

, 

n j

u t i các điểm lưới Đềcác bằng cách sử

d ng phư ng pháp sai phơn hữu h n trên lưới Đềcác xen kẽ [3] Trường vận tốc sau

đó được nội suy để tìm ra vận tốc t i các điểm điều khiển,

n k j h n j n

k n

d

,

2 1 ,

1 , 1

2 2

2

2 2

2 2

v x

v y

v x

uv y

p t

v

f y

u x

u y

uv x

u x

p t

Ta sẽ tìm lời gi i t i bước thời gian th  st

n1 bằng cách tiếp cận ba bước như sau:

2.2.3.1 Xử lý các thƠnh phần phi tuy n, đ nh t vƠ thƠnh phần lực kh i

Ta sẽ có một h n chế lƠ bước nh y tỷ lệ thuận với bình phư ng rời r c theo không gian, vì thế các thƠnh phần phi tuyến vƠ độ nhớt sẽ được xử lý một cách rõ rƠng

n n n

n n

p t

u u

Áp suất được ký hiệu lƠ n 1

p , từ đơy nó sẽ được hiểu ngầm Giá trị nƠy thu được từ việc gi i một hệ tuyến tính.Trong ký hiệu vector phư ng trình hiệu chỉnh có d ng như sau:

p t

p t

(do điều kiện un 1 0)

Đơy lƠ phư ng trình Poisson cho áp suất n 1

u với giá trị ng suất n 1

p đƣ được tính toán ở bước 2

2.2.3.3 L i xen k

Khi gi i phư ng trình Navier-Stokes, miền lưu chất  thường được rời r c bằng f

cách sử d ng một lưới xen kẽ, với áp suất p nằm chính giữa c a ô lưới, còn vận tốc

u đượt đặt ở vị trí trung điểm đường phơn cách ô theo phư ng thẳng đ ng, vƠ vận

tốc v được đặt ở vị trí trung điểm đường phơn cách ô theo phư ng ngang

Xét lưới xen kẽ có n x  ô lưới Khi nói đến trường áp suất p, vận tốc u và v, ta n y

cần ph i quan tơm đến các điểm biên vƠ các điểm bên trong biên Bất kỳ một điểm nƠo thực sự nằm trong miền tính toán lƠ điểm bên trong biên cần quan tâm, còn các điểm nằm trên hoặc ngoƠi biên lƠ các điểm biên Trong Hình 2.2 các điểm được đánh dấu đậm lƠ các điểm bên trong biên, còn các điểm được đánh dấu nh t h n lƠ các điểm biên

Hình 2.2 Lưới xen kẽ với các ô biên

, 1 ,

, 1 ,

2

2 2

2

,

22

h

u u u

h

u u u

y

u x

u

j j

, 1 , , 1 ,

2

2 2

2

,

22

h

v v u

h

v v v

y

v x

v

j j

x

j 2

, 1 ,

1 ,

h

u u

Các thƠnh phần phi tuy n ( sai phơn trung tơm)

Các thƠnh phần phi tuyến lƠ n i duy nhất mƠ sự rời r c trên lưới xen kẽ không được

tính toán trực tiếp Chẳng h n, tích số uv thì không được định nghĩa trực tiếp, vì rằng u và v thì nằm ở các vị trí khác nhau VƠ gi i pháp lƠ ta sẽ lập luận ngược: Việc

cập nhập u, ta cần  /u2 x

và  /uv y Nếu dòng ch y trong m i bước thời gian lƠ

tư ng đối chậm, lúc nƠy ta mong rằng sẽ sử d ng đ o hƠm trên lưới xen kẽ trung tơm như trước đơy Điều nƠy đòi h i 2

u ph i được định nghĩa ở ô trung tơm, vƠ uv

ph i được định nghĩa ở góc ô lưới Ta thu được hai đ i lượng nƠy bằng cách nội suy hai giá trị bên c nh

i

u u

 

2

1 , ,

 

2

, 1 ,

Tư ng tự cho thƠnh phần v Các ký hiệu chỉ số đưa đến một ý tưởng ph c t p h n lƠ

t o ra một dữ liệu mới giữa hai điểm bằng cách lấy trung bình Sử d ng g ch ngang

lƠ chỉ số trên c a x để biểu thị cho đ i lượng trung bình theo phư ng ngang, vƠ lƠ chỉ số trên c a y biểu thị cho đ i lượng trung bình theo phư ng thẳng đ ng, thƠnh

phần phi tuyến được viết l i như sau:

 

y

v u x

u t

v u

   

2

2

2

2

, 1 , 2

1 , ,

1 ,

2

1

,

, , 1 , 2 1 ,

, 1 ,

2

1

j j

j y j

j j

y

j j i j i x j

j i

j

i

x

v v

v u

u

u

v v

v u

ThƠnh phần phi tuy n ( sai phơn ng c)

Khi bƠi toán đối lưu-khuếch tán mƠ có thƠnh phần đối lưu chiếm ưu thế thì ta rời r c

bằng sai phơn trung tơm, vấn đề ổn định x y ra khi kho ng cách lưới h được chọn

quá thô, dẫn đến sai số bƠi toán rất lớn ( Hình 2.3)

Hình 2.3 Sự dao động trong bƠi toán đối lưu-khuếch tán khi sử d ng sai phơn trung

tâm Sai phơn trung tơm kể trên phù hợp nếu như số lượng chuyển đổi không quá nhiều trong m i bước thời gian Đối với dòng ch y nhanh hoặc bước thời gian lớn h n, sự

rời r c sẽ tốt h n khi ta tiếp cận với sai phân ngược Ta sẽ thực hiện một sự chuyển đổi hƠi hòa giữa sai phơn trung tơm vƠ sai phân ngược bằng cách sử d ng tham số γ

∈[0, 1] Ta định nghĩa như sau:

 

, , ,j u j j v j

Sự tổ hợp tuyến tính giữa sai phơn trung tơm vƠ sai phân ngược được thực hiện theo

cách sau Tư ng ng với các đ i lượng trung bình, ta định nghĩa đ i lượng sai phơn:

2

~ 2

~

2

~ 2

~

, 1 , 2

1 , ,

1 ,

2

1

,

, , 1 ,

2 1 ,

, 1 ,

2

1

j j

j y j

j j

y

j j i j i x j

j i

j

i

x

v v

v u

u

u

v v

v u

u x

u u u

x

v u v

2.2.3.3.2 Các điều kiện biên

Việc áp điều kiện biên chính xác lƠ vấn đề quan trọng cần quan tơm kỹ lư ng vì nó

nh hưởng đến kết qu c a bƠi toán có chính xác vƠ đáng tin cậy hay không Trên lưới xen kẽ có một số điểm thì nằm trên biên trong khi đó có một điểm thì nằm giữa

tây(West) và phía đông (East), và v t i biên phía bắc (North) và phía nam (South)

Đối với u t i biên phía bắc và phía nam vƠ với v t i biên phía tây và phía đông , ta

cần xác định một giá trị giữa hai điểm dữ liệu Lấy ý tưởng giống như trên: ta lấy

giá trị trung bình giữa hai điểm Chẳng h n, biên phía bắc thì nằm giữa các điểm với vận tốc u Cho hai điểm dưới đơy tư ng ng ở trên biên lƠ u,j và u,j1, vƠ giá trị biên được quy định lƠ u N Ta có các điều kiện biên như sau:

NORTH j

j NORTH

j

i

j

u u

u u

i SOUTH i

i

u u

u u

i j EAST

j

i

j

v v

v u

j WEST

j

j

v v

v u

,

, ,

,





SOUTH NORTH

EAST

WEST

SOUTH NORTH

Các điều kiện biên tr t tự do

Trong trường hợp điều kiện biên trượt tự do, thƠnh phần vận tốc vuông góc với biên nên bị triệt tiêu cùng với đ o hƠm pháp tuyến c a thƠnh phần vận tốc tiếp tuyến với biên:

i SOUTH NORTH

j NORTH j

i EAST EAST j

WEST

WEST

v

u u

v

u u

v v

u v

v

u

Điều kiện biên c a dòng ra

Trong điều kiện biên dòng ra thì đ o hƠm pháp tuyến c a c hai thƠnh phần vận tốc đều bằng không t i biên:

0 , 1

,

1 , ,

1

, 1 ,

0

,

0

i SOUTH

i SOUTH j

i NORTH

j NORTH j

i EAST

j i EAST j

WEST

j

WEST

v v

u u

v v

u u

v v

u u

Điều kiện biên c a dòng vƠo

Đối với điều kiện biên dòng vƠo thì vận tốc được cho một cách rõ rƠng, ta áp đặt điều nƠy cho vận tốc pháp tuyến với biên

2.2.3.3.3 Ph ng trình Poisson

Phư ng trình Poisson đòi h i hệ tuyến tính ph i được gi i ở m i bước thời gian

Một trong những bước c b n c a các đo n mƣ lƠ việc thực hiện toán tử Laplace Đầu tiên ta sử d ng toán tử Laplace cho trường hợp một chiều bằng cách sử d ng

sai phơn hữu h n trung tơm bậc hai, ta có thể định nghĩa đ o hƠm ma trận với cấu trúc sau đơy,

121

11

a

a

h

Việc lựa chọn tham số a11 tùy thuộc vƠo các lo i điều kiện biên sau:

Điều kiện biên Dirichlet (a11 2):

2

0 0 2

2 1

2

1 1

1 2

2 1 0

h

g f h

u u

h

g f h

u u

f h

g u u

f h

u u g g

u

g

u

N N N

N N

N N

N N

N N

N N

N N

N

N

f h

u u u

f h

u u u hg

u u

hg u

u

g h

u u

g h

u u

1 2

2 1 0

1 1

1 2

0 1

1

1 0 2 1

1

2

2

22

22

u

u

h

g f h

u

u

N N N N

B A

B A

B A

B A,

2,11

,1

Do đó:

 

 ny ny nx nx  ny ny nx, nx

y x

I K Kroneck er K

, I Kroneck er

L L y x

,

2

2 2 2

Mô ph ng dòng ch y quanh một biên c ng, ta nên cho biên di chuyển một chút h n

lƠ cố định chúng Mi n sao biên nhúng nằm gần bề mặt vật thể, ta cần ph i gi i phư ng trình Navier-Stokes hai chiều với một số rƠng buộc vận tốc biên như sau,

s p

x x u X

u U

X

d t s t

t t s t

s t

t

s

,,

,,,

Khi biên nhúng lƠ biên c ng, vấn đề chính lƠ định luật liên t c ( ví d như định luật Húc cho lò xo) nhìn chung thì không được phù hợp trong giới h n c ng, nghĩa lƠ biến d ng nh c a một biên rất c ng Gi i pháp cho vấn đề nƠy lƠ ta gi sử vật thể đƠn hồi nhưng rất c ng ThƠnh phần cư ng b c trong phư ng trình (2.44) đƣ nói lên rằng các điểm biên sẽ ở sát bề mặt vật thể, theo định luật Húc cho lò xo ta có:

 s t X s t Xe s 

Với  lƠ hệ số đƠn hồi, Xe s lƠ vị trí cơn bằng, vƠ X s,t lƠ các điểm biên nhúng

mƠ chúng sẽ tư ng tác với lưu chất Áp đặt điều kiện biên chính xác trên lưới biên

nhúng đòi h i κ lớn vƠ sẽ chọn nó đ lớn để sự chuyển động lƠ không đáng kể.Vì

kéo các điểm biên nƠy quay trở l i Do đó, trong thời gian tới ta có thể mong rằng các điểm biên sẽ luôn luôn nằm sát với đường biên mong muốn c a chúng

Một khi trường vận tốc vƠ trường áp suất đƣ được tính toán thì lực c n vƠ lực nơng

có thể tính toán từ lực t i các điểm điều khiển Ta có thể xác định lực c n vƠ lực

nơng một cách đ n gi n lƠ xem xét thƠnh phần x và y c a lực tác d ng lên biên trong

miền lưu chất Điều nƠy dĩ nhiên lƠ bằng lực c n ơm, theo định luật ba Newton về chuyển động thì,

Ch ng 3

C U TRÚC HÀM DIRAC DELTA

Trong chư ng nƠy ta sẽ xơy dựng hƠm rời r c delta bằng cách sử d ng kỹ thuật lƠm mịn Trước hết ta sẽ xơy dựng hƠm một chiều rồi sau đó mở rộng sang hai chiều Trong không gian hai chiều thì hlƠ tích c a hƠm một biến ( tỷ lệ với chiều rộng

x h

h  

Gi sử rằng x/h và y/h được ký hiệu bằng r Các gi thuyết c a hƠm   r là:

j

j r j

0

j

j r j

r

j r j j

r

r

j r j

r r

r

r r

r r r

r r

r

r r

r r

2 2

2 2

11

2

011

11

22

2/111

2/12

14

1161

10

1

4/111

2/10

10

1

011

2/11

2

2 2