Điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn bằng tấm phẳng sử dụng phương pháp biên nhúng

Trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp biên nhúng Immersed Boundary - IB trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu.. Trong đó, phương pháp chia lưới theo

Trong luận văn này tác giả sử dụng phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary - IB) trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu Phương pháp này sử dụng tổng hợp hai biến: biến Eulerian và biến Lagrangian Miền kết cấu được rời rạc thành các điểm Lagrangian nhúng trong miền lưu chất sử dụng biến Eulerian Một hàm lực được tính toán tại các điểm biên nhúng và phân bố vào miền lưu chất để đảm bảo điều kiện biên không trượt trên biên Tương tác giữa các điểm Lagrangian và các biến của lưu chất trên lưới cố định Cartesian thông qua hàm rời rạc Dirac delta u điểm chính của phương pháp biên nhúng là tiết kiệm bộ nhớ, CPU và dễ dàng chia lưới cho miền kết cấu và lưu chất khi so sánh với các phương pháp lưới phi cấu trúc Hơn nữa, khi bài toán có biên di chuyển thì phương pháp biên nhúng cũng không cần chia lại lưới sau mỗi bước lặp

Trong phần kết quả của luận văn sẽ trình bày các mô phỏng số của dòng chảy qua trụ tròn cố định và trụ tròn dao động tuần hoàn bằng phương pháp biên nhúng Các thông số cụ thể của dòng chảy qua trụ tròn được khảo sát tại các số Reynolds khác nhau như: hệ số nâng trung bình, hệ số cản trung bình, đồ thị hệ số

cản và hệ số nâng, chiều dài khu vực tuần hoàn phía sau trụ tròn, số Strouhal Bài

toán điều khiển bị động dòng chảy sử dụng tấm phẳng bằng phương pháp biên nhúng được khảo sát Tác giả đã nghiên cứu sự ảnh hưởng của chiều dài tấm phẳng đến hệ số cản của kết cấu Ngoài ra, đặc điểm của các xoáy và lực tác dụng lên trụ tròn khi có tấm phẳng dao động phía sau được trình bày trong phần tiếp theo Các kết quả trong luận văn này được so sánh với kết quả của một vài nghiên cứu khác

Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là cơ sở để giải quyết các bài toán trong thực tế như mô phỏng dòng máu trong các mạch máu, điều khiển dòng chảy qua máy bay, ôtô, cầu treo, các tòa nhà hay sự chuyển động của các sinh vật trong nước,…

vi

In this thesis, a new immersed boundary technique for the simulation of flow interacting with solid boundary is presented This method employs a mixture of Eulerian and Lagrangian variables The solid boundary is represented by discrete Lagrangian markers embedding in the Eulerian fluid domain A novel force formulation on the Lagrangian markers is proposed to ensure the exact satisfaction

of the no-slip condition on the boundary Interactions between the Lagrangian markers and the fluid variables on the fixed Eulerian grid are linked by a simple discretized Dirac delta function The main advantages of the immersed boundary method are memory, CPU savings and easy grid generation compared to the unstructured grid method Even moving boundary problems can be handled with the immersed boundary method without regenerating grids in time, unlike the unstructured grid method

In the results of this thesis, we perform numerical simulations of flow past a fixed circular cylinder and in-line oscillating cylinder in a free stream using the immersed boundary method Detailed informations about the flows over the cylinder, at different Reynolds numbers are presented These flow quantities are the mean drag and mean lift coefficients, the drag and lift graph, the recirculation length behind the cylinder and the Strouhal number, for low Reynolds numbers The passive control flow over a circular cylinder by splitter plates is investigated Study the influence of the plate length on the drag coefficient In addition, the vortex shedding characteristics and the drag force acting on a circular cylinder, attached with an oscillating splitter plate, are investigated The results were compared with experimental and with other numerical studies

Results of the research can be applied to simulate for blood flow in body, compute, design and control the flow past airplans, cars, bridges, high buildings and towers,…

Trang tựa Trang Quyết định giao đề tài

Lý lịch khoa học i

Lời cam đoan iii

Lời cảm ơn iv

Tóm tắt v

Abstract vi

Mục lục vii

Danh sách các ký hiệu viết tắt x

Danh sách các hình xi

Danh sách các bảng xiii

Chương 1 TỔNG QUAN V LĨNH V C NGHIểN CỨU 1.1 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 1

1.2 Mục đích của đề tài 6

1.3 Nhiệm vụ và giới hạn của đề tài 7

1.4 Phương pháp nghiên cứu 8

C hương 2 PH NG PHÁP BIểN NHÚNG CHO BIểN CỨNG C Đ NH VÀ DI CHUY N 2.1 Phương pháp biên nhúng 9

2.2 Các phương trình điều khiển 11

2.3 Phương pháp biên nhúng cho biên cứng cố định 14

2.4 Phương pháp biên nhúng cho biên cứng di chuyển 15

viii

2.6 Giải thuật của phương pháp biên nhúng 18

C hương 3 PH NG TRỊNH NAVIER-STOKES TRONG PH NG PHÁP BIÊN NHÚNG 3.1 Rời rạc miền không gian và thời gian 19

3.2 Rời rạc miền kết cấu 19

3.3 Phương trình Navier-Stokes 20

3.3.1 Xử lí các thành phần phi tuyến độ nhớt 21

3.3.2 Hiệu chỉnh áp suất 21

3.3.3 Rời rạc lưới Cartesian của miền lưu chất 22

3.3.4 Xấp xỉ các đạo hàm 23

3.3.5 Các điều kiện biên 26

C hương 4 K T QU NGHIểN CỨU 4.1 Dòng chảy qua trụ tròn cố định 28

4.2 Dòng chảy qua trụ tròn dao động tuần hoàn 34

4.3 Điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn bằng tấm phẳng 38

4.3.1 Tấm phẳng cố định 40

4.3.2 Tấm phẳng dao động tuần hoàn 42

4.3.2.1 Xoáy thường 45

4.3.2.2 Chuỗi xoáy 45

4.3.2.3 Xoáy từ tấm phẳng 46

4.3.3 Hệ số cản của kết cấu khi tấm phẳng dao động 50

5.1 Kết luận 54

5.2 Đề xuất và hướng phát triển 55

TÀI LI U THAM KH O 56

PH L C 59

x

FEM : Phương pháp phần tử hữu hạn

IBM: Phương pháp biên nhúng

FSI : Tương tác giữa lưu chất và kết cấu

2D: Miền hai chiều

DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 2.1: Lưới cấu trúc và phi cấu trúc chia theo biên vật thể 9

Hình 2.2: Lưới Cartesian sử dụng trong phương pháp biên nhúng 9

Hình 2.3: Các cách tiếp cận khác nhau khi giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu 10

Hình 2.4: Sự phân bố lực và nội suy vận tốc trong phương pháp biên nhúng tại điểm điều khiển (điểm Lagrangian) 11

Hình 2.5: Mô hình của hệ lưu chất-biên nhúng 13

Hình 2.6: Phương pháp biên nhúng cho biên cứng di chuyển 16

Hình 2.7: Đồ thị của hàm rời rạc Dirac delta 18

Hình 3.1: Lưới so le của miền lưu chất trong phương pháp sai phân hữu hạn 22

Hình 4.1: Miền tính toán và các điều kiện biên của bài toán 28

Hình 4.2: Mô tả đường dòng tại Re =20 và Re =40 30

Hình 4.3: Trường áp suất tại Re =20 và Re =40 31

Hình 4.4: Mô tả đường dòng tại Re =100 và Re =200 32

Hình 4.5: Trường áp suất tại Re =100 và Re = 200 33

Hình 4.6: Hình dạng xoáy tạiRe =100 và Re =200 33

Hình 4.7: Hệ số cản và nâng theo thời gian tại Re=100 và Re =200 34

xii

Hình 4.9: Đồ thị hệ số nâng theo thời gian của trụ tròn dao động ngang 36

Hình 4.10: Đồ thị hệ số cản theo thời gian của trụ tròn dao động 37

Hình 4.11: Miền tính toán và các điều kiện biên của bài toán 40

Hình 4.12: Mô tả đường dòng khi tấm phẳng cố định tại Re=100 40

Hình 4.13: nh hưởng của chiều dài tấm phẳng đến hệ số cản của kết cấu 42

Hình 4.14: Mô hình của bài toán 42

Hình 4.15: Hai dạng xoáy trong bài toán Nét liền là xoáy cùng chiều kim đồng đồ và nét đứt là xoáy ngược chiều kim đồng hồ 43

Hình 4.16: Tương tác giữa các xoáy ban đầu của tấm phẳng và xoáy của trụ tròn khi tấm phẳng di chuyển xuống dưới với A=0.2 và f s =0.5 44

Hình 4.17: Các dạng xoáy hình thành phụ thuộc và bên độ và tần số dao động của tấm phẳng 47

Hình 4.18: Các dạng xoáy hình thành khi tấm phẳng ở vị trí giữa trong quá trình di chuyển xuống 48

Hình 4.19: Hình dạng xoáy ở phía xa dòng 48

Hình 4.20: Các dạng xoáy hình thành khi tấm phẳng ở vị trí cao nhất 49

Hình 4.21: Đồ thị của hệ số cản theo các biên độ và tần số khác nhau 51

Hình 4.22: Trường áp suất khi tấm phẳng di chuyển từ vị trí giữa đến vị trí thấp nhất với A=0.5 và f s =0.2 52

Hình 4.23: Trường áp suất khi tấm phẳng đặt cố định 52

DANH SÁCH CÁC B NG

B ng 4.1: Chiều dài của xoáy tuần hoàn và hệ số cản của trụ tròn 31

B ng 4.2: So sánh hệ số cản và hệ số nâng của trụ tròn 34

B ng 4.3: Số Strouhal của dòng chảy tại Re=100 35

B ng 4.4: So sánh hệ số nâng, hệ số cản của trụ tròn dao động tại Re=100 37

B ng 4.5: Thông số của dòng chảy khi có và không có tấm phẳng tại Re=100 41

B ng 4.6: Bảng hệ số cản của kết cấu phụ thuộc vào chiều dài tấm phẳng 41

B ng 4.7: Hệ số cản của kết cấu theo các biên độ và tần số dao động khác nhau 50

Chương 1

TỔNG QUAN V LĨNH V C NGHIểN CỨU

1.1 T ng quan tình hình nghiên c u trong và ngoài nư c

Ngày nay, việc ứng dụng các phương pháp số dưới sự hỗ trợ của máy tính để giải quyết các bài toán cơ học trong thực tế đã trở nên phổ biến và cần thiết bởi những tính năng vượt trội của nó như: giải quyết nhanh, đơn giản và cho kết quả khá chính xác Vì vậy, đã có nhiều phương pháp số ra đời và ngày càng phát triển mạnh, trở thành một công cụ hữu hiệu không thể thiếu khi giải quyết các bài toán trong lĩnh vực khoa học và kỹ thuật Có thể liệt kê một vài phương pháp số đang

phổ biến trên thế giới và tại Việt Nam như: phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM), phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method

- FDM), phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method - FVM), phương

pháp phần tử biên (Boundary Element Method - BEM), phương pháp không lưới (Meshless Method),…Trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật, đặc biệt là các ngành công

nghệ cao, đòi hỏi độ chính xác cao như hàng không, vũ trụ, giao thông, y sinh học, quân sự …thì lợi ích từ việc sử dụng các phương pháp số trong quá trình nghiên cứu, sản xuất là rất lớn

Trong lĩnh vực cơ học lưu chất nói chung, bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu trong thực tế nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu Đây là một lĩnh vực khó, cần đầu tư nhiều về con người, tài chính cũng như thời gian nghiên cứu nhưng lợi ích mà chúng mang lại thì rất lớn Từ những kết quả nghiên cứu sẽ giúp chúng ta chế tạo các sản phẩm có chất lượng tốt hơn, chi phí thấp hơn, tuổi thọ cao hơn,…Khi nghiên cứu bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu, đối với các bài toán có biên dạng của kết cấu phức tạp hay có lớp biên di chuyển thì

nhận được rất nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước Việc khảo sát các bài toán này gặp nhiều trở ngại nhưng vì tầm quan trọng trong thực tế nên đã có nhiều phương pháp số ra đời Trong đó, phương pháp chia lưới theo miền biên vật thể hay lưới phi cấu trúc là các phương pháp số phổ biến để giải quyết các bài toán có biên dạng phức tạp hay có lớp biên di chuyển Tuy nhiên chi phí tính toán và yêu cầu bộ nhớ của máy tính khi giải quyết bài toán này theo các phương pháp trên thì rất cao Đặc biệt với các bài toán có miền tính toán lớn, việc chia lại lưới theo các bước thời gian cho toàn miền này rất tốn thời gian, đồng thời kết quả nhiều khi có sai số lớn Do đó, chi phí tính toán và độ chính xác của kết quả dường như là hai thách thức lớn nhất trong loại bài toán này

Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary Method - IBM) đã ra đời và trở

nên phổ biến trong các thập niên gần đây Phương pháp này có khả năng giải quyết các bài toán có biên dạng phức tạp, biên di chuyển và đặc biệt là các vật thể đàn hồi nhưng yêu cầu về thời gian tính toán và bộ nhớ ít hơn so với các phương pháp thông thường Phương pháp biên nhúng được Peskin C S [1, 2] giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1972 Peskin đã sử dụng phương pháp biên nhúng để mô phỏng sự tương tác của dòng máu và sự co bóp của các cơ tim đang đập Sau đó đã được phát triển

để giải quyết các bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu (Fluid Structure Interaction - FSI) Các công thức toán học trong phương pháp biên nhúng sử dụng kết hợp hai biến: biến Eulerian và biến Lagrangian Mối quan hệ giữa hai biến này thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta Trong IBM, các biến Eulerian của miền lưu chất được định nghĩa trên lưới cố định Cartesian Các biến Lagrangian của kết cấu được định nghĩa trên lưới đường cong và di chuyển “tự do” trên lưới Cartesian cố định

mà không chịu một sự ràng buộc nào Các điểm lưới của biên nhúng thì được mô hình hóa thành các điểm lực và được đưa vào phương trình Navier – Stokes như là một thành phần của ngoại lực tác dụng lên miền lưu chất

Hiện tại, trên nền tảng là phương pháp biên nhúng, đã có nhiều nghiên cứu khác nhau nhằm nâng cao độ chính xác cũng như tầm ảnh hưởng của phương pháp

này trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu Ý tưởng chính

là sử dụng biến Eulerian để mô phỏng dòng lưu chất kết hợp với biến Lagrangian cho miền kết cấu Biên nhúng tác động các lực đơn vào miền lưu chất thông qua phương pháp nội suy Lưới Lagrangian có thể di chuyển tự do trên nền lưới Cartesian Sự khác nhau cơ bản giữa các phương pháp này là phương pháp xác định các giá trị lực tác động của kết cấu vào miền lưu chất

Goldstein D [3] đã đề xuất một phương pháp gọi là công thức biên ảo (Virtual Boundary Formulation) và đã được sử dụng để mô phỏng dòng chảy qua một khe hẹp Phương pháp này nhìn chung giống như phương pháp biên nhúng nhưng chỉ thích hợp cho việc giải quyết bài toán có biên cứng cố định hay di chuyển Ý tưởng chính của phương pháp biên ảo là để xử lý biên nhúng trong lưu chất thì áp đặt một trường lực đến lưu chất và trường lực này có vận tốc giống như vận tốc của bề mặt vật thể Đây là một mô hình ảo của điều kiện biên không trượt Bởi vì trường lực này không được biết trước nên được tính toán khi có một thông số nào đó được phản hồi lại như là vận tốc của biên Thông số này được sử dụng để phân bố các lực như mong muốn vào miền lưu chất

Fogelson A L và Peskin C S [4] đã giải phương trình Stokes trong miền 3 chiều để mô phỏng dòng chảy có các hạt trong chế độ Stokes Trong mô phỏng này, các hạt có biến dạng nhỏ Sử dụng lưới Eulerian đồng nhất cho toàn bộ miền lưu chất Mỗi hạt thì được biểu diễn thành một nhóm các điểm Lagrangian Phương trình động lượng được giải trong toàn bộ miền lưu chất Các điểm hạt di chuyển theo vận tốc cục bộ của lưu chất Vận tốc này chịu ảnh hưởng bởi trọng lực mà được tính toán thông qua các điểm Lagrangian và được phân bố đến các điểm lưới Eulerian lân cận Việc phân bố trường lực này là phi tuyến và chịu sự ảnh hưởng của độ nhớt giữa lưu chất và bề mặt hạt Tác giả đã mô phỏng khi có một và hai hạt trong dòng chảy dưới ảnh hưởng của trọng lực Nghiên cứu đã kết luận rằng phương pháp này là một công cụ số mạnh để khảo sát dòng chảy với các hạt lơ lửng

Ye T, Mittal R, [5] đã đề xuất một phương pháp gọi là phương pháp lưới

Cartesian (Cartesian Grid Method) để mô phỏng dòng chảy 2 chiều không ổn định,

nhớt, không nén được qua một kết cấu phức tạp Trong phương pháp này, các thể

tích điều khiển (control volume) gần bề mặt biên nhúng thì được thiết lập lại thành

một dạng hình chữ nhật bám theo biên vật thể để loại bỏ phần ô lưới thuộc miền vật thể và phần còn lại của ô lưới được thêm vào các ô lân cận Sử dụng thuật toán nội suy gần bề mặt biên nhúng với độ chính xác bậc 2 Khái niệm lực cưỡng bức, là lực được cộng vào trong phương trình Navier-Stokes, không được sử dụng trong phương pháp này

Kim J [6] đã đề xuất một phương pháp căn cứ vào cách tiếp cận thể tích hữu hạn sử dụng lưới so le Các dòng chảy qua các kết cấu phức tạp đã được mô phỏng bằng phương pháp này Tác giả đã sử dụng các lực cưỡng bức để đảm bảo điều kiện biên không trượt trên biên nhúng Bởi vì biên nhúng nói chung là không trùng với các điểm lưới Eulerian của lưu chất, do đó phải dùng thuật toán nội suy để tính toán các lực cưỡng bức này Lima E S [7] đã tính toán lực cưỡng bức (momentum forcing) tại thời điểm bắt đầu mỗi bước lặp Vận tốc và áp suất tại các điểm biên được nội suy bởi đa thức bậc hai Lagrange Khi lực cưỡng bức tại một điểm biên được tính, nó sẽ được phân bố vào lưới Eulerian của lưu chất thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta Toàn bộ giải thuật số của phương pháp này giống với giải thuật của Lai

và Peskin [8] ngoại trừ phương pháp tính lực cưỡng bức Mặc dù ý tưởng của phương pháp này đơn giản nhưng việc tính toán lực cưỡng bức thì rất phức tạp Không sử dụng các điểm Lagrangian, Modh-Yusof [9] đã đề xuất phương pháp

cưỡng bức trực tiếp (Direct forcing) Trong phương pháp này, lực cưỡng bức trực

tiếp được áp đặt đến một điểm liền kề với bề mặt biên và phía trong của vật thể, tương đương việc áp đặt điều kiện biên vận tốc trên lưới Eulerian để đảm bảo điều kiện biên không trượt tại biên nhúng Do đó, các dữ liệu liên quan về vị trí của các điểm lưới Eulerian, vị trí bên ngoài và vị trí bên trong của biên nhúng phải được xác định

Ngoài ra còn có một số phương pháp khác như phương pháp biên nhúng mở

rộng (Extend Immersed Boundary Method – EIBM) [10] khi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán miền kết cấu, miền lưu chất vẫn sử dụng lưới Cartesian Trong EIBM, thay cho các biên nhúng đàn hồi không có thể tích, các miền kết cấu đàn hồi được lấp đầy bởi một thể tích hữu hạn trong miền lưu chất Sự tương thích giữa động học và động lực học trong quá trình tương tác và ảnh hưởng của miền biên nhúng đặc được chọn một cách phù hợp với tính toán lực trong công thức phần tử hữu hạn Sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích ứng suất thực tế của miền kết cấu thì phù hợp với các kết cấu có biến dạng lớn Phương pháp

phần tử hữu hạn nhúng (Immersed Finite Element Method – IFEM) [11] sử dụng

phương pháp phần tử hữu hạn cho cả miền lưu chất và kết cấu Trong IFEM, lưới

đặc Lagrangian di chuyển trên nền lưới Eulerian được chia trong toàn bộ miền lưu chất Cả miền lưu chất và kết kết được mô hình hóa theo phương pháp phần tử hữu hạn và tính liên tục giữa miền lưu chất và các miền kết cấu thông qua phương pháp nội suy vận tốc và phân bố lực thông qua hàm delta Reproducing Kernel Partical Method - RKPM

Một trong những ưu điểm lớn nhất của phương pháp biên nhúng là việc sử dụng hai hệ lưới khác nhau cho miền lưu chất và miền kết cấu nên việc chia lưới tương đối đơn giản Do sử dụng hai hệ lưới độc lập nên không cần chia lưới lại sau mỗi bước thời gian trong các bài toán tương tác, bởi vậy có thể tiết kiệm được thời gian và chi phí tính toán

Hiện tại, phương pháp biên nhúng là một hướng nghiên cứu còn khá mới trong lĩnh vực cơ học lưu chất nói chung và trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu nói riêng Phương pháp này đã nhận được nhiều sự quan tâm và nghiên cứu của các nhà khoa học trên thế giới Đặc biệt là trong lĩnh vực điều khiển dòng chảy qua kết cấu phức tạp Tuy nhiên tại Việt Nam thì chưa thấy có công trình nghiên cứu chính thức nào được công bố

1.2 M c đích c a đ tài

Việc ứng dụng phương pháp số để giải quyết các bài toán cơ học trong thực tế

rất quan trọng, đặc biệt là trong các lĩnh vực công nghệ cao đòi hỏi sự chính xác và

an toàn cao như vũ trụ, hàng không, y tế, quân sự, Thường thì để giải quyết các

vấn đề này thì tốn rất nhiều thời gian cũng như chi phí tính toán Mỗi phương pháp

số khác nhau thì có những ưu, nhược điểm khác nhau và tùy thuộc vào mỗi bài toán

cụ thể mà chọn phương pháp số thích hợp nhất Với sự phát triển của khoa học và công nghệ thì yêu cầu đặt ra là các phương pháp số phải thỏa mãn các yếu tố cơ bản như: sai số, sự ổn định và tốc độ hội tụ (thời gian tính toán) của phương pháp Một phương pháp số được đánh giá là tốt thì phải đảm bảo cả ba yếu tố trên

Trong thực tế, hiện tượng các xoáy xuất hiện phía sau trụ tròn là một vấn đề nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu về lưu chất cũng như các lĩnh vực khác Các đuôi xoáy phía sau trụ tròn gây nên các lực không ổn định tác dụng lên kết cấu nên các kết cấu này có khả năng bị phá hủy rất lớn Bởi vì tầm quan trọng của nó nên đã có rất nhiều nghiên cứu nhằm làm giảm sự tác động các các xoáy này lên kết cấu Có hai phương pháp chính để điều khiển dòng chảy không ổn định qua kết cấu: điều khiển chủ động và điều khiển bị động Các phương pháp điều khiển chủ động sử dụng một vài dạng năng lượng khác nhau vào trong trường dòng chảy Đã có rất nhiều kỹ thuật điều khiển chủ động được sử dụng để điều khiển dòng chảy không ổn định như điều khiển phản hồi, điều khiển điện từ, trụ tròn dao động xoay,… Ngoài ra, kỹ thuật điều khiển bị động cũng đã được phát triển để điều khiển các xoáy hình thành phía sau bằng cách thay đổi các hình dạng của vật cản hoặc sử dụng các thiết bị phụ trợ khác mà không liên qua đến năng lượng đầu vào Các kỹ thuật được sử dụng nhiều như tấm phẳng, trụ tròn điều khiển hay kết cấu có

bề mặt lồi Trong phương pháp điều khiển bị động, kết cấu tấm phẳng được sử dụng thường xuyên và đạt hiệu quả tốt nhất

Với những ưu điểm của phương pháp biên nhúng trong việc giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu, nội dung chính trong luận văn là trình bày

phương pháp điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn bằng tấm phẳng sử dụng phương pháp biên nhúng Cụ thể là khảo sát sự ảnh hưởng của chiều dài tấm phẳng

cố định đến hệ số cản của kết cấu Nghiên cứu các dạng xoáy hình thành phía sau trụ tròn khi có gắn một tấm phẳng dao động điều hòa phía sau Đồng thời xét sự ảnh hưởng của biên độ và tần số dao động của tấm phẳng đến hệ số cản của trụ tròn Từ các kết quả đã đạt được có thể chọn ra phương pháp điều khiển tối ưu nhằm tránh

sự phá hủy của kết cấu do các xoáy dao động gây ra Bên cạnh đó cũng áp dụng phương pháp biên nhúng để mô phỏng dòng chảy qua trụ tròn cố định và trụ tròn dao động theo một quỹ đạo đã xác định trước Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là cơ sở để giải quyết các bài toán trong thực tế như mô phỏng dòng máu trong các mạch máu, điều khiển dòng khí qua máy bay, ôtô, cầu treo, các tòa nhà hay sự chuyển động của các sinh vật trong nước,…

1.3 Nhi m v và gi i h n c a đ tài

Do thời gian cũng như trình độ về lĩnh vực liên quan còn hạn chế nên trong nội dung luận văn này không trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp biên nhúng

cho mô hình trong không gian (3D) mà chỉ khảo sát dòng trong không gian hai

chiều (2D) Phương pháp giải phương trình Navier – Stokes sử dụng trong luận văn

là phương pháp sai phân hữu hạn trên hệ lưới Cartesian Phương pháp điều khiển dòng chảy chỉ sử dụng phương pháp điều khiển bị động Từ cơ sở lý thuyết đã được xây dựng, các bài toán mô phỏng sẽ được lập trình trên phần mềm Matlab 7.11.0 Nhiệm vụ chính của luận văn này tập trung vào giải quyết các vấn đề sau:

 Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp biên nhúng cho bài toán có biên cứng cố định và biên cứng chuyển động

 Mô phỏng dòng chảy qua trụ tròn cố định và trụ tròn dao động theo quỹ đạo

đã xác định trong miền lưu chất nhớt, không nén được theo các số Reynolds khác nhau

 Điều khiển bị động dòng chảy qua trụ tròn sử dụng tấm phẳng cố định và dao động bằng phương pháp biên nhúng

1.4 Phương pháp nghiên c u

 Thu thập tài liệu thiết yếu liên quan đến đề tài nghiên cứu

 Trình bày cơ sở lý thuyết của phương pháp nghiên cứu

 Lập trình, giải quyết các bài toán cụ thể trên phần mềm Matlab

 So sánh và đánh giá kết quả đạt được

dụng để giải quyết các bài toán có biên cố định như trong hình 2.1 Tuy nhiên chi phí tính toán và yêu cầu bộ nhớ của các phương pháp này tương đối cao Đặc biệt các bài toán có biên di chuyển theo thời gian hay biến dạng lớn thì yêu cầu sau mỗi bước lặp thời gian thì phải chia lại toàn bộ lưới Việc chia lưới này rất tốn thời gian

và đôi khi gây ra sai số lớn Ngược lại lưới trong phương pháp biên nhúng thì đơn giản hơn nhiều Hình 2.2 thể hiện các dạng lưới được sử dụng trong phương pháp biên nhúng

Hình 2.1: Lưới cấu trúc và phi cấu trúc chia theo biên vật thể [15]

Hình 2.2: Lưới Cartesian sử dụng trong phương pháp biên nhúng [15]

a Lưới đồng nhất b Lưới không đồng nhất

Hình 2.3 thể hiện ba cách tiếp cận khác nhau khi giải quyết bài toán tương tác giữa lưu chất và kết cấu Hình bên trái là phương pháp truyền thống để giải quyết bài toán tương tác Trong phương pháp này, miền kết cấu trong lưu chất sử dụng các công thức phần tử hữu hạn (Finite Element Method - FEM) và lưu chất xung

quanh được tính toán theo động lực học lưu chất (Computational Fluid Dynamic - CFD) Theo cách tiếp cận CFD/FEM, sự tương thích giữa động học và động lực

học của giữa lưu chất và kết cấu phải được tính toán Hình giữa là cách giải quyết bài toán theo phương pháp biên nhúng sử dụng trong luận văn Lưới của miền lưu chất thì hoàn toàn độc lập với sự di chuyển của miền kết cấu Sự phân bố các nội lực vào miền lưu chất và nội suy các chuyển động của biên nhúng thể hiện sự tương tác giữa lưu chất và kết cấu Hình bên phải là phương pháp biên nhúng mở rộng

(Extend Immersed Boundary Method - EIBM) Thay cho các điểm Lagrangian trong phương pháp biên nhúng, trong phương pháp này toàn bộ miền kết cấu được chia

lưới đặc Trong EIBM, chúng ta cũng quan tâm sự tương thích động học và động

lực học giữa miền lưu chất và miền kết cấu nh hưởng của miền kết cấu đến miền lưu chất thể hiện thông qua các điểm lực mà được tính toán bằng công thức phần tử hữu hạn

Mô hình bài toán

Lưu chất

Tương tác giữa lưu chất – kết cấu Kết cấu

FEM FEM

Hình 2.3: Các phương pháp khác nhaukhi giải quyết bài toán tương tác giữa lưu

chất và kết cấu

Hình 2.3: Các cách tiếp cận khác nhau khi giải quyết bài toán tương tác giữa

lưu chất và kết cấu

Phương pháp biên nhúng (Immersed Boundary Method-IBM) được Peskin C S

giới thiệu vào năm 1972 Ban đầu, phương pháp này được phát triển để nghiên cứu

sự tương tác của dòng máu trong cơ thể người Tuy nhiên về sau được phát triển để giải quyết các bài toán y sinh học khác nhau Bên cạnh đó cũng được sử dụng để giải các bài toán có biên cứng cố định hay biên đàn hồi di chuyển

Điểm đặc biệt trong phương pháp biên nhúng là sử dụng kết hợp hai biến: biến Eulerian và biến Lagrangian Biên của kết cấu được rời rạc thành các điểm Lagrangian hay gọi là điểm điều khiển trong miền lưu chất sử dụng lưới Cartesian Phương pháp biên nhúng thiết lập các điểm điều khiển này để thể hiện sự tương tác với lưu chất Các lực khối được tính toán tại các điểm điều khiển này và phân bố đến các điểm lưới Cartesian lân cận bằng hàm xấp xỉ Dirac delta được thể hiện trong hình 2.4 Khi các lực khối được tính toán tại các điểm điều khiển và phân bố vào lưới Cartesian, phương trình Navier-Stokes với thành phần lực cưỡng bức được giải để tìm trường áp suất và trường vận tốc tại các điểm lưới Cartesian Sau đó vận tốc này được nội suy để tìm vận tốc của điểm điều khiển

2.2 Các phương trình đi u khi n

Trong phần này sẽ trình bày các phương trình toán học sử dụng trong phương pháp biên nhúng Xét một miền hình chữ nhật trong không gian 2 chiều (2D):

Hình 2.4: Sự phân bố lực và nội suy vận tốc trong phương pháp biên nhúng tại

điểm điều khiển (điểm Lagrangian)

Phân bố lực

Nội suy vận tốc

ij

u

ij

F

 =[0, L] x [0, H] có dòng lưu chất nhớt, không nén được chứa biên nhúng là một vòng kín  như hình 2.5a Sử dụng các chữ cái thường để biểu diễn các biến định bnghĩa trên lưới Cartesian và chữ cái hoa cho các biến Lagrangian Biên nhúng có các thông số: X s t, , 0 s L b, X 0,t XL t b, trong đó:L blà chiều dài cung kín

Các phương trình (2.3) và (2.4) thể hiện sự tương tác giữa biên nhúng và lưu

chất Phương trình (2.3) xác định lực khối của biên nhúng áp đặt lên toàn bộ miền

lưu chất thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta Trong khi đó phương trình (2.4) thể hiện

biên nhúng được di chuyển theo miền lưu chất

Hình 2.5: a) Mô hình của hệ lưu chất-biên nhúng b) Rời rạc lưới Eulerian (điểm sáng) và lưới Lagrangian (điểm đen)

Khi phân bố lực của các điểm biên nhúng vào miền lưu chất cũng như nội suy

vận tốc của biên nhúng trong lưu chất chúng ta sử dụng hàm xấp xỉ Dirac delta Hai

tính chất quan trọng của hàm xấp xỉ Dirac delta xX s, t  là:

x X

2.3 Phương pháp biên nhúng cho biên c ng c đ nh

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày cơ sở lý thuyết để giải quyết bài toán

dòng chảy qua một biên cứng cố định theo phương pháp biên nhúng Trong IBM,

khi vật thể là biên cứng thì có thể xem là biên đàn hồi nhưng có độ cứng rất lớn [8] Gọi Xe s,t là tọa độ ban đầu của các điểm biên nhúng trong hệ tọa độ Lagrangian Khi tương tác với dòng lưu chất thì các điểm biên này di chuyển theo dòng lưu chất,

lúc này có tọa độ là X s, t Nhưng trong phương phápbiên nhúng cho biên cứng cố định thì các điểm biên ban đầuXe s,t được cố định trên lưới Cartesian Do là biên cứng cố định nên chúng ta phải đảm bảo khoảng cách giữa hai tọa độ Xe s,t và

 s, t

X Thành phần lực khối trong phương trình 2.7 đảm bảo để các điểm biên sẽ luôn bám sát với bề mặt thực của vật thể Bởi vì biên nhúng được xem như là biên đàn hồi nên theo định luật Hooke ta có:

 s t,  k  s t,  e s t, 

Với k là độ cứng của lò xo liên kết ảo giữa các điểm biên cố định trên lưới

Cartesian và điểm biên di chuyển theo miền lưu chất Việc áp đặt chính xác điều

kiện biên trên các điểm biên nhúng thì yêu cầu chọn hệ số k đủ lớn để việc di

chuyển của các điểm biên nhúng là không thể Bởi vì nếu có một điểm biên nào rời

xa vị trí mong muốn, lực kéo của các lò xo sẽ kéo điểm đó về vị trí ban đầu Xe s,t

Do đo, tại mỗi bước thời gian, các điểm biên nhúng này sẽ luôn luôn bám sát với miền biên thật của kết cấu Việc xác định các hàm lực của biên nhúng được tính toán độc lập và giá trị của lực này sẽ cộng vào phương trình Navier – Stokes cho toàn bộ miền lưu chất Giải phương trình này trong miền 2 chiều có chứa đoạn biên nhúng để tìm trường vận tốc và trường áp suất của miền lưu chất

s p

t t s t

s t

t

s

,,

,,,

Trong các mô phỏng, trường vận tốc và trường áp suất của lưu chất trong toàn miền thì được tìm thấy Tuy nhiên để so sánh kết quả mô phỏng bằng phương pháp biên nhúng với các phương pháp số khác, các hệ số nâng và hệ số cản của kết cấu sẽ được xác định dựa vào các hàm lực tại các điểm biên nhúng Chúng ta có thể định

nghĩa lực nâng và lực cản của kết cấu dựa theo các thành phần lực theo phương x và

y của các hàm lực F s t, tại các điểm biên nhúng trong miền lưu chất

Lực cản của kết cấu: F D  f x dxF x ds (2.12) Lực nâng của kết cấu: F L  f y dxF y ds (2.13)

ở đâyf x, f y và F x,F y là các lực thành phần theo phương x và y của các lực khối

f và F tại các điểm biên nhúng

2.4 Phương pháp biên nhúng cho biên c ng di chuy n

Khi giải quyết các bài toàn có lớp biên di chuyển theo dòng lưu chất mà áp dụng các phương pháp thông thường như: phần tử hữu hạn, thể tích hữu hạn, phương pháp phần tử biên,…thì gặp khó khăn vì chi phí tính toán lớn Việc phải chia lưới lại theo từng bước thời gian sẽ làm cho tốc độ tính toán chậm, đôi khi sẽ gây ra sai

số lớn Do đó đã có nhiều phương pháp số dành riêng để xử lí các loại bài toán phức tạp này Trong đó phương pháp biên nhúng là một cách tiếp cận mới và nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học

Trong phương pháp biên nhúng cho lớp biên di chuyển, vẫn sử dụng hai hệ tọa

độ lưới khác nhau Hệ tọa độ cố định Cartesian cho toàn bộ miền lưu chất và hệ không cố định Lagrangian cho miền kết cấu Mối quan hệ của hai hệ tọa độ này thông qua một hàm xấp xỉ Dirac delta Hệ tọa độ không cố định Lagrangian chuyển

động theo miền kết cấu Vì sử dụng hai hệ lưới độc lập nên không cần phải chia lưới theo các bước thời gian

Trong các bài toán có biên cứng di chuyển, quỹ đạo của biên nhúng được xác định thông qua phương trình vận tốc hay phương trình quỹ đạo Giả sử biên nhúng dao động tuần hoàn theo phương trình vận tốc sau:

U c 2 f Ac c os(2 f t c ) (2.14) hay phương trình quỹ đạo: x Asin(2 f t c ) (2.15)

Trong đó A, f c lần lượt là biên độ dao động và tần số dao động của vật thể Để xử

lý bài toán có biên cứng di chuyển, chúng ta thực hiện các bước giống như bài toán biên cứng cố định nhưng có một vài điểm thay đổi Cụ thể, thay vì các tọa độ ban đầuXe s,t cố định trên lưới Cartesian trong bài toán biên cứng cố định Trong bài toán có biên di chuyển thì các tọa độ ban đầu này sẽ di chuyển theo quỹ đạo đã xác định trước theo phương trình (2.14) hay (2.15) Các điểm này không chịu sự tác động của lưu chất mà chỉ di chuyển theo quỹ đạo đã xác định Lúc này, thông qua các lò xo liên kết ảo giữa các điểm mục tiêu và các điểm biên thực thì khoảng cách giữa các điểm này luôn được đảm bảo như được minh họa trong hình 2.6 Một vấn

đề cần phải được quan tâm là phải thiết lập số điểm mục tiêu bằng với số điểm biên nhúng

2.5 Hàm xấp x Dirac delta

Trong phần này sẽ trình bày hàm xấp xỉ Dirac delta Hàm hai chiềuhđược xây

dựng theo các hàm biến một chiều với h là kích thước lưới theo phương trình sau:

Hàm   r trong miền hai chiều sử dụng trong phương pháp biên nhúng có dạng tổng quát như sau:

0

2 1

, 4 12 7 2

5 8

1

1 0

, 4 4 1 2 3 8

1

2 2

r

r r

r r

r r

r r

r

Đồ thị của hàm xấp xỉ Dirac delta được thể hiện trong hình 2.7

Hình 2.7: Đồ thị của hàm xấp xỉ Dirac delta

2.6 Gi i thu t c a phương pháp biên nhúng

Trong luận văn này, tác giả sử dụng giải thuật tường minh [8], tức là lực khối F

tại các điểm Lagrangian được tính tại bước đầu tiên trước khi giải các phương trình khác Toàn bộ giải thuật của phương pháp biên nhúng cho bài toán biên cứng cố định và bài toán biên cứng di chuyển được trình bày như sau:

(1) Xác định lực F n( , )s t từ biên của kết cấu X n s t, theo phương trình (2.8) (2) Áp đặt lực của biên nhúng lên toàn bộ miền lưu chất theo phương trình (2.7) (3) Giải phương trình Navier-Stokes đã có thành phần ngoại lực

(4) Nội suy vận tốc mới của các điểm biên nhúng theo phương trình (2.11) (5) Quay lại thực hiện bước (1)

Chương 3

3.1 Rời r c mi n không gian và thời gian

Các công thức toán học của phương pháp biên nhúng sử dụng tổng hợp hai biến: biến Eulerian và biến Lagrangian Mối quan hệ giữa hai biến này thông qua

hàm xấp xỉ Dirac delta Trong IBM, các biến Eulerian được định nghĩa trên lưới cố

định Cartesian và các biến Lagrangian được định nghĩa trên lưới đường cong và di chuyển “tự do” trên lưới Cartesian mà không chịu một sự ràng buộc nào như hình 2.5b Trong không gian 2 chiều, xét miền lưu chất: f [0, ] [0, ]L  H , n xn y lần

lượt là tổng số điểm lưới Eulerian theo phương x và phương y, hh x h y là kích thước lưới Eulerian và h x h y L n/ x H n/ y Hai chỉ số kèm theo các biến Eulerian để xác định vị trí được xét đến trên lưới Cartesian Do đó uij cho biết giá trị

của biến u tại điểm lưới thứ i và j Chúng ta sử dụng N bđiểm lưới Lagrangian cho miền kết cấu (biên nhúng) với kích thước sL b /N b và những điểm lưới

Lagrangian này chỉ có một chỉ số kèm theo Do đó Fk cho biết giá trị của biến F tại

điểm lưới thứ k của các biến Lagrangian Vị trí của điểm lưới thứ k được xác định trong biến X k Mặt khác, chúng ta cũng sử dụng các chỉ số mũ trên theo các biến để

thể hiện các giá trị của các biến tại các bước thời gian khác nhau như:

lưu chất thông qua hàm xấp xỉ Dirac delta Giá trị của lực khối tác dụng vào miền lưu chất được xác định theo công thức sau:

n j h

n k

n

1

, ,

Trong đóh x là hàm xấp xỉ Dirac delta trong miền 2 chiều

Giải phương trình Navier-Stokes đã có thành phần lực khối để xác định trường

u tại các điểm lưới Cartesian sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn trên lưới Cartesian [12] Sau đó, trường vận tốc này được nội suy

để tìm vận tốc tại các điểm biên nhúng theo phương trình:

trên Có nhiều phương pháp số để giải khác nhau nhưng trong nội dung luận văn sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn trên lưới Cartesian [12] Tại thời điểm bắt đầu

t=0 các giá trị ban đầu của u và v đã được xác định Sau đó bước thời gian tăng lên theo t cho đến khi kết thúc Do đó, việc giải các phương trình trên tại bước thời gian thứ n1 theo 3 bước chính sau:

(bởi vì u 0)

Phương trình (3.7) là phương trình Poisson cho dòng lưu chất nhớt, không nén

được Giải hệ phương trình tuyến tính này ta tìm được áp suấtp n 1tại bước thời gian

n1 Tóm lại, trong bước thời gian thứ n1 bao gồm các bước sau:

Bước 1: Xác định u ** từ các vận tốc u n,v n theo phương trình 3.4 và 3.5 Bước 2: Giải phương trình Poisson (3.7) để tìm áp suất p n1

Bước 3: Tính trường vận tốc mớiu n 1,v n 1 sử dụng n 1 ** t n 1

p



    

các giá trị áp suấtp n 1đã tính ở bước 2

3.3.4 Rời r c ệưới Cartesian của miền ệưu chất

Khi giải phương trình Navier-Stokes, miền lưu chất f thường được rời rạc sử

dụng lưới so le, với áp suất p được định nghĩa tại tâm của ô lưới, vận tốc u, v lần

lượt được định nghĩa trên cạnh đứng bên phải và cạnh ngang phía trên của ô lưới như trong hình 3.1

biên Bất kì một điểm nào nằm bên trong của miền tính toán là điểm bên trong, ngược lại các điểm nằm bên trên hoặc bên ngoài biên là các điểm biên Trong hình 3.1, các điểm tối đại diện cho các điểm nằm bên trong, trong khi các điểm sáng đại diện cho các điểm biên

, 1 ,

, 1

, 2

2

2

2 ,

22

h

u u u

h

u u u

y

u x

u

j j

, 1 , ,

1

, 2

2

2

2 ,

22

h

v v v

h

v v v

y

v x

v

j j

h

u u

x

j i

, , 1

 Các thành phần phi tuyến (sai phân trung tâm)

Các thành phần phi tuyến của phương trình được rời rạc trên lưới Cartesian không trực tiếp Ví dụ, tích uv thì không xác định trực tiếp bởi vì u và v được định

nghĩa tại các vị trí khác nhau trên một ô lưới Do đó, để giải quyết vấn đề này thì ta

có một giải thuật lùi về một bước (arguments backwards): Để cập nhật u, chúng ta

cần xác định  /u2 x và  /uv y Nếu dòng chảy tại mỗi bước thời gian là tương đối chậm, sử dụng giải thuật đạo hàm trung tâm giống như trước đó Giải thuật này

yêu cầu u2định nghĩa tại tâm ô và uv định nghĩa tại các góc của ô Chúng ta xác

định các giá trị này bằng cách nội suy hai giá trị tại gần đó

i

u u

 

2

1 , , 2

 

2

, 1 ,

Tương tự cho thành phần vận tốc v Để đơn giản trong việc tiếp cận, chúng ta sẽ

tạo ra một biến mới để lưu giá trị giữa hai điểm là giá trị trung bình Sử dụng dấu

gạch ngang trên x để chỉ giá trị nằm theo phương ngang và dấu gạch ngang trên y để

chỉ giá trị trung bình theo phương thẳng đứng Bây giờ có thể viết dạng mới của các thành phần phi tuyến như sau:

 

y

v u x

u t

v u t

   

2

2

2

2

, 1 , 2 1 , ,

1 , 2

1

,

, , 1 , 2 1 ,

, 1 ,

2

1

j j

j y j

j j

y

j j i j i x j

j i j

i

x

v v

v u

u u

v v

v u

u u

 Các thành phần phi tuyến (sai phân tiến)

Phương pháp sai phân trung tâm là phù hợp nếu lưu chất không di chuyển quá lớn trong một bước thời gian Đối với những dòng chảy nhanh hoặc bước thời gian lớn, rời rạc này sẽ gần với việc áp dụng sai phân tiến Sự chuyển đổi giữa sai phân trung tâm và sai phân tiến thông qua tham số   0,1 được xác định như sau:

Tổ hợp tuyến tính giữa sai phân trung tâm và sai phân tiến thì được thể hiện đầy

đủ theo các bước sau:

2

~ 2

~

2

~ 2

~

, 1 , 2 1 , ,

1 , 2

1

,

, , 1 ,

2 1 ,

, 1 ,

2

1

j j

j y j

j j

y

j j i j i x j

j i j

i

x

v v

v u

u u

v v

v u

u u

u x

u u u

x

v u v

u t

3.3.6 Các điều Ệi n biên

Việc áp đặt điều kiện biên chính xác rất quan trọng, bởi vì trong lưới so le thì

có các điểm nằm trực tiếp trên biên trong khi các điểm khác thì có một biên nằm giữa chúng Quan sát hình 3.1, tại các điểm nằm trên biên thì giá trị của chúng được

xác định trực tiếp, giống như u tại phía Đông và Tây của biên và v tại phía Bắc và

phía Nam của biên Giá trị u tại phía Bắc và Nam của biên và v tại phía Tây và Đông của biên thì được định nghĩa bởi một giá trị trung bình của 2 điểm Ý tưởng này giống như phía trên: giá trị trung bình của 2 điểm Ví dụ, biên phía Bắc nằm

giữa hai điểm với vận tốc u Thiết lập hai điểm dưới và trên tương ứng là u i j, và

 Điều Ệi n biên Ệhông trượt

Các giá trị của vận tốc trên các biên cần phải được triệt tiêu để thỏa mãn điều kiện biên không trượt

Taây Ñoâng Baéc Nam

Taây Ñoâng Baéc Nam

u

 Điều Ệi n biên trượt tự do

Trong trường hợp biên trượt tự do, thành phần vận tốc pháp tuyến với biên thì triệt tiêu theo đạo hàm của thành phần vận tốc tiếp của biên:

 Điều Ệi n dòng ch y vào

Trong điều kiện dòng chảy vào thì vận tốc phải được xác định cụ thể Chúng ta

áp đặt điều kiện cho vận tốc pháp tuyến với biên