Phân tích quá trình điều khiển chủ động tấm thép với tinh thể áp điện bằng các hiệu ứng về cảm biến

d các tấm thép có chiều dƠy lớn đư c sử d ng trong lĩnh vực xơy dựng cầu đư ng vƠ nghƠnh c ng nghi p đóng tƠu còn các tấm thép có chiều dƠy nhỏ dùng lƠm các mặt bề mặt áp bên ngoƠi c a c

M CăL C

Trang tựa TRANG

LụăL CHăKHOAăH C i

L IăCAMăĐOAN ii

L IăC MăT iii

TịMăT T iv

M CăL C vi

DANHăSÁCHăCÁCăCH ăVI TăT T ix

DANH SÁCH CÁC HÌNH xi

DANHăSÁCHăCÁCăB NG xiii

CH NG 1: T NGăQUAN 1

1.1 T ngăquanăchungăv ălƿnhăvựcănghiênăc u,ăcácăk tăqu ănghiênăc uătrongăvƠă ngoƠiăn căđƣăcôngăb 1

1.2 M căđíchăc aăđ ătƠi 5

1.3 Nhi măv ăc aăđ ătƠiăvƠăgi iăh năđ ătƠi 6

1.4 Ph ngăphápănghiênăc u 6

CH NG 2: C ăS ăLụăTHUY T 8

2.1 Gi iăthi uăchungăv ăc h căv tăr n 8

2.1.1.Lực, chuy n vị, bi n d ng vƠ ng suất 8

2.1.2.Nghuyên lý cực ti u hóa th năng toƠn phần 9

2.2 Gi iăthi uăchungăv ălỦăthuy tăt m 10

2.2.1.Lý thuy t tấm Kirchoff 10

2.2.1.1 Phần tử tấm Kirchoff chịu u n 13

2.2.2.Phần tử tấm Mindlin chịu u n 20

2.2.3.Phần tử t giác 23

2.2.3.1 HƠm d ng 24

2.2.3.2 Ma trận đ c ng phần tử 26

2.2.3.3 Qui đổi lực về nút 28

2.2.3.4 Tích phơn s 28

2.2.3.5 Tính ng suất 33

2.3 Gi iăthi uăchungăv ălỦăthuy tăv tăli uăápăđi n 34

2.3.1.Giới thi u chung 34

2.3.2.Lịch sử phát tri n vƠ hình thƠnh 34

2.3.3.Phơn lo i vật li u áp đi n 36

2.3.3.1 Vật li u có m ng tinh th đ n 36

2.3.3.2 G m áp đi n 36

2.3.3.3 Ploymers áp đi n 38

2.3.3.4 Composite áp đi n 38

2.3.3.5 MƠn áp đi n mỏng 39

2.3.4.C m bi n áp đi n 39

2.3.5.B kích áp đi n 40

2.3.6 ng d ng c a vật li u áp đi n 42

2.3.7.ThƠnh lập các phư ng trình c b n c a vật li u áp đi n 44

2.3.7.1 Các h s áp đi n 51

2.3.7.2 Tư ng tác đa trư ng c a vật li u áp đi n 54

2.4 LỦăthuy tăchungăv ăđi uăkhi n 56

2.4.1.Lịch sử phát tri n vƠ hình thƠnh 56

2.4.2.S đ kh i h th ng điều khi n tự đ ng đi n hình 56

2.4.3.Phơn lo i h th ng điều khi n tự đ ng 58

2.4.4.Các phư ng pháp mô t đ ng học h th ng điều khi n tự đ ng 59

2.4.4.1 HƠm truyền đ t c a h th ng 59

2.4.4.2 Phư ng trình tr ng thái mô t h th ng 60

CH NG 3: THĨNHăL PăCỌNGăTH CăPH NăT ăH UăH N 63

3.1 Mô hình và bài toán 63

3.2 ThƠnhăl păcôngăth căc aăv tăli uăápăđi n 67

3.3 ThƠnhăl păcácămaătr năc aăph năt ăh u h n 69

3.3.1.Giới thi u 69

3.3.2.Công th c năng lư ng 69

3.3.3.Nguyên lý bi n phơn 69

3.3.4.Chuy n đổi ma trận trong chi u tọa đ địa phư ng vƠ toƠn c c 73

3.4 Phơnătíchătƿnhămôăhình 74

3.5 Phơnătíchăđ ngăh căvƠăđi uăkhi n 75

CH NG 4: K TăQU ăVĨăTH OăLU N 77

4.1 Ápăd ngăbƠiătoánăđi uăkhi năch ăđ ngăt măthép 77

4.2 K tăqu ăphơnătíchătƿnh 78

4.3 K tăqu ăphơnătíchăđ ngălựcăh c 80

CH NGă5: K TăLU NăVĨăKI NăNGH 87

5.1ăK tălu n 87

5.2ăH ngăphátătri n 87

TĨIăLI UăTHAMăKH O 89

PH ăL C 92

Codeăph năt ăh u h n 92

DANHăSÁCHăCÁCăCH ăVI TăT T

q Liên quan đ n đ c ng áp đi n

 Liên quan đ n đ c ng đi n môi

KỦăhi uăbênătrên

e Liên quan đ n phần tử

S Liên quan đ n b n d ng hằng s

T Ma trận chuy n h tọa đ

DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 2.1: N i lực trên phần tử tấm chịu u n 11

Hình 2.2: Phần tử t giác Kirchoff 13

Hình 2.3: Phần tử t giác 4 nút 23

Hình 2.4: Cầu phư ng 1 đi m Gauss 30

Hình 2.5: Đi m Gauss theo qui tắc tích phơn 2 đi m 33

Hình 2.6: Tinh th áp đi n 37

Hình 2.7: Sự phơn cực c a vật li u áp đi n 38

Hình 2.8: ng sử c a vật li u áp đi n khi chịu kích thích bên ngoƠi 38

Hình 2.9: C m bi n áp đi n 39

Hình 2.10: Lớp áp đi n đư c dán lên lớp đƠn h i 41

Hình 2.11: Tấm dán actuator LaRC-MFC đư c t o ra b i NASA-Langley năm 2000 43

Hình 2.12: GiƠy có th tích đi n năm 1996 43

Hình 2.13: Cặp deo có dơy đai áp đi n năm 2007 44

Hình 2.14: (a) mô t áp đi n tuy n tính N215 (b) B áp đi n khiều khi n vị trí theo chiều dài nanomet 44

Hình 2.15: Sự phơn cực c a vật li u áp đi n 45

Hình 2.16: Qui ước tr c vƠ s 46

Hình 2.17: Phơn lo i ma trơn liên k t áp đi n 50

Hình 2.20: Sự phơn cự bằng lực c học 52

Hình 2.21: Nhi t đ ng lực học 55

Hình 2.22: S đ khổi h th ng điều khi n đi n hình 57

Hình 2.23: S đ cấu trúc tổng quát theo phư ng trình tr ng thái c a h liên t c 61

Hình 3.1: H tọa đ c a phần tử tấm đư c tích h p vật li u áp đi n 63

Hình 3.2: Tấm bị u n công do tác d ng c a các lực kéo nén 68

Hình3.3: Lưới phần tử 74

Hình 3.4: Mô hình điều khi n ch đ ng tấm 75

Hình 4.1: Chia lưới phần tử 77

Hình 4.2: Hình biên trái lƠ đ thi chuy n vị c a bƠo báo hình bên ph i c a luơn văn 79

Hình 4.3: Hình b n ph i lƠ l i gi i c a luận văn hình bên trái lƠ l i gi i c a bƠi báo 79

Hình 4.4 Hình b n ph i lƠ l i gi i c a luận văn hình bên trái lƠ l i gi i c a bƠi báo 80

Hình 4.5: Tần s dao đ ng tự do lƠ f= 137.8899 Hz 81

Hình 4.6: Tần s dao đ ng tự do là f= 266.2161Hz 81

Hình 4.7: Tần s dao đ ng tự do lƠ f=428.9289 Hz 82

Hình 4.8: Tần s dao đ ng tự do lƠ f=479.3850 Hz 82

Hình 4.9: nh hư ng c a h s Gv đ n rung đ ng c a tấm 83

Hình 4.10: Mô hình bài toán 83

Hình 4.11: Đ thị đ võng 84

Hình 4.12: Đ thị đ võng t i x=Ly/2 84

Hình 4.13: Đ thị đ võng t i đi m N 84

Hình 4.14: Chia lưới 84

Hình 4.15: Đ thị chuy n vị t i phần tử 204 84

DANHăSÁCHăCÁCăB NG

B ngă2.1: Xác định hƠm n i suy trong h tọa đ tự nhiên 16

B ngă2.2: Đi m Gauss vƠ hƠm trọng lư ng 31

B ngă3.1: Thu c thính c a vật li u 78

B ngă3.2: So sánh k t qu đi n th với k t qu phư ng pháp s vƠ bƠi báo J F

Ribeiro and V Steffen 80

d các tấm thép có chiều dƠy lớn đư c sử d ng trong lĩnh vực xơy dựng cầu

đư ng vƠ nghƠnh c ng nghi p đóng tƠu còn các tấm thép có chiều dƠy nhỏ dùng lƠm các mặt bề mặt áp bên ngoƠi c a các máy móc s n phẩm dơn d ng

Như chúng ta đã bi t các chi ti t d ng tấm thì có chiều dƠy nhỏ do đó khi chịu tác d ng c a các ngo i lực thì chúng s bi n d ng, n u lƠ t i tuần hoƠn hoặc có chu kỳ thì s gơy ra rung đ ng hoặc dao đ ng lƠm nh hư ng đ n k t cấu c a tấm thép vƠ n u th i gian tác d ng lơu dƠi thì chi ti t s bị mỏi vƠ bị phá h y gơy tác đ ng không t t đ n h th ng Vi c ngăn chặn các dao đ ng t n

t i bên trong tấm thép s giúp cho chúng không bị rung đ ng vƠ giúp cho h

th ng thêm v ng chắc không bị phá h y Đ tri t tiêu hoặc lƠm gi m các dao

đ ng suất hi n không mọng mu n nƠy ngư i ta đã dán các tấm c m bi n áp đi n lên tấm thép cần kh o sát sau đó thu nhận các tín hi u từ các tấm dán này và kích những xung đi n tư ng ng đ khử vƠ lƠm gi m các bi n d ng vƠ dao

thông qua các c cấu c học khác nhau như: c cấu ma sát trư t, lò xo, tấm nhíp, gi m chấn … N u các tấm tinh th áp đ n đư c dán lên cấu trúc thì các tín

hi u nhi u đư c chuy n đổi thƠnh năng lư ng đi n cái mƠ có th bị tri t tiêu hoặc đư c chuy n đổi thông qua bo m ch trước khi h th ng c học quay l i

tr ng thái ban đầu Các lực điều khi n c a h th ng điều khi n bị đ ng đư c sử

d ng từ chuy n đ ng c a k t cấu Do h s tiêu tán năng lư ng lớn nên kỹ thuật điều khi n bị đ ng thông thư ng đư c sử d ng trong các ngƠnh kỹ thuật xơy dựng Tuy nhiên như đã nói kỹ thuật điều khi n bị đ ng nƠy bị giới h n trong các ng d ng c a ngƠnh hƠng không vƠ ô tô do kh i lư ng vƠ th tích c a chúng

nh hư ng đ n tần s dao đ ng chung c a h th ng

Điều khi n h th ng ch đ ng đư c xem như lƠ m t trong những lĩnh vực

có nhiều ý nghĩa vƠ thử thách trong nghiên c u các k t cấu kỹ thuật trong những năm gần đơy [5] Điều khi n dao đ ng ch đ ng đư c xem như lƠ m t công ngh mƠ lƠm cho dao đ ng c a các cấu trúc đư c gi m xu ng hoặc điều khi n đư c dao đ ng thông qua vi c đặt các lực k , c m bi n vƠ b kích vƠo các

k t cấu cần kh o sát t i những ch thích h p đ tri t tiêu biên đ dao đ ng VƠo những thập niên gần đơy ngư i ta đã đƠo sơu nghiên c u vƠo các vật

li u thông minh đặc bi t lƠ vật li u áp đi n Đơy lƠ vật li u mang nhiều tính chất quý báu mƠ các vật li u thông thư ng không có, vật li u nƠy s phát ra m t ngu i đi n khi có m t ng suất c học tác đ ng vƠo nó vƠ ngư c l i khi có dòng

đi n tác đ ng vƠo nó thì nó s sinh ra chuy n vị tư ng ng với hi u đi n th đã đặt vƠo Ngư i ta đã ng d ng tính chất nƠy đ điều khi n chuy n vị c a các chi

ti t chịu bi n d ng vƠ rung đ ng trong c khí vƠ xậy dựng

1.1.2 Cácănghiênăc uăn căngoƠi

Nghiên c u về tấm đ n vƠ tấm nhiều lớp lƠ các lĩnh vực nghiên c u thú vị

có nh hư ng m nh mẻ tới ngƠnh c học liên t c Thực nghi m về dao đ ng tấm đư c thực hi n b i Chladni vƠo năm 1802 [8] Sau sự kh i đầu c a ông Chladni đã có nhiều nhƠ nghiên c u ti p t c c ng vi c nghiên c u c a ông với các chi ti t d ng tấm vƠ h p

Hi u ng áp đi n lần đầu tiên đư c đề cập b i nhƠ khoán vật học ngư i Pháp René Just Haüy vƠo năm 1817 Ch ng minh đầu tiên cho hi u ng áp đi n

thuận vƠo năm 1880 b i anh em nhƠ Pierre Curie and Jacques Curie Họ đã

ch ng minh hi u ng nƠy bằng cách sử d ng các tinh th tua-ma-lin, th ch anh, tô-pa vƠ mu i Rochelle Tuy nhiên anh em nhƠ Curies đã không tiên đoán đư c

hi u ng áp đi n nghịch Hi u ng áp đi n nghịch đư c suy luận toán học từ nguyên lý nhi t đ ng học bới Gabriel Lippmann vƠo năm 1881 VƠi thập niên

ti p sau, đã có nhiều nghiên c u nhằm khám phá vƠ định nghĩa các cấu trúc tinh th về hi n tư ng áp đi n Đỉnh cao c a quá trình nghiên c u lƠ vƠo năm

1910 với sự xuất b n cu n sách Woldemar Voigt's Lehrbuch der

Kristallphysik, cu n sách nói về 20 lo i tinh th tự nhiên có kh năng áp đi n

vƠ ông ta đã định nghĩa m t cách chặt chẻ các hắng s áp đi n mƠ sử d ng trong vi c thí nghiêm phơn tích kéo nén [9] ng d ng đầu tiên lƠ thi t bị phát

hi n tƠu ngầm đư c phát tri n trong chi n tranh th giới th 2 pháp ,Paul Langevin vƠ đ ng nghi p phát tri n thi t bị phát hi n tƠu ngầm vƠo năm 1917

Vi c sử d ng hi u ng áp đi n đ phát hi n tƠu ngầm lƠ m t dự án thƠnh công

Nó nơm cao tầm qua trọng c a các thi t bị áp đi n Sau chi n tranh th giớ th hai, các vật li u áp đi n mới vƠ ng d ng c a nó dần đư c kham phá vƠ phát tri n

Crawley and de Luis đưa ra các l i ích c a các thi t bị áp đi n trong các cấu trúc thông minh bằng vi c phát tri n mô hình mô t ng sử đ ng học vƠ tĩnh

c a h th ng [11]

Mã phần tử hữu h n đư c phát tri n b i Ha et al có th xử lý các h i ti p c học c a các k t cấu s i chịu lực, tấm đa lớp, vật li u composite ch a các vật

li u áp đi n dưới tác d ng c a t i trọng tĩnh vƠ đ ng

Lin et al đưa ra mô hình phần tử hữu h n cho vi c điều khi n đ võng c a tấm đư c mô hình thƠnh phần tử tấm đẳng tham s với các b kích áp đi n dựa trên lý thuy t bi n d ng cắt bậc m t [13] Chúng đư c th hi n thông qua m t vƠi ví d , mô hình nƠy đưa ra đ chính xác vƠ tính toán các h s bi n d ng c a

các tr ng thái khác nhau c a b kích đư c dán vƠo các cấu trúc chịu các tr ng thái kích thích khác nhau

Chen et al đã nghiên c u về điều khi n vƠ tri t tiêu dao đ ng bằng phư ng pháp s c a các cấu trúc thông minh với các phần tử tấm áp đi n phơn tích phần

tử không gian vƠ phần tử hữu h n

Bent đã giới thi u vật li u composite ch a các s i ch đ ng cho b kích vƠ

c m bi n c a cấu trúc k t h p với các s i PZT thƠnh các ma trận t o ra kh năng tích h p cao vƠ các vật li u b kích bất đẳng hướng với các đi n cực đan vào nhau

Liu et al giới thi u công th c phần tử hữu h n dựa trên lý thuy t tấm nhiều lớp cổ đi n đ dự đoán h i ti p tĩnh vƠ đ ng c a các k t cấu tấm composite dưới các điều ki n t i trọng đi n vƠ c học Các c m bi n vƠ b kích áp đi n

đư c tích h p vƠo cấu trúc như lƠ m t phần c a vòng lặp kính sử d ng thuật toán điều khi n dựa trên h i ti p vận t c ơm [14] Trên thực t thì nó lƠm tăng tính gi m chấn c a cấu trúc Kh i lư ng vƠ đ c ng c a các lớp áp đi n cũng

đư c đưa vƠo tính toán Vi c nghiên c u thông s cũng cho thấy sự nh hư ng khi thay đổi phư ng c a các s i c t, n i đặt b kích vƠ c m bi n h i ti p trên tấm

Gần đơy, He et al đã nghiên c u về điều khi n dao đ ng ch đ ng với các

b kích áp đi n đư c gắn vƠo k t cấu, các b kích nƠy đư c lƠm từ vật li u mới

đư c gọi lƠ vật li u theo ch c năng(FGM)

Chee et al đã giới thi u thuật toán có tên lƠ Buildup, m t phư ng pháp xắp

x p hướng trong vi c t i ưu hóa phư ng c a các tấm dán áp đi n cho vi c điều khi n d ng tĩnh c a các cấu trúc thông minh [14] Công th c phần tử hữu h n cho k t cấu dựa trên trư ng chuy n vị bậc cao k t h p với kh năng đƠn h i tuy n tính c a các lớp nƠy

Marinkovic and Ulrich đã mô t phư ng trình tổng quát c a k t cấu tấm đa lớp với các tấm áp đi n đư c dán dựa trên lý thuy t về tấm FSDT(Mindlin-Reissner) vƠ lý thuy t tuy n tính c a vật li u áp đi n( sự bi n đổi tuy n tính c a

trư ng đi n trên chiều dƠy c a lớp áp đi n), nó bao g m phư ng trình tổng quát

về t i trọng kích ho t c a vật li u áp đi n vƠ tính hi u đầu ra c a c m bi n dựa trên kiên k t đi n-c học [20] Sau đó thƠnh lập c ng th c phần tử hữu h n c a

k t cấu sử d ng phần tử t giác có s bậc tự do lƠ (5n+ne) trong đó 5 lƠ bậc tự

do c học g m 2 quay vƠ 3 tịnh ti n cho m i nút ne lƠ đi n th c a các lớp áp

đi n

Zhang and Shen đã giới thi u công th c gi i tích về điều khi n dao đ ng

k t cấu c a tấm nhiều lớp ch a từ 1-3 lớp composite có s chịu lực lƠm từ vật

li u áp đi n đư c gắn thêm các đi n cực đan vƠo nhau vƠ các lớp comnposite thẳng đ ng Phư ng trình vi phơn tổng quát c a dao đ ng dọc theo tr c c a dầm

vƠ theo phư ng ngang dựa trên lý thuy t tấm mỏng

1.1.3 Tìnhăhìnhănghiênăc uătrongăn că

Trong bƠi báo c a P Phung-Van, T Thoi, T Le-Dinh và H Xuan đã phơn tích dao đ ng tự do vƠ dao đ ng tĩnh vƠ điều khi n đ ng học tấm composite đư c tích h p b kích vƠ c m bi n bằng phư ng pháp lƠm mịn hóa

Nguyen-góc cắt không liên t c dự trên các ô c b n(CS-FEM-DSG3)[5] Trong các tấm composite có gắn tấm tinh th áp đi n nƠy, coi đi n th lƠ hƠm tuy n tính theo chiều dƠy c a m i lớp [4] Thuật toán điều khi n h i ti p c a chuy n vị vƠ vận

t c đư c sử d ng đ điều khi n h i ti p đ ng học vƠ bi n d ng tĩnh c a tấm thông qua vi c điều khi n vòng lặp kính với các c m bi n vƠ b kích áp đi n

đư c phơn b trên tấm Đ chính xác vƠ tin cậy c a phư ng pháp đưa ra đư c

ki m tra thông qua vi c so sánh với l i gi i phư ng pháp s

1.2 M căđíchăc aăđ ătƠi

Đề tƠi liên quan đ n vi c phơn tích sự bi n d ng vƠ dao đ ng c a tấm thép thông qua vi c gắn các c m bi n áp đi n t i các vị trị khác nhau trên tấm thép

đ thu nhận các tín hi u do c m bi n áp đi n phát ra Từ các tín hi u nƠy bằng các phư ng pháp n i suy vƠ các thuật toán điều khi n nhằm tính toán đ lƠm

gi m dao đ ng sinh ra Có th điều khi n t i ưu về hình dáng c a tấm thép hoặc

sau khi phơn tích các tín hi u đầu vƠo ta có th dùng b kích đ tri t tiêu các dao đ ng c a tấm thép

1.3 Nhi măv ăc aăđ ătƠiăvƠăgi iăh năđ ătƠi

Xơy dựng mô hình cho bƠi toán liên k t c -đi n Phơn tích, xơy dựng mô hình cho quá trình điều khi n ch đ ng đi n áp đầu vƠo (actuator) đư c dán phía trên tấm thép dựa trên tính hi u đi n áp đầu ra c a c m bi n (sensor) trong quá trình lƠm vi c Đ lƠm đư c điều nƠy thì cần ti n hƠnh thực nghi m về quá trình bi n d ng c a tấm thép với các t i bên ngoƠi Thí nghi m đư c mô t như sau: xét tấm thép mỏng đư c c định xung quanh, dán các c m bi n áp đi n lên tấm thép các vị trí khác nhau sau đó dùng t i tuần hoƠn hoặc c định tác đ ng vƠo tấm thép khi bị bi n d ng tấm áp đi n s sinh ra đi n áp vƠ đi n áp nƠy

đư c đưa vƠo b khu ch sau đó đư c đưa vƠo b điều khi n đ điều khi n tr

l i tấm thép

Code lập trình phần tử hữu h n (FEM) đư c đưa ra dựa trên ngôn ngữ lập trình MATLAB đ tính toán đ võng vƠ bi n d ng c a tấm thép đư c dán tấm

áp đi n vƠ b kích áp đi n Đ đánh giá k t qu đ tƠi ta so sánh với k t qu s

c a bƠi báo đã công b

Đề tƠi dừng l i vi c phơn tích tính hi u đầu vƠo c a các c m bi n nhằm đề

x ng các phư ng pháp điều khi n Phư ng pháp phần từ hữu h n sử d ng phần

tử t giác đ tính toán vƠ chia lưới cho tấm thép

1.4 Ph ngăphápănghiênăc u

Thông qua quá trình thực nghi m vƠ phần mền lập trình đ phơn tích quá trình đi u khi n ch đ ng tấm thép thông qua các c m bi n áp đi n

Đ phơn tích quá trình tác đ ng ngo i lực vƠo tấm thép ta sử d ng các c m bi n

áp đi n dán lên tấm thép, với đặc tính c đi n c a vật li u nƠy nó chuy n đổi tín

hi u c học thƠnh tính hi u đi n vƠ ngư c l i từ tín hi u nƠy chúng ta xử lý vƠ điều khi n ngư c l i tấm thép thông qua b kích áp đi n Đ lƠm điều nƠy cần

ph i có hi u bi t về tấm, bi n d ng tấm, lý thuy t bi n d ng cắt bậc nhất,bậc 2

vƠ bậc cao Thông thao phần mềm lập trình matlab đ vi t code trong phần

mềm nƠy, phần mềm mô phỏng ansys NgoƠi ra cần bi t thêm về hi n tư ng sheak clocking c a tấm

Ch ngă2

C ăS ăLụăTHUY T

2.1 Gi iăthi uăchungăv ăc ăh căv tăr n

2.1.1 Lực,ăchuy năv ,ăbi năd ngăvƠă ngăsu t

Có th chia lực tác d ng ra ba lo i vƠ ta bi u di n chúng dưới d ng véct c t [1]:

 = [x , y , z , yz , xz , xy ] T (2.2) Trư ng h p bi n d ng bé:

T

x

v y

u x

w z

u y

w z

v z

w y

v x

d ng:

 = D  (2.5)

Trong đó:

05

000

00

00

50000

00

01

00

01

00

01

211

, ,

,

E D

ElƠ môđun đƠn h i,  là h s Poisson c a vật li u

2.1.2 NghuyênălỦăcựcăti uăhóaăth ănĕngătoƠnăph n

Th năng toƠn phần  c a m t vật th đƠn h i lƠ tổng c a năng lư ng bi n d ng

U vƠ công c a ngo i lực tác d ng W:

 = U + W (2.6) Với vật th đƠn h i tuy n tính thì năng lư ng bi n d ng trên m t đ n vị th tích

T

V

T

P u TdS u FdV u W

T

V T

V

T

P u TdS u dV f u dV

12

Trong đó: u lƠ véct chuy n vị vƠ P i lƠ lực tập trung t i nút i có chuy n vị lƠ u i

Ễp d ng nguyên lý cực ti u th năng: Đối với một hệ bảo toàn, trong tất cả các

di chuyển khả dĩ, di chuyển thực ng với trạng thái cân bằng sẽ làm cho thế năng đạt cực trị Khi thế năng đạt giá trị cực tiểu thì vật (hệ) ở trạng thái cân bằng ổn

2.2 Gi iăthi uăchungăv ălỦăthuy tăt m

Tấm vƠ vỏ lƠ các d ng k t cấu đư c sử d ng nhiều trong kỹ thuật vƠ chúng thư ng chịu bi n d ng chịu u n Các phư ng trình PTHH đ i với các k t cấu tấm-

vỏ thư ng ph c t p h n nhiều so với các d ng k t cấu khác Phần nƠy s giới thi u

về hai lý thuy t tấm đư c sử d ng phổ bi n trong các bƠi toán k t cấu tấm-vỏ: lý thuy t tấm kinh đi n c a Kirchoff (gọi tắt lƠ tấm Kirchoff) vƠ lý thuy t tấm bậc nhất

c a Mindlin (gọi tắt lƠ tấm Mindlin) [4]

Các thuật toán PTHH đ i với tấm chịu u n tư ng ng với hai lý thuy t trên đã

đư c thi t lập chi ti t

Phần tử vỏ đư c xem lƠ tổ h p c a phần tử tấm chịu u n vƠ phần tử tấm chịu

tr ng thái ng suất phẳng

2.2.1 LỦăthuy tăt m Kirchoff

Gi thi t c b n c a lý thuy t u n tấm Kirchoff lƠ: đo n thẳng vuông góc với mặt trung bình (mặt phẳng chia đôi chiều cao tấm) vẫn thẳng vƠ vuông góc với mặt trung bình sau khi bi n d ng H qu c a gi thi t nƠy lƠ ta đã bỏ qua các thƠnh phần bi n d ng cắt ngang (yz xz  0) Do đó, các thƠnh phần chuy n vị trong mặt

phẳng: u, v và w đư c bi u di n như sau:

),,(

),,(

0

y x w z y x w

y

w z z y x v

x

w z z y x u

(2.10)

trong đó, mặt phẳng (0, x, y) lƠ mặt giữa c a tấm, tr c z vuông góc với bề mặt tấm

Các thƠnh phần u, v và w tư ng ng lƠ chuy n vị theo phư ng x, phư ng y vƠ phư ng z; w0 lƠ chuy n vị t i mặt trung bình (gi thi t bi n d ng mƠng: u0 = v0 = 0)

Vì bỏ qua bi n d ng cắt, nên các thƠnh phần bi n d ng trong mặt phẳng đư c vi t

d ng sau:

w y

w x

w

xy y x

2

2 2

đư c gọi lƠ các thƠnh phần đ cong

Thay các bi u th c (2.11) và (2.12) vƠo quan h ng suất bi n d ng    D 

0 1

0 1

Các thƠnh phần mômen đư c xác định b i:

Trong đó:    T

xy y

Các phư ng trình cơn bằng (cơn bằng mômen đ i với các tr c x, y vƠ cơn bằng lực

đ i với tr c z, đư c suy ra từ điều ki n cơn bằng tĩnh học c a phần tử tấm (Hình

2.1) Sau khi đã bỏ qua các thƠnh phần bậc cao, ta thu đư c các phư ng trình cơn bằng sau:

p y

Q x Q

Q y

M x

M

Q y

M x

M

y x

y y xy

x xy x

(2.17)

Trong đó, Q x và Q y lƠ các lực cắt vƠ p lƠ t i trọng phơn b gơy u n tấm (phư ng tác

d ng vuông góc với mặt phẳng tấm) Khử các thƠnh phần lực cắt trong các phư ng trình c a h (2.8) ta đư c:

0

2 2

M y

x

M x

Tổ h p các bi u th c (2.3), (2.6) vƠ (2.9), qua m t s phép bi n đổi đ n gi n cu i cùng ta nhận đư c phư ng trình vi phơn cơn bằng đ i với tấm chịu u n như sau:

D

p y

w y

x

w x

4 4

4

Trong đó:

)1(

2.2.1.1 Ph năt ăt m Kirchoff ch uău n

Dựa trên lý thuy t tấm kinh đi n đã trình bƠy trên, chúng ta s xơy dựng thuật toán PTHH cho phần tử t giác b n nút t i đỉnh chịu u n Phần tử đư c mô t trong Hình 2.2

Hình 2.2: Phần tử t giác Kirchoff

M i nút c a phần tử có 3 bậc tự do: Chuy n vị w theo phư ng z và hai góc xoay

x = w, x và y = w, y (dấu ph y lƠ ký hi u c a đ o hƠm riêng phần c a w theo các

bi n x vƠ y) quanh tr c x vƠ y tư ng ng Ký hi u véct chuy n vị nút lƠ d i, ta có:

T

i i

i i

y

w x

w w

4 (x4,y4)

3 (x3,y3)

vƠ véct chuy n vị t i m t đi m bất kỳ c a phần tử lƠ:

y x

w

Véct chuy n vị nút phần tử (2.21) có ch a các thƠnh phần lƠ đ o hƠm bậc nhất

tư ng ng với các góc xoay t i nút Do đó, các thƠnh phần chuy n vị c a véct chuy n vị (2.22) s đư c n i suy qua các giá trị chuy n vị nút như sau:

ThƠnh phần chuy n vị đ võng tấm (w) đư c xấp xỉ theo hƠm n i suy Hecmit,

t c lƠ:

4

12 4 11

0 4 10 1

3 1 2

0 1

w H w H y

w H x

w H w H

3 2

3

i i i

i i x

y

w H x

w H w H x x

3 2

3

i i i

i i y

y

w H x

w H w H y y

10 3

2 1

12 11

10 3

2 1

12 11

10 3

2 1

H y

H y

H y

H y

H y

H y

H x

H x

H x

H x

H x

H x

H H

H H

H H

L

0

0 0

0 0

(2.29)

Cu i cùng, các thƠnh phần bi n d ng đư c vi t l i dưới d ng:

với B lƠ ma trận quan h bi n d ng-chuy n vị

Từ bi u th c năng lư ng bi n d ng đƠn h i:

Đưa các quan h (2.21), (2.22) và (2.23) vào (2.31) vƠ qua m t s khai tri n, chú ý

đ n bi u th c c a các thƠnh phần n i lực, ta đư c bi u th c c a năng lư ng bi n

d ng đƠn h i:

             

   D dS q h B  D BdS q h

dz z dS D dSdz

D z z

U

e e

e e

S

T T

S T

h

h S T h

h S

T e

2

1 2

1

3 3

2 2

T e

BdS D B

h k

243

Đ xác định đư c ma trận đ c ng phần tử t giác Kirchoff, ta cần xơy dựng

đư c các hƠm n i suy Hecmit H i (i = 1, 2, , 12) Các hƠm nƠy đư c xác định trong

h to đ quy chi u (, )vƠ với tính chất:

B ng 2.1: Xác định hƠm n i suy trong h tọa đ tự nhiên

Từ b ng trên, ta s xác định đư c các h s a i (i = 0 11) Cu i cùng, ta s thu

đư c các hƠm n i suy Hecmit như sau:

C C

y

b y x

a x

b

y y a

x x

2

;2

(2.35)

trong đó : a, b lƠ kích thước phần tử chữ nhật; x C , y ClƠ tọa đ trọng tơm C c a phần

tử

Như đã thấy trên đơy, các hƠm n i suy H i tư ng ng với nút i đư c bi u

di n theo các to đ quy chi u (,) Các bi u th c c a ma trận toán tử L

(2.29), có ch a đ o hƠm riêng phần c a các hƠm H i lấy theo bi n x và y c a

x y x

y x

* 21

* 12

* 11 1

J J

J J J

0

0

Vậy ta có:

J

J J J

10

01

* 22

* 21

* 12

* 11

2

2 2

2 2 2 2

11





b

a y

a L

2 2 0

2 0 0

0 2

0

(2.39)

vƠ ma trận B đư c bi u di n như sau:

2 10

2 3

2 2

2 1

2

2 12 2 2 2 11 2 2 2 10 2 2 2

3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2

2 12 2 2 2 11 2 2 2 10 2 2 2

3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2

8 8

8 8

8 8

4 4

4 4

4 4

4 4

4 4

4 4

H ab

H ab

H ab

H ab

H ab

H ab

H b

H b

H b

H b

H b

H b

H a

H a

H a

H a

H a

H a B

3

2 1 2

3

2 1 2

32

4 2

32 4 2

32

7 2

32 7 2

1 3 1

4

12 8

32 10 2

32

10 2

2.2.2 Ph năt ăt măMindlin ch uău n

Khác với lý thuy t tấm Kirchoff, lý thuy t tấm c a Mindlin có k đ n nh

hư ng c a các thƠnh phần bi n d ng cắt ngang (yz xz  0) Khi đó, bi u th c c a năng lư ng bi n d ng đƠn h i c a tấm có ch a thêm bi u th c năng lư ng bi n

b T b

2

1 2

trong đó :

xy y x

xy y x

   T

yz xz

5 Khi đó, năng lư ng

bi n d ng đƠn h i c a tấm chịu u n có k đ n nh hư ng c a bi n d ng cắt s đư c

b b T b

12

5 2

0 1

0 1

,,(

),()

,,(

0

y x w z y x w

y x z z y x v

y x z z y x u

trong đó, x,y lƠ các góc xoay c a mặt trung bình quanh tr c y vƠ tr c x tư ng

ng đơy, ta gi thi t: không có các thƠnh phần bi n d ng trong mặt phẳng trung

bình (không có bi n d ng mƠng) Các thƠnh phần góc xoay nƠy đư c bi u di n b i:

xz x

y w x w

C0 Các hƠm d ng đẳng tham s s đư c sử d ng cho các phư ng trình PTHH c a phần tử tấm chịu u n, c th như sau :

y

n

i

i x i

x

n

i

i i

N N

w N

w

1 1 1

,,,

đơy, n lƠ s nút c a phần tử Đ đ n gi n hóa bƠi toán, ta có th sử d ng các hƠm

d ng song tuy n tính cho phần tử t giác b n nút Đ i với các bƠi toán có yêu cầu cao về đ chính xác, ngư i ta thư ng sử d ng các hƠm d ng bậc cao h n

Ta có:

e p b

d B z

d B z





(2.53) trong đó :

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0 0

0 0

0

4 4 3

3 2

2 1

1

4 3

2 1

4 3

2 1

x

N y

N x

N y

N x

N y

N x

N y N

y

N y

N y

N y

N

x

N x

N x

N x

x y

x y

x e

w w

w w

d   1  1 1  2  2 2  3  3 3  4  4 4 (2.56) Thay các bi u th c trong (2.53) vào (2.47) ta đư c :

V z

s s T s T e e

A z

b b T b T e

b b T b

k

5 12

3

trong đó, h lƠ chiều dƠy tấm

Chú ý: khi chiều dƠy h c a tấm rất nhỏ so với kích thước c a 2 phư ng còn l i (tấm mỏng), năng lư ng bi n d ng đƠn h i do các thƠnh phần bi n d ng cắt (tỉ l với h)

s lớn h n nhiều so với năng lư ng bi n d ng đƠn h i do các thƠnh phần bi n d ng

u n (tỉ l với h3) gơy ra Hi n tư ng nƠy đư c gọi lƠ „„nghẽn cắt’’ (shear locking),

khi n cho l i gi i s c a bƠi toán không h i t Đ khắc ph c hi n tư ng nƠy, ngư i

ta có th sử d ng kỹ thuật tích phân rút gọn (reduced integration) hoặc tích phân

lựa chọn (selective integration) N i dung chính c a các kỹ thuật nƠy lƠ: bi u th c

năng lư ng c a bi n d ng u n s đư c tính theo luật tích phơn đúng cấp, còn bi u

th c năng lư ng c a bi n d ng cắt s đư c lấy tích phơn m c đ kém chính xác

h n m t cấp Chẳng h n, với phần tử t giác 4 nút đẳng tham s , ta sử d ng tích phơn s với 22 đi m Gauss đ i với bi u th c tích phơn năng lư ng bi n d ng u n, còn đ i với bi u th c tích phơn năng lư ng bi n d ng cắt chỉ sử d ng 1 đi m Gauss

Tư ng tự, với phần tử t giác 9 nút đẳng tham s , n u sử d ng tích phơn s 33

đi m Gauss đ i với bi u th c tích phơn năng lư ng bi n d ng u n, thì ta s chỉ sử

d ng tích phơn s 22 đi m Gauss đ i với bi u th c tích phơn năng lư ng bi n d ng cắt

2.2.3 Ph năt ăt ăgiác

Kh o sát m t phần tử t giác tổng quát như Hình 2.3 Phần tử có b n nút: 1, 2,

3 vƠ 4 đư c đánh s ngư c chiều kim đ ng h , m i nút có 2 bậc tự do; (x i , y i ) lƠ to

đ c a nút i Véct chuy n vị nút c a phần tử đư c ký hi u b i:

q q

q

Chuy n vị c a m t đi m M(x, y) bất kỳ trong phần tử đư c ký hi u là u:

u = [u(x, y), v(x, y)] T

2.2.3.1 HƠmăd ng

Gi ng như các chư ng trước, trong chư ng nƠy, phần tử qui chi u t giác có

d ng hình vuông đư c xác định trong h to đ (, ) (Hình 2.3) Các hƠm d ng N i

Tư ng tự như trên, ta cũng xác định đư c bi u th c c a các hƠm d ng còn l i Cu i

cùng, bi u th c c a các hƠm d ng N inhư sau:

1 1 4 1

1 1 4 1

1 1 4 1

4 3 2 1

N N N N

2 1

4 3

2 1

00

00

00

00

N N

N N

N N

N N

Nh cách mô t đẳng tham s , ta bi u di n to đ c a m t đi m trong phần tử qua

f x x

f f

y y

f x x

f f

f J f f

y x

J

J J

J y

f x f

11 21

12 22

det

Ta s sử d ng các bi u th c trên đ xơy dựng ma trận đ c ng c a phần tử

2.2.3.2 Maătr năđ ăc ngăph năt

Năng lư ng bi n d ng c a vật th đƠn h i đư c xác định b i:

xy y x

J

J J

J y

u x u

11 21

12 22

J

J J

J y

v x v

11 21

12 22

det

Bi u th c (2.74), (2.75) và (2.76) cho ta:

11 21

11 21

12 22

00

00

det

1

J J

J J

J J

J J

J

Từ phư ng trình n i suy (2.61), ta có th vi t:

u u

G q v

01

010

10

101

010

01

01

01

01

01

01

01

014

T e T

q k q q

d d J DB B t q U

2

1 det

1

1

detJ dd

DB B t

chính là maătr năđ ăc ng c a phần tử t giác

2.2.3.3 Quiăđ iălựcăv ănút

T

f q dV f

e e

f

f d d J N t

1

;

4 1

e

T T T T l

2.2.3.4 Tíchăphơnăs

a Tíchăphơnăs ăm tăbi n

Trong đó w1, w2, , w n là các hàm trọng số và 1, 2, , n lƠ các đi m Gauss Tư

tư ng c a phư ng pháp cầu phư ng Gauss lƠ chọn n đi m Gauss vƠ n hàm trọng số

sao cho tích phân (2.89) cho k t qu chính xác nhất đ i với đa th c f() Nói khác

đi, công th c tích phơn n đi m lƠ chính xác cho tất c các đa th c bậc đ cao, vƠ

công th c tích phơn trên vẫn đúng thậm chí khi f không ph i lƠ m t đa th c Đ hi u

đư c b n chất c a phư ng pháp, chúng ta xét công th c tích phơn 1- điểm và tích phân 2- điểm như sau:

b Công thức tích phân 1- điểm

Khi n = 1:

1

1 1 1

I f  d w f 



Có 2 tham s w1 và 1 cần xác định, với yêu cầu lƠ (2.91) cho k t qu chính xác khi

f() lƠ m t đa th c bậc nhất Điều nƠy có nghĩa lƠ n u f() lƠ m t đa th c bậc nhất, thì sai s :

  1  1 01

1

f d f

Hình 2.4: Cầu phư ng 1 đi m Gauss

c Công thức tích phân 2- điểm

2 2 1

f( )

3 2 2

3 1 1

2 2 2

2 1 1

2 2 1 1

2 1

w w

w w

w w

2 1

2 1





w w

Từ đơy, chúng ta có th k t luận rằng phư ng pháp cầu phư ng Gauss n-điểm s cho k t qu chính xác n u f lƠ m t đa th c bậc (2n-1) hoặc nhỏ h n [1] B ng dưới cho các giá trị c a w ivà i theo công th c Gauss với n =1, ,6

B ngă2.2: Đi m Gauss vƠ hƠm trọng lư ng

1

1

Ta có

j i j i

j i i j n

i

w I

Chú ý k e lƠ ma trận đ c ng (8x8) đ i x ng, do đó ta chỉ cần lấy tích phơn các s

h ng phía trên đư ng chéo chính lƠ đ

;57735,0

1

2 2 1

1

2 1

Các đi m Gauss theo công th c tích phơn 2- đi m trên đư c mô t trên Hình 2.5

N u gọi các đi m Gauss lần lư t lƠ 1, 2, 3, 4 thì k ij trong (2.104) đư c vi t dưới

Trong đó KlƠ giá trị c a  và W K lƠ hƠm trọng s t i đi m tích phơn k Chú ý rằng

W K = (1)(1) = 1 Công th c (2.105) rất thuận l i cho chúng ta khi lập trình tính toán

ma trận đ c ng