Phân tích phần tử hữu hạn cho bài toán dòng chảy đi qua vật thể hình trụ tròn

Đây là một vấn đề rất rộng cả về lý thuyết cũng như thực nghiệm do đó trong phạm vi nghiên c u này tôi tập trung vào việc xây dựng mô hình toán dòng chảy đi qua vật thể hình trụ tròn tro

M C L C

Quyết định giao đề tài

Lý lịch khoa học i

L i cam đoan ii

Cảm tạ iii

Tóm tắt v

Mục lục v

Danh sách các bảng viii

Danh sách các hình viii

Danh sách các chữ viết tắt ixx

Ch ng 1: T NG QUAN 1

1.1 T ng quan chung về lĩnh vực nghiên c u, các kết quả nghiên c u trong và ngoài nước đã công bố 1

1.1.1 T ng quan về lĩnh vực nghiên c u 1

1.1.2 Các kết quả nghiên c u trong và ngoài nước đã công bố 3

1.2 Mục đích c a đề tài 5

1.3 Nhiệm vụ c a đề tài và giới hạn đề tài 6

1.4 Phương pháp nghiên c u 7

Ch ng 2: C S Lụ THUY T 8

2.1 Giới thiệu nội dung: 8

2.2 Cơ s lý thuyết 8

2.2.1 Phương trình bảo toàn khối lượng: 8

2.2.2 Phương trình momentum 12

2.3 Dạng t ng quát c a các phương trình ch đạo cho tính toán động lực học chất lỏng 16

2.4 Điều kiện biên cho các phương trình chung 17

Ch ng 3: PH NG PHÁP PH N T H U H N 19

3.1Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn 19

3.2Phương pháp phần tử hữu hạn 21

3.2.1 Cơ s 22

3.2.2Phần tử và hàm dạng 24

3.2.3Phần tử một chiều. 24

3.2.4 Phần tử tam giác hai chiều 27

3.2.5 Phần tử t giác hai chiều 30

3.3 Phương pháp số dư trọng lượng 34

Ch ng 4: GI I PHÁP CHO DÒNG CH Y KHÔNG NÉN 40

4.1Phương trình biến nguyên th y c a dòng chảy không nén 40

4.2Giải pháp bằng phần tử hữu hạn 42

4.3Phần tử hữu hạn cho phương trình Stokes 2D trong các biến nguyên th y 43

4.4Giải quyết thử thách số cho phương trình dòng chảy không nén 47

4.5Phương trình Stokes GLS n định cho những phần tử tam giác và t giác tuyến tính 48

4.6Phần tử hữu hạn cho phương trình Navier-Stokes hai chiều trong biến gốc. 51

4.7Tuyến tính hóa Newton. 54

4.8 n định GLS c a phương trình Navier-Stokes cho phần tử tam giác và t giác 54

Ch ng 5: K T QU TệNH TOÁN 57

5.1 Số liệu tính toán và lập trình 57

5.2Kết quả tính toán và nhận xét 60

Ch ng 6: K T LU N VÀ H NG PHÁT TRI N 72

6.1 Kết luận 72

6.2 Hướng phát triển 72

TÀI LI U THAM KH O 74

DANH M C CÁC HÌNH

Hình 1.1: Lưới và đư ng dòng c a động cơ máy bay trong ngành hàng không 2

Hình 1.2: ng dụng đa dạng c a động cơ máy bay 2

Hình 1.3: Dòng chảy qua một chiếc ô tô 2

Hình 1.4: Vị trí trụ tròn trong miền tính toán 4

Hình 1.5: Đư ng dòng tại th i điểm (a) t=48.2s, (b) t=51.2s, (c) t=54.2s, (d) t=57.2 s với Re=100 5

Hình 1.6: Mô hình bài toán 6

Hình 2.1: Điều khiển thể tích hữu hạn n định trong không gian 9

Hình 2.2 : Bảo toàn khối lượng trong một thể tích điều khiển vô cùng bé c a dòng chất lỏng giữa hai tấm phẳng đặt song song 10

Hình 2.3: Lực bề mặt tác dụng lên thể tích điều khiển vô cùng nhỏ cho thành phần vân tốc Biến dạng c a phần tử chất lỏng dựa trên lực tác dụng trên bề mặt 14

Hình 3.1: Lưới phần tử hữu hạn dạng hai chiều 23

Hình 3.2: Chia miền tuyến tính biểu thị trong bài toán một chiều 25

Hình 3.3: Biến tuyến tính trên một phần tử 25

Hình 3.4: Hàm dạng tuyến tính cho bài toán 1 chiều 26

Hình 3.5: Phần tử vuông và hàm dạng 27

Hình 3.6: Phần tử tam giác tuyến tính hai chiều 28

Hình 3.7: Phần tử t giác hai chiều tuyến tính 31

Hình 3.8: Xây dựng phần tử đẳng tham số cho phần tử t giác 31

Hình 3.9: Phần tử t giác 8 nút 34

Hình 3.10: Lưới phần tử hữu hạn cho phương trình 3.60 35

Hình 3.11: Phần tử tuyến tính 1 chiều đẳng tham số 35

Hình 3.12: Lược đ hệ thống lắp ráp ma trận 38

Hình 4.1: Phần tử dạng tam giác và hình chữ nhật với NENv>NENp 45

Hình 5.1: Kích thước tính toán cho dòng chảy đi qua vật thể hình trụ tròn 57

Hình 5.2: Dòng chảy qua tiết diện hình trụ tròn 60

CFD Computational Fluid Dinamics

FEM Finite Element Method

NEN Number of Element Node

GFEM Galerkin Finite Element Method

LBB Ladyzhenskaya Babuska Brezzi

GLS Galerkin Least Squares

Ch ng 1:

1.1 T ng quan chung v lĩnh vực nghiên cứu, các k t qu nghiên cứu trong và ngoƠi n c đã công bố

1.1.1 T ng quan v lĩnh vực nghiên cứu

Nghiên c u động lực học dòng chảy là một trong những vấn đề cấp thiết cần được giải quyết vì ng dụng rộng rãi c a nó Vì đây là một bài toán khó trong kỹ thuật

mà để giải quyết được nó ngư i nghiên c u phải nắm rõ được về bản chất vật lý và toán học để xây dựng Đã có rất nhiều công trình nghiên c u trong và ngoài nước nghiên c u về vần đề này để áp dụng cho các ngành kỹ thuật như: hàng không, xây dựng, chế tạo, dự báo th i tiết… Dưới đây là một mô hình về nghiên c u dòng chảy qua một máy bay phản lực Trong cùng một lĩnh vực chúng ta có thể nghiên c u cho động cơ máy bay, cánh động cơ máy bay, cánh nâng máy bay…

Hình 1.1: Lưới và đư ng dòng c a động cơ máy bay trong ngành hàng không

Hình 1.2: ng dụng đa dạng c a động cơ máy bay

Hình 1.3: Dòng ch ảy qua một chiếc ô tô

Nghiên c u dòng chảy trong các lòng dẫn h (open channel flow) là một bài toán

thư ng gặp trong việc thiết kế và xây dựng các công trình th y lợi - th y điện

Việt σam cũng như các nước khác trên thế giới có nền khoa học kỹ thuật tiên tiến, mặc dù có rất nhiều công trình nghiên c u về vấn đề này nhưng cho đến nay vẫn còn nhiều vấn đề nghiên c u về dòng chảy nói chung và dòng chảy trong lòng dẫn

h nói riêng vẫn chưa giải quyết thỏa đáng Trên thế giới hiện nay việc nghiên c u dòng chảy được thông qua hai loại mô hình chính đó là: mô hình vật lý (physical

model) và mô hình toán (mathematical model) Mô hình vật lý với ưu điểm dễ xây dựng, phản ánh được rõ ràng bản chất vật lý c a dòng chảy trong mọi bài toán cụ thể nên đã tr thành công cụ không thể thiếu trong các nghiên c u về dòng chảy, tuy nhiên mô hình vật lý gắn liền với nhiều khó khăn về đ ng dạng c a mô hình, về

vật liệu và về thiết bị đo Để khắc phục khó khăn đó các nghiên c u đang đi vào xây dựng các mô hình toán có thể giải quyết được các bài toán t ng quát, phản ánh được quy luật c a dòng chảy giúp cho quá trình nghiên c u không còn giới hạn về không gian và th i gian Với lý do đó việc nghiên c u và triển khai xây dựng mô hình toán kết hợp với mô hình vật lý cho dòng chảy nhằm giải quyết những vấn đề đã và đang đặt ra hiện nay là hết s c cần thiết

Hàng năm, Việt nam có rất nhiều cơn bão, lũ, lụt… trên các lưu vực sông, biển r i các dòng chảy trong các đập th y điện, kênh mương mà hầu hết chúng ta mới chỉ thiết kế hệ thống b , đập thông qua các thông số thống kê Việc hiểu sâu xa bản

chất c a dòng chảy sẽ giúp ngư i thiết kế có thêm rất nhiều để hoàn thiện thiết kế Trong bối cảnh Việt nam cần phất triển về động học dòng chảy để giúp làm giảm bớt th i gian thống kê gây t n hao công s c và tiền c a

Một trong những vấn đề kinh điển được đặt ra là bài toán dòng chảy trong các lòng dẫn tự nhiên hoặc nhân tạo được dùng để dự đoán và phân tích trạng thái dòng

chảy, sự thay đ i lưu lượng và sóng lũ trên các lưu vực sông và các kênh nhân tạo Đây là một vấn đề rất rộng cả về lý thuyết cũng như thực nghiệm do đó trong phạm

vi nghiên c u này tôi tập trung vào việc xây dựng mô hình toán dòng chảy đi qua

vật thể hình trụ tròn trong lòng dẫn h qua phương trình Navier-Stokes bài toán hai chiều bằng một phương pháp, phương pháp phần tử hưu hạn (trích dẫn”

Computational Fluid Dynamics”)

1.1.2 Các k t qu nghiên cứu trong vƠ ngoƠi n c đã công bố

Nghiên c u dòng chảy đi qua một vật thể hình trụ tròn bằng phương pháp thể tích

hữu hạn đã được giới thiệu b i công trình khoa học c a các nhà nghiên c u Md Mahbubar Rahman, Md Mashud Karim và Md Abdul Alim tại trư ng đại học Department of Natural Science, Stamford University Bangladesh, Dhaka-1209,

Dept of Naval Architecture and Marine Engineering, BUET, Dhaka-1000, Department of Mathematics, BUET, Dhaka-1000, Bangladesh

Hình 1.4: V ị trí trụ tròn trong miền tính toán

Mô hình trong hình 1.4 sử dụng lưới hình chữ nhật để mô phỏng Lưới sử dụng

15659 nút, 15380 phần tử t giác Vận tốc lớn nhất tại biên vào là 1m/s và hệ số Reynold là Re=100 Kết quả tính toán được thể hiện trong hình bên dưới

Hình 1.5: Đư ng dòng tại th i điểm (a) t=48.2s, (b) t=51.2s, (c) t=54.2s, (d)

t=57.2 s với Re=100

Chúng ta cũng thấy các xoáy nước được hình thành khác nhau trong các th i điểm khác nhau Chúng ta sẽ nghiên c u và so sánh kết quả đạt được từ phương pháp phần tử hữ hạn để so sánh với phương pháp thể tích hữ hạn c a các tác giả trên

1.2 M c đích của đ tài

Hiện nay có rất nhiều công trình được xây dựng trên các lưu vực sông, kênh, đập nhưng chúng ta không biết được sự tác động c a dòng chảy tác động lên các kết cấu này Ngày nay khoa học kỹ thuật phát triển và công cụ máy tính hỗ trợ, chúng ta có thể giải quyết được khá nhiều vấn đề trong tự nhiên mà tư ng như con ngư i không làm được và luôn luôn phụ thuộc vào nó Với mô hình này chúng ta có thể giải quyết tương đối chính xác các bài toán dòng chảy trên các lưu vực sông, cửa sông

ven biển, các bài toán dòng chảy qua các công trình thuỷ lợi thuỷ điện, bài toán sóng vỡ đập hai chiều…

1.3 Nhi m v của đ tài và gi i h n đ tài

và là mục đích c a các nghiên c u về dòng chảy không n định trong lòng dẫn h

Hình 1.6: Mô hình bài toán

Dòng vào

Tuy nhiên để áp dụng mô hình toán ba chiều gặp phải khó khăn rất lớn Một trong những khó khăn đó là giải hệ phương trình phi tuyến σavier-Stokes không gian 3 chiều Việc giải bằng các phương pháp gần đúng phụ thuộc vào biến đ i c a lưu lượng dòng chảy do sự thay đ i quá nhanh c a mặt cắt ngang, phụ thuộc tỷ lệ dọc theo chiều dòng chảy và mặt cắt ngang là rất lớn khiến cho vùng tính toán phải chia thành quá nhiều lưới nhỏ sẽ là tr ngại lớn cho việc giải bằng các phương pháp số Tất nhiên hoàn toàn có thể giải quyết vấn đề này bằng các phương pháp toán học hiện đại cùng với sự hỗ trợ c a máy tính, nhưng mô hình sẽ ph c tạp và việc áp dụng cho các vùng tính toán sẽ khó khăn Với các dòng chảy trong lòng dẫn h trong một số điều kiện phù hợp có thể chọn giải pháp thay thế cho dòng chảy ba chiều bằng dòng một chiều tại những tuyến dòng chảy thẳng, thay đ i dần hoặc bằng mô hình hai chiều theo phương đ ng và phương dòng chảy hoặc mô hình hai chiều bình diện đối với dòng chảy qua lòng dẫn có nền bằng phẳng

Trong nghiên c u này tôi lựa chọn mô hình toán hai chiều theo phương dòng chảy

và phương thẳng đ ng, đây là mô hình ph biến trên thế giới đã áp dụng hiệu quả cho nhiều bài toán ph c tạp

1.4 Ph ng pháp nghiên cứu

ng dụng phần tử hữu hạn để mô phỏng quá trình tác động c a dòng chảy lên vật

chắn hình trụ tròn qua kênh dẫn h bằng phần tử hữu hạn đây tác giả cũng sử dụng phần mềm Matlab để tính toán và mô phỏng bài toán trên

 Khối lượng được bảo toàn cho chất lỏng

 Định luật 2 σewton, tỷ lệ về sự thay đ i c a t ng các phương trình momentum lực tác động lên chất lỏng

Nó thực sự quan trọng với bất kỳ ai bao g m một vài hiểu biết về s hữu động lực học chất lỏng về các hiện tượng vật lý về chuyển động chất lỏng, những hiện tượng

đó là phân tích và dự đoán về tính toán động lực học chất lỏng Tất cả việc tính toán động lực học chất lỏng dựa trên các phương trình đó; chúng ta vì thế phải bắt đầu sự hiểu biết c a chúng ta bằng hầu hết các mô tả cơ bản về xử lý dòng chảy, ý nghĩa và tín hiệu trong mỗi thuật ngữ trong chúng Đằng sau những phương trình đó nó ch a đựng những công th c cụ thể phù hợp cho việc sử dụng giải quyết những giải pháp tính toán động lực học chất lỏng sẽ được phác thảo σhững dạng vật lý c a điều

kiện biên và những phương trình toán học thích hợp c a chúng cũng sẽ được phát triển tới dạng số phù hợp với các điều kiện biên vật lý thực sự phụ thược vào dạng

số cụ thể c a các phương trình ch đạo và giải thuật số được sử dụng Bây gi chúng ta sẽ đi cụ thể từng phương trình

2.2 C s lý thuy t

2.2.1 Ph ng trình b o toàn khối l ng:

Định luật bảo toàn 1 phù hợp với dòng chất lỏng có thể được tạo ra hoặc phá h y

Cho rằng việc điều khiển tùy ý thể tích V thì n định trong không gian và th i gian

(hình 2.1)

Hình 2.1: Điều khiển thể tích hữu hạn n định trong không gian

Dòng chất lỏng di chuyển qua thể tích điều khiển n định, chảy xuyên qua mặt điều khiển Bảo toàn khối lượng đòi hỏi rằng tỉ số về sự biến đ i c a khối lượng bên trong thể tích điều khiển thì tương đương với khối lượng chảy qua bề mặt S c a thể tích V Trong dạng tích phân,

Phương trình(2.4) là phương trình bảo toàn động lượng Trong hệ trục tọa độ Cartesian, có thể được viết thành

b i thành phần vector địa phương u,v và w cái mà, nói chung, ch c năng c a tọa độ địa phương(x,y,z) và th i gian (t)

Hình 2.2 : Bảo toàn khối lượng trong một thể tích điều khiển vô cùng bé c a dòng

chất lỏng giữa hai tấm phẳng đặt song song

σhư một sự lựa chon, cho rằng diễn tiến c a dòng chất lỏng giữa hai tấm phẳng đặt song song như được mô tả trong hình 2.2 Một thể tích điều khiển nhỏ vô cùng ΔxΔyΔz n định trong không gian (được m rộng tới bên phải c a biểu đ ) được phân tích, nơi mà phương trình bảo toàn khối lượng áp dụng cho trư ng dòng (u,v,w) Vận chuyển bao g m chuyển động thì thư ng tác động đến sự bình lưu

Định luật bảo toàn đòi hỏi rằng, cho dòng không n định, tỷ lệ c a sự tăng trong thể tích điều khiển tương đương với tỷ lệ lưới tại khối lượng nhập vào thể tích điều khiển( dòng vào - dòng ra), trong các trư ng hợp khác,

tự lần lượt thông qua bề mặt vuông góc với y và z như là (ρv)ΔxΔz và (ρw)ΔxΔy

Tỷ lệ tại bất kỳ khối lượng nào đưa ra khỏi bề mặt tại x + Δx có thể được thể hiện thông qua công th c m rộng c a Taylor

w w

z x y y

z y x x

u u

y x w z x z

y u t

z y

Phương trình (2.10) thì chính xác cùng dạng như được đề cập trong phương trình (2.5) Phương trình này thì chính xác các dạng sai phân riêng Chúng ta thể hiện rằng dạng tích phân trong phương trình (2.1) có thể, sau một vài th thuật, lưu lượng c a dạng sai phân riêng Dạng sai phân đặc biệt này thì thư ng được gọi là

dạng bảo toàn Cả hai phương trình (2.1) và (2.10) là dạng bảo toàn; sử dụng th thuật không được áp dụng không thay đ i trạng thái

Chấp nhân để tập hợp tất cả các thông số tỷ trọng bằng cách m rộng phương trình (2.10) bằng luật bắc cầu Điều này đưa ra phương trình

u z

w y x

u Dt

σơi D/Dt là bắt ngu n từ thực tế trong hệ tọa độ Cartesion Th i gian bắt đầu c a Dρ/Dt và  / t là sự khác biệt về đại lượng vật lý và số Vì chúng ta chỉ xét bài toán hai chiều nên chúng ta có công th c hai chiều cho dòng không nén

z

w y x

u t

c a thuộc tính giá trị ф trên một đơn vị thể tích có thể bao hàm bằng cách m rộng mật độ ρ với ngu n gốc thực tế c a ф điều này dẫn tới

u t

     

Dt

D z

w y

x

u t

z

w y x

u

t

z

w y

Cả hai phương trình đó có thể được sử dụng để biểu thị sự bảo toàn c a đại lượng

vật lý Rút gọn lại, chỉ dạng không bảo toàn được sử dụng để tìm thấy được ngu n gốc định luật vật lý kế tiếp không tính toán được trong vấn đề dòng chảy đó là lý thuyết momentum Chúng ta đi tới dạng bảo toàn đó là phương pháp ph biến sử

dụng trong tính toán động lực học chất lỏng

Từ ngu n gốc c a định luật vật lý này, chúng ta bắt đầu bằng cách cho một phần tử

chất lỏng như được định nghĩa trong hình 2.2 cho bảo toàn khối lượng Định luật 2 Newton về sự chuyển động nói là t ng lực tác động lên phần tử chất lỏng, như trình bày trong hình 2.4, tương đương với kết quả giữa khối lượng và gia tốc c a phần tử

Có 3 mối quan hệ vô hướng thiết yếu theo các chiều x,y và z c a hệ trục tọa độ

Phương trình liên t ục

Cartesian dựa trên định luật có thể được đưa ra Chúng ta bắt đầu bằng cách cho phương x c a định luật 2 σewton

Nhớ rằng khối lượng c a phần tử chất lỏng m là ρΔxΔyΔz, tỷ lệ tăng c a momentum theo trục x là

đ i c a momentum chất lỏng là trọng lực, lực li tâm, lực Coriolis, và lực điện từ

Những hệ quả này thư ng được kết hợp bằng cách đặt chúng vào trong phương trình momentum như là những thông số ngu n thêm vào sự phân bố c a lực bề mặt

Lực bề mặt cho thành phần vận tốc u, như trong hình 2.4, biến dạng c a phần tử

chất lỏng bao g m ng suất pháp tuyến Ńxx và ng suất tiếp tuyến ńyx và ńzx tác động lên bề mặt c a phần tử chất lỏng Kết hợp t ng c a các lực bề mặt trên phần tử chất lỏng và chuyển đ i tỷ lệ th i gian c a u từ phương trình(3.20) vào trong phương trình 2.18, phương trình momentum tr thành

y x

y x

y x

Dt

ng suất pháp tuyến Ńxx, Ńyy, Ńzz trong phương trình (2.21)-(2.23) là bao g m c a

áp suất p và thành phần ng suất nhớt pháp tuyến ńxx, ńyy, và ńzztác động vuông góc lên thể tích điều khiển Những số hạng còn lại bao g m những thành phần ng suất vận tốc tiếp tuyến Trong nhiều dòng chât lỏng, một dạng phù hợp cho những ng suất nhớt được giới thiệu Chúng thư ng là một ch c năng gây ra tỷ lệ biến dạng địa phương( hoặc tỷ lệ ng suất) điều đó được biểu thị trong công th c Gradients vận tốc Công th c về mối quan hệ xấp xỉ ng suất và độ giãn cho chât lỏng σewton được tìm thấy trong Appendix A

ng lực

ng lực

ng lực

Trong trư ng hợp xét dòng chất lỏng hai chiều giữa hai tấm phẳng đặt song song( dòng không xét theo trục z) trư ng hợp nghiên c u thì dòng chât lỏng có thuộc tính không đ i σó kéo theo mật độ là không đ i và lực thân, đặc biệt là trọng lực( ví dụ, giá trị mật độ là lực n i), không cần thiết cho vào phương trình

Bằng cách đưa ra phương trình liên tục, phương trình momentum với sự bao hàm

c a mối quan hệ ng suất-độ giãn có thể được giảm thành

diffusion gradient

pressure advection

on accelerati

local

y

u x

u x

p y

u x

u u t

u

2 2 2

pressure advection

on accelerati

local

y x

y

p y

x

u

2 2

2.3 D ng t ng quát của các ph ng trình chủ đ o cho tính toán đ ng lực học ch t lỏng

Dạng bảo toàn c a dòng không nén

w y

u

 Phương trình momentum

T T

x

S x

p S

z

u z

y

u y

x

u x

z

wu y

u x

uu t

p S

z z

y y

x x

z

w y

x

u t

M

T

T T

T

T T

z

S z

p S

z

w z

y

w y

x

w x

z

ww y

w x

uw t

Chiều xét trong hệ trục toạn dộ Cartesiens

2.4 Đi u ki n biên cho các ph ng trình chung

Bây gi chúng ta xét điều kiện biên cho một dòng chảy nhớt Chúng ta tập trung vào điều kiện biên không trượt đây, điều kiện biên trên bề mặt một khối có quan

hệ với vận tốc bằng 0 giữa bề mặt và bề mặt chất lỏng σếu bề mặt là đ ng yên, với chất lỏng chạy qua nó, thì tất cả các thành phần vận tốc có thể được cho bằng 0 Trong trư ng hợp này

u=v=w=0 tại bề mặt

Giải pháp c a các phương trình chung cho bất kì thuộc tình chuyển đ i ф cho hầu hết các dòng yêu cầu tại ít nhất một thành phần vận tốc được đưa ra điều kiện biên

Cho dòng chảy qua kênh, nó được cung cấp b i điề kiện biên Drichlet c a vận tốc theo trục x:

u=f và v=w=0 tại biên vào

và điều kiện biên tại đầu ra sẽ là:

tại đầu ra

σơi n là trục cơ bản cho bề mặt biên đầu ra, cho vấn đề dòng chảy qua kênh là trục

x Điều kiện biên này được biết đến như là điều kiện biên Neumann (trích dẫn

“Computational Fluid Dynamics”)

Phương pháp này có một thuận lợi riêng so với phương pháp Sai phân hữu hạn trong thực tế là nó vốn cho phép việc xử lý hình dạng ph c tạp một cách tùy ý như

nó có thể được áp dụng dễ dàng trong việc sử dụng lưới bất thư ng c a biến đa dạng σó cũng cung cấp một tập hợp các hàm cái mà đưa ra biến c a các phương trình sai phân giữa các điểm lưới, nhưng ngược lại phương pháp Sai phân hữu hạn

chỉ cung cấp thông tin cho các giá trị tại điểm nút

Có một phần m rộng c a lý thuyết mô tả về nên tảng toán học c a phương pháp này Chúng ta sẽ dùng đến đây những mô tả đơn giản để truyền tải những nguyên lý

cơ bản c a phương pháp

Giả sử rằng phương trình sai phân tại đây là dạng khuếch tán đối lưu chung như được đưa ra trong phương trình (3.1) Đưa ra phương trình giai đoạn n định, để tập trung trong việc r i rạc hóa không gian, phương trình tr thành:

T

(3.1)

Để đơn giản trong việc trình bày, phương trình này sẽ được thu gọn theo dạng ký

hiệu như sau:

 T 0

Chú ý rằng phương trình 3.1 đưa ra đây cho mục đích trình bày và các nguyên lý

có thể được áp dụng cho bất kỳ phương trình sai phân khác nào

Nếu chúng ta giả sử rằng chúng ta đang tìm kiếm một giải pháp xấp xỉ '

Tsử dụng hàm kiểm tra c a một vài dạng Tiếp theo các hàm con đó chuyển thành phương trình sai phân sẽ không thỏa mãn phương trình Do đó số dư xuất hiện trên vế phải thay thế 0 Đó là:

 T R

Q  

(3.3)

B i vì Q(T') là xấp xỉ, số dư R không bao ph hầu hết miền Phương pháp số dư

trọng lượng dựa trên khái niệm giới thiệu hàm trọng lượng W và sau đó đòi hỏi rằng

tích phân c a số dư hàm trọng lượng bao ph trên hầu hết miền tính toán Đó là:

đ ng th i để đạt được hệ số c a đa th c do đó dẫn đến kết quả bài toán

Ngụ ý rằng phương pháp phần tử hữu hạn có thể được sử dụng để đạt được giải pháp phân tích phương trình sai phân được cung cấp những hàm trọng lượng và kiểm tra phù hợp có thể được tìm thấy

Có nhiều kỹ thuật khác nhau được mô tả trong lý thuyết được sử dụng để định nghĩa hàm trọng lượng và kiểm tra như là phương pháp miền con, phương pháp sắp xếp theo th tự và phương pháp Least-Square Tôi sẽ tập trung vào phương pháp ph

biến nhất có tên gọi là phương pháp Galerkin, cái sẽ được nghiên c u trong phần sau

Bây gi chúng ta tập trung vào việc làm thế nào để sử dụng phương pháp này giải quyết phương trình sai phân số Bước đầu tiên là giả sử hàm kiểm tra địa phương trên miền r i rạc Miền tính toán được chia nhỏ thành những phần không ch ng

chất, gọi là các phần tử Cho ví dụ, trong bài toán một chiều, đó có thể là các đoạn thẳng giữa các nút lưới Hàm kiểm tra sau đó là các hàm tích phân cái mà giả định hình dạng biến đ i c a biến giữa các điểm lưới bao g m phần tử Việc đơn giản

nhất c a nó là những hàm dạng đư ng thẳng giả sử rằng biến trư ng có một sự biến

đ i tuyến tính giữa các điểm lưới Chúng ta có thể thu gọn bài toán như sau:

Q

W i i i

(3.6) Tích phân tại tất cả các miền con sinh ra một hệ phương trình đại số có dạng

r

T

K. i 

(3.7) Cái mà có thể được giải quyết cho hệ số Ti biểu thị cho hàm trư ng tại các điểm nút

Ma trận K được gọi là Jacobean hoặc ma trận khối lượng và vế bên phải thư ng

ch a đựng điều kiện biên và thành phần ngu n nếu có Chúng ta sẽ thảo luận chi tiết hơn trong phần sau

Có một vài lựa chọn cho hàm xấp xỉ và hàm trọng lượng Lựa chọn được sử dụng rộng rãi nhất là hàm trọng lượng thì tương đương với hàm xấp xỉ Phương pháp này được gọi là phương pháp Galerkin

3.2 Ph ng pháp ph n t h u h n

Phương pháp phần tửu hữu hạn đã được trình bày phần trên Sau đây tác giả sẽ lược ra lịch sử c a phương pháp và những thuận lợi c a nó Tác giả cũng đã lược ra nền tảng lý thuyết và khung sư n bằng phương pháp số dư trọng lượng Galerkin được sử dụng để r i rạc phương trình sai phân

Trong phần này tác giả sẽ trình bày phương pháp một cách chi tiết hơn Có một lĩnh vực rộng về những thảo luận lý thuyết và nền tảng lý thuyết về phương pháp phần

tử hữu hạn và những ng dụng c a nó trong bài toán kỹ thuật

Khái niệm c a phương pháp phần tửu hữu hạn có thể được vạch ra kỹ thuật được sử dụng để tính toán áp suất như là một cấu trúc được chia ra thành những cấu trúc con nhỏ c a hình dạng khác nhau gọi là phần tử Cấu trúc này sau đó được lắp ráp lại sau khi mỗi phần tử được phân tích

Kỹ thuật đã được phát triển từ xa xưa những gì được biết đến ngày hôm nay là phương pháp phần tử hữu hạn giữa những năm 1940 và 1960, ch yếu là trong lĩnh vực động lực học cấu trúc Kỹ thuật này sau đó đã được m rộng để giải quyết các bài toán trư ng trong những năm thập niên 1960

σgày nay, phương pháp phần tử hữu hạn được coi là một trong những phương pháp tốt nhất để ng dụng trong kỹ thuật với các điều kiện toán học chính xác cho việc

t n tại

3.2.1 C s

σhư chúng ta đã biết, một mô hình số cho dòng chất lỏng bắt đầu với một mô hình

vật lý c a bài toán Tác giả sẽ chọn một mô hình đầy đ các phương trình Stokes hoặc bất kì các m c xấp xỉ nào Sau đó tác giả giải quyết mô hình toán trên một mô hình vật lý được đưa ra với một vài điều kiện biên

Navier-Bước đầu tiên là r i rạc miền không gian thành các phần tử không ch ng lấn hoặc các miền con Phần tử hữu hạn cho phép một sự đa dạng c a hình dáng phần tử, cho

ví dụ, phần tử tam giác và t giác trong bài toán hai chiều và tam diện, t diện cho bài toán ba chiều Mỗi phần tử được định dạng b i việc kết nối c a số nút hiện diện, với số nút trong phần tử phụ thuộc dạng c a phần tử

Hình 3.1: Lưới phần tử hữu hạn dạng hai chiều

Số nút trong mỗi phần tử không chỉ phụ thuộc vào số điểm góc trong phần tử, nhưng cũng trên một dạng c a hàm nội suy phần tử tác giả sẽ giải thích trong phần tiếp theo

Bước đầu tiên một lưới đã được giải quyết, chúng ta lựa chọn dạng c a hàm nội suy điều đó thể hiện sự đa dạng c a biến trư ng trên phần tử Sự khác biệt rõ ràng có

thể thấy đây thông qua phương pháp sai phân hữu hạn Trong phương pháp sai phân hữu hạn, chúng ta chỉ thấy được giá trị c a biến trư ng tại các nút lưới, và

chẳng có thông tin nào được đòi hỏi cho mối quan hệ giữa các nút.Chúng ta giả sử rằng nó là hoàn toàn tuyến tính, nhưng chúng ta đã không phải làm điều đó

Bước tiếp theo là xác định các phương trình ma trận đó là đưa các thuộc tính c a

phần tử độc lập bằng định dạng vế trái c a ma trận và vector tải Vế trái c a ma trận định dạng và một vector tải cho phần tử một chiều là như sau:

1 1

Bước kế tiếp là ta lắp ghép các phương trình phần tử để tạo ra một hệ phương trình tương thích điều đó có thể được giải quyết cho các biến trư ng chưa biết tại nút lưới Hệ phương trình cuối cùng được biểu thị dưới dạng ký hiệu như sau:

Hàm được sử dụng để biểu thị biến c a giải pháp trong mỗi phần tử được gọi là hàm dạng, hoặc hàm nội suy hoặc hàm cơ bản Mẫu, hàm đại số được sử dụng b i

vì chúng có thể dễ dàng tích phân hoặc vi phân Tính chính xác c a kết quả có thể được cải thiện bằng cách tăng yêu cầu c a việc sử dụng đại số

Hình 3.2: Chia mi ền tuyến tính biểu thị trong bài toán một chiều

Hình 3.4: Hàm dạng tuyến tính cho bài toán 1 chiều

Hàm trư ng sau đó được biểu thị trên phần tử sử dụng hàm dạng như sau:

j j i

j j i

i

e

dx

dN dx

dN

dx

j i j i i

j

e

x x x

Chú ý rằng xi – x j là chiều dài c a phần tử Chúng ta đặt chiều dài này là l Sau đó

phương trình 3.15 có thể được viết dưới dạng ma trận:

1

(3.16)

Ta có thể quan sát từ đó đạo hàm đầu tiên c a biến trư ng là hằng số trên phần tử Điều đó chỉ ra rằng đạo hàm đầu tiên c a hàm trên miền sẽ là hằng số bậc thang trên

miền nguyên chỉ ra rằng nó không phải là một hàm liên tục

Những hàm dạng được yêu cầu cao hơn có thể được giải quyết bằng cách sử dụng 3 nút trong phần tử như trình bày trong hình 3.5 Sử dụng phương trình bậc hai dạng đại số, các hàm dạng có thể được đạo hàm để đưa ra ( với chiều dài c a phần tử

2

2 3 1

l

x l

l

x l

i

e N  N  N 

3.2.4 Ph n t tam giác hai chi u

Phần tử ph biến nhất cho hình dạng hai chiều bất kì là phần tử tam giác σó là chính xác vì lưới tam giác thì tương đối dễ dàng hơn để tạo ra và để điều khiển chất lượng c a chúng Phần này chúng ta sẽ biểu thị hàm dạng cho những phần tử này

Phần tử tuyến tính hai chiều thể hiện trong hình 3.6 Chúng ta có thể biểu thị giá trị

c a hàm trư ng trên phần tử sử dụng đại số tuyến tính như sau:

1abx cy

2 2

2 abx cy

3 3

3abx cy

Hình 3.6: Ph ần tử tam giác tuyến tính hai chiều

Phương trình 3.22 - 3.24 có thể được giải quyết đ ng th i để đạt được hệ số hàm dạng trong thành phần c a tọa độ nút để đưa ra như sau:

3 3 2 2 1

N y

N

y

x

N x

N x

3

3 2 1 2 1 3 1 3

2

2 2

2

2 2

x x A

y y A

1 2

3

2 1 1

3 3

x x

x

y y y

y y

y

A

y

Chú ý, như trong phần tử một chiều tuyến tính, đạo hàm đầu tiên c a hàm trư ng là

hằng số trong phần tử hai chiều dạng tam giác

Phần tử tam giác được yêu cầu cao hơn có thể đạt được bằng cách thay nhiều nút hơn trong phần tử và sử dụng đại số yêu cầu cao hơn để đạt được hàm dạng σhư hầu hết phương pháp CFD sử dụng phần tử tuyến tính

Một số hình ảnh về phần tử yêu cầu cao Hình 3.7 đưa ra số nút trên một phần tử vuông và một phần tử tam giác khối

3.2.5 Ph n t tứ giác hai chi u

Phần tử t giác song tuyến tính có 4 nút đặt tại các đỉnh như trong hình 3.8 Lưới

phần tử hữu hạn t giác nhìn giống như lưới sai phân hữu hạn σhưng trong lưới sai phân hữu hạn, lưới cần phải là vuông góc, đó là tất cả các đư ng lưới giao nhau tại góc phải, tuy nhiên trong lưới phần tử hữu hạn, sự giới hạn đó được bỏ đi và mỗi

phần tử có thể có một dạng duy nhất

Thêm nữa, trong lưới sai phân hữu hạn, mỗi điểm lưới phải có cùng số giới hạn Cho ví dụ, trong lưới hai chiều, mỗi điểm lưới sẽ được xoay quanh 4 điểm, trong khi trong phần tử hữu hạn; một điểm có thể có một số tùy ý giới hạn Lưới t giác không có kết cấu với một số tùy ý giới hạn cho mỗi nút có thể được xây dựng sử

dụng kỹ thuật ph điều đó sẽ được thảo luận trong phần sau

Hình 3.7: Ph ần tử t giác hai chiều tuyến tính

Biến trư ng trong một phần tử t giác có thể được thu gọn sử dụng dạng đại số:

 x y a bx cy d xy

đây a,b,c và d là các hệ số điều đó cần được xác định để định nghĩa hàm dạng

như chúng ta đã làm với phần tử tam giác Khi chúng ta muôn ch a đựng phần tử

c a dạng t ng quát, nó thông thư ng thuận lợi hơn để xây dựng sơ đ phần tử sử dụng gốc chuyển đ i tới không gian chính đây phần tử trong hệ tọa độ địa phương

và là c a dạng n định và đa dạng trong hệ trục như thể hiện trong hình 3.9 Sau

đó hàm dạng được định nghĩa trên phần tử t ng quát, hoặc phần tử đẳng chu vi Hàm chuyển đ i nghịch đảo có thể được sử dụng để chuyển đ i hệ thống r i rạc tới không gian vật lý thực tế

Hình 3.8: Xây d ựng phần tử đẳng tham số cho phần tử t giác

Chúng ta tìm cách định nghĩa hàm dạng tại 4 nút như sau:

4 4 3 3 2 2

i i

i i

i i

1 1

1 1

1 1

1 1

N N d

N N d

y x

N

N

i i

N J

N

N

i i

1

4 1 4

1

i

i i i

i i

i

i i i

i i

y

N x

N

y N x

N y

x

y x

i

i

N

N J

Dẫn tới phương trình 3.58 là một biểu thị quan trọng cho phương trình phần tử hữu hạn c a phương trình sai phân b i vì nó cho phép thực hiện r i rạc c a biến trư ng như sau:

4 4 3 3 2 2 1 1

4 4 3 3 2 2 1 1

N y

N y

N

y

x

N x

N x

N x

Phần tử hữu hạn yêu cầu cao hơn có thể được thực hiện trong một trư ng hợp tương

tự như phần tử tam giác yêu cầu cao hơn bằng cách thay thế nhiều nút hơn và sử dụng dạng đại số yêu cầu cao hơn để biểu thi hàm dạng Hình 6.10 đưa ra ví dụ về một phần tử t giác 8 nút

Hình 3.9: Ph ần tử t giác 8 nút

3.3 Ph ng pháp số d trọng l ng

Có nhiều phương pháp để thu được dạng phần tử hữu hạn từ phương trình sai phân

Nó cũng đề cập rằng phương pháp số dư trọng lượng, thực tế phương pháp Galerkin

là một phương pháp ph biến nhất

Chúng ta không nhấn mạnh vào lý thuyết r i rạc c a phương pháp này Điểm nhấn

c a chúng ta đây ch yếu là làm thế nào để áp dụng phương pháp này chuyển đ i phương trình sai phân đã cho thành dạng r i rạc cân bằng c a nó trên một lưới phần

tử hữu hạn Chúng ta sẽ trình bày nó bằng cách lấy một ví dụ về bài toán một chiều Việc lấy ví dụ này nhằm hai mục đích Th nhất là trình bày vi phân phần tử hữu hạn sử dụng phương pháp Galerkin Th 2, nếu chúng ta sử dụng cùng một lưới

nhất định điều đó được sử dụng cho vi phân sai phân hữu hạn, chúng ta có thể so sánh hai sai phân

Chúng ta muốn vi phân phương trình:

Sử dụng lưới 5 phần tử thể hiện trong hình 3.11 với điều kiện biên: 1 =1 và 6 =0

Hình 3.10: Lưới phần tử hữu hạn cho phương trình 3.60

Chúng ta bắt đầu r i rạc sử dụng hàm dạng c a phần tử một chiều tuyến tính cho phương trình 3.12 và 3.13 Tuy nhiên theo cái chung đưa ra điều đó có thể được sử dụng cho phần tử đẳng tham số hai và ba chiều, chúng ta sẽ sử dụng hàm dạng một kích thước sử dụng phần tử một chiều đẳng tham số

Nếu chúng ta lựa chọn bất kỳ phần tử nào trong hình 3.11 và sắp xếp nó vào hệ tọa

độ địa phương như trong hình 3.12, gốc được định nghĩa tại điểm giữa c a phần tử,

sau đó trừ x i =-1 và x j =1 trong phương trình 3.12 và 3.13, chúng ta có hàm dạng như sau:

Hình 3.11: Phần tử tuyến tính 1 chiều đẳng tham số