Nghiên cứu tương tác lưu chất và vật thể đàn hồi bằng phương pháp IBM (immersed boundary method)

Một số ví dụ như:  khí động học của máy bay và các phương tiện giao thông: nâng và c n  thuỷ động lực học của tàu  thiết bị động lực: quá trình cháy trong động cơ đốt trong và tua bin

M C L C

Quyết định giao đề tài

Lý lịch khoa học i

L i cam đoan ii

C m t iii

Tóm tắt iv

Mục lục vi

Danh sách các chữ viết tắt vii

Danh sách các hình ix

Danh sách các b ng xii

Ch ng 1 T NG QUAN 1

Ch ng 2 PH NG PHÁP IBM CHO VẬT TH ĐÀN HỒI 9

Ch ng 3 RỜI R C HÓA KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN 16

3.1 R i r c hóa không gian 16

3.2 Điều kiện biên 23

3.3 R i r c hóa th i gian 27

Ch ng 4 LỰC ĐÀN HỒI C A BIÊN NHÚNG 30

4.1 Năng lượng đàn hồi 30

4.2 Năng lượng kéo 31

4.3 Năng lượng uốn 34

Ch ng 5 XỂY DỰNG HÀM DELTA DIRAC 38

Ch ng 6 KẾT QU 44

6.1 Mô phỏng một sợi nhỏ mềm vỗ trong màng xà phòng 47

6.2 Mô phỏng hai sợi nhỏ mềm vỗ trong màng xà phòng 54

Ch ng 7 KẾT LUẬN 63

TÀI LI ỆU THAM KH O 66

L U ĐỒ GI I THUẬT 69 CH NG TRỊNH 74

DANH SÁCH CÁC CH VI ẾT TẮT

X : tọa độ r i r c của biên nhúng tương ứng với tọa

độ trong lưới Đề các t i th i điểm t

y y x

x y

x

N

l N

l h

DANH SÁCH CÁC HÌNH

Hình 1.1: Mối quan hệ giữa các khía c nh trong động lực học chất lỏng 1

Hình 1.2: Chia lưới theo cách truyền thống (hình trên) và chia lưới bằng IBM (hình dưới) 3

Hình 1.3: B n thiết kế của xe Loremo với đư ng vận tốc từ mô phỏng khí động học 5

Hình 1.4: Mô hình thí nghiệm của Zhang [14] 7

Hình 2.1: Sơ đồ hệ chất lỏng – biên nhúng 10

Hình 2.2 Chuyển đổi lực k  F từ điểm biên Lagrange ( )X tới các nút chất lỏng xung k quanh Vùng tô đậm biểu thị mức độ phân bố lực 13

Hình 2.3 Sự phân bố mật độ khối lượng biên nhúng sang các điểm chất lỏng 13

Hình 2.4 Vận tốc biên nhúng được nội suy từ vận tốc vùng chất lỏng lân cận 14

Hình 3.1 Lưới so le 17

Hình 3.2 Miền với các ô biên 18

Hình 3.3 Các giá trị cần thiết để r i r c đ o hàm bậc 2 2 2 x u   19

Hình 3.4 Các giá trị cần thiết để r i r c hoá phương trình động lượng u 20

Hình 3.5 Các điểm biên cần được tính 23

Hình 3.6 Các điểm vận tốc nằm ngoài vùng chất lỏng Ω 25

Hình 5.1 Đồ thị hàm delta Dirac 38

Hình 6.1 Cơ cấu thí nghiệm sợi dây mềm trong màng xà phòng [14] 45

Hình 6.2 Mô hình sợi dây trong màng xà phòng sử dụng trong mô phỏng 46

Hình 6.3 Các đư ng xoáy của dòng ch y 50

Hình 6.4 Trư ng áp suất 50

Hình 6.5 Tọa độ dao động đầu tự do của sợi dây 51

Hình 6.6 Tọa độ dao động đầu tự do của sợi dây 51

Hình 6.7 Tần số và biên dộ vỗ như hàm của chiều dài sợi dây 52

Hình 6.8 nh hư ng của hệ số uốn sợi dây  đến tần số và biên độ vỗ như là một u hàm theo chiều dài sợi dây 53

Hình 6.9 Vị trí ban đầu 2 sợi dây trong màng xà phòng 55

Hình 6.10 Các đư ng xoáy của dòng ch y với kho ng cách d/L = 0,15 56

Hình 6.11 Trư ng áp suất với kho ng cách d/L = 0,15 56

Hình 6.12 Tọa độ dao động đầu tự do hai sợi dây với kho ng cách d/L = 0,15 57

Hình 6.13 Các đư ng xoáy của dòng ch y với kho ng cách d/L = 0,25 58

Hình 6.14 Trư ng áp suất với kho ng cách d/L = 0,25 58

Hình 6.15 Tọa độ dao động của đầu tự do hai sợi dây với kho ng cách d/L = 0,25 59

Hình 6.16 Vị trí ban đầu 2 sợi dây trong màng xà phòng 59

Hình 6.17 Tọa độ dao động của đầu tự do hai sợi dây với kho ng cách d/L = 0,25, 0 0 1 10 , 2 5     60

Hình 6.18 Tọa độ dao động của đầu tự do hai sợi dây với kho ng cách d/L = 0,25,

    62 Hình 6.21 Tọa độ dao động của đầu tự do hai sợi dây với kho ng cách d/L = 0,35,

    62 Hình 6.22 Vị trí ban đầu 2 sợi dây trong màng xà phòng 63

B ng 6.2 Tr ng thái duỗi thẳng hệ số uốn và chiều dài dây khác nhau 53

B ng 6.3 Thông số thí nghiệm của Zhang [14]và mô phỏng hiện t i của hai sợi dây 54

Ngày nay, vai trò của CFD trong dự báo kỹ thuật đã tr nên m nh tới mức nó

có thể được nhìn nhận như “khía c nh thứ ba” trong động lực học chất lỏng, hai khía c nh còn l i là những trư ng hợp cổ điển của thực nghiệm thuần túy và lý thuyết thuần túy Mối quan hệ này được phác họa trong hình 1.1 [2]

Hình 1.1: Mối quan hệ giữa các khía c nh trong động lực học chất lỏng

Động lực học chất lỏng tính toán (hoặc CFD) là phân tích các hệ thống liên quan đến dòng chất lỏng, truyền nhiệt và các hiện tượng liên quan như ph n ứng hoá học bằng các phương tiện mô phỏng trên máy tính Kỹ thuật này rất m nh và

m rộng một lo t các lĩnh vực ứng dụng công nghiệp và phi công nghiệp Một số ví

dụ như:

 khí động học của máy bay và các phương tiện giao thông: nâng và c n

 thuỷ động lực học của tàu

 thiết bị động lực: quá trình cháy trong động cơ đốt trong và tua bin khí

 kỹ thuật điện-điện tử: sự làm mát của thiết bị bao gồm vi m ch

 kỹ thuật chế biến hoá chất: trộn và tách, đúc pô-li-me

 môi trư ng bên trong và bên ngoài của công trình: t i trọng gió và sư i ấm/thông gió

 cơ khí hàng h i: t i trên kết cấu ngoài khơi

 công nghệ môi trư ng: phân bố các chất ô nhiễm và nước th i

 thuỷ học và h i dương học: dòng ch y các sông, cửa sông, biển

 khí tượng học: dự báo th i tiết

 kỹ thuật y sinh: dòng máu ch y qua động m ch và tĩnh m ch

Từ năm 1960 tr đi, các ngành công nghiệp hàng không vũ trụ đã tích hợp kỹ thuật CFD vào thiết kế, nghiên cứu và phát triển, s n xuất máy bay và động cơ ph n lực Gần đây nhất là các phương pháp đã được áp dụng cho việc thiết kế của động

cơ đốt trong, buồng đốt của tua bin khí và lò nung Và hiện nay các nhà s n xuất ô

tô thư ng dự đoán lực c n, dòng không khí dưới nắp ca-pô và môi trư ng trong xe hơi với CFD CFD ngày càng tr thành một thành phần quan trọng trong việc thiết

kế s n phẩm và qui trình công nghiệp Mục đích cuối cùng của sự phát triển trong lĩnh vực CFD là cung cấp một tiềm năng tương đương với các công cụ CAE (Computer-Aided Engineering) khác chẳng h n như mã phân tích ứng suất

Các bài toán về tác động giữa lưu chất và vật thể, lưu chất và lưu chất hiện nay ngày càng được quan tâm nghiên cứu và kh o sát nhiều nước trên thế giới Để tính toán cho các bài toán thực tế hiện nay đã có rất nhiều phương pháp được sử dụng như: phương pháp phần tử hữu h n (FEM – Finite Element Method), phương pháp thể tích hữu h n (FVM – Finite Volume Method), phương pháp sai phân hữu

h n (FDM – Finite Difference Method) …, và nói chung các phương pháp này đều

sử dụng việc chia lưới, việc chia lưới l i ph i phụ thuộc vào hình d ng của vật thể Đối với những bài toán mà hình d ng vật thể phức t p thì việc chia lưới theo những cách thông thư ng sẽ càng tr nên khó khăn và chi phí tính toán lớn Chính vì vậy cần tìm ra một phương pháp mà việc chia lưới đơn gi n hơn để việc phân tích và tính toán bài toán có hiệu qu Một phương pháp mới đã ra đ i mà việc chia lưới rất đơn gi n bằng cách chia lưới lưu chất trực tiếp trên các ô vuông của lưới Đề các, các ô lưới này cố định trong suốt quá trình tính toán và không phụ thuộc hình d ng của vật thể Phương pháp đó có tên là “Phương pháp biên nhúng” (Immersed Boundary Method (IBM))

Hình 1.2: Chia lưới theo cách truyền thống (hình trên) và

chia lưới bằng IBM (hình dưới)

Phương pháp IBM (Immersed Boundary Method) lần đầu tiên được sử dụng

và phát triển b i Peskin (1972) để nghiên cứu lưu lượng máu quanh van tim Đặc trưng phân biệt của phương pháp này là toàn bộ việc mô phỏng được tiến hành trực tiếp trên lưới Đề các, mà không phụ thuộc vào hình d ng của vật thể, và các điều kiện biên sẽ được áp đặt trực tiếp vào lưới Đề các, vì vậy được gọi là phương pháp

biên nhúng (IBM) Từ khi Peskin giới thiệu phương pháp này, thì việc phát triển và

c i tiến về phương pháp này đã được đưa ra khá rộng rãi, và ngày nay nhiều phương thức tiếp cận về phương pháp này vẫn được đưa ra nghiên cứu và phát triển không ngừng Có khá nhiều phương thức khác nhau sử dụng phương pháp lưới Đề các, mà phát triển ban đầu là việc mô phỏng dòng ch y không nhớt trên lưới Đề các khi được nhúng vào một vật thể có hình d ng phức t p (Berger và Aftosmis 1998 [3], Clarke 1986 [4], Zeeuw và Powell 1993 [5]) Các phương pháp này sau đó đã được

m rộng để mô phỏng dòng ch y nhớt tĩnh (Udaykumar 1996 [6]) Về sau các ứng dụng của phương pháp này liên quan đến các bài toán chất lỏng tương tác chất lỏng hoặc chất lỏng tương tác với khí đã được phát triển b i Scardovelli & Zaleski 1999 [7] Một số bài báo nghiên cứu bằng phương pháp IBM từ năm 2010 đến nay có thể

kể đến như: Ming, Sun, Duan và Zhang 2010 [8] đã c i tiến phương pháp IBM lưới phi cấu trúc để mô phỏng tương tác lưu chất và kết cấu, X Zheng, Q Xue và R Mittal 2010 [9] đã kết hợp phương pháp IBM mặt giao phân cách nhọn với phương pháp phần tử hữu h n để mô phỏng dao động dòng được t o ra b i rãnh phát âm trong thanh qu n của ngư i, Jian Hao and Luoding Zhu 2011 [10] đề xuất phương pháp IBM ẩn sử dụng xấp xỉ lưới Boltzmann để c i thiện sự h n chế về kích thước bước th i gian để duy trì ổn định số trong phương pháp IBM, Haeri và Shrimpton

2012 [11] áp dụng phương pháp IBM, phương pháp miền gi tư ng và lưới vật thể -

b o giác để mô phỏng các h t trong dòng ch y đa pha, Sudeshna Ghosha và John

M Stockie 2013 [12] mô phỏng sự lắng đọng của các h t rắn trong chất lỏng nhớt Đối với trong nước thì phương pháp IBM là phương pháp còn khá mới mẻ, các công trình nghiên cứu chưa lớn m nh và còn mang tính kh i đầu

Cơ học lưu chất là một vấn đề rộng lớn và rất khó khăn trong việc gi i quyết

vì các tính chất của chúng (tính liên tục, tính nén được, không nén được, tính nhớt…) Chúng ta chỉ nghiên cứu lưu chất trong một số trư ng hợp mà các tính chất của nó xem như là lí tư ng Gần đây hãng phần mềm ANSYS hợp tác với Cascade Technologies đưa vào một mô đun add-on cho phần mềm ANSYS FLUENT 12.0

sử dụng phương pháp IBM Liền sau đó hãng xe hơi Loremo AG Đức đã làm việc

với các nhân viên ANSYS để mô phỏng chiếc ô tô thế hệ mới của Loremo, chiếc ô

tô này sẽ đ t vận tốc tối đa 160 km/h, với lượng tiêu thụ nhiên liệu ít hơn 2 lít trên

100 km Khí th i CO2 sẽ kho ng 50 grams trên 1 km, thấp hơn rất nhiều so với 130 grams trên 1 km được đưa ra b i European Union vận tốc cực đ i, sự ổn định sẽ

là một vấn đề, khi mà xe chỉ nặng 600 kilograms Họ đã mô phỏng vấn đề này bằng phương pháp IBM so với kết qu mô phỏng thông thư ng đều cho kết qu tương đồng tốt, trong khi đó phương pháp IBM tiết kiệm th i gian đáng kể ứ dưới một gi còn phương pháp thông thư ng gần 25 gi Chiếc xe này đã được đưa vào s n xuất năm 2011 [13]

Hình 1.3: B n thiết kế của xe Loremo với đư ng vận tốc từ mô phỏng khí

ng dụng của IBM là tập trung chủ yếu vào lưu chất có di chuyển của các biên, tương tác giữa lưu chất và kết cấu, mô phỏng dòng ch y xung quanh những vật thể có d ng hình học phức t p Chính vì vậy trong luận văn này tác gi lựa chọn phương pháp IBM để nghiên cứu tương tác giữa lưu chất và vật thể đàn hồi Kết

qu của luận văn này cũng mong góp một phần công trình nghiên cứu của mình vào các công trình nghiên cứu trong nước giúp những ngư i muốn nghiên cứu về phương pháp IBM có thêm tài liệu nghiên cứu, tham kh o và phát triển

1.3 M c đích nghiên cứu, khách th vƠ đ i t ng nghiên cứu

ng dụng của IBM là tập trung chủ yếu vào lưu chất có di chuyển của các biên, tương tác giữa lưu chất và kết cấu, mô phỏng dòng ch y xung quanh những vật thể có d ng hình học phức t p Trong đề tài này tác gi sẽ nghiên cứu tương tác lưu chất và vật thể đàn hồi bằng phương pháp IBM Vật thể đàn hồi được chọn để

mô phỏng là sợi dây mềm mỏng được sử dụng trong thực nghiệm của Zhang [14],

mô hình được chọn đây coi như một lá c một chiều trong một dòng ch y hai chiều

Hình 1.4: Mô hình thí nghiệm của Zhang [14]

U: thùng chứa dung dịch xà phòng, V: van và vòi phun,

S: hai màng nylon, F: sợi dây, D: thùng hứng dung dịch xà phòng

1.4 Nhi m v nghiên cứu vƠ gi i h n c a đ tƠi

Cơ học lưu chất là một vấn đề rộng lớn và rất khó khăn trong việc gi i quyết vì các tính chất của chúng (tính liên tục, tính nén được, không nén được, tính nhớt…) Chúng ta chỉ nghiên cứu lưu chất trong một số trư ng hợp mà các tính chất của nó

xem như là lí tư ng Do giới h n của th i gian nghiên cứu của luận văn cao học nên tác gi chỉ nghiên cứu tập trung vào dòng ch y nhớt không nén được 2D qua vật thể đàn hồi không nén được có kích thước 1D Sau khi nghiên cứu lý thuyết để tiện cho việc tính toán mô phỏng tác gi sử dụng sự trợ giúp của phần mềm Matlab để tính toán và mô phỏng

1.5 K t cấu lu n văn

Luận văn gồm các chương

Chương 1: Tổng quan

Chương 2: Phương pháp IBM cho vật thể đàn hồi

Chương 3: R i r c hóa không gian và th i gian

Chương 4: Lực đàn hồi của biên nhúng

Chương 5: Xây dựng hàm delta Dirac

Chương 6: Kết qu

Chương 7: Kết luận

CH NG 2

Phương pháp IBM vừa là một công thức toán học vừa là một phương pháp số Công thức toán học của IBM sử dụng được pha trộn giữa các biến Euler và Lagrange Những biến này có liên hệ với nhau qua các phương trình tương tác trong

đó hàm delta (δ) Dirac đóng một vai trò chủ đ o Trong phương pháp số được hình thành từ công thức IB, các biến Euler được định nghĩa trên một lưới Đề các cố định,

và các biến Lagrange được định nghĩa trên một lưới cong di chuyển tự do qua lưới

Đề các cố định mà không buộc ph i thích ứng với nó theo bất kỳ một cách nào c

Mô t Euler dựa trên các phương trình Navier – Stokes được sử dụng cho động lực chất lỏng, và một mô t Lagrange được sử dụng cho từng đối tượng nhúng chìm trong chất lỏng Biên được nhúng là những đối tượng có d ng như lá mỏng van tim, cánh dù, cánh mỏng (bao gồm chim, côn trùng hoặc cánh dơi), cánh diều, lá c và chong chóng gió… Ta coi thể tích bị chiếm b i các bề mặt như thế bằng 0 [16][17]

Xét chất lỏng nhớt không nén được trong không gian 2 chiều Ω chứa vật thể đàn hồi không nén được có d ng là một đư ng cong khép kín  (xem hình 2.1)

Hình 2.1: Sơ đồ hệ chất lỏng – biên nhúng

Trong đó, vùng chất lỏng được chia bằng các ô lưới Đề các cố định, định nghĩa cho các biến Euler Vật thể đàn hồi được chia bằng 1 lưới cong di động, di chuyển tự do qua lưới Đề các mà không bị ràng buộc b i bất cứ một điều kiện nào, lưới cong này định nghĩa cho các biến Lagrange Hai lo i biến này liên kết với nhau qua phương trình tương tác liên quan đến một xấp xỉ trơn của hàm delta Dirac

Trong không gian hai chiều thì chất lỏng chỉ có hai tham số Euler, đặt x = (x, y) là

tọa độ của điểm chất lỏng trên lưới Đề các

Gi sử rằng tất c hoặc một phần của vật liệu đàn hồi được giam cầm trong các bề mặt nhất định và được nhúng trong một chất lỏng Ví dụ điển hình cho các

d ng vật liệu này như: cánh diều, cánh dù, cánh côn trùng, cánh dơi, lá mỏng van tim, cánh buồm, c , chong chóng gió… Trong không gian hai chiều, đối với bất kì

bề mặt như thế chỉ có một tham số Lagrange là cần thiết, trong mô hình tính toán lúc này vật thể tồn t i là hình d ng của một dãi biên Như vậy thể tích bị chiếm b i

Ω

X(s, t)

của vật liệu, lưu ý rằng M không phụ thuộc vào th i gian b i vì khối lượng được

b o toàn

Trong luận văn này tác gi sẽ sử dụng từ “biên nhúng” để nói đến biên của vật thể được nhúng trong chất lỏng B i vì trong phương pháp IBM, vật thể nhúng

trong chất lỏng được đ i diện bằng các bề mặt bao phủ vật thể Đặt X(s, t), 0 s L

là to độ của biên được nhúng t i th i điểm t, đây L là chiều dài của biên  Phương trình Navier – Stokes được gi i để xác định vận tốc chất lỏng suốt miền Ω

B i vì biên nhúng được bao quanh b i chất lỏng, nên vận tốc của nó ph i phù hợp với điều kiện biên không trượt Phương trình chuyển động của hệ như sau:

= (0, −g y ), M là mật độ khối lượng Lagrange đồng nhất của biên (chú ý M không

phụ thuộc vào th i gian, vì khối lượng được b o toàn)

Phương trình (2.1) là phương trình Navier–Stokes không nén được (còn gọi là phương trình động lượng), phương trình (2.2) là phương trình liên tục Phương trình (2.3) và (2.4) là các phương trình tương tác giữa biên nhúng và chất lỏng, chúng chuyển từ các biến Lagrange sang Euler và ngược l i phương trình (2.5) là phương trình chuyển động của biên, chuyển đổi các biến Euler sang Lagrange Tất c các phương trình tương tác liên quan đến các toán tử tích phân cùng với một nhân

 

δ x X ,st , tuy nhiên có sự khác biệt giữa (2.3), (2.4) và (2.5) Các phương trình

tương tác xác định ρ và f có mối liên hệ giữa các mật độ tương ứng, giá trị bằng số

của ρ và M không giống nhau t i các điểm tương ứng, và tương tự giá trị bằng số

của f và F không giống nhau t i các điểm tương ứng Nhưng giá trị bằng số của

đó Mật độ lực đàn hồi Lagrange F bằng 0 t i các điểm chất lỏng, và mật độ lực đàn

hồi Euler f x , t bằng 0 t i các điểm không gian x ngẫu nhiên nằm trong vùng chất

lỏng t i th i điểm t Tác động của biên nhúng lên chất lỏng xung quanh chủ yếu có

được bằng cách truyền ứng suất của biên nhúng tới chất lỏng B i vì vị trí của biên nhúng không thư ng trùng với các điểm nút của lưới Đề các nên lực được phân bố qua một dãi các ô xung quanh mỗi điểm Lagrange (xem hình 2.2) thông qua một xấp xỉ trơn của hàm delta Dirac

Hình 2.2 Chuyển đổi lực Fk từ điểm biên Lagrange ( k)



X tới các nút chất lỏng xung quanh Vùng tô đậm biểu thị mức độ phân bố lực

Tương tự đối với  x, t thì toàn miền chất lỏng sẽ có mật độ là 0, riêng với mật độ của các điểm chất lỏng lân cận biên nhúng sẽ bằng tổng của  và 0 mật độ của biên nhúng đã được phân bố từ điểm biên sang các điểm chất lỏng lân cận bằng hàm delta Dirac (xem hình 2.3)

Hình 2.3 Sự phân bố mật độ khối lượng biên nhúng sang các điểm chất lỏng

Nhưng ngược l i, trong phương trình (2.5) thì hàm delta Dirac dùng để nội suy vận tốc vùng chất lỏng lân cận điểm vật liệu cần xác định vận tốc để tìm vận tốc của điểm vật liệu đó (xem hình 2.4)

Hình 2.4 Vận tốc biên nhúng được nội suy từ vận tốc vùng chất lỏng lân cận

Mật độ lực F(s, t) được xác định bằng đ o hàm biến phân "E/ X" của hàm năng lượng đàn hồi EX s,t  (sẽ được trình bày trong chương 4) Hàm

 

δ x X ,st là hàm δ Dirac (sẽ được trình bày trong chương 5)

Trong trư ng hợp 2D toán tử ,  và  trong phương trình (2.1) và (2.2)được tính như sau:

2 2

u

(2.8) Các số h ng trong phương trình (2.6), (2.7) và (2.8) sẽ được tính toán trong các chương sau một cách rõ ràng để gi i phương trình Navier – Stokes

CH NG 3

RỜI R C HOÁ KHÔNG GIAN VÀ THỜI GIAN

Trong gi i tích số, thuật ngữ rời rạc hóa dùng để chuyển từ một bài toán liên

tục sang bài toán mà chúng ta chỉ quan tâm t i một số điểm xác định Đặc biệt, r i

r c hóa được sử dụng trong việc tìm nghiệm số của các phương trình vi phân bằng cách đưa phương trình vi phân về một hệ phương trình đ i số Những phương trình này xác định giá trị của nghiệm chỉ t i một số điểm xác định của miền [18]

3.1 R i r c hoá không gian

Phương pháp IBM là hỗn hợp của phương pháp sai phân hữu h n Euler – Lagrange để tính toán tương tác dòng ch y với biên nhúng Sự r i r c hóa không gian được mô t đây sử dụng hai lưới độc lập, một là cho các biến Euler và hai là cho các biến Lagrange Mô hình bài toán có thể được r i r c như sau: đặt miền chữ

nhật của chất lỏng là Ω = [0, l x ]×[0, l y ] và N x × N y là số ô lưới Euler, với

y y x

x y

x

N

l N

l h

h

h     là kích thước lưới Euler Kí hiệu của chữ nhỏ bên dưới để

chỉ ra vị trí của biến Euler sẽ được xác định giá trị, chẳng h n ui,jbiễu diễn giá trị

của biến u t i điểm lưới thứ ij Đặt N b là số điểm lưới Lagrange (kích thước lưới

/ b

s L N

  ) và các điểm lưới Lagrange này được xác định bằng một chữ số, chẳng

h n Fk nghĩa là giá trị lực F t i điểm lưới thứ k, Xk là vị trí điểm lưới Lagrange thứ

k

Đối với các biến Euler, với chỉ số tương ứng (i, j) áp suất p được ấn định t i tâm ô, vận tốc u đặt t i trung điểm c nh bên ph i và vận tốc v đặt t i trung điểm

c nh trên của ô này Vì thế giá trị áp suất p i,j được đặt t i to độ

 i0,5 h jh x, y (xem Hình 3.1) Vì vậy, giá trị r i r c u, v và p thực tế nằm ba

lưới riêng biệt, mỗi lưới như vậy dịch chuyển một nửa độ rộng lưới xuống phía dưới, sang bên trái và sang bên trái phía dưới

Do đó, không ph i tất c các điểm lưới cực trị đều nằm biên của miền, chẳng

h n như các biên thẳng đứng không mang các giá trị v, các biên nằm ngang không mang các giá trị u Vì vậy, các d i biên bổ sung của các ô lưới được đưa vào (xem

Hình 3.2) [18], sao cho các điều kiện biên được áp dụng bằng cách lấy trung bình các điểm lưới gần nhất trên c hai phía

Hình 3.1 Lưới so le

Hình 3.2 Miền với các ô biên Cách sắp xếp xen kẽ các biến này ngăn chặn sự dao động áp suất kh dĩ x y

ra, mà chúng ta đã ước tính được c ba hàm ẩn u, v và p t i cùng các điểm lưới

Phương trình liên tục (2.8) được r i r c hoá t i tâm của mỗi ô (i, j), i = 1,…,

imax, j = 1,…, jmax, bằng cách thay thế các đ o hàm theo không gian

y

v x

bằng các sai phân trung tâm dùng phương pháp chia đôi độ rộng lưới

,

, 1 , ,

x

j i j j

h

u u x

h

v v y

t i các trung điểm của các c nh ô nằm ngang

i=0 i=1 i=2 i=imax i=imax+1 j=0

j=1 j=2 j=jmax j=jmax+1

biên của miềnΩ

d i biên bổ sung

Các đ o hàm bậc hai 2 2 2 2 2 2 2 2

và,

Để tính gần đúng đ o hàm bậc hai 2u x2 như một hàm u t i vị trí lưới i, j,

chúng ta xây dựng các sai phân trung tâm của các đ o hàm bậc nhất t i điểm lưới

u như sau

 

2

1, , , 1, ,

Các đ o hàm bậc hai còn l i của các số h ng khuếch tán cũng được tính tương

tự như đối với 2u x2

Việc r i r c hoá các số h ng đối lưu  u2 x  uv y  uv x  v2 y

và,

một số khó khăn Chẳng h n để r i r c hoá    uv  yt i trung điểm của c nh bên

ph i ô (i, j) (chấm màu đen trong hình 3.4), chúng ta cần các giá trị thích hợp của tích uv nằm trên đư ng thẳng đứng Một gi i pháp được đề nghị đây là sử dụng các giá trị trung bình của u và v được chọn t i các vị trí được đánh dấu “×” trong

2 2

1 , 1 , , , 1 , 1 1 , 1 , 1 , ,

j j

j i j j

j j i j y j

u u

v v u

u v v h y

uv

(3.3)

Hình 3.4 Các giá trị cần thiết để r i r c hoá phương trình động lượng u

Tương tự, để r i r c hoá  u2 x, chúng ta sử dụng sai phân trung tâm với việc chia đôi độ rộng lưới của các giá trị được lấy trung bình t i các điểm được đánh dấu “+” trong hình 3.4, thay cho việc sử dụng sai phân trung tâm giữa

j i

, 1 , ,

2

2 2

1 j i j i j j x

j

u u

u u h x

u

Vì các số h ng đối lưu trong phương trình động lượng tr lên chiếm ưu thế t i các số Reynolds cao hoặc vận tốc cao, cần ph i sử dụng hỗn hợp của các sai phân

trung tâm được mô t trên và sự r i r c hoá donor–cell [18] Chúng ta thu được

các biểu thức r i r c như sau (Hirt và các cộng sự 1975 [19])

Trong phương trình (2.6), đối với u t i các trung điểm của c nh bên ph i của ô (i,j), i  1 , , imax 1 , j  1 , , jmax , đặt

 

,2

22

2

1γ

22

1

, 1 , , , 1 ,

, 1 , 1 ,

2 , , 1 2

, 1 , ,

j j i j

i j x j

u u u u

u u

u u h

u u

u u h x

u

,2

22

2

1γ

22

22

1

1 , , 1 , 1 1 , ,

1 , , 1 ,

, 1 , 1 , 1 1 , 1 , , , 1 , ,

j i j y

j j

j i j j

j j i j y j

u u v

v u

u v v h

u u

v v u

u v v h y

uv

 2 2 ,

, 1 , ,

1 ,

2

2

x

j i j j

i j

u u u

2

2

y

j j j

j

u u u

j j i

p p

1 ,

, ,

1 max  max

 i j j

 

,2

22

2

1γ

22

1

1 , , , 1 , ,

1 , 1 , ,

2 , 1 , 2 1 , , ,

j j j y

j j

j j y j

v v v v v

v v v h

v v v

v h y

v

,2

22

2

1γ

22

22

1

, 1 , 1 , 1 , 1 ,

, 1 1 , ,

, , 1 1 , 1 , 1 ,

1 , 1 , , ,

j j i j i j i j i j j j x j

v v u

u v

v u u h

v v u

u v

v u u h x

uv

 2 2 ,

, 1 , , 1 ,

2

2

x

j i j j i

v v v

2

2

y

j j j

v v v

j j

p p

y

j j x

j

v h

u

Các phương trình tương tác (2.3), (2.4) và (2.5) được r i r c t i các điểm r i

r c của biên nhúng Các tích phân trong các phương trình này được thay thế bằng tổng trên các lưới tương ứng Ta có

b N

s t s k t

s k

x,

s t s k M

, δ

, , t t k s t h s

j  j T i các điểm nằm trên biên giá trị được xác định trực tiếp, như u t i

biên phía tây và phía đông (xem Hình 3.5), và đối với v t i biên phía nam và phía bắc

Hình 3.5 Các điểm biên cần được tính

Các giá trị u trên biên phía tây và đông, các giá trị v trên biên nam và bắc cần

Đối với các điểm nằm bên ngoài vùng Ω, như u t i biên phía nam và phía bắc

gồm u i,0,u i j, max1 ( i  1, , imax), v t i biên phía tây và phía đông

gồmv0,j,v imax1,j (j1, ,jmax), ngư i ta ph i xác định một giá trị giữa hai điểm dữ

liệu Bằng cách lấy trung bình giá trị của hai điểm Ví dụ, biên phía bắc và nam nằm giữa các điểm vận tốc u, biên phía đông và tây nằm giữa các điểm vận tốc v Đặt

E E W

W, v và u , v

u là điểm nằm trên biên phía tây và phía đông, uN, vNvà uS, vS

là điểm nằm biên phía bắc và phía nam, các điểm vận tốc này sẽ được xác định

bằng cách áp đặt các điều kiện biên trên mỗi biên vùng chất lỏng Vì vậy các giá trị

N 1 , N

, 1

,

, , 1 2

j

(3.12)

max ,

1 W ,

0 W , 1

,

0

, , 1 2

v

v

j j

j

max ,

E ,

1 E

, ,

1

, , 1 2

max max

j j

v v v

v v

v

j i j

i j

i j

(3.14)

Các giá trị u và v nằm trên biên được kí hiệu là:

max N

, S

0

,

max E

, ,

W ,

0

, ,1,

, ,1

max

max

i i

v v

v

v

j j

u u

u

u

j i

j i j

Hình 3.6 Các điểm vận tốc nằm ngoài vùng chất lỏng Ω Các giá

trị vận tốcvW, v uE, N, uS trong 4 hình a, b, c và d được đưa vào để tính các điểm vận tốc nằm ngoài vùng chất lỏng

 Điều kiện không trượt

Các vận tốc liên tục sẽ triệt tiêu t i biên để thỏa mãn điều kiện không trượt Đối với các giá trị nằm trực tiếp trên biên

0

N S E

W  u  u  u 

0

N S E

max max

0,j 1,j, i 1,j i ,j 1, , max

 Điều kiện trượt tự do

Trư ng hợp điều kiện trượt tự do, thành phần vận tốc vuông góc với biên sẽ triệt tiêu cùng với đ o hàm pháp tuyến của thành phần vận tốc tiếp tuyến với biên Chẳng h n như đ o hàm pháp tuyến thành phần vận tốc v theo biên

00

i j i j E

 Điều kiện dòng vào

Trên một biên dòng đi vào các vận tốc được cho một cách rõ ràng, chúng ta

áp đặt điều này cho các vận tốc vuông góc với biên (chẳng h n, u biên bên

trái) bằng cách gán trực tiếp các giá trị trên đư ng biên Đối với các thành

phần tiếp tuyến với biên (chẳng h n, v t i biên bên trái), chúng ta thực hiện

điều này bằng cách lấy trung bình các giá trị trên c hai phía của biên tương

t

n Nghĩa là các giá trị của u, v và p chỉ được xét t i các

th i điểm n  Để r i r c hoá đ o hàm theo th i gian t i th i điểm tn1 chúng ta sử dụng phương pháp Euler, phương pháp này sử dụng các tỉ số sai phân bậc nhất

t

v v

t

v t

u u

đây chỉ số trên (n) để chỉ mức th i gian

Chúng ta thực hiện sự r i r c hoá th i gian (3.19) của các số h ng

t v t

 và trong các phương trình động lượng (2.6)-(2.7):

x

p t f

y

u x

u y

uv x

u t

u

u

n n n

x n

) (

2 2 2

2 2

) ( )

y

v x

uv t f

y

v x

v t

v

v

n n n y n

y n

) ( 2

) (

2 2 2 2 )

( )

2 2 2

2 2

) ( ) ( )

(

n

x n

n n

f y

u x

u y

uv x

u t

2 2

2 2 2 )

( ) ( )

(

y y

n n n

g y

v x

uv t f

y

v x

v t

u

n n n n

v

n n n n

1

(

Bây gi chúng ta cần tính áp suất t i bước th i gian tn+1 để xác định trư ng

vận tốc t i bước th i gian tn+1 Ta thế hệ thức (3.22) và (3.23) đối với trư ng vận tốc  ( 1)  1 T

) (

) (

2

) 1 ( 2

) (

) ( )

1 ( ) 1 (

0

y

p t y

G x

p t x

H y

v x

n

n n

n

n n

H t y

p x

2

) 1 ( 2

2

) 1 (

Tóm l i để tính toán bước th i gian thứ (n+1) gồm 3 bước sau:

Bước 1: Tính H (n) , G (n) theo (3.20), (3.21) từ các vận tốc u(n) , v (n)

Bước 2: Gi i phương trình Poisson (3.25) đối với áp suất p (n+1)

Bước 3: Tính trư ng vận tốc mới  ( 1)  1 T

, 

 n n

x X  x u

X X

d t

n n

n n

) ( )

( ) ( )

CH NG 4

LỰC ĐÀN HỒI C A BIểN NHÚNG

4.1 Năng l ng đƠn h i

Xét vật liệu đàn hồi không nén được có to độ X(s, t), 0 s L (như đã được

đề cập chương 2) chứa trong không gian 2 chiều, s là to độ gắn với vật liệu,

( , )s t

X là vị trí của điểm vật liệu t i th i điểm t

Đặt năng lượng đàn hồi của X(s, t) là EX s,t 

Ta dùng kí hiệu  thay cho kí hiệu gi i tích biến phân thông thư ng là δ, vì chúng ta đã sử dụng δ để kí hiệu hàm delta Dirac Xét đến số h ng bậc nhất của đ o hàm biến phân, kết qu đ o hàm biến phân của năng lượng đàn hồi là một hàm

tuyến tính của đ o hàm biến phân theo hình d ng của vật liệu [16] Một hàm như

Hàm F s,t xuất hiện trong phương trình (4.11) là đ o hàm Fréchet của E

được tính t i X s,t [16] (đ o hàm Fréchet là trư ng hợp đặc biệt của đ o hàm biến

phân mà không gian lấy đ o hàm là không gian Banach (mục 1.3 [21])) Ý nghĩa vật

lý đã đề cập trên là mật độ lực F (đối với s) được t o b i tính đàn hồi của vật liệu

Về cơ b n đây là nguyên lý công o

Nguyên lý công ảo: Nếu tác dụng một lực lên một phần tử khi nó di chuyển từ

điểm A đến điểm B, khi đó mỗi quỹ đ o kh dĩ tồn t i mà phần tử có được, có thể tính tổng công thực hiện bằng lực dọc quãng đư ng Nguyên lý công o là d ng của nguyên lý tác dụng tối thiểu được áp dụng cho những hệ này Trên thực tế quãng

đư ng sinh ra b i phần tử chỉ có 1 vì chênh lệch giữa công dọc theo quãng đư ng này và quãng đư ng khác gần đó bằng 0 Qui trình chính thức để tính sự chênh lệch của các hàm được tính trên các quãng đư ng gần đó là sự suy rộng của đ o hàm đã biết từ phép tính vi phân và được đặt tên là phép tính biến phân (mục 2 [22])

Để cho (4.1.1) ngắn gọn, kết hợp phương trình (4.1.2), chúng ta kí hiệu

Xét bậc nhất, thì biến phân X(s,t) khi được áp dụng cho bất kì biến nào

nó sẽ gây ra sự thay đổi cho biến đó Vì thế, X(s,t) tương tự toán tử “d” của phép tính vi phân thông thư ng, giống như “d  '(x) xd ” (lecture 4 [20])

Ta phân tích hàm năng lượng đàn hồi E thành năng lượng kéo E k và năng

đây  là hệ số kéo, lưu ý rằng k