SKKN giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT trần quý cáp, ninh hòa, khánh hòa

Các bạn đã quen với hình học suy luận thì đôi khi không thích đến phương pháp dựa nhiều vào tính toán, tuy nhiên, thế mạnh của phương pháp tọa độ là giúp ta giải quyết được các bài toán

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA TRƯỜNG THPT TRẦN QUÝ CÁP

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

SƯ PHẠM ỨNG DỤNG Tên đề tài:: “ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Trần Quý

Cáp, Ninh Hòa, Khánh Hòa”

Giáo viên thực hiện: Đặng Thị Kim Thùy

Tổ Toán - Trường THPT Trần Quý Cáp

Năm học : 2013 - 2014

I TÓM TẮT ĐỀ TÀI

Trong chương trình trung học phổ thông, môn Toán được chia thành các phân môn: Đại số, Giải tích, Hình học Sự phân chia đó cũng chỉ mang tính chất tương đối Bởi lẽ, có rất nhiều phần toán học có nội dung, đặc điểm, ý nghĩa hay hình thức thuộc hai hoặc cả ba phân môn trên Có nhiều bài toán có thể giải được bằng các công cụ hình học, đại số hay giải tích Nhiều bài toán hình học có thể dùng đại số để giải và ngược lại nhiều bài toán đại số có thể dùng hình học để giải

Hình học không gian là một bộ phận quan trọng của chương trình toán trung học phổ thông hiện nay Có những bài toán hình học không gian khá "hóc búa" gây không ít khó khăn, trăn trở cho người làm toán Các bài toán hình học không gian khá phức tạp và đòi hỏi người học phải có tư duy tốt Bên cạnh đó, một số bài toán

về tính số đo góc hay khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian nếu giải theo phương pháp thông thường khá phức tạp và tốn nhiều thời gian nhưng nếu giải theo phương pháp đặt hệ trục tọa độ thì sẽ đơn giản hơn nhiều Bản thân tôi nhận thấy hiện nay rất nhiều công cụ hỗ trợ cho việc tính toán với tốc độ rất nhanh và chính xác vì thế việc giải quyết bài toán hình học thông qua đại số giúp cho các em học sinh có thể tiết kiệm được khá nhiều thời gian, và có ý nghĩa về mặt thực tế Trong đề tài này, tôi đề cập đến việc vận dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình học không gian Qua đây tôi muốn đem đến cách nhìn khác nhằm làm phong phú hơn về phương pháp giải toán hình học

đó chính là sử dụng phương pháp tọa độ như một công cụ hữu ích cho việc giải quyết vấn đề đã nêu Lời giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa

độ nhiều khi thực sự bất ngờ bởi rất gọn, dễ hiểu bởi có cách nhìn trực quan do hình học đem lại Điều quan trọng là qua đây tôi muốn giúp các em hoàn thiện hơn

về phương pháp giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, thấy được cái muôn màu muôn vẻ của hình học đồng thời tạo nên sự hứng thú cho các

em trong quá trình học toán Cách tiếp cận và giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ sẽ làm cho học sinh có khả năng tìm tòi, sáng tạo và nhất là khả năng

tư duy toán tốt hơn Là một động lực quan trọng giúp cho các em học sinh tự tin tham gia kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng Vì những lý do trên tôi chọn đề tài : “ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Trần Quý Cáp, Ninh Hòa, Khánh Hòa”

Các bạn đã quen với hình học suy luận thì đôi khi không thích đến phương pháp dựa nhiều vào tính toán, tuy nhiên, thế mạnh của phương pháp tọa độ là giúp

ta giải quyết được các bài toán quỹ tích khó, hoặc các bài chứng minh mà ta không giải được bằng suy luận, phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu quả trong lúc còn ít thời gian, vì dù tính toán có hơi rắc rối nhưng không cần phải suy nghĩ nhiều Cái hay của phương pháp này theo tôi là nó không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục tọa độ, nhưng để bài toán có lời giải đẹp thì ta phải chọn hệ trục tọa

độ một cách khéo léo và ít tham số Trong bài viết nhỏ này tôi chỉ nêu một vài ví

dụ ứng dụng nhỏ của phương pháp tọa độ và hầu hết là chọn hệ trục tọa độ Decartes vuông góc Nhắc đến phương pháp tọa độ, có lẽ đây là phương pháp có sức mạnh khá lớn để giải các bài toán hình học không gian Hy vọng rằng qua

nghiên cứu nhỏ này các em sẽ thấy sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học có cái hay riêng của nó

Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương: hai lớp 12A1 và 12A2 trường THPT Trần Quý Cáp Lớp 12A1 là lớp đối chứng và 12A2 là lớp thực nghiệm

đó cho mình

Trong bài thi vào đại học, thí sinh phải làm một bài toán hình không gian Chủ đề thường là tính thể tích một khối đa diện như khối chóp, khối lăng trụ …, hay tính một đại lượng hình học, thường là khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, và đôi khi là góc như góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng hay góc giữa hai mặt phẳng Sau một năm học, các kiến thức của hình học không gian 11, vốn đã khó nuốt, giờ nếu phải rèn luyện lại thật là vất vả và không mấy kết quả Tuy nhiên, do ta đã trang bị các kỹ năng về phương pháp toạ độ không gian, và đã có cơ hội rèn luyện môn này trong suốt một năm học, cho nên ta ít nhiều đạt đến sự thuần thục và điêu luyện Như vậy, thật là

tự nhiên nếu ta có ý tưởng thử giải bài toán hình không gian bằng phương pháp toạ độ

2 Giải pháp thay thế:

Trên tinh thần đó, tôi sẽ sử dụng tiết tự chọn (tiết 33 theo phân phối chương trình Tự chọn 12 Nâng cao của tổ Toán trường THPT Trần Quý Cáp) để dạy giải một số bài toán Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ (giáo án thể hiện ở phụ lục 1), bên cạnh đó tôi có đưa ra phương pháp giải tổng quát cùng một số ví dụ minh họa và các bài tập tương tự của vấn đề (thể hiện ở phụ lục 2) Sử dụng phương pháp tọa độ là giải pháp được đề cập và luận bàn trong bài viết này Những câu hỏi rất "tự nhiên" được đặt ra là:

- Dựa vào dấu hiệu nào, đặc điểm gì mà ta vận dụng phương pháp tọa độ ?

- Với mỗi bài toán, việc xây dựng hệ trục tọa độ được hình thành qua những công đoạn nào?

- Liệu rằng có thể xác lập được một nguyên tắc chung với các bước thực hiện

có trình tự trong việc vận dụng phương pháp tọa độ hay không?

Mỗi sự kiện của hình học không gian đều có thể thể hiện theo cách thức của hình học giải tích Do đó có thể giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ là thiết lập hệ trục tọa độ cho phù hợp Lập được tọa

độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài các cạnh của hình Bài toán đơn giản hay không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục tọa

độ và đơn vị trên các trục, lời giải nhiều lúc sẽ ngắn hơn, tốt hơn, đường đi thuận lợi hơn và đặc biệt là nó rèn luyện cho các em học sinh khả năng tư duy, vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học Các bài tập đưa ra từ dễ đến khó, những bài tập có lời giải chi tiết nhưng có những bài tập chỉ có gợi ý, hướng dẫn học sinh phải biết chiếm lĩnh tri thức, phát triển khả năng tư duy Hệ thống các bài tập trong đề tài này chủ yếu là các bài tập trong các đề thi Đại học và Cao đẳng những năm gần đây nên khi học sinh hiểu bài và làm được thì tạo nên hứng thú và động lực học tập rất tốt cho các em Chỉ cần các em mỗi khi học toán, làm toán không chủ quan thỏa mãn với những kết quả đạt được mà chịu khó cố gắng tìm tòi suy nghĩ thì nhất định

sẽ phát hiện được nhiều điều mới mẻ và ngày càng tiến bộ

Với những bài toán được cho trong không gian Oxyz định hướng giải quyết bài toán khá rõ ràng: học sinh sẽ sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài toán Tuy nhiên nếu bài toán hình học không gian được cho dưới dạng truyền thống mà học sinh đã quá quen thuộc, được tiếp cận từ lớp 11 thì ta cũng có thể định hướng cho học sinh giải các bài toán đó bằng phương pháp tọa độ, một phương pháp nghiên cứu hình học mà học sinh đã được học ở chương III Hình học

12 Ta cũng nhận thấy, mặc dù các sự kiện của hình học không gian đều có thể chuyển đổi sang ngôn ngữ của Hình học giải tích, tuy vậy có mức độ khó, dễ khác nhau Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian để dùng công cụ Hình học giải tích giải bài toán khá hữu hiệu

Cách tiếp cận và giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

sẽ làm cho học sinh có khả năng tìm tòi, sáng tạo và nhất là khả năng tư duy Toán tốt hơn Là một động lực quan trọng giúp cho công tác tạo nguồn học sinh giỏi và giúp cho học sinh tự tin tham gia kỳ thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng ở cuối cấp

3 Vấn đề nghiên cứu:

Việc “ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ” khi dạy

các bài chương III, Hình học 12 Nâng cao có giúp học sinh vận dụng giải các bài toán hình học không gian một cách dễ dàng, ngắn gọn, tường minh và từ đó nâng cao năng lực giải toán hay không?

4 Giả thuyết nghiên cứu:

Việc giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ khi dạy

học không gian một cách dễ dàng, ngắn gọn, tường minh và từ đó nâng cao năng lực giải các bài toán hình học không gian cho học sinh lớp 12 trường THPT Trần Quý Cáp Việc làm này phần nào gây được nhiều hứng thú trong học tập của học sinh, góp phần giúp các em học sinh đỡ lúng túng hơn trong các kỳ thi

Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về tỉ

lệ giới tính, dân tộc Cụ thể như sau:

Bảng 1 Giới tính và thành phần dân tộc của học sinh

lớp 12A1và 12A2 trường THPT Trần Quý Cáp

đó tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của 2 nhóm trước khi tác động

vậy tôi sẽ sử dụng thiết kế 2: kiểm tra trước và sau tác động đối với hai nhóm

tương đương

3 Quy trình nghiên cứu:

* Chuẩn bị bài của giáo viên:

- Dạy lớp đối chứng: Thiết kế kế hoạch bài học không sử dụng phương pháp trên, quy trình chuẩn bị bài như bình thường

- Dạy lớp thực nghiệm: Thiết kế kế hoạch bài học có sử dụng phương pháp

trên “ Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ” (tiết 33 theo phân

phối chương trình Tự chọn 12 Nâng cao của tổ Toán trường THPT Trần Quý Cáp : Giáo án đính kèm ở phần phụ lục 1)

* Tiến hành dạy thực nghiệm:

Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan

* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:

Sau khi thực hiện dạy xong các bài học trên, tôi tiến hành bài kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra được đính kèm ở phụ lục 4)

Sau đó tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng (thể hiện ở phụ lục 4)

IV PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ:

Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương

đương Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T-Test cho kết quả p2.71057 10 9, cho thấy: sự chênh lệch giữa điểm trung bình nhóm thực

bình nhóm thực nghiệm cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động

Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = 8,19 6, 39 2, 65

0, 68



 Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học theo phương pháp mới của tôi ( đã trình bày trong bài nghiên cứu này) đến khả năng hiểu bài, khả năng vận dụng kiến thức vào

giải toán của học sinh nhóm thực nghiệm là rất lớn

7.03 7.14

6.39 8.19

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Trước tác động Sau tác động

Lớp đối chứng Lớp thực nghiệm

Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 2,65 Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là rất lớn

Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là

92.71057 10 0.05

p    Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động

V KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ:

1.Kết luận:

Ưu điểm của phương pháp tọa độ trong không gian giúp cho học sinh giải một số bài toán hình học không gian đơn giản, thuận lợi hơn rất nhiều Lượng kiến thức và kỹ năng để giúp học sinh giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ không nhiều, chủ yếu là các kiến thức về tọa độ vectơ trong không gian Phương pháp này không quá khó nên đối với các em học sinh trung bình, yếu việc sử dụng phương pháp này đơn giản hơn nhiều, chủ yếu là các em thiết lập được hệ trục tọa độ sao cho phù hợp Nhắc đến phương pháp tọa độ, có lẽ đây là phương pháp có sức mạnh khá lớn để giải các bài toán hình học không gian Sau khi thực hiện chuyên đề này tôi đã đưa vào dạy cho học sinh các lớp 12 Nâng cao Dạy học sinh giải các bài toán hình học không gian cho học sinh lớp 12 Nâng cao theo phương pháp của tôi đã nâng cao năng lực giải toán, phát triển niềm đam mê học toán và từ đó nâng cao hiệu quả học tập của học sinh Học sinh đi sâu tìm hiểu thêm nhiều biến đổi phong phú của Toán học và tôi đã thấy được sự tập trung, thích thú của các em học sinh, có thể là do các bài tập có dạng khác so với các bài tập trong sách giáo khoa và nó gần với các đề thi Đại học Một số học sinh vận dụng thành thạo phương pháp này để giải một số bài tập tương tự

Nội dung đề tài này không phải là mới, đã có nhiều bài viết trước đây viết

về lĩnh vực này.Tuy nhiên đây là một trong những nội dung mà tôi yêu thích vì tính chất linh hoạt của Toán học được thể hiện rõ trong nội dung này Tôi viết đề tài này với mong muốn các em học sinh có thể tìm thấy nhiều điều bổ ích và nhiều điều thú vị đối với phương pháp này, mong muốn giúp các em học sinh rèn luyện năng lực giải toán và giúp các em học sinh đỡ lúng túng hơn trong các kỳ thi

Như vậy một bài toán hình học không gian được phát biểu dưới dạng hình học thông thường nhưng nếu ta có ý tưởng giải nó bằng phương pháp tọa độ ta hoàn toàn có thể “ tọa độ hóa” bài toán để bằng công cụ tọa độ mà học sinh đã được tiếp cận trong chương trình Hình học 12 có thể giải quyết bài toán trở nên dễ dàng hơn

Mọi sự cố gắng đều được đền đáp, bởi vậy tôi tin tưởng rằng bằng sự nỗ lực

cố gắng, say mê tìm hiểu và nghiên cứu các em học sinh sẽ tìm được cho mình con đường ngắn nhất để đi đến đích trong làm toán cũng như trong cuộc sống hàng ngày

2.Khuyến nghị:

- Tổ chức cho học sinh và giáo viên sưu tầm thêm nhiều dạng bài tập

- Nhà trường cung cấp thêm nhiều tài liệu tham khảo cho giáo viên

- Tổ chức học tăng tiết cho học sinh lớp 12 Nâng cao

Đề tài vẫn còn nhiều chỗ cần được bổ sung và khó tránh khỏi những thiếu sót,

vì vậy kính mong nhận được sự góp ý quý báu, chân tình của quý thầy cô, đồng nghiệp để đề tài này của tôi được hoàn thiện và có ý nghĩa hơn

Xin trân trọng cảm ơn !

VI TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục

2) Sách Bài tập Hình học 12 - Nhà xuất bản Giáo dục

3) Sách Bài tập Hình học 12 Nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục

4) Chuyên đề Giải toán Hình học không gian – Nhà xuất bản Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh

5) Mạng internet

6) Đề thi Đại học – Cao đẳng các năm

VII PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI:

- Biết giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

- Biết vận dụng các tính chất và các công thức của kiến thức phương pháp tọa độ trong không gian

3/ Về tư duy và thái độ:

- Về tư duy: Biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về quen

- Về thái độ: Cẩn thận, chính xác, tích cực hoạt động, trả lời các câu hỏi

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

- Giáo viên: Bài giảng

- Học sinh: Học thuộc các tính chất, các công thức về góc, khoảng cách, về diện tích tam giác, về thể tích khối tứ diện, phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng…

III Tiến trình bài học:

Giáo viên giới thiệu: Để giúp các em làm quen với việc sừ dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian chúng ta cùng tìm hiểu nội dung của tiết học hôm nay

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung

Hoạt động 1: Mở đầu

Dẫn dắt đặt vấn đề để hình

thành cách giải Vấn đề đặt

ra là ở những bài toán nào,

có dấu hiệu gì, làm thế nào

để nhận biết một bài toán

có thể giải tốt bằng phương

pháp tọa độ Bài toán có

đơn giản hay không, phần

lớn phụ thuộc vào việc hình

a/ Nếu trong bài toán:

- Hình chóp tam giác S.ABC

có SA, SB, SC vuông góc nhau đôi một

- Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy

và đáy là tam giác vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật

học không gian muốn giải

được bằng phương pháp

tọa độ ta phải tuân theo các

bước sau, giáo viên nêu các

phương pháp tọa độ để giải

- Giáo viên nêu bài toán và

hướng dẫn học sinh chọn

hệ trục tọa độ

- Giáo viên hướng dẫn học

sinh lần lượt thực hiện theo

sửa bài làm của học sinh

Giáo viên nêu bài toán và

hướng dẫn học sinh giải

Yêu cầu học sinh vẽ hình

Học sinh khác nhận xét

- Hình lập phương, hình hộp chữ nhật

b/ Phương pháp giải:

 Chọn hệ trục tọa độ thích hợp

 Gắn tọa độ các điểm đã cho thích hợp với hệ trục tọa độ vừa chọn

 Sử dụng kiến thức hình học giải tích (phương pháp tọa độ trong không gian)

để giải yêu cầu của bài toán

II CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1:

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, OAa,OBb,

OCc.Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ O Giải: Chọn hệ trục tọa độ như sau : O là gốc tọa độ,

y D

và chọn hệ trục tọa độ sao

cho thích hợp

Học sinh thực hiện theo hướng dẫn của giáo viên

Sau khi chọn hệ trục tọa

độ, học sinh nêu tọa độ các điểm

Học sinh nhắc lại các vị trí tương đối của 2 mặt

phẳng Hai mặt phẳng song song nhau khi nào?

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( MNP) ?

C’D’ lần lượt lấy các điểm

M, N, P sao cho

'

AM CN D Pt

với 0 t a  Chứng minh rằng: mặt phẳng ( MNP) song song với mặt phẳng ( ACD’) và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O trùng với điểm

D, các trục Ox, Oy, Oz lần lượt đi qua A, C và D’ Khi đó:

- Khoảng cách d giữa mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (ACD’):

3) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông tại S, có

SASBSCa Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC

D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao điểm của đường thẳng AD và (SMN) Chứng minh rằng : AD vuông góc với SI và tính V M BSI.

là vec tơ pháp tuyến

Vì ( SAC) và ( ABC) tạo với đáy góc  nên

M

N I

2 PHỤ LỤC 2: CÁC VÍ DỤ MINH HỌA GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Phương pháp tọa độ trong không gian có cái hay riêng Làm thế nào để nhận biết một bài toán có thể giải tốt bằng phương pháp tọa độ Phương pháp tọa độ hiệu quả

ở những dạng toán nào; ở những dữ kiện nào? Khi nghiên cứu đề tài này, tôi chủ yếu tập trung vào các vấn đề sau:

• Dấu hiệu nhận biết và các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

• Đưa ra một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình đặc biệt

• Nêu một số bài tập hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian

• Trình bày một số bài tập hình học được giải theo hai phương pháp, phương pháp tọa độ và phương pháp tổng hợp Điều này giúp cho chúng ta có thể trở lên linh hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp với từng bài toán Nói chung phương pháp tọa độ trong không gian là một phương pháp không quá khó

để sử dụng tuy nhiên nó vẫn còn gây lúng túng với khá nhiều người Qua đề tài này tôi hy vọng sẽ cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ Với kết cấu và yêu cầu chung của chương trình hiện nay, việc giải toán bằng phương pháp tọa độ được đặc biệt nhấn mạnh Bài toán có đơn giản hay không, phần lớn phụ thuộc vào việc hình thành hệ trục tọa độ và đơn vị trục

I/ Dấu hiệu nhận biết:

Những bài toán hình học không gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì nên dùng phương pháp tọa độ để giải:

- Hình đã cho là một tam diện vuông (hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc nhau đôi một)

- Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy và đáy là tam giác vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật

Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của các đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ

O c

x a

B'

A

D'

II/ Phương pháp giải toán:

Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình không gian bằng

phương pháp tọa độ là thiết lập hệ tọa độ cho phù hợp Đối với bài toán hình học

không gian muốn giải được bằng phương pháp tọa độ các bước giải phải tuân theo

các bước sau:

- Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp

- Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán theo hệ

trực tọa độ vừa chọn Đối với những bài toán Hình học không gian mà trong đề bài

đã có sẵn số liệu thì việc tính toán tọa độ của từng điểm nói chung là dựa trực tiếp

vào hình vẽ Đối với những bài toán mà đề bài chưa cho số liệu thì trước hết cần tự

đưa số liệu vào bài toán và sau đó dựa vào hình vẽ để tính toán tọa độ các điểm

dựa theo số liệu đó

- Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ

- Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học

thông thường

Một hệ trục toạ độ được xác định khi ta xác định điểm gốc và ba điểm lần lượt

trên ba trục Còn về đơn vị, nếu trong đề bài có độ dài a thì ta thường chọn độ dài a

làm đơn vị trên các trục

Chẳng hạn: Nếu trong đề bài cho một hình lập phương ABCD A’B’C’D’ có độ

dài a, thì ta sẽ chọn đơn vị độ dài là a và điểm gốc toạ độ là A: A(0; 0; 0) và sao

cho điểm B có toạ độ (1; 0; 0), điểm D (0; 1; 0) và điểm A’(0; 0; 1) Nếu không

chọn đơn vị độ dài là a thì toạ độ B (a; 0; 0), của D (0; a; 0) và của A’ ( 0; 0; a )

Ưu điểm của phương pháp toạ độ là ta chỉ có một cách giải duy nhất về một loại

toán nào đó Ví dụ:

 Muốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ta chỉ có một cách duy nhất

là tìm toạ độ điểm và phương trình mặt phẳng rồi dùng công thức :

Trong khi, nếu dùng phương pháp hình học cổ điển, thì ta phải xác định đoạn vuông góc trước khi tiến hành tính Mà muốn xác định đoạn vuông góc lại có rất nhiều cách, mà cách nào cũng phức tạp Còn việc tính toán sau đó cũng có nhiều cách: lập tỉ lệ, hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Muốn tính thể tích khối tứ diện ABCD, ta chỉ có một cách là tìm toạ độ của

 Muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD, thông thường phải vẽ thêm đường phụ nhưng việc vẽ thêm đường phụ đối với học sinh trung bình gặp rất nhiều khó khăn, do đó việc sử dụng phương pháp tọa độ để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau vô cùng đơn giản, các em chỉ cần xác định tọa độ các điểm rồi sử dụng công thức sẽ nhanh chóng đi đến kết quả:

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng

- Góc giữa hai đường thẳng

- Góc giữa hai mặt phẳng

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

- Thể tích khối đa diện

- Diện tích thiết diện

- Chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc

Cần lưu ý rằng mặc dù các sự kiện của Hình học không gian nói chung đều có thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải tích, tuy vậy mức độ khó, dễ khác nhau Sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán Hình học không gian là khá hữu hiệu

Để giải được một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ sao cho thích hợp Dưới đây là một số lưu ý khi chọn

hệ trục tọa độ:

- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm mối quan hệ vuông góc ở mặt đáy (tức là xác định 2 đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với nhau) Nơi giao nhau của hai đường vuông góc đó chính là nơi ta đặt gốc tọa độ và đồng thời

2 trục kia cũng là trục hoành và trục tung

O S

A

B

C z

y

y z

- Từ gốc tọa độ ta dựng đường vuông góc với mặt đáy thì ta được trục Oz nằm trên đường vuông góc như vây là ta đã hoàn thành xong việc thiết lập hệ trục tọa độ

- Nhìn vào hình vẽ và giả thiết của bài toán ta tìm tọa độ các điểm liên quan đến yêu cầu bài toán, ta cần chú ý đến các quan hệ cùng phương, đồng phẳng, vuông góc để tìm tọa độ các điểm đó

Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp để thiết lập hệ trục tọa độ:

1/ Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tam giác:

Với hình chóp tam giác việc thiết lập hệ trục tọa độ thường được thực hiện khá đơn giản, ta thường gặp các trường hợp sau:

a) Hình chóp tam giác đều S.ABC:

Có thể chọn hệ trục tọa độ theo các cách như sau:

b) Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và tam giác ABC vuông tại A

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

A S

B

C

z

y x

H

z

B S

A

x B

C A

S z

y y

z S

B

x

c) Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và tam giác ABC vuông tại B

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

d) Hình chóp S.ABC có SA (ABC)và tam giác ABC cân tại A

Chọn hệ trục tọa độ theo một trong hai cách sau:

e) Hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC), tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC vuông tại C

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

O A

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

h) Hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C và tam giác SAB cân tại S

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

D A

C

y x

C b

y O

z S

D A

B x a

B

x

y

z C

S

A

i) Hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc nhau đôi một

2/ Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tứ giác:

Với hình chóp tứ giác, việc tthiết lập hệ trục tọa độ thường được thực hiện dựa trên đặc tính hình học của chúng Ta có các trường hợp thường gặp sau:

- Hình chóp đều thì hệ trục tọa độ được thiết lập dựa trên gốc O trùng với tâm của đáy và trục Oz trùng với đường cao của hình chóp

- Hình chóp có một cạnh bên (chẳng hạn SA) vuông góc với đáy thì ta thường chọn trục Oz là cạnh bên vuông góc với đáy (SA), gốc tọa độ trùng với chân đường vuông góc ( điểm A)

Trong các trường hợp khác ta dựa vào đường cao của hình chóp và tính chất

đa giác đáy để chọn hệ tọa độ phù hợp

Cụ thể:

a) Hình chóp tứ giác đều:

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

b) Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD)

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

O

z S

D A

C B

x

z

B

c) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SA (ABCD)

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

d) Hình chóp S.ABCD có (SAB)  (ABCD), tam giác SAB cân tại S, tứ giác ABCD

là hình thoi

e) Cho hình chóp S.ABCD có (SAC)  (ABCD), tam giác SAC cân tại S, tứ giác ABCD là hình thoi

3/ Thiết lập hệ tọa độ cho hình lăng trụ tam giác:

+ Với lăng trụ đứng thì ta chọn trục Oz thẳng đứng, gốc tọa độ là một đỉnh nào đó của đáy hoặc tâm của đáy Các trục Ox, Oy thì dựa vào tính chất của đa giác đáy mà chọn cho phù hợp

C'

B' A'

B'

y

y B'

z A'

C'

A

C

B x

+ Với lăng trụ nghiêng, ta dựa trên đường cao và tính chất của đáy để chọn

hệ trục tọa độ cho thích hợp

a) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

b) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

c) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại A

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

4/ Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình lăng trụ tứ giác:

Với hình hộp chữ nhật thì việc thiết lập hệ tọa độ khá đơn giản, thường có hai cách:

+ Chọn một đỉnh làm gốc tọa độ và ba trục trùng với ba cạnh của hình hộp + Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ và ba trục song song với ba cạnh của hình hộp

Với hình lăng trụ đứng ABCD A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi:

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

Ngoài các trường hợp trên, trong các trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song song, vuông góc và các tính chất của đường cao, đáy, để thiết lập hệ tọa độ cho thích hợp

4cm

A D

B

C z

y

x

- Ta thấy tam giác ABC vuông tại A ( vì BC  AB AC )

- Từ A kẻ AI BC tại I, nối D với I, kẻ AH DI

- Học sinh phải chứng minh được: (ADI)  (DBC v) à (ADI)  (DBC) DI

SA ABCD vuông góc đáy và SAa 3

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB

c) Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (SBD)

Giải :

Cách 1 :

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD :

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có : SA (ABCD) SABD mà BD  AC  BD  (SAC)

Kẻ OH SC H( SC) OHlà đoạn vuông góc chung của SC và BD

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB :

Gọi E là trung điểm của CD, vì tam giác ACD đều nên AECDSECD

5

a AK

c) Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (SBD) :

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng( SAB) và ( SBD)

Kẻ OF  AB F( AB V) ì (SAB)  (ABCD) OF (SAB)

(SBD)

Gọi là góc giữa hai mặt phẳng( SAB) và ( SBD)

a) Tính thể tích của khối tứ diện BIJK

b) Biết BK  ( 'A C D' ) Tính độ dài các cạnh của hình hộp chữ nhật

Giải :

Cách 1 :

a) Tính thể tích của khối tứ diện BIJK :

Đặt x AB y, AD z,  AA x'(  0,y 0,z 0) Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là : V xyz 1

- Gọi E là trung điểm của AD và M là giao điểm của IK và AD Vì AI//KE

1

2

AI  KE nên A là trung điểm ME

- Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích của các khối tứ diện BIJK, KBMJ, IBMJ

- Diện tích hình thang vuông MBCD : 1  

K A'

C'

B

C z

- Thể tích của khối tứ diện BIJK : 1 2 5 5

- Hai góc nhọn A B K v' ' à A'C'B' cùng phụ với góc KB C' ' nên chúng bằng

nhau, suy ra :tanA B K ' ' tan A'C'B'

- Trong tam giác vuông B’A’K có :tan ' ' '

O' C'

B'

A' b c

O

B

C z

y

a B1 C1

2

2

0 2 1

0 2

y x

2 2

0 2 0 2

1

y x

y z

độ trong không gian sẽ dẫn dắt các em đến việc giải bài toán đơn giản hơn rất nhiều Ở ví dụ 2, ví dụ 3 vận dụng các kiến thức của hình học không gian 11 để giải thì thật là vất vả và không mấy kết quả Như vậy, thật là tự nhiên nếu ta có ý tưởng giải bằng phương pháp toạ độ Chúng ta thường gặp các dạng sau:

Giải:

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với A thuộc Ox,

B thuộc Oy, C thuộc Oz

Ta có:A a ; 0; 0 , B0; ; 0 ,b  C0; 0;c

+ Phương trình mp (ABC):    1

c

z b

y a x

+ Gọi x là cạnh của hình lập phương và

A' là đỉnh đối diện với O

Khi đó A'(x; x; x)

+ Vì A' thuộc (ABC) suy ra x = abc

Cho góc tam diện vuông Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C

a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC) theo OAa OB, b OC, c

b) Giả sử A cố định còn B, C thay đổi những luôn thỏa mãn: OAOB OC Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất

b a a c c b

6

1 6

Cho hình chóp O.ABC có OAa OB, b OC, c đôi một vuông góc nhau Điểm M

cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) là 1, 2, 3 Tính a, b, c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất

Giải : Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có :

y a x

b

a c

A

B

C z

Cho tứ diện OABC vuông tại O Các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB)

tạo với mp (ABC) các góc    , , tương ứng Gọi S0, SA, SB, SC lần lượt là diện tích các mặt đối diện với các đỉnh O, A, B, C của tứ diện Chứng minh rằng:

sin   sin   sin   2

Giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Khi đó: O0; 0; 0 , A a ; 0; 0 , B0; ; 0 ,b  C0; 0;c

a) Phương trình mp (ABC):    1

c

z b

y a x

Do đó:

1 ( ; ( ))

1

1

Như vậy nếu bài toán cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc nhau đôi một thì việc tọa độ hóa bài toán khá thuận lợi: Tọa độ các điểm, phương trình các cạnh được xác định khá dễ dàng Công việc chứng minh các quan hệ hình học như vuông góc, song song chỉ còn lại là công việc của tính toán

Việc tọa độ hóa các bài toán hình học không gian mà hình chóp tam giác đã cho trong giả thiết không phải hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc nhau đôi một thì định hướng cho học sinh như thế nào ? Để trả lời câu hỏi này chúng ta tiếp tục xét một số ví dụ cụ thể sau :

H A1

I a

a

O B

hạ từ A xuống NC Chứng minh rằng AH  NI

Giải :

+ Chọn hệ trục tọa độ Axyz với B thuộc Ax,

C thuộc Ay và N thuộc Az Ta có:

1 3 4

y M

Cách khác: Gọi (P) là mặt phẳng qua H và vuông góc với SB tại I cắt SC tại K, do

đó góc giữa hai mặt phẳng( SBH) và ( SBC) là góc giữa IH và IK

+ Phương trình tham số SB:

1

3 3 4

a h

+ Phương trình tham số SC:

0

3 3 4

37

a

a 3

a 3 N

M x

B

C A

O z

y

B A

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của

S lên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa SC và mặt

phẳng (ABC) là 60o Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa

hai đường thẳng SA và BC theo a

Giải: Chọn H là gốc tọa độ, trục Hz qua S, trục Hy qua B, trục Hx cùng hướng

*) Tính h từ giả thiết góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là 60o

- Mp (ABC) có vectơ pháp tuyến là k  (0; 0;1)

H M

độ, thì bạn cần biết cách tính góc của đường thẳng và mặt phẳng, như sau:

AM = CN = t

a 2

a 2 N

M b

a 2

A B



Nhờ đó, ta thiết lập được phương trình tính cao độ h của đỉnh S

c) Lần nữa, trong bài này, ta phải tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC Đây là bài toán khó chịu nhất của hình không gian 11 Cách giải bằng phương pháp toạ độ luôn là chọn lựa cho loại câu hỏi này, tuy phải tính phức tạp, nhưng không cần kỹ năng suy nghĩ thông minh, chỉ có được qua bao tháng năm rèn luyện

Ví dụ 12 :

Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a 2, SC vuông góc với mp(ABC), tam giác ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA, N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)

a) Tính độ dài đoạn MN Tìm giá trị của t để đoạn MN ngắn nhất

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của

; 3

2 , 3

2

; 3

2

; 3

N a

a a

0

BC MN

SA MN

Giải:

Ở đây ta phải dùng tính chất “ Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với (ABC) thì giao tuyến SA của chúng sẽ vuông góc (ABC) ”, thì mới chọn được hệ trục thuận tiện: lấy điểm gốc tại A, trục hoành qua B, trục tung cùng hướng với

.Vì BC (0; 2; 0); BS  ( 2; 0; )s BC BS, (2 ; 0; 4)s

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC)

Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 do đó: