Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC di chuyển trên đường cố định Gợi ý: Lấy điểm E đối xứng với H qua BC.. Do vậy quỹ tích H là đường tròn đối xứng với đường tròn O qua BC Bài tập áp
Trang 1Bài giảng số 4: QUỸ TÍCH KHÔNG THUỘC DẠNG CƠ BẢN
Ví dụ 24: Cho góc xOy cố định Tìm tập hợp điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M
đến Ox và Oy bằng h cho trước
a) Phần thuận
Giả sử MF Ox; ME Oy; ME + MF = h ⊥ ⊥
Trên tia Ox lấy điểm A sao cho khoảng từ A đến Oy là AH = h (A cố định)
Gọi B là giao điểm của AM và Oy Hạ MI ⊥ AH
Xét ΔAFM và ΔMIAta có
- MF = IA = h – ME
- AM chung
- AIM = AFM 90∑ ∑ o
=
⇒ ΔAFM = ΔMIA (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
⇒ FAM = AMI∑ ∑ mặt khác MI // HB (cùng vuông góc với AH)
⇒ ∑OAB = OBA ⇒ Δ∑ OAB cân tại O ⇒ OA = OB ⇒ B cố định
Trang 2Mà M nằm trên đoạn thẳng AB do vậy quỹ tích M là đoạn thẳng AB (AB là đáy của tam giác cân OAB sao cho khoảng cách từ A, B đến Ox, Oy bằng h)
b) Phần đảo: Dành cho bạn đọc
Ví dụ 25: Cho (O; R), 2 điểm B, C cố định trên (O) và một điểm A di động trên (O)
Chứng minh trực tâm H của tam giác ABC di chuyển trên đường cố định
Gợi ý:
Lấy điểm E đối xứng với H qua BC
Ta có: HCB ECB∑ = ∑ (t/c đối xứng)
ECB EAB
⇒ = ⇒ E thuộc đường tròn (O)
Khi điểm A di chuyển trên (O) thì điểm E cũng di chuyển trên (O) và điểm H luôn là điểm đối xứng của E qua BC Do vậy quỹ tích H là đường tròn đối xứng với đường tròn (O) qua BC
Bài tập áp dụng
Bài 1: Một đường thẳng (d) có định cắt đường tròn (O,R) cố định tại hai điểm A và B
phân biệt Từ điểm M di động trên (d) vẽ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O,R) thứ tự tại P và Q Tìm quỹ Tích tâm đường tròn nội tiếp tam giác MPQ
Trang 3Bài 2: Cho góc vuông xOy cố định và một điểm A cố định trên Ox, điểm C chuyển
động trên Oy Dựng tam giác đều ACB nằm bên trong góc xOy Tìm quỹ tích các đỉnh
B của tam giác ABC
Bài 3: Cho tam giác cân ABC (AB=AC) cố định và điểm M chuyển động trên cạnh
AB Trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho CN=BM Vẽ hình bình hành BMNP Tìm quỹ tích đỉnh P của hình bình hành này
Bài 4: Cho góc vuông xOy Điểm A cố định trên tia Ox, điểm B di chuyển trên tia Oy,
vẽ Δ ABC đều (C và O khác phía đối với A và B) Chứng minh trung điểm M của BC nằm trên đường thẳng cố định
Bài 5: Cho tam giác cân ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có AB = AC = R 2
a) Tính độ dài BC theo R
b) M là một điểm di động trên cung nhỏ AC, đường thẳng AM cắt đường thẳng BC tại
D Chứng minh rằng AM.AD luôn luôn là hằng số
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MCD di động trên một đường cố định khi M di động trên cung nhỏ AC
Bài 6: Tìm tập hợp điểm O là tâm của hình chữ nhật nội tiếp tam giác ABC sao cho
hình chữ nhật này có 1 cạnh song song với BC
Đáp số : Quỹ tích O là đoạn thẳng HK trong đó H là trung điểm của đường cao AD, K
là trung điểm của cạnh BC
Bài 7*: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; R) Gọi D là điểm chính giữa
của cung BC không chứa A Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AB tại B Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C Gọi E là giao điểm thứ hai của hai đường tròn này
a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng
b) Một đường tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theo thứ tự tại M và
N Chứng minh rằng BM = CN
c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN
ĐS : Tính được DI = 2KD sin2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin2(A/2) = hs
Trang 4K thuộc trung trực của AD => I thuộc đường thẳng vuông góc với AD và cắt AD tại P sao cho (DP/DA )=sin2(A/2)