Toán 9 bài toán quỹ tích là đường tròn

Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB + Về 2 phía của Ox ta luôn tìm được hai điểm thuộc quỹ tích  Quỹ tích nhận Ox là trục đối xứng + Vế 2 phía của Oy ta cũng luôn tìm được hai đi

Trang 1

Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 1

Bài giảng số 3: DẠNG BÀI QUỸ TÍCH THUỘC LOẠI TRÒN

Dạng 4: Quỹ tích là đường tròn, cung tròn

4.1 Quỹ tích những điểm cách đều điểm O cố định một khoảng R không đổi là đường tròn (O; R)

Ví dụ 18: Cho hai đường thẳng x và y vuông góc với nhau tại O Đoạn thẳng AB = h

(h cố định) chuyển động sao cho A thuộc x, B thuộc y Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB

+ Về 2 phía của Ox ta luôn tìm được hai điểm thuộc quỹ tích  Quỹ tích nhận Ox là trục đối xứng

+ Vế 2 phía của Oy ta cũng luôn tìm được hai điểm thuộc quỹ tích tích  Quỹ tích nhận Oy là trục đối xứng

Suy ra quỹ tích là đường tròn có tâm là O

Bước 2: Chứng minh thuận

Ta có OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAB nên

AB h

2 2 cố định

Trang 2

Vậy M nằm trên đường tròn (O; h

2 )

*Giới hạn: Vì A, B chạy trên cả đường thẳng x và y nên M di động trên cả đường tròn (O; h

2 )

Bước 3: Chứng minh đảo

Thiết lập mệnh đề đảo như sau: lấy điểm M’ thuộc (O; h

2 ) Vẽ (M’, MO) cắt x tại A’, cắt y tại B’ Chứng minh M’ là trung điểm của A’B’ và OA’ + OB’ = h

Phần chứng minh giành cho bạn đọc

Ví dụ 19: Cho đường (O; R); A là điểm cố định nằm trong đường tròn, B là điểm chuyển động trên đường tròn Tìm tập hợp các trung điểm M của AB

Hướng dẫn:

a) Phần thuận:

Gọi I là trung điểm của OA, suy ra I cố định

Xét ΔABO ta có: MA = MB

IA = IO







 MI là đường trung bình của tam giác ΔABO

MI = =



R

MI =

2 (không đổi) và I cố định nên M thuộc đường tròn I;R

2

 

 

 

Trang 3

Giới hạn B chuyển động trên cả đường tròn (O; R) nên M chuyển động trên cả đường tròn I;R

2

 

 

 

b) Phần đảo

Lấy điểm M' bất kỳ thuộc đường tròn

R

I;

2

 

 

  Trên tia đối của tia M'A lấy

điểm B' sao cho: M'A = M'B', ta cần

chứng minh B'thuộc (O; R)

Thật vậy,

ta có: OB’ = 2MI = R (t/c đường trung

bình) suy ra đpcm

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho đường (O) và một dây AB cố định M là một điểm tuỳ ý trên cung nhỏ

AB Gọi K là trung điểm của đoạn MB Từ K hạ đường KP MA Tìm tập hợp P khi

M di chuyển trên cung nhỏ AB đã cho

Bài 2: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn Điểm M di

động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R) Gọi tiếp điểm là B

a) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB

b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMB

Bài 3: Đường tròn tâm O có dây cung AB cố định, gọi I là điểm chính giữa cung lớn

AB Lấy điểm M bất kì thuộc cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đường thẳng

MI tại H và cắt tia BM tại C

a) Chứng minh các tam giác AIB và AMC là các tam giác cân

b) Khi điểm M di động, chứng minh điểm C chuyển động trên một cung tròn

cố định

Trang 4

(Đề tuyển sinh vào THPT Chu Văn An và Hà Nội – Amsterdam năm học 2005 –

2006)

Bài 4: Cho hai điểm A, B cố định trên (O ; R) và điểm C chuyển động trên đường

tròn đó Tìm quỹ tích trọng tâm của tam giác ABC

(Đề thi HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2005 – 2006)

Bài 5: Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự đó trên đường thẳng d Vẽ các nửa đường

tròn đường kính AB, AC thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng d Một điểm H chuyển động trên đoạn AB Đường thẳng vuông góc với d ở H cắt cả hai nửa đường tròn nói trên lần lượt ở D và E Gọi M là giao điểm hai đường thẳng DB và

EC Tìm quỹ tích điểm M

Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đường tròn

(O; R) Kẻ đường kính AI Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC Mx là tia đối của tia MC Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC

a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của góc BMx

b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O) Tứ giác MIKD là hình gì? vì sao?

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ AC thì G luôn nằm trên một đường tròn cố định

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O), M chuyên động trên đường tròn

Gọi H là hình chiếu của C tren AM, gọi I là giao điểm của BM và CH Chứng minh rằng điểm I di chuyên trên đường tròn cố định khi điểm M di động trên (O)

Bài 8: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn Điểm M lưu

động trên tiếp tuyến xy tại A của (O; R) Qua M vẽ tiếp tuyến thứ hai với (O; R) Gọi tiếp điểm là B

a) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB

b) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác AMB

4.2 Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB 1 góc vuông là đường tròn đường kính AB

Ví dụ 20: Cho đường tròn (O;R) và AB là đường kính Gọi d là đường trung trực của

OB Gọi M và N là hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng d Trên các tia OM, ON lấy

lần lượt các điểm M’ và N’ sao cho OM’.OM = ON’.ON R2

Trang 5

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn

b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn

cố định

(Trích đề thi HSG cấp tỉnh Hải Dương năm học 2011 – 2012)

Lời giải

Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn

' '

ON OM (vì OM’.OM = ON’.ON);

MONchung nên OM N' đ dạng với '

ON M



' '

b) Khi điểm M chuyển động trên d, chứng minh rằng điểm M’ thuộc một đường tròn

cố định

Bước 1: Dự đoán quỹ tích:

- Về 2 phía của đường thẳng AB ta luôn

tìm được 2 điểm M’ và M’’ thuộc quỹ tích

và đối xứng với nhau qua AB Vậy quỹ

tích là 1 đường tròn có tâm nằm trên

đường thẳng AB

- Khi M  Cthì M'  C'thỏa mãn

OC.OC' = R OC' = = 2R = AB

OC R : 2

C' đối xứng với A qua O suy ra quỹ tích

M’ là đường tròn đường kính OC’

Bước 2: Chứng minh thuận

Gọi giao của d với OB là C

Lấy điểm C’ đối xứng với O qua B  điểm C’ cố định trên tia OC

N'

O

M

N M'

Trang 6

' 2

2

OC OC ' OM OM'  '

'

OM  OC ; MOCchung  OCM đồng dạng với OM C' '

OM COCM  Vậy M’ thuộc đường tròn đường kính OC’ cố định

Dễ thấy M’ khác O vì R > O nên quỹ tích là đường tròn đường kính OC’ trừ điểm O

Ví dụ 21: Trên đoạn AB lấy điểm M tùy ý Trên AM và BM dựng về 1 phía đối với

AB các hình vuông Đường tròn ngoại tiếp các hình vuông cắt nhau tại I Chứng minh I di động trên 1 đường cố định khi M di chuyển trên AB?

Lời giải

Ta có:

AIM  ACM  45o

FIM 180  o FNM 180  o 45o  135o

AIM + FIM = 180 A, I, F thẳng hàng

DMA  ABF  45o

Trang 7

 DM // FB mà AC  DM nên AC  FB

Xét tam giác AFB có

- FM AB (gt)

- AC  FB (cmt)

 C là trực tâm của tam giác AFM

 BC  AF và A, I, F thẳng hàng nên BC  AI

Mặt khác IC  AI  B, I, C thẳng hàng  BI  AI

Hay I nằm trên đường tròn đường kính AB

+ Giới hạn: Quỹ tích I là nửa đường tròn đường kính AB

Bài 1: Tìm quỹ tích đỉnh C các tam giác ABC có AB cố định, đường cao BH bằng

cạnh AC

Bài 2: Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn (O) Từ M kẻ cát

tuyến MAB Tìm quỹ tích trung điểm N của AB khi cát tuyến quay quanh M

Bài 3: Cho nửa (O) đường kính AB Điểm C di động trên cung AB Hạ CH  AB Trên CO lấy điểm M sao cho OM = CH Tìm tập hợp điểm M

Bài 4: Cho nửa (O) đường kính AB Điểm C di động trên cung AB Dựng hình

vuông CBEF ra phía ngoài đường  ABC Tìm tập hợp điểm E khi C chạy trên cung

AB

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi O , O1 2 là tâm 2 đường tròn đường kính ABC và AC Một đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt (O1) tại E, cắt (O2) tại F Chứng minh rằng trung điểm M của EF thuộc đường tròn cố định

Bài 6*: Cho hình vuông ABCD cố định Một điểm I di động trên cạnh AB (I khác A

và B) Tia DI cắt tia CB tại E Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE tại M Đường thẳng BM cắt đường thẳng DE tại F Tìm quỹ tích điểm F

Trang 8

Bài 7: Cho đường tròn tâm O và đường kính AB Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường

tròn (O) Gọi N là điểm di động trên (d), kẻ tiếp tuyến NM (M thuộc (O))

a) Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB

b) Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB

Bài 8: Cho BC là 1 dây cung cố định của đường tròn O A là 1 điểm di động trên

cung lớn BC, phân giác góc BAC cắt cung BC tại D M là hình chiếu của B trên AD Tìm quỹ tích điểm M

Bài 9: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Điểm C di động trên (O) Trên

đoạn thẳng CA lấy điểm D sao cho AD = BC Tìm quỹ tích điểm D

Dạng 5: Quỹ tích là cung chứa góc

Ví dụ 22: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định, dựng dây cung AC tùy ý

và kéo dài Trên tia AC đặt về 2 phía của điểm C các đoạn CM = CB (M nằm ngoài đường tròn) Tìm quĩ tích các điểm M

Trang 9

Lời giải:

a) Phần thuận

Ta có ACB  90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

  CBMvuông mặt khác CB = CM (gt) suy ra  CBMvuông cân tại C

 CMB  45ohay AMB  45o

M nằm trên cung chứa góc 45 độ dựng trên đoạn AB

+Giới hạn

- Khi C   A M  D(D nằm trên đường thẳng đi qua A vuông góc với AB và cách A

1 khoảng bằng AB)

Trang 10

- Khi C   B M  B

Vậy quỹ tích M là cung BD và cung BD’ là đối xứng với cung BD qua đường thẳng

AB

Ví dụ 23: Cho xOy   cố định, điểm I cố định trong góc xOy Một góc vuông có đỉnh I quay quanh I, 2 cạnh của góc vuông này cắt Ox tại A và cắt Oy tại B Tìm tập hợp điểm H là hình chiếu của I trên AB

a) Phần thuận

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của I trên Ox, Oy

Tứ giác IEOF nội tiếp suy ra EIF 180  o 

Tứ giác IHBF nội tiếp suy ra I = H 1 1

Tứ giác IEAH nội tiếp suy ra I = H 2 2

 I 1  I = H 2 1  H 2  180o   90o 90o 

 EHF 180  o 90o   90o 

 H nằm trên cung chứa góc 90o   dựng trên đoạn EF

Trang 11

*Giới hạn

- Khi A  E thì B   O H trùng E

- Khi B  F thì A   O H trùng F

Vậy quỹ tích H là cung EF nằm trong góc xOy

b) Phần đảo

Bạn đọc tự chứng minh

Bài 1: Cho  ABCnội tiếp đường tròn (O) có A 120  o, dây cung BC cố định Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC Tìm quỹ tích điểm C khi A di động trên (O)

Bài 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định , dựng dây cung AC tùy ý và

kéo dài Trên tia AC đặt về 2 phía của điểm C các đoạn CM =CM’= CB (M nằm

ngoài đường tròn) Tìm quĩ tích các điểm M và M’

Bài 3: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại A và D có các đường kính

AOB và AO'C vuông góc với nhau tại A Một đường thẳng d đi qua A và cắt các nửa đường tròn không chứa điểm D của (O), (O') tương ứng tại các điểm M, N khác A a) Chứng minh tam giác ABM và tam giác CAN đồng dạng

b) Tìm quỹ tích giao điểm P của OM và O'N khi d di động

Bài 4: Một điểm A đi động trên nửa đường tròn đường kính BC cố định Đường

thẳng qua C song song với BA cắt đường phân giác ngoài của góc BAC của tam giác ABC tại D Tìm quỹ tích D

Bài 5: Tứ giác lồi ABCD có AC cố định, A  45 ; B = C = 90o o

a) Chứng minh rằng BD cố độ dài không đổi

b) Gọi E là giao của BC và AD, F là giao của DC và AB Chứng minh EF có độ dài không đổi

Trang 12

c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	562,78 KB