Toán 9 dạng bài toán quỹ tích là đường thẳng

Bài giảng số 2: DẠNG BÀI QUỸ TÍCH THUỘC LOẠI ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Quỹ tích là đường trung trực của đoạn thẳng Ví dụ 12: Cho góc vuông xOy cố định và điểm A nằm trong góc xOy.. Tìm quỹ tí

Bài giảng số 2: DẠNG BÀI QUỸ TÍCH THUỘC LOẠI ĐƯỜNG THẲNG Dạng 1: Quỹ tích là đường trung trực của đoạn thẳng

Ví dụ 12: Cho góc vuông xOy cố định và điểm A nằm trong góc xOy Một góc vuông đỉnh A có hai cạnh cắt Ox và Oy lần lượt tại E và F Chứng minh rằng trung điểm M của EF luôn nằm trên đường thẳng cố định khi góc vuông EAF quay quanh A

Bước 1: Dự đoán quỹ tích

+ Khi điểm FO thì EH  M  J

+ Khi điểm EO thì FG M  I

+ Quỹ tích M có 1 giao điểm cố định

với cạnh Ox, 1 giao điểm cố định với

cạnh Oy nên quỹ tích M là một

đường thẳng

+ Về hai phía của OA ta luôn tìm

được 2 điểm M và M' đối xứng với

nhau  Quỹ tích M là đường thẳng

vuông góc với OA (trung trực của

OA)

Bước 2: Chứng minh thuận

+ OM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OEF EF

2

OM = (1)

+ AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông AEF EF

2

AM = (2)

Từ (1) và (2) suy ra MO = MA Quỹ tích M là đường trung trực của đoạn thẳng OA (theo quỹ tích cơ bản)

*Giới hạn quỹ tích:

+ Khi điểm FO thì EH  M  J

+ Khi điểm EO thì FG M  I

Vậy quỹ tích là đoạn thẳng IJ

Bước 3: Chứng minh phần đảo

Ta thiết lập mệnh đề đảo: Lấy điểm M' thuộc đoạn IJ Quay đường tròn (M; MA) cắt

OH tại E', cắt OG tại F' Chứng minh M’ là trung điểm của E'F'và E'AF'  90o

Ta có AM'F'  180o 2 M'AF'

180 2 AM'E '  o  M'AE'

 AM'F' AM'E '   180o 2 M'AE'  180o 2 M'AF'  360o 180o 180o

 F', M', E' thẳng hàng M' là trung điểm của đoạn E'F'

- OM’ là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác OE'F' OM' = E'F' M'E' = M'F'

2

Lại có M'A = M'O (cách dựng)  M'A = M'E' = M'F'   AE'F' vuông tại A hay E'AF'  90o

Bước 4: Kết luận

Quỹ tích M là đoạn thẳng IJ

Ví dụ 13: Cho (O) và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại A Điểm M di động trên d Kẻ hai tiếp tuyến thứ 2 MB với (O) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔMAB Tìm quỹ tích điểm I

a) Phần thuận

+ Xét tứ giác OAMB có: OAM OBM   90o 90o  180o

 Tứ giác OAMB nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB đi qua O

Ta có IO = IA (bán kính) mà OA cố địnhI nằm trên đường thẳng a là trung trực của đoạn thẳng OA

Giới hạn: Vì M chuyển động trên d nên quỹ tích I là đường thẳng a

b) Phần đảo

Lấy I' thuộc a OI' cắt d tại M' Từ M kẻ tiếp tuyến thứ 2 MB với (O) Chứng minh I'

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB’

Gọi E là trung điểm của OA

Ta có EI'// AM’ suy ra EI'là đường trung bình của tam giác OAM’

 I' là trung điểm của OM'

I' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OAM’B’ hay I’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M’AB’

Kết luận: Quỹ tích I là đường thẳng a

Bài tập áp dụng

Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng a không có điểm chung với (O)

Điểm M di động trên a Kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với (O) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔMAB Tìm quỹ tích điểm I

Bài 2: Cho hình vuông ABCD Tìm tập hợp điểm M sao cho MA + MB = MC + MD Bài 3: Cho (O) và điểm A cố định bên ngoài (O) Một đường kính AB thay đổi quay

quanh O Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC nằm trên đường thẳng cố định

Bài 4: Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) Vẽ hai đường tròn có bán

kính bằng nhau trong đó một đường đi qua hai điểm A và B, đường còn lại đi qua 2

điểm B và C Hai đường tròn cắt nhau tại điểm thứ 2 là M Chứng minh M di động trên một đường cố định khi 2 đường tròn trên thay đổi

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O và một dây AB cố định Điểm C di động trên cung

AB Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại A và C cắt nhau tại D Gọi O là giao của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD với BC Chứng minh I luôn thuộc đường thẳng cố định

Bài 6: Cho (O) và hai dây AB // CD M thuộc cung nhỏ AB, gọi Q là giao điểm của

MD và AB Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCMDthuộc đường thẳng cố định

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A Các điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên các

cạnh AB, AC sao cho AM = CN

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua một điểm cố định khác A

b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN

Bài 8: Cho đường tròn (O; R) cố định và đường thẳng d cắt (O; R) tại hai điểm A, B cố

định Một điểm M di động trên d và ở bên ngoài đoạn AB Vẽ các tiếp tuyến MP và MN với (O; R) Gọi N, P là hai tiếp điểm

a) Chứng minh rằng khi M di động, đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định

b) Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

Dạng 2: Quỹ tích là tia phân giác của một góc

Ví dụ 14: Cho góc xOy cố định Đường thẳng d cố định vuông góc với Ox tại A, điểm

B chuyển động trên đoạn OA Trên tia Oy lấy điểm C sao cho OC = OB Đường vuông góc với BC ại C cắt d ở D Tìm quỹ tích trung điểm M của BC

Giải

Bước 1: Dự đoán quỹ tích

+ Khi B O     C O M  O Vậy

O thuộc quỹ tích

 Quỹ tích chỉ giao Ox, Oy tại

điểm duy nhất là O nên quỹ tích là

một đường thẳng đi qua O

Dự đoán: Quỹ tích M là tia phân

giác Om của góc xOy

Bước 2: Chứng minh thuận

Nối M với C

CM là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông BCD nên CM = MB = MD Xét MOB và MOC có:

- MB = MC (cmt)

- OB = OC (gt)

- OM chung

 MOB =MOC (c.c.c)

BMO = CMO

 (góc tương ứng) hay OM là tia phân giác của góc xOy

+ Giới hạn quỹ tích: Vì B chỉ chuyển động trên đoạn thẳng OA nên

- Khi B O     C O M O 

- Khi B A     C E M  F (dễ thấy F là trung điểm của CE)

Vậy quỹ tích M là đoạn thẳng OF

Bước 3: Chứng minh đảo

Ta thiết lập mệnh đề đảo như sau: Lấy điểm M’ bất kì thuộc đoạn OF Quay (M’; M’A) cắt OA tại B’, cắt Oy tại C’, cắt d tại D’ Chứng minh OA = OB và M’ là trung điểm của BD và BCCD (Bạn đọc tự chứng minh)

Bước 4 Kết luận: Quỹ tích M là đoạn thẳng OF

Ví dụ 15: Cho góc vuông xOy và điểm A cố định trên tia Ox, điểm B chuyển động trên tia Oy Dựng hình vuông ABCD nằm trong góc xOy Chứng minh giao điểm S hai đường chéo của hình vuông ABCD chạy trên đường cố định

Lời giải:

Xét tứ giác OBSA có:

- BOA  90o (gt)

- BSA  90o (t/c hình vuông)

 tứ giác OBSA nội tiếp  BOS BAS   45o (cùng chắn cung AS)

BOS AOS

  hay OS là tia phân giác của góc xOy Vậy S nằm trên tia phân giác của góc xOy

Chú ý: Bạn đọc có thể chứng minh S nằm trên tia phân giác của góc xOy bằng cách từ S

hạ SM, SN lần lượt vuông góc với Ox, Oy Chứng minh SM = SN

*Giới hạn quỹ tích

- Khi B O  thì hình vuông ABCD biến thành hình vuông OAEF Điểm S biến thành điểm R (R là giao của AF và OE)

Vậy S di chuyển trên tia Em

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O Tìm tập hợp tâm đường tròn tiếp xúc

với cả hai đường thẳng đó

ĐS: Quỹ tích là tia phân giác trong và ngoài của góc tạo bởi hai đường thẳng a và b

Bài 2: Cho góc vuông xOy cố định, một tam giác vuông cân có diện tích không đổi, hai

đầu B, C của cạnh huyền di động trên Ox, Oy, hai đỉnh A, O nằm ở hai phía của BC Chứng minh A thuộc đường cố định

ĐS: Quỹ tích là 1 đoạn thẳng nằm trên tia phân giác của góc xOy

Bài 3: Cho góc xOy Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA 1

OB  2 Tìm tập hợp điểm M sao cho tỉ số diện tích tam giác MOB và tam giác MOB là 1

2 ĐS: M thuộc tia phân giác Oz của góc xOy trừ điểm O

Bài 4: Cho hai đường thẳng x và y cắt nhau tại O Tìm tập hợp điểm M sao cho tổng

khoảng cách từ M đến x và y bằng h cho trước

ĐS: Quỹ tích M là 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA là 4 cạnh của hình chữ nhật ABCD nhận O là tâm

Bài 5: Cho hình vuông ABCD Điểm M thuộc đoạn CD, các đường tròn đường kính

CD và AM cắt nhau ở N; DN cắt BC tại I Chứng minh rằng trung điểm E của IM thuộc đường cố định

ĐS: E nằm trên tia phân giác Cz của góc BCD

Bài 6: Cho góc vuông xOy cố định Một tam giác vuông cân ABC tại A chuyển động

sao cho BOx; COy Tìm tập hợp điểm A biết rằng AB = AC

ĐS: Tia phân giác góc xOy

Bài 7: Cho góc vuông xOy cố định Lấy điểm A thuộc tia Ox, điểm B thuộc tia Oy sao

cho OA = OB không đổi Điểm C thuộc đường thẳng OB Kẻ BE  AC, BE cắt x tại D Tìm tập hợp trung điểm I của DC

ĐS: Quỹ tích I là tia phân giác của góc xOy

Bài 8: Cho hai đoạn thẳng AB và CD có độ dài bằng nhau và không nằm trên hai

đường thẳng song song Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn SΔAMB SΔCMD

ĐS: Gọi O là giao của hai đường thẳng AB và CD Quỹ tích là tia phân giác Ox của góc hợp bởi AB và CD

Dạng 3: Quỹ tích là đường trung bình cố định, là đường thẳng song song cách đều

Ví dụ 16: Cho góc xOy cố định, 2 điểm A và B chuyển động tương ứng trên Ox và Oy sao cho OA + OB = m (m không đổi) Chứng minh trung điểm M của AB chuyển động trên đường cố định

Bước 1: Dự đoán quỹ tích

- Khi B    O A E (E thuộc Ox sao cho OE = m)  M  G (G là trung điểm của OE) suy ra G là 1 điểm thuộc quỹ tích

- Khi A    O B F (F thuộc Oy sao cho OF = m)  M  H (H là trung điểm của OF) suy ra H là 1 điểm thuộc quỹ tích

- Quỹ tích M giao với Ox hoặc Oy tại 1 điểm duy nhất Quỹ tích M là đường thẳng

GH là đường trung bình của tam giác OEF)

Bước 2: Chứng minh thuận

Trên tia Ox và Oy lần lượt lấy điểm E và F sao cho OE = OF = m   OEF cân tại O

Từ B kẻ đường thẳng song song với Ox cắt EF tại   BPF cân tại B

BP = BF

 mà BF = OA  BP = OA  Tứ giác OBPA là hình bình hành

 AM = MB; OM = MP  A, M, H thẳng hàng

 H thuộc đường trung bình GH của tam giác OEF

Ta dễ dàng chứng minh được đường trung bình GH cố định và M di chuyển trên đoạn thẳng GH (giành cho bạn đọc)

Bước 3: Chứng minh đảo

Bạn đọc thiết lập mệnh đề đảo và chứng minh

Bước 4 Kết luận: Quỹ tích M là đường trung bình GH của tam giác OEF

Ví dụ 17: Cho đoạn thẳng AB cố định, điểm C chuyển động trên đoạn thẳng AB Dựng hai hình vuông ACEF và BCHG nằm cùng phía với nửa mặt phẳng bờ AB Gọi O1 và

O2 là tâm của hai hình vuông trên

Chứng minh trung điểm I của O1O2 thuộc 1 đường cố định

Kẻ O1K, O2L, IJ lần lượt vuông góc với AB (K, L, J thuộc AB)

Ta có O1K // O2L // IJ mà I là trung điểm của O1O2 suy ra IJ là đường trung bình của hình thang KLO1O2  1 K + O L 2

IJ =

 I cách AB một khoảng không đổi AB

4

I nằm trên đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng AB

4

*Giới hạn

- Khi điểm CA thì hình vuông ACEF

suy biến thành điểm A, hình vuông BCHG

biến thành hình vuông ABMN O1 A,

2

O  O  I  Plà trung điểm của OA

- Khi điểm CB thì hình vuông BCHG

suy biến thành điểm B, hình vuông ACEF

biến thành hình vuông ABMN O1 O,

2

O  B  I  Qlà trung điểm của OB

Kết luận: Điểm I chuyển động trên đoạn thẳng PQ

Bài tập rèn luyện

Bài 1: Cho đường thẳng a cố định Tìm tập hợp điểm M là tâm của đường tròn tiếp xúc

với đường thẳng a và có bán kính R không đổi

ĐS: M nằm trên đường thẳng song song với a và cách a 1 khoảng R

Bài 2: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Gọi C là trung điểm của OA Một

đường thẳng a vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) tại I Trên đoạn CI lấy điểm K bất kì (K khác C vài I) Tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tiếp tuyến của nửa (O) tại M cắt đường thẳng a tại N, BM cắt a tại D

a) Chứng minh tam giác MNK cân

b) Chứng minh rằng khi điểm K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD luôn nằm trên đường thẳng cố định

(Trích đề thi HSG tỉnh Bắc Giang năm học 2009 – 2010)

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A M là một điểm bất kì trên đáy BC.Từ M kẻ MD

song song với AB, ME song song với AC (E trên AB, D trên AC) Gọi I là giao điểm của AM và DE Tìm tập hợp điểm I khi M chuyển động trên đáy BC

Bài 4: Cho tam giác ABC Điểm D di động trên cạnh BC Kẻ DE // AB, DF // AC (E

thuộc AB, F thuộc AC) Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh khi D di động trên cạnh BC thì M thuộc đoạn thẳng cố định

Bài 5: Cho góc vuông xOy Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA=2 cm Điểm N di động

trên Oy Vẽ tam giác AMN vuông cân tại A sao cho M nằm trong góc vuông xOy Tìm quỹ tích của M khi N di động trên Oy

Bài 6: Cho đường tròn (O;R) cố định và đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN

ko trùng với đường kính AB Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm B AM, AN cắt tiếp tuyến này tại C, D Gọi I, K là trung điểm của BC, BD Tìm quỹ tích của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AIK

Bài 7*: Cho hình vuông ABCD, E cố định thuộc đoạn AB Kẻ EFCD (F thuộc CD);

M chuyển động trên EF Kẻ CI  BM; DJ  AM Gọi N là giao của CI và DJ Chứng minh N luôn thuộc 1 đoạn cố định