Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP CHỌN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC Xét “ bài toán chọn sau” : Cho hai dãy số thực được xắp thứ tự 1 2 ..... Sau nhiều nhất nb bước như trên ta được kết quả S ..... Aps dụng

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP CHỌN TRONG BẤT ĐẲNG THỨC

Xét “ bài toán chọn sau” : Cho hai dãy số thực được xắp thứ tự

1 2 n; 1 2 n

1 n 2 n 1 n 1

S=a b1 1a b2 2 a b n n; (*)

n

S a b a b  a b (**)

(Với (j j1 ; 2 ; ;j n)

là một hoán vị bất kỳ của (1;2;…;n) Chứng minh rằng S S j s

Chứng minh: Ta sẽ chứng minh SS j

Thật vậy: xuất phát từ (**) ta thành lập S1bằng cách giữ nguyên hầu hết các số hạng của S j( giả sử S j=1 ta thay đổi

1

j

i

j

1 1 2

n

Ta có:

1

Suy ra: S1S j

Tiếp tục thành lập S2 bằng cách giữ nguyên hầu hết các số hạng của S1( Gỉa sử j  k 2

Ta thay đổi

1

j

k

j

2 2

2 1 1 2

1 1 2 2

n

2

Suy ra S2S1;

…

Sau nhiều nhất nb bước như trên ta được kết quả S S2 S1S j(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khia1a2  a nhoặc b1b2  b n

Tương tự ta chứng minh được S js

Ta cũng có thể áp dụng nguyên lý quy nạp để chứng minh “ bài toán chọn”

 Ap dụng bài toán chọn:

Bài toán 1: Cho a, b, c, là các số thực dương , chứng minh rằng:

3 3 3

   (1)

Lời giải:

Ta có: (1)

3 3 3 3 3 3

Do a, b, c có vai trò như nhau , không mất tính tổng quát , giả sử a  b c 0 Suy ra

Áp dụng bài toán chọn ta có

Tiếp tục áp dụng bài toán chọn với hai dãy a2 b2 c2 và 13 13 13

c b c ta có:

1 1 1

Từ (2);(3);(4) suy ra (1) đúng(đpcm)

Bài toán 2(ĐH Thủy Lợi năm 1997-1998) Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh

rằng:

Lời giải:

Do a, b, c, có vai trò như nhau , không mất tính tổng quát,giả sử

Theo cách chứng minh bài toán chọn, đặt

;

|

j

s

Ta có:

1 1

Suy ra S jS1S2s(đpcm)

Bài toán 3:(Vô địch toán quốc tế 1983) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam

giác.Chứng minh rằng:

Lời giải:

Không mất tính tổng quát, giả sử 0 a bc, suy ra 1 1 1

a b c và

Do a,b, c là các cạnh của một tam giác, tương tự ta chứng minh được (*)) Aps dụng bài toán

chọn ta có

(đpcm)

Bài toán 4(Olympiad Chicago 1996) Xác định các số thực 1 abcd e 0 thỏa mãn:





Lời giải:

Do 1 ab c d e 0 suy rabcdeacdea b  abcde

Áp dụng bài toán chọn ta có a bcde a(  )b cdea b(  )  e abcd( e)

Trong bất đẳng thức trên, đẳng thức đã xảy ra nên a=b=c=d=e=0

 Bài tập tự giải:

Bài 1( Bất đẳng thức Trê-bư-sép) Gỉa sử a1a2 a n0 và b1b2 b n0 Chứng minh rằng:

Bài 2:(Bất đẳng thức Cô-si).Cho a  i 0với mọi i(1; 2; ; )n chứng minh rằng

1 2

1 2

.

n n

n

n

  



Bài 3: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c=3 chứng minh rằng:



Bài 4: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng :

3abca b c2 (  a) b c2 (  a b) c a b c2 (   )

Bài 5: Cho a  i 0 với mọi i(1; 2; ; )n chứng minh rằng

1 2

1

1

n n

Bài 6:(Vô địch toán quốc tế 1975)

Cho hai dãy số thực dương x1x2 x n và y1y2  y n giả sử ( ;z z1 2; ;z n)là một hoán vị của ( ,y y1 2, ,y n) chứng minh rằng

(x y) (x y )  ( x ny n) (x z) (x z )  ( x nz n)

Bài 7 Vô địch toán quốc tế 1978)

Cho aa a1, 2, ,a n là các số nguyên dương đôi một khác nhau chứng minh rằng:

1 2

n

a