RÈN kĩ NĂNG GIẢI hệ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1)

[Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD.. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn C biết B có tung độ âm.. Khóa học RÈN KĨ NĂNG

Trang 1

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có M là điểm thuộc cạnh AC

sao cho AM =2AB, đường tròn tâm I( )0;3 đường kính CM cắt đường thẳng BM tại D (D khác M), biết

đường thẳng CD: x+3y− =13 0 và đường thẳng BC đi qua điểm K(7;14) Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và

điểm C có hoành độ dương

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

Trang 2

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( ; )x y =(2;1)

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA

và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho BE=BF, gọi 12 29;

  là giao điểm của 2

đường thẳng CE và AF, biết phương trình đường thẳng EF y: − =5 0 và B( )3; 4 Tìm tọa độ các đỉnh

của hình vuông ABCD

Vì A và B cùng phía với EF nên ta loại A( )0;7

Khi đó: A( ) ( )0;1 ;C 0;7 Vậy A( ) ( ) ( ) (0;1 ;B 3; 4 ;C 0; 7 ;D −3; 4) là các điểm cần tìm

Trang 3

Thay⇔ =y x2+2vào phương trình 2 ta có xy+4x+4y− =2 (4x+6) 4x+1

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm

của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình 3 x+ − =y 13 0và N(2; 2) Xác

định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3

Trang 4

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong

và trung tuyến qua đỉnh B là d1:x+ − =y 2 0;d2: 4x+5y− =9 0 Điểm 2;1

BD x+ − =y , gọi I là điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn ( )C tâm I đi qua A và C cắt các

đường thẳng AB và AD lần lượt tại E(3; 3− ) và 23 9;

5 5

  Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi và viết

phương trình đường tròn ( )C biết C có tung độ dương

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( )x y; =(2;3)

Trang 5

Thay x=2y vào phương trình (2) ta có 2 9 2 3 1

C x− +y = tâm I, trung tuyến AE và đường cao CD cắt đường tròn (C) lần lượt tại điểm thứ

2 là M(− −2; 4) và N(4; 4− ) Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC và viết phương trình đường tròn

( )C biết B có tung độ âm

Lời giải:

Do tam giác ABC cân nên tâm I của đường tròn ( )C thuộc trung

tuyến AE Do I là trung điểm của AM nên A( )4; 4

Phương trình đường thẳng AM: 4 x−3y− =4 0

Gọi H = AM∩CD là trực tâm tam giác ABC

Ta có : BAE=BCD ( cùng phụ với góc ABC) do đó BN =BM

Khi đó : BN =BM , lại có IN =IM nên IB là trung trực của MN

Trang 6

Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn , vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( )x y; =(5;36)

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại C có phân giác trong

  thuộc BC Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = AF

Đường thẳng EF cắt BC tại K Biết 3; 5

Gọi I là giao điểm của AD và EF Do tam giác AEF cân tại A có phân giác AI nên AI là phân giác đồng

thời là đường cao và trung tuyến

Trang 8

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD trên các cạnh AD, AB lấy lần lượt

các điểm ,E F sao cho

 , biết điểm F( )1; 2 Tìm toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, G

là trọng tâm tam giác ABM, điểm 5; 1

−

  là điểm thuộc đoạn MC sao cho GA=GD Tìm toạ các

đỉnh của tam giác ABC biết A có hoành độ không dương và đường thẳng AG có phương trình y+ =2 0

24

Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( )x y; =(0; 0)

Trang 9

  thuộc BC Gọi E, F là 2 điểm lần lượt thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE=AF

Đường thẳng EF cắt BC tại K Biết điểm 11 3;

Gọi I là giao điểm của AD và EF Do tam giác AEF cân tại A có

phân giác AI nên: AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung

Trang 10

Đối chiếu điều kiện ta thu được nghiệm duy nhất x=3, hệ có nghiệm x=3;y= −2

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có D(5; 1) Gọi M là

trung điểm BC và N thuộc AC sao cho AC = 4AN Biết rằng MN: 3x − y − 4 = 0 và yM > 0 Tìm tọa độ

NDM =IDC=ICM = do đó tứ giác NDCM là tứ giác nội

tiếp suy ra DNM =900 ⇒∆DNM vuông cân tại N

Trang 12

2

11

E Gọi M N, (2; 2− ) lần lượt là trung điểm của BC và DC; H là giao điểm của AM và BN Xác

định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ H đến đường thẳng AB bằng 8 2

5 và hoành độ điểm A không âm

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có điểm C( )1; 7 và nội tiếp

đường tròn ( )C tâm I.Đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AIC tại

điểm thứ 2 là K(−2;6), biết điểm I có hoành độ dương và đường thẳng AI đi qua E( )0; 2 Tìm toạ độ các đỉnh A, B

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( ) ( )( )

Trang 13

( )

2

2 2

Trang 14

Trang 15

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường

phân giác trong của góc A là (AD) : x + y + 2 = 0; phương trình đường cao qua B là (BH): 2x – y + 1 = 0

Cạnh AB đi qua điểm M(1; 1) và diện tích tam giác ABC là 27

2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Do I là trung điểm của MN nên N(–3; –3)

Đường thẳng AC đi qua N(–3; –3) và vuông góc với (BH): 2x – y + 1 = 0 nên AC có phương trình

Trang 16

Vậy tọa độ 3 đỉnh của tam giác ABC là ( ) 1 ( )

4

164

y y

Trang 17

Vậy phương trình cạnh AB là 2 x+ − =y 11 0 hoặc 2x+11y−41=0

Ví dụ 10 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình ( 2 ) 2 2 ( ) ( 2)2

Trang 18

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) ( ) (x y; ={1;5 , 4; 20) }

Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B( )4; 6 , gọi H là điểm thuộc cạnh BC sao cho HB=2HC và AH vuông góc với BC, E là điểm thuộc cạnh AB sao cho

4

AB= AE , đường thẳng CE cắt đường cao AH tại D( )0;3 Biết trung điểm của AC thuộc đường thẳng

2x+ − =y 1 0 tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm AH

Gọi N t( ;1 2− t) là trung điểm của AC ta có:

Trang 19

tròn đi qua 2 điểm B,C và tiếp xúc với cạnh AD tại E đồng thời cắt cạnh CD tại F, biết phương trình

đường thẳng EF là: x−5y− =5 0, điểm A(− −2; 3) và điểm E có hoành độ nguyên Tìm toạ độ các đỉnh B,C,D và viết phương trình đường tròn ( )C

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 5)

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 20

Cặp nghiệm này không thỏa mãn hệ, loại

Với x+ =y 2 ta thu được 3 x2+3x+ +3 3 2x2+3x+ =2 6x2+12x+8

Ta có

2 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) (x y; = −1;3)

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, trung tuyến

BM Đường thẳng qua A vuông góc với BM cắt BC tại E(5; 2− ) Biết trọng tâm tam giác ABC là

(3; 1)

G − và điểm A có tung độ âm Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC

Lời giải:

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AN⊥BC

Lại có AE⊥BM ⇒G= AN∩BM là trực tâm tam giác ABE khi đó

EG⊥AB ⇒GE/ /AC⇒∆GNE vuông cân tại N 5

22

GE GN

7

2; 22

Trang 22

Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD , điểm E thuộc cạnh BC,

phân giác góc BAE cắt cạnh BC tại F( )2;3 , đường thẳng qua F và vuông góc với AE cắt cạnh CD tại K, biết phương trình đường thẳng AK là 3 x− −y 23=0 và điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết A có tung độ âm

Lời giải:

Gọi M =KF∩AE ta có: AMF∆ = ∆ABF do vậy AM =AB=AD

Khi đó AMK∆ = ∆ADK từ đó suy ra KAF =450

Trang 23

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 3 3 2 ( )

Ví dụ 2: Giải bất phương trình 10x2−50x− ≥3 2x2−5x+ −2 3 x−5

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD , gọi E là trung điểm cạnh BC ,

phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE là 3 2 1 2 5( )

có phương trình: 3x− − =y 9 0 Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết D có tung độ âm

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A( )5;3 , trên tia đối của tia BC lấy

điểm D( )9;5 sao cho AB=BD , biết tâm đường tròn bàng tiếp góc A và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt thuộc các đường thẳng x+4y− =2 0và 4x+ −y 28=0 Tìm toạ độ các đỉnh ;B C

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải bất phương trình 3x2−12x+ ≤5 x3− +1 x2−2x

Ví dụ 6 [Tham khảo]: Giải bất phương trình x3+4x2+10x+20− x3−27≤2 x

Bất phương trình đã cho tương đương với

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 6)

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 24

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HPT, BPT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn

Kết luận bất phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A(−2; 0), gọi E là hình chiếu của A trên BC và F là điểm đối xứng của E qua A, biết trực tâm tam giác BCF là H(−2;3) và trung

điểm của BC thuộc đường thẳng d: 4x− + =y 4 0 Tìm toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC

vậy KH ⊥ AC⇒HK/ /AB là HK là đường trung bình của ABE∆

Do vậy E(−2; 6)⇒BC y: =6 suy ra trung điểm của AB là 1; 6

t t

Đ áp số: B( ) (7; 6 ;C −6; 6) hoặc ngược lại là các điểm cần tìm

Ví dụ 8 [Tham khảo]: Giải hệ phương trình

4

2 2

Trang 25

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= =y 1

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm

của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng CN có phương trình x+3y− =8 0 và M(3;5) Xác

định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ dương

Trang 26

Ta có

2 2

Trang 27

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 1 2 ( )

11

00

Trang 28

DI +DK = , biết điểm C thuộc

đường thẳng :d x−2y− =3 0 và có tung độ dương Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )C , phân giác trong

và phân giác ngoài góc A cắt đường tròn ( )C lần lượt tại điểm thứ 2 là 15; 3 ; 3; 7

toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng AB và BC lần lượt đi qua các điểm E( ) (4;3 ;F 0;11)

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải bất phương trình x2+3x+ +2 x− ≥1 3x2−9 (x∈ℝ )

Trang 29

Kết hợp với (*) ta được x= ±2 5 thỏa mãn

Chứng minh tam giác NKB vuông cân tại K ( với K là trọng tâm tam

giác ABD) Khi đó phương trình đường thẳng KB là: 3 x− − =y 1 0

Do vậy K =KB∩KN ⇒K( )1; 2

Gọi N(7 3 ;− t t) ta có: 2 2 ( ) (2 )2

KD =KN ⇔ − t + −t =( )2 3 ( ) ( )

t loai t

Do x2−13x+66> ∀ ∈0, x ℝ;x2−29x+178> ∀ ∈0, x ℝ nên (1) nghiệm đúng với mọi x thuộc tập xác định

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm S =[7;+∞)

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(− −2; 1), trực tâm H( )2;1 và BC=2 5 Gọi D, E là chân đường cao hạ từ các đỉnh B, C Biết trung điểm M của BC

nằm trên đường thẳng d x: −2y− =1 0 và DE đi qua điểm N(3; 4− ) Viết phương trình BC

Lời giải:

Trang 30

Gọi (C) là đường tròn tâm M đường kính BC

Trang 31

Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có ( )C là đường tròn tâm

A bán kính AB, điểm K thuộc ( )C , gọi E( )1; 4 , 32 11;

  lần lượt là chân đường cao hạ từ D xuống

AK và từ K xuống CD Viết phương trình cạnh AB biết D thuộc đường thẳng d x: − =y 0

Lời giải:

Ta có: KDA=AKD ( do tam giác ADK cân tại K)

Lại có ADK =AKF (so le trong)

Từ đó chứng minh được DEK∆ = ∆DFK , từ đó suy ra E và F

đối xứng nhau qua DK

Trang 32

Dễ thấy (*) nghiệm đúng với mọi x≥2

So sánh và thử lại, kết luận phương trình đã cho có tập nghiệm S =[2;+∞)

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A có AC>ABcó đường cao

AH, trên tia HC lấy điểm D sao cho HA=HD, đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E(2; 2− )

và AB tại F Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết phương trình CF x: +3y+ =9 0,đường

thẳng BC đi qua K(5;12) và điểm C có hoành độ dương

Trang 33

  là trung điểm của cạnh BC, phương trình đường trung tuyến kẻ từ A

của tam giác ADH là 4 x+ − =y 4 0 Tìm toạ độ đỉnh B ,C và viết phương trình đường thẳng BC

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB=BC, đường

tròn đường kính AB đồng thời tiếp xúc với cạnh CD có phương trình ( ) (2 )2

Lời giải:

Điều kiện:

03

Trang 34

( )

2 2

A và B Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BM =2AM , điểm N( )1; 4 là hình chiếu của M trên

đường thẳng CD Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D biết CM vuông góc với DM và điểm B thuộc đường thẳng

Trang 35

Phương trình đường thẳng CD qua N và vuông góc với MN là: x+2y− =9 0

x x

Nhận thấy [2] nghiệm đúng với mọi x≥2 Kết luận tập hợp nghiệm S=[2;+∞)

Ví dụ 9 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) :C x2+y2−2x=0 Tam giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của đường tròn (C) trong đó A là tiếp điểm Chân đường

cao kẻ từ A là H( )2; 0 Tìm tọa độ đỉnh B của tam giác ABC biết B có tung độ dương và diện tích tam

giác ABC bằng 2

3

Lời giải:

Tam giác ABC vuông tại A và AC tiếp xúc với (C) tại A nên 3 điểm A, B,

I thẳng hàng với I( )1; 0 Lại có AHB=900 nên AB là đường kính của

Ta có: IAH =600⇒ABC=300 Do đó HB= ABcos 300 = 3

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ

Trang 36

⇔x − x+ ≥x + ⇔ ≤x Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm

Ví dụ 11 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh AB, biết I( )1; 0 và 3; 2

Gọi G là trong tâm tam giác ABC, M là trung

điểm của AD, K là trung điểm của AC

Trang 37

Ví dụ 1 ; 2 ; 3 ; 4 [Cực hay, xem video nhé]:

Ví dụ 5 [Tham khảo]: Giải bất phương trình ( 2 2 ) 3 2

3x −12x+ +5 x −2x x − ≥1 2x −10x+5

Lời giải

Điều kiện:

2 2 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =[2;+∞)

Ví dụ 6 [Tham khảo]: Giải bất phương trình 2 22 3 2 ( )

Trang 38

Ví dụ 7 [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B( )4;3 và

đường thẳng AC: 5x− − =y 5 0, gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC , trên tia đối của tia BH lấy

điểm E sao cho BE=AC , biết hình chiếu vuông góc của E lên đường thẳng BC là K thuộc đường thẳng

d x+ y− = Tìm toạ độ các đỉnh A,C,D

Lời giải:

Ta cóHBC=EBK (2 góc đối đỉnh)

Lại có : HBC=BAC ( cùng phụ với ABH ) suy ra BAH =KBE

Từ đó ta có : ∆BKE= ∆BAC⇒BH =d K BE( ; ), phương trình

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	1,51 MB