Proceedings VCM 2012 103 xác định tập hợp cấu hình đặc biệt tay máy song song

Tại các cấu hình đặc biệt tồn tại trong vùng làm việc, tay máy song song sẽ mất điều khiển, gây ảnh hưởng xấu đến các chức năng của hệ thống.. Các kết quả khảo sát sẽ được xem xét và đán

Xác định tập hợp cấu hình đặc biệt tay máy song song

dùng lý thuyết Vít Determination Singularity Configuration set of Parallel Manipulator using Screw Theory Nguyễn Xuân Vinh, Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn Ngọc Lâm*

Khu Công nghệ cao Thành phố Hồ Chí Minh,

*Viện Nghiên cứu Điện tử, Tin học, Tự động hóa e-Mail: nguyen.xuan.vinh@gmail.com, minhthanhnguyen@vnn.vn, lhquoc.shtp@tphcm.gov.vn,

lamnguyenngoc_ne@yahoo.com.vn

Tóm tắt:

Bài báo trình bày kết quả nghiên cứu áp dụng lý thuyết Vít để xác định tập hợp các cấu hình đặc biệt cho tay máy song song Tại các cấu hình đặc biệt tồn tại trong vùng làm việc, tay máy song song sẽ mất điều khiển, gây ảnh hưởng xấu đến các chức năng của hệ thống Thể tích vùng làm việc và tập hợp các điểm đặc biệt phụ thuộc vào cấu hình của tay máy song song Các kết quả khảo sát sẽ được xem xét và đánh giá theo đa tiêu chí (số điểm làm việc, cấu hình làm việc, cấu hình đặc biệt) của tay máy song song trong một giới hạn không gian làm việc cho trước Kết quả bài báo cho thấy tác giả đã thành công trong việc áp dụng lý thuyết Vít xác định tập hợp các cấu hình đặc biệt của tay máy song song Kết quả này có thể được sử dụng trong bài toán tối ưu đa tiêu chí cho tay máy song song

Abstract:

This paper describes a application of the Screw theory to determine singularity configurations set of the parallel mechanism In singularity configurations of the workspace, the parallel mechanism is lost control and has adverse effects to functions of the system The volume of workspace and the set of singularity configurations are dependented by configurations of the parallel mechansim The results were determined with multi-criteria optimization (workspace, configurations, singularity configurations) in the same initial condition The research results show the success of the applying Screw theory to determine the singularity configurations set for the parallel mechanism The research result can apply in multi-criteria optimization for the parallel mechanism

1 Khảo sát và xác định tính phù hợp của việc

ứng dụng lý thuyết Vít để giải các bài toán

cho tay máy song song

Lý thuyết Vít được phát triển bởi Robert Stawell

Ball [2] để áp dụng trong động học và tĩnh của các

cơ cấu (cơ học vật rắn) Đó là một cách để thể hiện

chuyển vị, vận tốc, các lực và mômen xoắn trong

không gian ba chiều, kết hợp cả hai phần quay và

tịnh tiến Lý thuyết Vít được sử dụng như một

công cụ quan trọng trong cơ học robot, thiết kế cơ

khí, hình học tính toán và động lực học đa vật thể

(multi-body)

Có nhiều định lý cơ bản bao gồm: định lý của

Poinsot [5] và định lý của Chasles [6] Một số định

lý khác bao gồm Julius Plücker [7], WK Clifford

[3], A.T Yang [4], FM Dimentberg [8], Kenneth

H Hunt [9],

Trong chuyển động vật rắn, Vít là phương pháp để

mô tả một chuyển động Vít được dùng miêu tả sự

quay quanh một trục và dịch chuyển dọc trục đó

Bất kỳ chuyển động nào cũng có thể được mô tả bằng một Vít Một Vít có hai thành phần: Vận tốc xoắn Vít và Vít lực:

Vận tốc xoắn Vít theo quá trình di chuyển từ điểm

A đến điểm B được biểu diễn như sau:

1

0 1

B

v

      

     

    

     

trong đó:

A

v : vận tốc tại điểm A

B

v : vận tốc tại điểm B

w: vận tốc góc của vật rắn

AB

r : vectơ dịch chuyển từ A đến B

Vít lực khi di chuyển từ điểm A đến điểm B thể hiện các lực tác động lên vật thể được biểu diễn:

1 0

1

B

AB

r

t

 

       

     

    

   

     

     



với:

t : mô-men tại điểm A

B

t : mô-men tại điểm B

F

: lực tác động lên vật rắn

AB

r

: vectơ dịch chuyển từ A đến B

Việc áp dụng lý thuyết Vít để giải các bài toán

trong lĩnh vực tay máy đã được sử dụng từ khá lâu

[5,9,13,14] Với nhiều ứng dụng và phát triển, lý

thuyết Vít được sử dụng như một công cụ quan

trọng trong cơ học robot, thiết kế cơ khí, hình học

tính toán và động lực học đa vật thể Tuy nhiên,

trong những năm gần đầy lý thuyết Vít mới được

áp dụng vào những bài toán cụ thể về tay máy

song song [15-25] Lý thuyết Vít thường được áp

dụng để tìm kiếm các cấu hình đặc biệt của tay

máy song song Tại các cấu hình đặc biệt này, tay

máy sẽ mất khả năng điều khiển Vì vậy, việc áp

dụng lý thuyết Vít được xem là một phương pháp

hỗ trợ quan trọng khi tiến hành giải quyết một bài

toán về tay máy song song

2 Các khái niệm cơ bản lý thuyết vít

Trong tọa độ Plücker, các vectơ không gian

thường được miêu tả dưới hai dạng:

6

M - Vectơ động học, F6 - Vectơ tĩnh

học

2.1 Vận tốc trong tọa độ Plücker của lý thuyết

vít

Chọn điểm P bất kỳ trên vật rắn, quy định vectơ

vận tốc v tại điểm P và vectơ vận tốc góc p  cho

toàn bộ vật rắn Như vậy có thể xem như vật rắn

chuyển động theo v đồng thời xoay với vận tốc p

góc  với gốc xoay đi qua P Xét một tọa độ có

điểm gốc là O, ta định nghĩa vectơ vận tốc v o là

vectơ vận tốc tham chiếu lên tọa độ gốc O:

Trong đó: v o v pOPw theo (1)

Tọa độ Plücker của v ˆ trong tọa độ Oxyz

ˆ

T

o

v

w

 

   

2.2 Vận tốc trong tọa độ Plücker của lý thuyết

vít

Lực tác động lên vật rắn có thể được biểu diễn

bằng: Một lực f tác động vào vật rắn theo hướng đi

qua điểm P và một ngẫu lực n p

Trong đó: n on pOPf theo (2) Tọa độ Plücker của ˆf trong tọa độ Oxyz

ˆ

T o

n

f

 

   

Tọa độ Plücker bao gồm tổng cộng 12 vectơ đơn

vị thành phần của các dạng vectơ trong không gian

(M 6 và F 6 ) Các vectơ Plücker đơn vị (e x, ey,…, eoz)

trong F 6 được coi là đối ứng với (d ox, dox , …, dz)

trong M 6 Vì vậy, một tích vô hướng (scalar product) giữa một vectơ chuyển động và một vectơ lực có thể biểu diễn trong tọa độ Plücker như sau:

ˆ ˆT

3 Ứng dụng lý thuyết Vít khảo sát cấu hình đặc biệt của tay máy song song kiểu Stewart

Platform

Việc xác định cấu hình đặc biệt đóng vai trò quan trọng trong việc xem xét các thông số của vùng làm việc đối với tay máy song song Các cấu hình đặc biệt được xác định bằng việc áp dụng lý thuyết Vít để xác định các tọa độ Plücker theo trục dẫn động tuyến tính của tay máy Từ các tọa độ Plücker này, ta cần thiết lập các ma trận để xác định các giá trị chuẩn số hoạt động của cơ cấu tay máy song song Cấu hình đặc biệt sẽ được tìm thấy nếu tất cả các véctơ trên trục của các dẫn động là phụ thuộc tuyến tính

Tại các cấu hình đặc biệt, số bậc tự do của tay máy song song sẽ giảm đi Khi đó, quá trình điều khiển của tay máy song song sẽ không còn phù hợp với

mô hình toán ban đầu Khi điều khiển quá trình di chuyển của tấm chuyển động, cần chú ý đến quỹ đạo dịch chuyển và cấu hình làm việc tĩnh của tay máy Cần phải thiết lập trước các quỹ đạo dịch chuyển và các cấu hình làm việc của tay máy song song sao cho tay máy không rơi vào các cấu hình đặc biệt đã được tìm thấy Do đó, đối với bài toán điều khiển tay máy song song, đầu tiên ta cần phải xác định trước vùng làm việc, các giới hạn về động học [26-29] và các cấu hình đặc biệt

Xét tay máy song song kiểu Stewart Platform

[1,10-11] (H 3) có các thông số của cơ cấu B i , A i

là tọa độ của các khớp nối giữa các chân liên kết

với mặt phẳng nền và tấm chuyển động

Các vít lực được định vị dọc trục trên các chuỗi

động tuyến tính tác động lên khâu ra được xác

định bởi các tọa độ Plücker E i:

E i =e i+  eoi , (i=1,…,6), (6) với:

: hệ số Clifford, ( 2=0)

ei : tọa độ của véc tơ (e ieoi=0)

Các tọa độ của véc tơ e i được thể hiện thông qua

tọa độ của các điểm: (x Bi–xAi)/Li, (yBi –yAi)/Li, (zBi –

zAi)/Li, với:

xAi , y Ai , z Ai : tọa độ của điểm A i

xBi , y Bi , z Bi : tọa độ của điểm B i

Từ các tọa độ Plücker của các vít đơn vị E i, ta cần

xác định ma trận T như sau:

( )

T

(7)

Trong đó:

;

;

o

o

o

(9)

Cấu hình của cơ cấu song song là đặc biệt khi định

thức của ma trận (T) tiến đến zero, nghĩa là:

det(T) = 0

Cấu hình đặc biệt sẽ được tìm thấy nếu tất cả các véctơ trên trục của các dẫn động là phụ thuộc tuyến tính

Tiến hành khảo sát vùng làm việc của tay máy song song theo đa tiêu chí [25-29], kết hợp việc xem xét, tìm kiếm các cấu hình đặc biệt của tay máy song song Để có thể xác định cấu hình làm việc của tay máy, ta cần tiến hành khảo sát theo hai tiêu chí: điểm làm việc và cấu hình làm việc của tâm khâu ra khi góc hướng của tấm chuyển động thay đổi

Để đưa ra một kết luận chính xác, tác giả tiến hành khảo sát tìm kiếm các cấu hình đặc biệt theo các biến thể khác nhau của tay máy song song với cùng một vùng không gian khảo sát Tay máy được khảo sát đầu tiên là tay máy có cấu hình

chuẩn kiểu Stewart Platform với các vị trí B i đối xứng sẽ trình bày trong mục 4 Tay máy thứ hai được khảo sát là một biến thể của tay máy song song được trình bày ở mục 5

4 Khảo sát tay máy song song cấu hình chuẩn

kiểu Stewart Platform 4.1 Vùng làm việc của tay máy song song kiểu Stewart Platform

Cấu hình chuẩn đối xứng của tay máy song song kiểu Stewart Platform được thể hiện ở H 4:

Ta tiến hành khảo sát vùng làm việc của tay máy song song kiểu Stewart-Gough Platform với cấu hình ban đầu là cấu hình phân bố đối xứng với các thông số:

( ); 2, 4( ); 0.9( ); 3

Vùng khảo sát của tâm khâu (x d,y z d, d) chiếu theo

hệ trục tọa độ (xˆB,yˆB,zˆB)được xác định theo các giới hạn về chiều dài các khâu dẫn động:

1( )m  l i 3, 7( );m i1 6, Giới hạn vùng khảo sát của tâm khâu ra:

1.1 x P 1.1; 1.1 y d 1.1;0.5 z d 2.8( )m

ố bước quét tâm khâu: x dstep;y dstep;z dstep10

Số bước quét góc hướng: f step;q step;y step5

Tại mỗi một vị trí tâm khâu khảo sát, các góc

hướng sẽ thay đổi trong khoảng:

0,2793(rad)    d, d, d 0,2793(rad)

với các chuyển động góc (roll – pitch – yaw)

Giới hạn chuyển động của các góc khớp:

0angle base angle top_ i, _ ip(rad);

Kết quả khảo sát như sau:

SÁT

Số tâm khâu có cấu hình đặc

biệt

727

Thể tích vùng làm việc của tay máy song song cấu

hình chuẩn kiểu Stewart Platform được tính theo

công thức:

( )

với h là một kích thước theo một chiều bất kỳ của

vật, A là diện tích phần tiết diện vuông góc với h,

được biểu diễn dưới dạng hàm số của h Thể tích

gần đúng của vùng làm việc tay máy song song

cấu hình chuẩn kiểu Stewart-Gough có giá trị

V=7,169 (m3)

Kết quả khảo sát cho thấy số tâm khâu ra đạt được

có 743 điểm so với 1331 số tâm khâu khảo sát

(chiếm tỷ lệ 55.8%) Tập hợp điểm các tâm khâu

ra đạt được được xem là vùng làm việc của tay

máy song song có thể tích V= 7.169 (m3) (xem H

5) Trong vùng làm việc này cần xem xét sự tồn tại

của các cấu hình đặc biệt tại mỗi điểm đạt được

của tâm khâu ra Để đảm bảo tính ổn định cho

vùng làm việc của tay máy, mỗi điểm làm việc của

tâm khâu ra đạt được sẽ được xem là điểm đặc biệt

nếu có bất kỳ một cấu hình đặc biệt tồn tại trong điểm làm việc này

4.2 Áp dụng lý thuyết Vít xem xét các cấu hình đặc biệt

Tiến hành tìm kiếm các cấu hình đặc biệt dựa theo

các giá trị det(T) tại mỗi cấu hình được khảo sát

Kết quả cho thấy với cấu hình đối xứng, vùng làm việc của tay máy song song xuất hiện nhiều cấu hình đặc biệt tại các điểm làm việc của tâm khâu

ra

-2 -1 0 1

2 0

1 2 3 4

Theo Bảng I, kết quả khảo sát cho thấy có 727 tâm khâu chứa 4.551 cấu hình đặc biệt Để có một cái nhìn rõ hơn về cấu hình đặc biệt, ta xét một cấu hình làm việc được tìm thấy như sau:

-2 0 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 0.5 1 1.5

Cấu hình này có các thông số như sau:

Vị trí các khớp liên kết trên mặt phẳng nền (B i):

1.7321 1.7321 0 -1.7321 -1.7321 0

i

B

Vị trí các khớp liên kết trên tấm chuyển động (A i):

2.7565 2.9399 2.1835 1.2435 1.0601 1.8165 -1.8383 -0.8608 -0.2225 -0.5617 -1.5392 -2.1775 1.1425 1.0385 0.8960 0.8575 0.9615 1.1040

i

A

Chiều dài các chân liên kết (L i):

1.7486 2.4495 3.2419 3.4682 3.0018 2.1331



i

L

Ma trận của Plücker (Ma trận T):





































1.7032 1.2412

0.0780 -1.3470 -1.8089

-0.2445

-0 0.5548 0.4282

0 0.7344

-1.1317

-1.0351 -0.3203 -0.2472 0.5528 0.4240

0.6534

-0.5175 0.3203

0.2472 0.2764 0.4240

0.6534

0.0832 -0.1796 -0.4503 -0.6856 -0.7597

-0.4794

-0.8516 0.9301

0.8580 0.6735 0.4931

0.5859

T

Định thức của ma trận T có giá trị det(T) = 0 Kết

quả này cho thấy tại cấu hình khảo sát tất cả các

véctơ trên trục của các dẫn động là phụ thuộc

tuyến tính Theo lý thuyết Vít, ta có thể khẳng

định, cấu hình đang được khảo sát được xem là

một cấu hình đặc biệt Đồng thời, điểm làm việc

tại cấu hình khảo sát cũng được xem là điểm đặc

biệt

Như vậy, có thể khẳng định rằng tác giả đã áp

dụng thành công lý thuyết Vít vào việc xác định

các cấu hình đặc biệt của tay máy song song kiểu

Stewart Platform

Kết quả khảo sát cho thấy, điểm đặc biệt của tay

máy song song có cấu hình đối xứng chuẩn kiểu

Stewart Platform có đến 727 điểm Số cấu hình

đặc biệt chiếm 4.551 cấu hình trong tổng số

222.301 cấu hình đạt được Điều này cho thấy hầu

hết các cấu hình đặc biệt phân bổ trên hầu hết các

điểm làm việc đạt được của tâm khâu ra Có thể

nhận thấy rằng, tỷ lệ điểm đặc biệt so với số tâm

khâu ra đạt được trong bài toán này là rất cao Đây

là một yếu tố cần thiết phải xem xét đến khi thiết

kế các cấu trúc và giải các bài toán điều khiển đối

với tay máy song song

5 Khảo sát tay máy song song với cấu hình

biến thể 5.1 Vùng làm việc của tay máy song song có

cấu hình biến thể

Ta tiến hành khảo sát vùng làm việc của tay máy

song song với tập thông số đầu vào cho trước

tương tự như trong bài toán thứ nhất (mục 4) Tuy

nhiên để có một kết quả khảo sát độc lập, ta chọn

một dạng tay máy có cấu hình biến thể (H 8) so

với cấu hình chuẩn như mục 4

Tay máy biến thể có các thông số về cấu hình ban

đầu về vị trí các khớp nối trên mặt phẳng nền (B i )

và tấm chuyển động (A i) như sau:

0 0.7794 0.7794 0.7794 0.7794 0

i

A



2.0785 2.0785 0 0 2.0785 -2.0785

i

B





Tiến hành khảo sát với vùng làm việc và các thông

số tương tự mục 4, ta có kết quả như sau:

SÁT

Số tâm khâu có cấu hình đặc biệt

0

Theo kết quả khảo sát, số điểm làm việc của tâm khâu ra là 439 điểm (chiếm 32.98% số tâm khâu khảo sát) tạo thành vùng làm việc có thể tích

V=3.9296 (m3) (xem H.10) Số cấu hình đạt được

là 170,674 cấu hình trên tổng số 287.496 cấu hình của tay máy Trong vùng làm việc này của tay máy không xuất hiện các cấu hình đặc biệt cũng như điểm đặc biệt Tuy nhiên có những cấu hình có giá

trị det(T) rất nhỏ cho thấy những điểm này thuộc

vùng lân cận của những cấu hình đặc biệt

5.2 Áp dụng lý thuyết Vít xem xét các cấu hình đặc biệt

Để đánh giá rõ hơn về ảnh hưởng của các điểm đặc biệt cũng như các vùng lân cận của chúng, ta tiến hành khảo sát và đánh giá các giá trị chuẩn số

của det(T) tại mỗi cấu hình khảo sát Các giá trị

chuẩn số này sẽ giúp xác định các tập hợp các cấu hình đặc biệt của tay máy song song

Dựa vào kết quả ở Bảng II, ta tiến hành khảo sát

theo những giá trị chuẩn số khác nhau của det(T)

để xác định lại các tập hợp cấu hình đặc biệt khác nhau của tay máy song song

Tiến hành khảo sát với các giá trị chuẩn số của

det(T) (0, 10 -i ; i=1 4) , ta thu được kết quả (Bảng

III):

SÁT

det(T) < 0 10-4 10-3 10-2 10-1

Số điểm đặc

Số cấu hình

-2

-1

0 1

0

0

1

2

3

4

đặc biệt với det(T)<10 -4

-2

-1

0 1

0

0

1

2

3

4

-2

-1

0 1

2 0

1

2

3

4

đặc biệt với det(T)<10 -3

-2 -1 0 1

0

0 1 2 3 4

-2 -1 0 1

2 0

1 2 3 4

đặc biệt với det(T)<10 -2

-2 -1 0 1

0

0 1 2 3 4

-2 -1 0 1

0

0 1 2 3 4

đặc biệt với det(T)<10 -1

-1

0

1

2 0

1

2

3

4

Quan sát kết quả đạt được, ta có thể thấy rằng, các

giới hạn của chuẩn số det(T) tại các cấu hình ảnh

hưởng đáng kể đến vùng làm việc của tay máy

song song Điều này cho thấy, khi giá trị chuẩn số

của det(T) càng tăng, số điểm làm việc của tay

máy giảm đi Tuy nhiên, khi đó độ ổn định của

vùng làm việc sẽ được đảm bảo hơn do tránh được

các vùng lân cận của điểm đặc biệt Việc xác định

các giới hạn của chuẩn số det(T) giúp cho việc

điều khiển tay máy song song đảm bảo một mức

độ an toàn trong quá trình điều khiển Việc xác

định mức độ an toàn khi điều khiển sẽ phụ thuộc

vào quá trình thiết kế, chế tạo, điều khiển của tay

máy, các sai số của tay máy như sai số chế tạo, sai

số điều khiển, sai số ngẫu nhiên,…

Qua các bài toán được khảo sát ta nhận thấy rằng,

ở bài toán thứ nhất (mục 4) - cấu hình chuẩn đối

xứng - của tay máy song song kiểu Stewart

Platform tồn tại các cấu hình đặc biệt Các cấu

hình đặc biệt phân bổ trên hầu hết các điểm đạt

được của tâm khâu ra Khi tiến hành khảo sát với

cấu hình biến thể ở bài toán thứ hai (mục 5), vùng

làm việc của tay máy song song xuất hiện nhiều

điểm lân cận cấu hình đặc biệt Để có thể loại bỏ

những vùng lân cận này, tác giả đã khảo sát với

nhiều giá trị ngưỡng khác nhau của det(T) Qua kết

quả khảo sát, có thể khẳng định rằng, các giá trị

khác nhau của det(T) ảnh hưởng đến vùng làm

việc của tay máy song song

Thể tích vùng làm việc của cấu hình chuẩn đối

xứng kiểu Stewart Platform có thể tích V=7,169

(m3) Trong khi đó, do có sự ràng buộc về liên kết

giữa các chân chuyển động, cấu hình biến thể có

thể tích nhỏ hơn V=3,9296 (m3) Tuy nhiên, xét về

bài toán điều khiển tay máy, cấu hình biến thể ưu

điểm hơn cấu hình chuẩn đối xứng kiểu Stewart do

có số điểm đặc biệt cũng như các lân cận của

chúng ít hơn Như vậy, đối với bài toán tối ưu hóa

thiết kế [27-29] và điều khiển tay máy song song,

cần xem xét đến các ảnh hưởng từ các cấu hình

thiết kế khác nhau đến vùng làm việc của tay máy

song song

6 Kết luận

Trong bài báo này, tác giả đã khảo sát và xác định tính phù hợp trong việc áp dụng lý thuyết Vít để giải các bài toán về tay máy song song Tác giả đã

áp dụng lý thuyết Vít để thực hiện việc xác định các cấu hình đặc biệt của tay máy song song với hai trường hợp tay máy song song có cấu hình ban đầu khác nhau để tìm kiếm các tập hợp cấu hình đặc biệt

Các kết quả thu được cho phép kết luận tồn tại các điểm đặc biệt trong vùng làm việc của tay máy song song Các điểm đặc biệt này có các vùng lân cận cần tránh khi điều khiển tay máy song song Khi loại bỏ các điểm đặc biệt và vùng lân cận, vùng làm việc của tay máy sẽ bị giảm đi đáng kể Thể tích vùng làm việc của các tay máy phụ thuộc vào cấu hình của tay máy, vùng khảo sát và các ràng buộc giữa các chân liên kết Các giá trị của

chuẩn số det(T) sẽ ảnh hưởng đến vùng làm việc

của tay máy song song Việc xác định các giới hạn

của chuẩn số det(T) giúp xác định các lân cận của

điểm đặc biệt của tay máy song song

Như vậy có thể thấy rằng, Lý thuyết Vít đã được tác giả áp dụng với những kết quả đáng ghi nhận trong việc xem xét các cấu hình đặc biệt và ảnh hưởng của nó đối với vùng làm việc của tay máy song song

Cần lưu ý rằng, các bài toán được khảo sát không

mô tả hết được đặc điểm, ảnh hưởng của các dạng tay máy, đối với các cấu hình đặc biệt của tay máy song song Tuy nhiên, với phương pháp được đưa

ra, tác giả đã xác định được tầm ảnh hưởng của các cấu hình đặc biệt đối với vùng làm việc của tay máy song song Việc tối ưu hóa thiết kế theo

đa tiêu chí bao gồm xem xét ảnh hưởng của các dạng cấu hình tay máy sẽ được tác giả nghiên cứu

và trình bày trong các công trình sau

Tài liệu tham khảo

[1] Stewart D, A Platform with Six Degres of Freedom, In: Pr Inst Mech Eng v.180, Pt.1,

15, pp 371-386, 1965/1966

[2] Ball, R., A Treatise on the Theory of Screws,

Cambridge at the University Press, 1900 [3] William Kingdon Clifford (1873), Preliminary Sketch of Biquaternions, Paper XX, Mathematical Papers, p.381

[4] A.T Yang (1974) Calculus of Screws in Basic

Questions of Design Theory, William R Spillers, editor,Elsevier, pages 266 to 281 [5] Roy Featherstone (1987) Robot Dynamics

Algorithms Springer ISBN 0898382300 [6]

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Poinsot.html

[7] http://maths.amatheurs.fr/index.php?page=bioc

hasles

[8] Plücker J., On a New Geometry of Space,

Philosophical Transactions of the Royal

Society, Vol 155, pp 725–791, 1865

[9] Dimentberg, F (1965) The Screw Calculus and

its Applications in Mechanics Nauka (English

translation: AD680993, Clearinghouse for

Federal Technical and Scientific Information,

Virginia)

[10] Hunt, K., Structural Kinematics of

In-Parallel-Actuated Robot Arms, ASME Journal of

Mechanisms, Transmissions, and Automation

in Design, Vol 105, No 4, 1983, pp 705-712

[11] J.-P Merlet, Parallel Robots, Kluwer

Academic Publishers, 2006, 394p

[12] C Gosselin, J Angeles, Singularity Analysis of

Closed Loop Kinematic Chains, In IEEE Trans

on Robotics and Automation, 1990, 6(3):

281-290

[13] Y.N Sarkissyan, T.F Parikyan, Analysis of

Special Configurations of the parallel Topology

Manipulators, In: Eight CISM-IFMoMM

Symp of Robots and Manipulators, Krakow,

Poland, 1990, pp 156-163

[14] D Zlatanov, R.G Fenton, B Benhabib,

Identification and Classification of the Singular

Configurations of the mechanisms, Mechanism

and Machine Theory, Vol 33, 1998, No 6, pp

743-760

[15] A.F Kraynev, V.A Glazunov, Parallel

Structure Mechanisms in Robotics, In

MERO’91, Sympos Nation de Roboti Industr.,

Bucuresti, Romania, 1991, 1: 104-111

[16] V.A Glazunov, A.S Koliskor, A.F Kraynev,

Spatial Parallel Structure Mechanisms,

Moscow, Nauka, 1991, 96p (in rus.)

[17] V.A Glazunov, A.F Kraynev, G.V Rashoyan,

A.N Trifonova, Singular Zones of the parallel

Structure Mechanisms, In Proceeding of the

10th World Congress on TMM, Oulu, Finland,

1999, pp 2710-2715

[18] V.A Glazunov, A.F Krainev, G.V Rashoyan,

A.N Trifonova, and M.G Esina, Modeling the

zones of singular positions of the

parallel-structure manipulators, Journal of Machinery

Manufacture and Reliability, Allerton Press

Inc., 2000, No 2, pp 85-91

[19] V.A Glazunov, Twists of Movements of the

parallel Mechanisms Inside Their Singularities,

In Mechanism and Machine Theory, 2006, 41:

1185-1195

[20] Victor Glazunov, Roman Gruntovich, Alexey

Lastochkin, Nguyen Minh Thanh,

Representations of constraints imposed by

kinematic chains of parallel mechanisms, In

Proceedings of the 12th IFToMM World

Congress in Mechanism and Machine Science, France, June 17-21, 2007, Vol 1, pp 380-385 [21] Victor Glazunov, Nguyen Minh Thanh,

Determination of the parameters and the Twists Inside Singularity of the parallel Manipulators with Actuators Situated on the Base,

ROMANSY 17, Robot Design, Dynamics, and Control In Proceedings of the Seventeenth CISM-IFToMM Symposium, Tokyo, Japan,

2008, pp 467-474

[22] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Lu

Nhat Vinh, Nguyen Cong Mau, Parametrical optimization of parallel mechanisms while taking into account singularities, In ICARCV

2008 Proceedings, Hanoi, Vietnam, 2008, International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision, IEEE 2008,

pp 1872-1877

[23] Nguyen Minh Thanh, Le Hoai Quoc, Victor

Glazunov, Constraints analysis, determination twists inside singularity and parametrical optimization of the parallel mechanisms by means the theory of screws, In Proceedings of

the (CEE 2009) 6th International Conference on Electrical Engineering, Computing Science and Automatic Control, IEEE 2009, Toluca, Mexico, 2009, pp 89-95

[24] Victor Glazunov, Nguyen Ngoc Hue, Nguyen

Minh Thanh, Singular configuration analysis of the parallel mechanisms, In Journal of

Machinery and Engineering Education, ISSN 1815-1051, No 4, 2009, pp 11-16

[25] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Lu

Nhat Vinh, Determination of Constraint Wrenches and Design of Parallel Mechanisms

In CCE 2010 Proceedings, Tuxtla Gutiérrez, Mexico, 2010, International Conference on Electrical Engineering, Computing Science and Automatic Control, IEEE 2010, pp 46-53 [26] Nguyen Minh Thanh, Victor Glazunov, Tran

Cong Tuan, Nguyen Xuan Vinh, Multi-criteria optimization of the parallel mechanism with actuators located outside working space, The

11th International Conference on Control, Automation, Robotics and Vision, IEEE 2010, December 7-10, 2010, Singapore

[27] Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn

Xuân Vinh, Nguyễn Ngọc Lâm, Tối ưu hóa thiết kế tay máy song song dùng thuật toán di truyền, Hội nghị toàn quốc lần thứ 5 về Cơ điện

tử, VCM2010, Việt Nam [28] Nguyễn Minh Thạnh, Lê Hoài Quốc, Nguyễn

Xuân Vinh, Nguyễn Ngọc Lâm, Tối Ưu Hóa Thiết Kế Tay Máy Song Song Dùng Thuật Toán

Di Truyền Kết Hợp Tập Hợp Tối Ưu Pareto,

Hội nghị toàn quốc về Điều khiển và Tự động hoá - VCCA-2011, Việt Nam

[29] Nguyen Minh Thanh, Le Hoai Quoc, Victor

Glazunov, Singularity Analysis, Constraint

Wrenches and Optimal Design of Parallel

Manipulators In Book chapter of Serial and

Parallel Robot Manipulators - Kinematics,

Dynamics, Control and Optimization, ISBN:

978-953-51-0437-7, 2012, pp 359-372

Le Hoai Quoc received PhD

in 1982 of the Institute of

Electronics Moscow – Russia in the Controls of Technical Systems He is an Associate Professor From

2006, he is the Deputy Director of Department of Science and

Technology, People’s Committee of HCM City;

Head of National Key Lab of Robotics in the

Vietnam National University, HCM City; Invited

Professor of HCM University of Technology, VNU From 2011, he is the President of Saigon Hi-Tech Park

His other professional activities are the Vice Chairman of Vietnam Association of Robotics; Vice Chairman of HCM City Association of Automation; Member of Board of Vietnam National Program of Mechanical Engineering and Automation KC.03/11-15 Besides, he is the Member of Committee of Vietnam National Program on Automation; Member of National Committee of Professor’s Title on Electrics – Electronics and Automation; Chairman of HCM City Program of Industrial Technology and Automation; Chairman of HCM City Program of Industrial Robots He co-authored two books and published many papers on national and international journals and conference proceedings