Trong các kỳ thi, thì không tránh khỏi việc đụng các phương trình bậc cao, cái này có vẻ nhiều đấy. Những lúc ấy rõ ràng con đường mà ta thường chọn đó là: đặt, nhóm, nói chung là đủ cách để đưa pt đó về phương trình bậc 2, 3 để giải quyết. Nói thì nói vậy, tuy nhiên chuyện đời nhiều khi không như là mơ, công việc nói trên đôi khi là ko thể nếu chúng ta không có kinh nghiệm, thủ thuật nhất định.
Trang 1Một số lớp phương trình bậc cao giải được nhờ phương trình bậc
i Nhắc lại phương pháp giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 dạng tổng quát.
ii Tìm hiểu một số dạng phương trình bậc 3, bậc 4 có cách giải đặc biệt.
iii Xây dựng một số "lớp" phương trình bậc cao giải được nhờ phương trình bậc 2 và 3.
Có lẽ phần tôi cảm thấy thích đầu tiên khi học toán ở Trung học cơ sở đó là phương trình(không phải do viết bài viết về phương trình nên mới nói như vậy đâu nhé) Có khá nhiều lý do
vì điều đó, để tôi kể vài lý do của tôi thử Lý do thứ nhất là tiện: chỉ cần giấy, viết, là có thể làmphương trình ở mọi lúc mọi nơi rồi, nếu có thêm một cái máy Casio thì càng ngon nữa - khôngnhư hình học, tôi đã quá mệt mỏi với việc phải mua thước mới, compas mới sau mỗi tuần học :[
Lý do thứ hai là không có quá nhiều sự lựa chọn, vì ở cấp 2 chưa có những thứ hấp dẫn như sốhọc, tổ hợp, phương trình hàm, chỉ có hình với đại số thôi, mà hình thì các bạn biết rồi đấy,cho nên tôi chọn ngay đại số, và trong đại số thì tôi chọn phương trình Lý do tiếp theo (để baobiện sự lựa chọn của tôi), đó là vẻ đẹp đơn giản ở hình thức của nó: chỉ cần một dòng công thứcthôi là đã đủ cho tất cả Thêm một lý do nữa, đó là thương thầy cô, tôi không muốn ngủ gậttrong lớp làm thầy cô buồn, nên đành phải kiếm gì đó để làm trong giờ học Ngoài môn toán
ra thì các môn khác tôi cảm thấy khá tẻ nhạt, còn môn hình, nếu cầm compas thì dễ bị pháthiện quá Nên cuối cùng, tôi đành chọn phương trình làm "công ăn chuyện làm" trong nhữnggiờ học trên lớp của mình Và tôi đã tìm được những niềm vui nho nhỏ trong chủ đề đó :)Nhưng
Hôm nay, tôi mới bắt đầu đánh những dòng chữ này Có lẽ khá trễ phải không? Một phần là
do điều kiện cá nhân và phần còn lại kia là do một khoảng thời gian tôi mất niềm tin vào niềmđam mê của mình Điều đó thật ngu ngốc! Tôi hy vọng bài viết này sẽ là một cột mốc, một khởiđầu cho các bài viết tiếp theo được ra đời :)
Về nội dung, bài viết bao gồm những ghi chép nhỏ của tôi hồi lớp 9, và bổ sung vào một số kiếnthức tôi học được ở Trung học phổ thông để hoàn thiện Nên bạn sẽ thấy bài viết này hoàntoàn sơ cấp Chỉ đơn giản là biến đổi tương đương, biệt thức Delta, có nghiệm, vô nghiệm, trong toàn bộ bài viết Hoàn toàn thiết vắng sự có mặt của các công cụ cực kỳ mạnh mẽ nhưResultant, Discriminant, Galois resolvent, Tschirnhaus’s transformations, Bring and Jerrard’s
Trang 2Hy vọng bạn sẽ thích bài viết này LATEX
Tiếp theo, bỏ qua những suy nghĩ cá nhân nhằng nhịt Tôi sẽ giới thiệu chung về bài viết.Trước hết là những thứ chung chung như định nghĩa phương trình, lịch sử phát triển của phươngtrình trong toán học, những nhà toán học có công, Nhưng khoan, tôi đã nghĩ lại! Điều đó khôngcần thiết ở đây lắm Vì nếu bạn yêu toán, chắc hẳn bạn cũng sẽ thích đọc lịch sử toán học Việcnhân loại đã giải phương trình bậc 2, bậc 3, bậc 4 như thế nào, mất bao nhiêu lâu, chắc hẳn
đã quá rõ ràng Và những tên tuổi gắn liền với lịch sử khởi tạo, phát triển đối tượng đó nhưNiccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano, Lodovico Ferrari, Niel Henrik Abel, Évariste Galois, lạicàng rõ ràng hơn nữa! Cho nên: chúng ta nên bỏ qua các yếu tố mang tính sử thi và bắt tayngay vào bài viết Có một số điểm sau:
1 Bài viết sẽ trình bày theo mạch ý tưởng Nhiều thứ đơn giản - hiển nhiên vẫn được trình bày,
và lặp đi lặp lại để kết nối các phần với nhau nhằm tránh "Tại sao lại nghĩ được như vậy" Bàiviết sẽ hoàn chỉnh hơn
2 Bài viết này thiên về tính lý thuyết hơn là kỹ thuật Sẽ không có một ví dụ cụ thể nào đểminh họa cho phần mới trình bày Bởi vì các "lớp" hàm đa thức trong bài viết phụ thuộc vàocác tham số, nên việc tự cho ví dụ là quá dễ dàng Hơn nữa, tôi cho rằng lớp các hàm đa thứcbậc n đã quá rộng so với các dạng đa thức bậc n nào đó rồi, nếu cho ví dụ có số cụ thể sẽ làmyếu đi tiêu đề bài viết rất nhiều phải không? :p
3 Một điều khác là Điều kiện cần - điều kiện đủ đôi khi không được trình bày rạch rồi songsong với nhau lắm trong bài viết này Vì sự tương đương của các phép biến đổi đại số trên đathức không làm ảnh hưởng tới điều đó cho lắm, hơn nữa, mục đích của phần chính là tìm, làxây dựng, nên tôi cho rằng chỉ cần một chiều là đủ, phần còn lại xin nhờ bạn đọc kiểm tra lạigiúp
Cuối cùng, do lý do thời gian và hạn chế về kiến thức, nên bài viết đầu tiên này không thể tránhkhỏi sai sót (chắc là khá nhiều)
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi đến hộp thư Nguyenquanbahong@gmail.com
Remark: Bài viết xin lược bỏ lý thuyết về phương trình bậc 2 quen thuộc (thật ra là để
số mục bằng với số bậc cho đẹp )
Sau đây, chúng ta cùng bắt tay ngay vào phương trình bậc 3 cho nóng
Trang 3Chúng ta có thể chia 2 vế của phương trình cho a0 để thu được dạng chính tắc:
x3+ Ax2+ Bx + C = 0 (2)Tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu một số dạng đặc biệt của phương trình (2)
3.1 Khi biết 1 nghiệm
Problem 1: Giải phương trình bậc 3 khi biết 1 nghiệm của nó
Phương trình bậc 3 mà đã biết 1 nghiệm thì chẳng qua chỉ là phương trình bậc 2 thôi, ta
có thể xử lý như sau:
Giả sử bằng cách nào đó (bấm máy tính chẳng hạn), ta biết được một nghiệm x0 của phươngtrình (2) Khi đó, sử dụng sơ đồ Horner quen thuộc để viết lại (2) thành:
(x − x0)[x2+ (x0+ A)x + (x20+ Ax0+ B)] = 0 (3)Ngoài nghiệm x = x0, (2) còn có 2 nghiệm phức nữa là nghiệm của phương trình bậc 2:
x2+ (x0+ A)x + (x20+ Ax0+ B) = 0 (4)Xét phương trình (4) có ∆ = A2− 4B − 3x2
Trang 43.2 Phương trình bậc 3 có nghiệm bội
Problem 2: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có nghiệm bội thực
? Trường hợp (2) có nghiệm thực bội 3 là a:
f (x) = (x + a)3= x3+ 3ax2+ 3a2x + a3 (5)Đồng nhất hệ số của (5) với (2): A = 3a, B = 3a2, C = a3 Dễ dàng suy ra
A3
=
rB
3 =
3
√C
... dụng phương trình bậc có Delta bình phương
Problem : Tìm lớp phương trình bậc giải nhờ sử dụng phương trình bậc có Deltabình phương
Sau ý tưởng Delta bình phương
Xét phương trình. .. phương trình bậc có số nghiệm tạo thành cấp số cộng.Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc có số nghiệm tạo thành cấp số nhân.Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc có nghiệm thực số: ... rõ phần tổng quát
Sau đây, tìm hiểu số dạng phương trình bậc quen thuộc
Problem :Tìm lớp phương trình bậc giải cách giải lần phương trình bậc
Có lẽ phần thường dùng thực hành