bài tập cơ bản và nâng cao theo chuyên đề toán trung học phổ thông tổ hợp xác xuất và số phức

Gidi phuong trình, hợp, số tổ hợp và hốn vị tất phương trình liên quan đến số chính Phuong phép giải : Dễ giải các bài tốn thuộc loại này, ta tiến hành theo bude san đây — Dặt điểu Kiện

PHAN HUY KHÁI

PHAN HUY KHẢI

BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO THEO CHUYÊN ĐỀ

Cho tập hợp A gồm n phần tit (n 2 1) Khi sắp xếp n phần tử này theo một thứ

tự nào đó, ta được một hoán vị các phần tử cũa tập hop A

Số tất cã các hoán vị của tập hợp A sẽ kí hiện là E„

Ta có P„

ở đây nf — 12 , 5) Chữnh hop

Cho tập hợp A gồm n phần tir (a > 1) và số nguyên k với 0 < k < n Khi lấy

xa k phân tử cũa lập bợp A và sắp xếp chứng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tir ofa A

Chủ lập hợp À gồm ø phân tử (n > I) Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A,

40 Zk-< n), được gọi là một tổ hợp chập k của n Phẩn tử cũa Á

Số tết cả các lở họp chấp k của n sẽ kí hiệu là €Ẻ

al (n—ktkI

*, vdi moi 0 <k <n, nngnyén dương, k nguyên không âm

we Che CE, wie 1<k <n, ka mguyen,

Dé phan biệt chỉnh hợp và tổ hợp ta cần hài ý đến nhận xét sau

ˆ_~ Chỉnh hợp là cách chọn k phản tử Irong n phần tử mà “quan tân" đến thứ tự

sắp xếp

Tổ hợp là cách chọn k phần tử trong a phẩu tử mà “không quan tâm” đến

thứ tự sắp Xếp

Vice phan biệt đúng lúc nào đấy

trọng Nếu chọn nhằm cách sử dụug, chỉnh hợp, lúc nào đãy tổ hợp là rất quan t quả phép tính đĩ nhiên sẽ hoàn toàn khác

2 CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

LOẠI 1 Các bài tập tính giá trị của các biểu thức có chứa các đại Tượng vẻ số chính họp, số tổ hợp, số hoán vị

Phuong pháp giải : Để tính được giá trị của các biểu thúc này chỉ cần thuộc

các công thức tinh B,, AK, CE và thực hiện thành thạo các phép tính vẻ hiến đổi

Số nguyên)

Vay tap xác định của hàm số fú) là (2

của hàm số f0 tà |CỘ ; Cÿ : C‡ ; Cổ ; C§ ; CỊ 6:7: 8; 9], do đó miễn giá tủ

%+I>0 x*2z0 | fxe-t +2>x+L |x>i

.e#

Vay mién xée dinh cũa hàm số là D = {1 ;

Miễn gid ti của hầm số là {f() : fG) : R3) ; 4)

‘Vidu 7 1, Rut gọn biển thức S„ =

ata ~ Hin = 2(a — 3)

2 Ap dung : Khi = 1004, hi Synq = 1000? — Loaonnd

LOAL 2 Gidi phuong trình,

hợp, số tổ hợp và hốn vị

tất phương trình liên quan đến số chính Phuong phép giải : Dễ giải các bài tốn thuộc loại này, ta tiến hành theo bude san đây

— Dặt điểu Kiện để bất phường trình, phương tảnh cĩ nghũa Ngồi các điều kiện bình thường đối với mọt phương tình, bất phương trình nĩi chủng, cần đặc biết lưu ý các điều kiện sau nĩi về sự tổn tại các xố tổ hợp, số chỉnh hợp, xố họn vị, Cụ

thé AS.CK.b, oo nghia khi n nguyên đương, k nguyên khơng am va 0 Sk <n,

— Sử dụng các cơng thức tính A},CR,P„ để quy phương trình, bất phương

trình bạn đầu về các phương nình, bất phương tình đại xố quen thuc

— Đối chiến với điều kiện đặt ra ở bước 1 (căn đặc biệt lưu ý các điều kiện vẻ tính nguyên cửa nghiệm) để loại bỏ bớt các nghiệm ngoại hủ

Ví du 1 Giải phương tình 2P„ + 6A2 — PyA2 =12,

Giải

Xét phương trinh 2P, + 6A2 ~ P,A? = 12 a)

Điều kign fd (1) c6 nghis fh n= 2, ne Z @

(Gday Z 1a tap hợp các số nguyên),

ay (n~2} (n~2)!t

"Đối chiếu với điều kiện (2), thì

'Vậy (1) cô hệ nghiệm n =2 và n

Xét phuong tinh CZCR~* + 2032 + C3c® 3 = 10 ay

` Điểu kiện để (1) có nghĩa là n > 3, ne 2 @

Áp dụng hệ thúcC}: = CR~ 0 < k < n ta đưa (1) về đạng tương đương sau

Giải Xót nhương trình Có + Cả = 3Cỗ„¡ a

-Đối chiều với điều kiện (2), thì giá trị n= - bị loại

"Vậy n = 6 là nghiệm duy nhất của (1)

Chế ÿ : Tả cố thể giải (1) như sau :

"Ta thu lại kết quả trên

‘Vi du 4, Giải các phương trình

D Pia = 720030, 5: als ad sont;

Viyn=7hi \ghiệm duy nhất của (2)

“Chó ý : Di nhiên (2) có thể giải như sau :

'Vậy nghiệm của (1) la

Mã —I s y < x tức là (1) cổ các nghiệm sau:

(8:7); (3; 6), (8: 5), (8; 4), (8; 3),(: 21 (8; 1).(8:0).(8; 1) (thành phần trước là x thành phần sau là y)

‘Vay (1) có nghiệm duy nhất x = 11

4) Xót phương trinh P,A? + 72 = 6(A2 + 2P,) @) Điều kiện để (1) có nghĩa là: x > 2, x eZ,

Xét phuong tinh Ch + 6C2 +6C} - on? — 14n a)

Ta có areas = 0n” — lần

© ns 3ngn—1) + (n — 2)(n — l)n = nn 14) ®

B

Giải Xết phương trình 3CẬ ~ Az,y — 7 — Ú« a

* /n>2 Điều kiện để (1) có nghĩa là ‹n+l>2<»n>2,n+#- „ Q)

Đổi chiếu với điễu kiện (2) thì giá tr n

duy nhất thoả min (1)

14

TRỢ) & (9 suy m 2< š TẾ anew hay ne | 6)

Vay (5) 1 tgp hop ất cả các số mbit thod man (1),

Vidy 9 Giải bất phương tình 2 A3, — a2 <£c3 —10,

Giải

Xét bất phường trình 2 A3, = A2 < CẢ + 10, 2 a a

‘Vay nghiệm của (1) là n > 6, n e2

LOẠI 3 Chứng minh các hệ thức về các số chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp

Phương pháp giải : Để giải các bài toán thuậc loại nầy chỉ cần thuộ công thức tính các số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán xị, các tính chất của các số này, Dĩ nhiên cần sử dựng thành thạo các quy lắc biến đổi biểu thức đại số và các phương pháp chứng minh hệ thức đại số đã biết từ cấp hai

16

Yí dụ 1, Cho k > 2 và ¡là các sổ tự nhiều Chứng trình rằng

n‡2 „ An‡E - k2ẠN Ante + Aude = AN

Giải Biến đổi vế trái (VT) của đẳng thức cần chứng mình ta số

2) Cho n > k+ 1 >0, n, k là các số tự nhiên Chứng mình hẻ thúc

ack = ce 4 nck + xck

Giải 1) Biến đổi vế phải (VP) của hệ thức cẩn chứng mình, ta có

-Ví dụ 3 Cho n, k là cấu số nguyên và n > k > 3 Chứng mình hệ thức

Cũ +3CE pack? + CR3 C2,

Giải

Sit dung cong thie Ch = Ch) + CA} voi n > k + Ï (k > 1), và biến đổi vế

phải của hệ thức cần chứng minh, ta có

Led check okt

‘Vidu 6 Cho n nguyên đương, chứng minh bất đẳng thức YP, <

Tar6 VI=-—T TS TT TM (OG KE RG Ne! cọ

oi (a HIKE = K)= —_Wek) _ Œ = )Œ — E)!

3 CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO

LOẠI 1 Giải hệ phương trình, bất phương trình liên quan đến các số chỉnh hợp, số tổ hợp và số hoán

Phương pháp giải : Để giải các bài toán thuộc loại này te sử dụng phương pháp như đã trình bày trong loại 2 mục 2 nói trên Lưu ý rằng vì ở đây xét hệ phương trình (hoặc hê bất phương trình) nên dĩ nhiên ta sử dụng các quy tắc kết hop nghiệm quen biết của việc giải hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình nối chung

'Ví dụ 2 Tìm các số tự nhiên x.y thoả mãn hệ phương trình sau day

K

eo ` (x-3Mx- 2) 20 5x +6)

K=7 x+42 0| 6

Vay he đã cho có nghiệm là x =7 ; y =3

Đó là cập số ự nhiên duy abst can sim,

a

Vi du 3, (Dé thi tot nghiệp THPT — 2004)

Don, k>0, nên điều kiện là n >, n, k là các số tự nhiên @

+ Nến n=3, Ta có

@) 786k) < 60 © 4—k < SỐ ca TỐ, 56 56

Ket hop vik <3 suy ak =3,

"Tóm lại nghiệm của (1) là các cặp (n k) san đây

2

LOẠI 2 Các bài toán dẫn đến việc giải phương trình, bất phương trình với các số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán vị

Các bãi toán trong mục này ngay từ đầu chưa có dang phương trình Phương trình chỉ xuất hiện sau khi ta diễn giải các yêu cầu của đầu hài thành dang phương trình (giống như trong các bài toán “giải bài toán bảng cách lập phương trình” đã biết từ cấp hai)

Phương pháp giải :

Chọn ẩn số (Âu là số nguyên không âm)

dụng các yêu cầu của đầu bài để biểu thi các đại lượng clua biết khác

theo ẩn và đến dạng các số tổ hợp, hoặc số chỉnh hợp, hoặc số hoán vi

— Lập phương trình Với ẩn đặt ra Đó sẽ là một phường trình với các số tổ hợp,

số chỉnh hợp hoặc số hoán vị,

Giải phương trình đó sẽ đí đến kết quả cần tìm

‘Vi du 1, Cho tập hợp Á pốm n phẫu tử, n > 7 Tìm n biết rằng số tập hợp con gồm 7 phẩn tử cũa A bang hai lân số lập hợp con gồm 3 phân tữ của A

Giải

“Ta thấy số tập hợp con gồm 7 phẫn tử của A là Cả, cònCả sẽ là số tập hợp

con có 3 phần từ cũ A, Theo bài ra la có phương trình sau :

Don nguyén 2 7, néa (2) 9

n=11 n=-2n-11 @on27)

"Ta thu lại kết quả trên :

`Ví dụ 2 (Để tH tuyển xinh Đại học, Cao đẳng Khối - 2002)

Cho đã giác đểu ÁjA2 A+„( 2) nội tiếp đường tròn O Biết rằng số tam siác c6 3 đỉnh trong 2n điểm A.As A2, gấp 20 lần số hình chữ nhậi cố 4 đỉnh

trong 2n dim Ay Ag Agg- Tim a

Một đa giác đều 2n dinh, thì có n dường chéo Â%

xuyên tâm Cứ hai đường chéo xuyên tâm thì lập

mộ: hình chữ nhật có 4 đỉnh nằm trong 2n

điểm A¡;Àa: : Aa, Vì thế số hình chữ nhật

'Điễu kiện để (1) có nghĩa là a-> 2; n € Z

On)! _.ọ nỈ Œn-3J3! ^ (n~2)

'Vậy n= 8, tức da giác đều đã cho là thập lục giác đều

Vi du 3, Cho hai đường thẳng song song đ; và dy Trêu đường thing dy có

10 điểm phân biệt, trên đ; có n điểm phân biệt Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n

2

Giải

Có hai loại tam giác

— Một đình trên dị, hai đỉnh trên dạ He

Hìh 2

— Hai đỉnh trên d,, một đình trên dạ,

Đo có Củycách chọn hai đỉnh trên dị đà CÍ cách chọn một đỉnh trênđ;„ nen

số tam giác loại này là C#yC}, — nCJp

‘Theo bai ra ta có phương trình : 10C? + nCịa = 2800 a

Điền kiện đặt ra với (1) là n > 2,n € Z Gj

Vay tren đạ có 20 điểm

Vidu 4 (Dé thi tuyén sinh Đại học, Cao đẳng Khối B - 2006)

Cho tap hop A gém n phần tử (n > 4) Tìm K e |{], 2 , n} sao chủ số tập hợp con g6m k phần tử của tập hợp A là lớn nhất, biết rằng số tập hợp con gồm 4 phẩn từ của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phẩn từ của A

‘Vay lập hop A c6 18 phẩn tữ Bảy giờ bài toán trờ thành :

Tim gid trị lớn nhất của Cử: với k €

Bay giờ từ (9 có max Cặy = Của (1 <k# 18)

‘Vay số tập hợp con gồm 9 phần tử của A là số tập hợp con lớn nhất (số đó là

“5582 tập hợp con gồm 9 phần tử của A)

Nhận sét : Như vậy bài toán đã cho dẫn đến việc giải một phương tình và hai

1OẠI3 Chứng minh các hệ thức vẻ số tố hợp, số chính hợp và số hoán vị

“Phương pháp giải : hương pháp giải các bài toán thuộcloại aay tương tự như Phương pháp đã trình bày trong loại 3 ở mục 2 Ỡ đây trong một số bài có thể sử:

‘lung dén phương pháp quy nạp toán học (nếu thấy cần thiết),

Ví dụ 1 Chứng mình rằng với mọi số tự nhiên n > 2, ta có bệ thức sau :

“Theo nguyên lí quy nạp toán học suy ra điều phải chững minh

Vi dụ 2 Cho số nguyên n > 2 Chứng minh hệ thức

VP= ly LKP,

XŒ+1)— KH 9l} = C+ DY Py

_Vậy hệ thức cần chứng minh cöng đồng khi n =

“Tbeo nguyên lí quý nạp suy ra điều phải chứng minh

‘Vi du 3 Ching minh ring véi moi nguyên, n > 1, ta cổ :

Bat 2.Chon>m>0; n,m eZ Chứng mình ring mel = act!

Bài 3 Cho n > k > 4,n,k e Z Chứng minh ring

Cÿ +4CE"T ~6CE"? + ack? 4 cht

Bai 4 Tim số tự nhiên k thoả mãn hệ thức Cự, + CRị” = 2

30

‘Bai 5, Giải các phương trình sau :

1) Px? — Pạx =8 3) AŠ +5A2 = 2(x + 15)

2) 2A2 +50= Aễ, 4 CR =5A3:6

Tài 6 Giải các bất phượng trình sau :

Bài 7, Giải hệ phương trình CŸ ¡ : CY! cy!

Bài 8, Giải hệ phương tình (A}_¡ + yA3~F); A}U =10:2:1

Đáp số và hướng dẫn giải bài tập

Bài 4, Đáp số : k= 4 hoặc k = 8

mais ipsa [FE x=4 2x=5

Bài 6, Đáp số : 1) n= 3 hoặc n=4 hoặc n= 5 2)n=5, 6,7,8, 9, J0,

Giả xử một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B

Có n cách thực higm phương én A con phương án B có thể thực hiện theo m cách Khi đó cong việc có thể thực hiện bởi m + n cách

Mỗ rộng quy tắc trên, ta có quy tắc cộng cho một công việc có thể thực hiện theo một trong k phương pháp À,Áz, Ay Giả sử phương ấn A; có thể thực

"nhân là các quy tắc chính toán chính của Dại số tổ hợp

a

KW 6 [Ay Ag Ga Ag] = [Ai] + a] ta [Ag day que [AG]

bien s6 luong phién vit via tap hap A; i= Lk: edn [Ay AD UU Ag] Ia 6h

Iweng phan tir cia ap hop Ay U Ay U WAg

b) Quy tée nhin

Giả sử mội công việc nào đó bao gồm hai cong doan A va B Cang doan A có thể lầm theo m cách Với mỗi cách thực hiện cộng đoạn A, thì công đoạn lồ có thể Tầm theo n cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo m.n cách

MG rộng tụuy tắc trên, ta có quy tắc nhân cho một công việc bao gồm nhiều công đoan nhĩr sau

Gia sir mot công việc nào dé bao gồm k công đoạn Ai, A„,

Ai cổ thể làm theo ; cách Với mỗi ch thực hiện công doan Ay, thi công đoạn why» Công đoạn _A; có thể lầm theo nạ cách, tiếp đến công đoạn Á; có thể làm theo nạ cách,

LOAT 1 Sử dụng nhường pháp trực tiếp để giải các bài toán về phép đếm

Thương pháp giải : Phường pháp này giải quyết trực tiếp các yêu cấu bài toán dara

Nối cách khác "hỏi gì, đếm nấy” là nội dung của nhương pháp này Dựa vào Yên cầu dấu bài a lựa chọn hoặc quy lác cong, hone quy tắc nhân một cách thích hợp để giải Đặc biệt lưu ý sữ dhụng các phép tính sở tổ hợp, số chỉnh hợp hoặc số hoáp vị cho chính xác

Xeenhắc lại : Khi đếm nếu không quan tăm đến thứ tự thì ta dùng Số Tổ Tiợp, còn nếu quan lâm đến thứ tự thì ta đờng Số Chỉnh Hợp (nỗi tiêng lä Số Hoán Vị),

32

viên nam , 4 uỷ viên nữ,

:ập hợp cách thành tập hội dống theo bai cách trên, Và Á là tập hợp cách think Sp hội đồng thoả mãn

Tach AL AYU Ag: ALO Ay =

.Ví tụ 2 (Để thi tuyển sinh Đại học Cao đắng khối E

“Trong một môn học, thầy giáo có 30 cầu hỏi xhác nhau gồm 5 câu hỏi khó 10 câu hồi trung bình 15 câu Rồi đê Tự 30 c&u hồi đô có thể lập được bao nhiều để kiểm tra, môi để góc 5 cau hi khác nhau, sao cho trong trôi để nhất thiết phả¡ có

đủ 3 loại cáo hỏi và s câu hỏi đễ không á hơn 2

Từ (1) ta có |A| — 56875 cách chọn để kiểm tra

‘Vi dy 3 C6 5 nhà toán học nam, 3 nh toán bọc nữ và 4 nhà vật lí ram Cần lập đoàn công túc 3 người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và nhà vật lí Hỏi

cổ bao nhiêu cách lập đoàn ?

Giải

Chi có 3 khả năng sau để lập đoàn công tác :

1) Một nhà toán học nữ, một nhà vật lí ram, một nhà toán học nam

“Theo quy tắc nhân, số cách chọn này là CỤCCI, = 60,

3) Một nhà toán học nữ, hai nhà vật lí nam,

‘Theo quy tắc nhân số cách chọn này là

3) Hai nhà toán học nữ, một nhà vật lí nam

“Theo quy lắc nhân, số cách chọn may Ta CC) = 12

“Theo quy tắc công, số cách lập đoàn công tác là 60 + 18 + 12

90 cách Vay có 00 cách lập đoàn công tác

Ví dụ 4 Trong một tổ học sinh của lớp 12A có Ñ nam, 4 nữ Thấy giáo muốn chen 3 bọc sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phái có ít nhất học sinh nam Tồi thấy giáo có thể có bao nhiều cách chọn ?

Giải

Gọi Ay 1k tập hợp cách chọn học sinh trực nhật, trong đó có 1 nam, 2 nữ

‘Ag là tập hợp cách chọn 2 nam, Ì nữ và Ay là tập hợp cách chọu 3 nam để làm trực nhạt lớp Gợi A là tập hợp cách chọn 3 hoc sinh trực nhật theo yêu cầu

“Ta có Á = Ai vở À2 v2 À3, trong đó Ay, A2 Á dôi một ri nhau,

Từ (1), ta có |A| =48 1 112 + 56 = 216 cách phân công trực nhật

Ví dụ 5 Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm Š chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1, 5 3

Giải

Tà sử dụng quy tắc nhân để giấi bài toần trên như sau :

Bước 1 : Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí dể đặt 1 và 5, Việc lựa chọn này phụ thuộc

cũng phụ thuộc vào thứ tự của vị tí Vay số

‘Theo quy tắc nhân, số các số được lập là n

tị; — 20:60 = 1200 số,

Ví dụ 6, (Để thị tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B- :2005)

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gém 12 nam, 3 nữ Hỏi có bao nhiên cách phân công đội thanh niên tình nguyện đồ về giúp đỡ 3 tỉnh miễn nói, sao cho mdi tỉnh cổ 4 nam, nữ }

‘Tém lại có 207 900 cách phân công

Ví dụ 7, Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyển sách tiếng Anh khác nhau và 6 quyển sách iếng Pháp khác nhau Hỏi có bao nhiên

cách chọn 3 quyển sách với hai rhứ tiếng 7

Giải

Gọi A¡ là tập hợp cách chọn 3 cuốn sách gốm hai thứ tiếng Việt và Anh

Az TA tap hap céch chon 3 cuốn sách gém hai thứ tiếng Việt và Pháp z là tập,

‘Ag là tập bợp cách chọn 3 cuốn sách gdm hai thứ tiếng Anh và Pháp

“Gọi A {2 céch chon 3 quyển sách gồm hai thứ tiếng, ta có

A= ALU Ag Ag, trong dé Ay.Ag, Ay doi một rồi nhan

“Theo quy tắc cộng, tacé |] = JAy| L|As]| + lAa| ay

có lai cách chọn 3 cuốn sách gốm lui thứ tiếng,

— Hoặc là 2 quyển liếng Anh, Ì quyền tiếng Việi

‘Then quy lắc cộng và quy tác nhân, thì

"Vậy có 1348 cách chọn 3 quyển sách trên giá theo yêu cấu

Yí dụ Ñ Giữa hai (hành phẩ À và T! có 5 con dưỡng đi Hỏi có bao nhiều cách

đi tt A đến lšrồi trở về A mà Không có đường nào được dĩ hai lần ?

Vi du 9 Mot top học có 50 học sinh Cần phan cong 4 ban quét sản trường và

3 hạn xén cây, Bằng hai cách đềm khác nhau hãy ching minh đẳng thức

1) Ngồi chỗ nào cũng được?

2) Nam sinh và nữ sinh ngồi xen kế?

1) Đây chính là số hoán vị của 5 người (mỗi cách hoãn vị 5 người chính là một cách sắp xếp chỗ ngổi) Vậy số cách xếp trong trường hợp này là 5! = 120 2) VI ngồi xen kế nên cách xếp li : Nam Nữ Nam Nữ Nam

Bute: : Sip xép chỗ ngồi cho 3 nam sinh Số cách xếp là 3! = 6

Bude 2 : Sắp xếp chỗ ngồi cho 2 nữ sinh §

cách sếp là 2| =2

“Theo quy tắc nhân, số cách xếp chỗ ngồi là n = mịn; = 6.2 — 12,

Vi du LL Gieo đồng thời 3 con sức

số chăm trên mặt xuất hủ

Bài toán được giải bằng quy tắc nhân sau :

Bude 1: Chọn 3 số mà tổng bằng 9 như trên Có 3 cách chọn

Buác 2 : Với mỗi cách chọn 3 số cổ nạ = 31! ~ 6 cách ra chấm trên 3 con sóc sắc Theo quy tắc nhân số trường hợp xây ra là n ~ nạn; — 3⁄6 — 18

LOẠI 2 Sử dụng phương pháp gián tiếp để giải các bài toán về phép đếm Phương pháp giải : Phường nhấp này dựa trên nguyên lí "Đểm những cái không cần đếm, dể biết những cái cần đếm” Nói cách khác theo ngôn ngữ của lĩ thuyết tập hợp, thì phương pháp gián tiếp thực chất dựa vào "phép lấy phần bù”,

‘Nhu vay ta cần tiến hành theo ba bước sau :

~ Đếm loàn bộ tất cả các khả năng có thể xảy ra, giả sử số khả năng đó là X,

— tiểm các khã năng không thoả mãn yêu cầu đễ bai, giả sử số khả năng đó là ¥

— Hiệu X — Ý là số các khả năng thoả mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 1 Mội người có 7 áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cà vạt trong đó có 3

cà vạt mầu vàng, Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn bộ áo -

chọn áo trắng thì không chọn cà vạt vàng ?

cà vạt nếu như đã

Giải Goi A là tập hợp tất cả các cách chọn bộ áo ~ cà vạt, Theo quy tắc nhân, ta có

Gọi C là lập hợp cách chọn bộ áo - cà vạt theo đúng yêu cầu (đã áo trắng tht

cả vại không văng) Tá có A - BUC; BNC =i

‘Theo quy lắc cong thi [Al = |B{ ¡ {cl :2 |Cl = lal IB] =

'Vậy có 29 cách chọn bộ áo — cà vạt (heo yêu cầu để ra,

Vi du 2 (Dé tin tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối Ð - 2004)

Đội thanh niên xung kích của một trường nhổ thông cố 12 học sinh gồm Š học sinh kip T, 2 học sinh lớp J, và 3 học sink Ip H Cin chọn 4 học sinh dị làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp trêu Hồi zó ba nhiêu cách chọn như vậy 2

Giải Gói Á là tập hợp mọi cách chọn 4 học sinh trong 12 bọc sinh

a Goi B fi tap hop moi cách chon 4 hoc sinh sao chơ có đủ mặt học sinh 3 lớp (thư vậy B Le lập hợp mọi cách chọn 4 hoc sinh Khong thes min yêu câu đầu bài) Muốn vậy là phải chon 1 lớp có 2 học sinh, mỗi lớp còn lại chọn 1 học sinh

“Gọi C là tập hợp sách chon 4 học sinh thoả mãn yêu cầu để ra

ROring A = BUC: BAC = 2, vậy theo quy tắc cộng ta có

lAl=ls{+ lcl= |l=|Al- 8l @)

Thay (1342) vào(3), ta có |C = 495 - 270 = 225,

"Như vậy số cách chọn là 225

Nhận xé! Ta gi ụ trên bằng "phương pháp trực tiếp

Gọi A là tập hợp cách lựa chọn 4 học sinh chỉ từ một lớa Dễ thấy Ibeo quy

ác cộng |Á| = C§ + C‡ = 5+ =6, ay

ai

(hoặc chọn 4 học sinh lớp T, hoặc chọn 4 học sinh lớp L)

oi B 1a tap hop cách lựa chọn 4 học sinh từ 2 lớp Khi đó theo quy tắc cộng

thoặc chọn 3 học sinh lớp T, 1 học sinh lớp L, hoac chon mai lớp T, L 2 học sinh, hoạe chọn | hoc sinh lớp T, 3 học sinh lớp L.)

Toàn toàn tương tự, tạ có

Theo quy tic céng t 66 [D] = |

‘Thay (1), (7) vio (8) và 66 [D| — 6 + 219 — 225 ‘Ya thu lai kết quả trên

Các bạn tự bình luận về tính hugu qua của trợng phương phấp

Vi du 3 Ở một trường tiểu học có 50 em là bọc sinh giỏi xuất sắc, trong đó

có 4 cấp anh em sinh: đi Cân chọn ra 3 học vinh trong số 50 em trên để đi dự trại

hè Hồi có bao chiêu cách chon ma troag nhóm 3 em được chọn không có cặp sinh đổi nào ?

Giải

Goi A là tập hợp cách chọn 3 em tuỳ ý trong 50 em, ta co Lal = CZ, = 19600 Goi B fa tap hợp cách chọn 3 em trong số 5 cụm, trong đó có Ì cặp snh đôi (gr © BH Lin ip ou tn ft sé sử dựng quy te nhan de ti ee fa ia

Bude I : Chon cap sinh doi, $6 each chon 1a ny — 4

Bước 2 : Chọn 1 em còn lại trong 48 em Số cách chọn Ha ny = 48

Vay [Bl = nạn; = 4.48 = (92 *~ BUC ,62€ =ở — lAI= I61+ le o> IC) 211-161 5 1300-192 = 19409

Kết luận : Số cách chọn 3 em theo yêu cầu là 1720

“Nhận sót : Các bạn hãy thừ giải lại ví de trên bằng "phương pháp trực tiếp” để thấy rõ sự hiệu quả của "phương pháp gián tiển” đối với ví dụ này,

hụ 4 C6 ï2 cây giống thuộc 3 ioại : cam, chanh, quít trong đó có 6 cam, 4 chanh, 2 quit Cén chon ra 6 cây giống để trồng sao cho có đủ 3 loại cây Hỏi có Đao nhiều cách chon cáy giống như trên ?

41

Giải Goi A là tập hợp tất cả các cách chọn 6 cây giống trong F2 cấy Khi đó ta cổ

|ãi= Cũ - 924 a Gọi B là tấp hợp các cách chon 6 cí

fing không đủ 3 loại Khi đố B= By UB, By UB, (2)

G day B),B.B5,Bg tuong img 1a tap hợp cách chọn 6 cây toàn cam ; 6 cây

gốm hai loại cam - chánh ; cam - guít; chánh - gut

Tiển nhiên ta 66 |By| = C8 =1 @

"Theo quy tắc cộng và nhân, ta có

Vay có 682 cách chọn 6 cây giống theo yêu cầu

“Nhận xót + Xết cách giải bằng “phương pháp trực tiếp” thí dụ trên ¡

4) 1 quýt, 1 cam, 4 chanh,

5)2 quýt, 3 cam, Ì chanh