tóm tắt luận văn thạc sĩ kỹ thuật THIẾT kế điều KHIỂN bộ BIẾN đổi DC DC GIẢM áp sử DỤNG PHƯƠNG PHÁP cận TUYẾN TÍNH NHỜ PHẢN hồi TRẠNG THÁI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP ---LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGÀNH: THIẾT BỊ, MẠNG & NHÀ MÁY ĐIỆN ĐỀ TÀI: THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN BỘ BIẾN ĐỔI DC-DC GIẢM ÁP SỬ DỤNG PH

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP

-LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

NGÀNH: THIẾT BỊ, MẠNG & NHÀ MÁY ĐIỆN

ĐỀ TÀI:

THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN BỘ BIẾN ĐỔI DC-DC GIẢM ÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP CẬN TUYẾN TÍNH NHỜ PHẢN HỒI TRẠNG THÁI

Học viên: PHẠM THỊ THUỲ LINH

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN PHÙNG QUANG

THÁI NGUYÊN 2010

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: Phạm Thị Thuỳ Linh

Ngày tháng năm sinh: Ngày 15 tháng 07 năm 1984

Nơi sinh: Thành phố Thái Nguyên - Tỉnh Thái Nguyên

Nơi công tác: Trường Cao đẳng nghề Cơ điện & Xây dựng Bắc

Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn này là trung thực và là công trình nghiên cứu của tôi, chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Thái Nguyên, ngày 06 tháng 8 năm 2010

Tác giả luận văn

Phạm Thị Thuỳ Linh

MỤC LỤC

1.1.1.1 Sơ đồ biến đổi DC-DC không cách ly 8 1.1.1.2 Sơ đồ biến đổi DC-DC có cách ly 9 1.1.2 Các sơ đồ bộ biến đổi DC-DC không cách ly 10

1.2 Mô hình bộ biến đổi giảm áp (the Buck converter) 13

1.2.4 Mô hình mẫu bộ biến đổi DC-DC giảm áp 19Chương 2: PHƯƠNG PHÁP CẬN TUYẾN TÍNH PHẢN HỒI TRẠNG THÁI 20

2.1 Tuyến tính hoá trong lân cận điểm làm việc 21

Phân tích tính ổn định nhờ mô hình tuyến tính tương đương

Phân tích tính ổn định nhờ đa tạp trung tâm

2.3 Thiết kế bộ điều khiển tĩnh, phản hồi trạng thái gán điểm cực 38Chương 3: CẤU TRÚC ĐIỀU KHIỂN BỘ BIẾN ĐỔI DC-DC GIẢM ÁP 42

4.2.1 Bộ điều khiển cận tuyến tính phản hồi trạng thái 50

MỞ ĐẦU

Hiện nay vấn đề năng lượng và mụi trường là vấn đề rất quan trọngtrong đời sống sản xuất và phỏt triển kinh tế xó hội trờn toàn cầu Với sự phỏttriển của khoa học cụng nghệ, con người đó sử dụng được những nguồn nănglượng sạch từ tự nhiờn như năng lượng giú, mặt trời, thuỷ chiều… Ở ViệtNam hiện nay cũng đó bắt đầu sử dụng những nguồn năng lượng này trongviệc giải quyết bài toỏn năng lượng quốc gia Những nguồn năng lượng trờn

đó cung cấp một lượng năng lượng lớn đỏp ứng nhu cầu của con người.Nhưng chỳng ta mới sử dụng một phần rất nhỏ, chưa khai thỏc triệt để tiềmnăng sẵn cú của nú Nguồn điện tạo ra là nguồn nờn nú cú khả năng lưu trữđiện đú thường cú biờn độ cố dịnh, khụng được điều khiển Vỡ thế gặp rấtnhiều khú khăn trong việc cung cấp nguồn điện cho cỏc ứng dụng trong nhiềulĩnh vực như sản xuất cụng nghiệp, truyền thụng

Mặt khỏc, hiện nay, do nhu cầu về năng lượng điện của con người ngàycàng tăng, việc đầu tư cho hệ thống lưới điện lại đũi hỏi rất nhiều kinh phớ dẫntới tỡnh trạng quỏ tải, thiếu hụt điện năng và chất lượng điện năng suy giảm.Điều này ảnh hưởng trực tiếp tới cỏc thiết bị dựng điện, đặc biệt ảnh hưởnglớn tới tuổi thọ cỏc thiết bị điện tử nhạy cảm như hệ thống thụng tin, điềukhiển trong cụng nghiệp Ngoài ra, nếu xảy ra tỡnh trạng mất điện làm cho cỏcthiết bị ngừng hoạt động, khụng những gõy tổn thất khụng nhỏ về mặt kinh tếcho cỏc doanh nghiệp và nhà nước mà cũn ảnh hưởng đến tớnh mạng của conngười khi sử dụng cỏc mỏy múc hiện đại để điều trị trong y học

Trong kỹ thuật hiện đại ngày nay, việc chế tạo ra các bộ chuyển đổinguồn có chất lợng điện áp cao, kích thớc nhỏ gọn cho các thiết bị sử dụng

điện là hết sức cần thiết

Vỡ những lý do đú mà bộ biến đổi nguồn DC-DC đang được sử dụngngày càng rộng rói Bộ biến đổi nguồn DC-DC là một thiết bị cụng suất, biếnđiện ỏp một chiều thành điện ỏp một chiều với cỏc mức điện ỏp mong muốn

nhằm cung cấp điện cho cỏc thiết bị sử dụng nguồn một chiều Bộ biến đổinguồn DC-DC cũn là một phần quan trọng của bộ lưu điện UPS.

Bộ biến đổi DC - DC giảm áp hay đợc sử dụng ở mạch một chiều trunggian của thiết bị biến đổi điện nâng công suất vừa v à nhỏ, đặc biệt là các hệthống phát điện sử dụng năng lợng tái tạo (sức gió, mặt trời)

Cấu trúc của mạch vốn không phức tạp nhng vấn đề điều khiển nhằm đạt đợchiệu suất biến đổi cao và bảo đảm ổn định luôn là mục tiêu của các công trinhnghiên cứu Bản chất mạch giảm áp có các phần tử phi tuyến do vậy lựa chọnphơng pháp tuyến tính hóa nhờ phản hồi trạng thái sẽ phù hợp cho việc điều

khiển bộ biến đổi trên Trong phạm vi bản luận văn này, với đề tài ‘Thiết kế

điều khiển bộ biến đổi Dc-DC giảm ỏp sử dụng phương phỏp cận tuyến tớnh nhờ phản hồi trạng thỏi ’.

Nội dung của đề tài được trỡnh bày trong cỏc chương sau đõy:

Chương 1: Mụ hỡnh bộ biến đổi DC-DC giảm ỏp

Chương 2: Phương phỏp cận tuyến tớnh phản hồi trạng thỏi

Chương 3: Cấu trỳc điều khiển bộ biến đổi DC-DC giảm ỏp

Chương 4: Mụ phỏng kiểm chứng trờn nền MATLAB & Simulink

Em xin chõn thành cảm ơn thầy giỏo hướng dẫn GS.TSKH.NguyễnPhựng Quang dó tận tỡnh chỉ bảo, giỳp đỡ và tạo điều kiện để em cú thể hoànthành tốt luận văn thạc sỹ kỹ thuật

CHƯƠNG 1

MÔ HÌNH BỘ BIẾN ĐỔI DC-DC GIẢM ÁP

1.1 Các bộ biến đổi DC-DC

Trong kỹ thuật điện có nhiều trường hợp phải thực hiện quá trình biến

đổi một điện áp một chiều không đổi thành một chiều khác có giá trị điềuchỉnh trong phạm vi rộng Để thực hiện quá trình biến đổi này người ta dã sửdụng nhiều phương pháp khác nhau Phương pháp biến đổi cho hiệu suất cao,dung được trong giải công suất từ nhỏ đến lớn và thực hiện điều chỉnh điện áp

ra một cách thuận tiện nhất là sử dụng các bộ biến đổi điện áp một chiềuthành điện áp một chiều, thường gọi tắt là bộ biến đổi DC-DC và cũng đượcgọi là xung điện áp hoặc băm điện áp Bộ biến đổi DC-DC là thiết bị biến đổiđiện năng ứng dụng các linh kiện bán dẫn có điều khiển

Hiện nay có rất nhiều phương pháp để thực hiện bộ biến đổi DC-DC, vìvậy để có một cái nhìn tổng quan nhất, tôi sẽ trình bày sơ lược về phân loạicác bộ biến đổi DC-DC cùng với đó là đưa ra một số nguyên lý biến đổi DC-

DC phổ biến

1.1.1Phân loại sơ đồ biến đổi DC-DC

Về nguyên lý, sơ đồ biến đổi DC-DC có thể được chia thành 2 nhóm:

1.1.1.1 Sơ đồ biến đổi DC-DC không có cách ly

Với nhóm sơ đồ này, điện áp một chiều được tạo ra nhờ việc phóng nạp

tụ điện từ dòng điện qua cuộn cảm L được cung cấp bởi nguồn cấp Điện ápmột chiều đầu ra thay đổi nhờ có việc phóng nạp được thay đổi bởi van côngsuất được mắc hợp lý tuỳ thuộc vào từng sơ đồ Các sơ đồ phổ biến theonguyên lý này gồm có:

- Sơ đồ biến đổi Buck

- Sơ đồ biến đổi Boost

- Sơ đồ biến đổi Buck-Boost

Sơ đồ biến đổi DC-DC không cách ly có ưu điểm là mạch đơn giản, và giáthành thấp, thường được ứng dụng trong các bộ DC-DC công suất nhỏ, khôngcần chất lượng cao

Hình 1.1: Các bộ biến đổi DC-DC không có cách ly

1.1.1.2 Sơ đồ biến đổi DC-DC có cách ly

Với nhóm sư đồ này, điện áp một chiều đầu vào được biến đổi thànhđiện áp xoay chiều cao tần và biên độ điện áp xoay chiều được nâng lên quabiến áp xung, sau khi qua một hệ thống lọc LC sẽ cho ta điện áp một chiềuvới biên độ mong muốn Các sơ đồ phổ biến theo nguyên lý này gồm có:

- Sơ đồ biến đổi FlyBlack

- Sơ đồ biến đổi Push-Pull

- Sơ đồ biến đổi Half-Bridge

- Sơ đồ biến đổi Full-Bridge

Do nguồn và và nguồn đầu ra có cách ly nhờ sử dụng biến áp xung nên

có ưu điểm là hạn chế được nhiễu tải tác động ngược lại nguồn đầu vào và cácthiết bị trong mạch, có thể tăng/giảm mức điện áp đầu ra một cách dễ dàng,công suất lớn Tuy nhiên nó cũng có một số nhược điểm là làm tăng kíchthước mạch, tăng giá thành, vấn đề trở lên khó khăn hơn Sơ đồ biến đổi DC-

DC có cách ly được sử dụng cho các ứng dụng công suất lớn, chất lượng cao,yêu cầu phải có cách ly

1.1.2 Các sơ đồ bộ biến đổi DC-DC không cách ly

1.1.2.1 Sơ đồ biến đổi Buck

Bộ biến đổi Buck là loại mạch biến đổi điện áp một chiều thành điện ápmột chiều thấp hơn, thường ứng dụng trong các bộ ổn định điện áp thay chocác mạch analog truyền thống sử dụng biến áp lõi tôn sillic

+

-+ - i

Hình 1.2: Sơ đồ nguyên lý bộ biến đổi Buck

b) Nguyên lý hoạt động

Van Q được điều khiển bởi một xung có độ rộng thay đổi được(PWM)

Độ rộng của xung điều khiển (duty cycke) là tỷ số giữa thời gian t1 van Q mởtrong một chu kỳ T Cuộn cảm L và tụ C ở đầu ra đóng vai trò như bộ lọcthông thấp

Trong thời giam van Q mở thì điện áp đặt lên diode D đúng bằng điện

áp Vd, cuộn L tích điện Dòng điện qua cuộn cảm tăng tuyến tính theo luậtFaraday

Khi Q đóng thì điện áp đặt lên diode D gần như bằng 0 (thực tế khoảng0.7V) Lúc đó điện áp đặt lên cuộn cảm đảo ngược lại bằng –V0 do đó dòngđiện iL qua cuộn cảm giảm xuống

Điện áp ra được tính theo công thức sau:

V0 =D.Vd

Với D là độ rộng xung điều khiển mở van.

1.1.2.2 Sơ đồ biến đổi Boost

Bộ biến đổi Boost là loại mạch biến đổi điện áp một chiều thành điện

áp một chiều có biên độ cao hơn, nó còn gọi là mạch step-up converter.Nguyên lý này được ứng dụng cho việc cung cấp các điện áp yêu cầu lớn hơnđiện áp nguồn nuôi, với công suất nhỏ, ví dụ trong các mobile, notebook…a) Sơ đồ nguyên lý

Hình 1.3: Sơ đồ nguyên lý bộ biến đổi Boost

b)Nguyên lý hoạt động

Trong thời gian van Q mở thì điện áp trên cuộn cảm L đúng bằng điện áp

Vd do đó cuộn cảm tích điện, dòng iL qua cuộn cảm tăng tuyến tính

Khi van Q đóng thì cuộn cảm L bắt đầu phóng qua diode D và nạp cho tụ

C Trong quá trình này điện áp đặt lên cuộn cảm là Vd-V0 <0 do đó giảm về 0thì mạch hoạt động ở chế độ liên tục

Điện áp đầu ra được tính theo công thức sau:

V0 = V d

D

 1 1

Với D là độ rộng xung điều khiển mở van

1.1.2.3 Sơ đồ biến đổi Buck-Boost

Bộ biến đổi Buck-Boost là loại mạch biến đổi điện áp một chiều thànhđiện áp một chiều có biên độ cao hơn hoặc thấp hơn biên độ điện áp vào, tuỳthuộc vào độ rộng xung, được sử dụng trong các bộ ổn áp công suất nhỏ

+ -

Hình 1.4: Sơ đồ nguyên lý bộ biến đổi Buck-Boost

Với D là độ rộng xung điều khiển mở van

1.2 Mô hình bộ biến đổi giảm áp (the buck converter)

Trong phần này chúng ta sẽ đi tìm hiểu mô hình của bộ biến đổi DC –

DC giảm áp Bộ biến đổi Buck là loại mạch biến đổi điện áp một chiều thànhđiện áp một chiều có biên độ thấp hơn biên độ điện áp vào Vấn đề điều khiển

bộ biến đổi giảm áp là một vấn đề phức tạp vì nó có tính phi tuyến và dễ bịảnh hưởng của các tác động bên ngoài Sơ đồ mạch điện của mô hình bộ biếnđổi DC- DC giảm áp (the buck converter) như sau:

L

R E

+

-+ - i

Hình 1.5: Mạch điện mô tả bộ biến đổi DC-DC giảm áp

Giả sử mạch bộ biến đổi DC-DC giảm áp có các thành phần lý tưởng,nghĩa là transistor Q phản ứng nhanh khi diode D có giá trị ngưỡng bằng 0.Điều này cho phép trạng thái dẫn và trạng thái khóa được kích hoạt tức thờikhông mất thời gian., ở đây các phần tử bán dẫn Q,D được thay thế bằng mộtcông tắc lý tưởng như hình 1.3

E + -

L

+ -

u 1

v i

Hình 1.6: Mạch điện lý tưởng mô tả bộ biến đổi DC-DC giảm áp

1.2.1 Mô hình của bộ biến đổi

Mạch hoạt động như sau: khi transistor ở trạng thái mở, diode D sẽ bịphân cực ngược Do đó, sẽ hở mạch giữa nguồn áp E và tải R Ta có thể thấyđiều này trên hình 1.4(a) Mặt khác, khi transistor Q ở trạng thái khóa, diode

D phân cực thuận, tức là D dẫn Nó cho phép dòng năng lượng truyền từ

nguồn nguồn năng lượng dự trữ trên L tới tải R được thể hiện như ở hình1.4(b)

L i

E + -

+ - v

L i

a) Trường hợp u=1 b) Trường hợp u=0

Hình 1.7: Sơ đồ thay thế của bộ biến đổi giảm áp

Để xác định được mô hình động học của bộ biến đổi, ta áp dụng luậtKirchoff cho mỗi một sơ đồ mạch như là hệ quả của hai vị trí chuyển mạch

Sơ đồ mạch đầu tiên nhận được khi chuyển mạch lấy giá trị u = 1, sơ đồ mạchthứ hai nhận được khi chuyển mạch lấy giá trị u = 0, hai sơ đồ mạch này đượcbiểu diễn trên hình 1.7

Áp dụng định luật Kiếp hốp dòng và áp cho 2 mạch điện trên Ta đượccác phương trình vi phân biểu diễn mạch như sau:

Trước tiên ta xét trường hợp khoá ở vị trí u=1(hình 1.7.a), áp dụng định

luật Kirchoff dòng và áp cho mạch điện, ta được hệ phương trình vi phân :

L dt di =- v + E

C dv dt = i - R v

Khi khoá chuyển mạch ở vị trí u=0 (hình 1.7.b), ta có hệ phương trình

vi phân như sau:

L dt di =- v

C dv dt = i - R v

Xếp chồng hai trường hợp trên ta được mô hình động lực học :

Lấy trung bình các tham số của bộ biến đổi DC-DC giảm áp ta được:

ra chuẩn hóa, và uav là giá trị điều khiển trung bình

Chúng ta có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:

0 1

2

1 , Q = R C / L ,   LC t (1.3)

1.2.3.Điểm cân bằng và hàm truyền tĩnh

Một điểm trạng thái của hệ thống gọi là điểm cân bằng (equilibrium

poin) nếu như khi đang ở điểm trạng thái và không có một điểm tác động nào

từ bên ngoài thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó Về bản chất thì điểm cân bằng chỉ làloại điểm dừng đặc biệt, tức là điểm dừng ứng với tín hiệu đầu vào y(t) =0.Điểm cân bằng hay điểm dừng có ý nghĩa quan trọng trong việc phân tích hệphi tuyến, vì một lý do là thông thường người ta hay quan tâm tới tính chấtđộng học của hệ trong lân cận các điểm trạng thái này

Một trong các mục tiêu điều khiển mà ta mong muốn đạt được khi sửdụng hoặc thiết kế bộ biến đổi công suất một chiều sang một chiều, là điềuchỉnh điện áp ra ổn định tới một giá trị hằng hoặc để tiếp cận tới 1 tín hiệutham chiếu cho trước Trong chế độ trạng thái ổn định, ứng với các giá trị cânbằng hằng, tất cả các đạo hàm theo thời gian của các biến trạng thái mô tả hệthống được cho bằng 0 Vì vậy, đầu vào điều khiển cũng phải là hằng, nghĩa

là uav=U=constant Điều kiện này kéo theo một hệ phương trình mà nghiệmcủa nó mô tả điểm cân bằng của hệ

1 ) 1 0

2

x x

Q (1.4)Giả hệ phương trìng cho biến x1 và x2 , ta được trạng thái cân bằngcủa hệ thống là:

x1 = U

Q

1

, x 2 U (1.5) Các trạng thái cân bằng (1.7) cũng là tham số thích hợp trong điều kiệncủa giá trị cân bằng yêu cầu của điện áp ra Giả sử điện áp yêu cầu là

Vd Chúng ta có x 2 V d và,

x1 V Q d , x 2 V d , (1.6) Chúng ta đi thiết lập hàm truyền tĩnh chuẩn hoá cho bộ biến đổi

là trạng thái ỏn định chuẩn hoá của điện áp đầu ra chuẩn hoá x2 với

điều kiện đầu vào trung bình là hằng số U Chất lượng này được thể hiện qua H , nó là hàm tham số cho giá trị trung bình đầu vào U, là

H(U) Trong bộ biến đổi Buck, nó thê hiện mối quan hệ:

U

E

UE E

Hình 1.8: Đặc tuyến của hàm truyền tĩnh của bộ biến đổi giảm áp

1.2.4Mô hình mẫu bộ biến đổi DC-DC giảm áp

Ta có sơ đồ mạch điện của bộ biến đổi DC-DC giảm áp với các thànhphần có giá trị như sau:

L = 15.91mH, C= 50 F, R= 25, E = 24V

Tần số đặt trước là 45kHz Sơ đồ mạch điện như hình 1.9

5 6 7 8

4 3 2 1

330 330

S D

PHẢN HỒI TRẠNG THÁI

Do thoả mãn nguyên lý xếp chồng nên việc khảo sát, phân tích hệ tuyếntính nói chung rất tiện lợi, chẳng hạn chỉ cần dựa vào tính chất hàm trọng l-ợng, hàm quá độ … là ta đã xác định đ là ta đã xác định đợc đặc tính động học của toàn bộ hệthống Sử dụng mô hình tuyến tính để mô tả, phân tích cũng nh tổng hợp và

điều khiển có rất nhiều u điểm nh:

- Mô hình càng đơn giản, càng tốn ít kinh phí Các hàm tham số môhình tuyến tính dễ dàng xác định đợc bằng phơng pháp thực nghiệm(nhận dạng) mà không phải đi từ những phơng trình hoá lý phức tạpmô tả hệ

- Tập các phơng pháp tổng hợp bộ điều khiển tuyến tính rất phong phú

và không tốn nhiều thời gian để thực hiện

- Cấu trúc đơn giản của mô hình cho phép dễ dàng theo dõi đợc kếtquả điều khiển và điều chỉnh lại mô hình cho phù hợp

Từ những u điểm nổi bật đó của mô hình tuyến tính cũng nh với mongmuốn sử dụng đợc các thành tựu của lý thuyết điều khiển tuyến tính, nên trongkhá nhiều trờng hợp, khi điều kiện cho phép, ngời ta thờng tìm cách chuyểnthể mô hình phi tuyến sang dạng có thể áp dụng đợc các phơng pháp phân tích

và thiết kế bộ điều khiển của lý thuyết điều khiển tuyến tính Đó cũng là nộidung của điều khiển cận tuyến tính

2.1 Tuyến tính hoá trong lân cận điểm làm việc

2.1.1 Tuyến tính hoá mô hình trạng thái

Về bản chất của tuyến tính hoá xấp xỉ mô hình hệ thống xung quanh

điểm làm việc x v, ta có thể hình dung nh việc thay một đoạn đờngcong f(x) trong lân cận điểm x0 bằng một đoạn thẳng tiếp xúc với đờngcong đó tại điểm x0 Nh vậy việc tuyến tính hoá một hệ phi tuyến xungquanh điểm làm việc đồng nghĩa với sự xấp xỉ gần đúng hệ phi tuyếntrong lân cận điểm trạng thái cân bằng hoặc điểm dừng bằng một môhình tuyến tính

Sau đây, khái niệm làm việc x v sẽ đợc hiểu chung là điểm cânbằng x e hoặc điểm dừng x d Điều này có nghĩa là khi không bị kíchthích, tức là khi tín hiệu vào u(t) =0 thì điểm làm việc x v sẽ chính là

điểm lân cận x e à trong trờng hợp ngợc lại với u(t) = u 0 là hằng sốthì x v chính là điểm dừng x d

Sau đây ta sử dụng kí hiệu 

) , (

u x g y

u x f dt dx

(2.1)

Trong đó

- x(t) = (x1, x2, … là ta đã xác định đ, xn )T là véc tor biến trạng thái

- u(t) = (u1, u2, … là ta đã xác định đ, um)T Là véc tor tín hiệu dầu vào

- y (t) = (y1, y2, … là ta đã xác định đ, yr )T Là véc tor tín hiệu dầu ra

T

n x u f u x f u x f u

x

f( , ) ( , ), ( , ), ( , )

2 1

T

r x u g u x g u x g u

x

g( , ) ( , ), ( , ), ( , )

2 1

g1( , ), 2( , ), ( , ) của (4.1) thành chuỗitaylor tại điểm x v, u 0 Sau đó với giả thuyết sai lệch x-x v và u-u

0 là đủ nhỏ để có thể bỏ qua tất cả các thành phần bậc cao trong chuỗi,

) ( ) (

0 0

0

u u D x x c u x g y

u u B x x A dt dx

v v

v

(2.2)

Trong đó :

0 0

,

, 1

1 1

1

u x n

n n

f

x f x

f

x

f A

,

, 1

1 1

1

u x r

n n

f

u f u

f

u f B

,

, 1

1 1

1

u x n

s s

g

x g x

g

x g C

,

, 1

1 1

1

u x r

s s

g

u f u

Và đợc gọi chung là ma trận jacobicủa các vector hàm f (x ,u ) , g (x ,u )

Nếu để ý tiếp rằng nếu x v là vector hằng tức là:

dt

x x d dt

cách sấp sỉ trong lân cận điểm làm việc 

ợc thực hiện bằng các công cụ quen biết và đơn giản của lý thuyết điều khiểntuyến tính

Tuy nhiên do có sự hạn chế rằng mô hình tuyến tính (2.3)chỉ thay thế

đ-ợc mô hình (2.1) ban đầu trong một lân cận đủ nhỏ nào đó của điểm làm việcnên các kết luận rút ra đợc từ công việc phân tích cũng chỉ đúng trong lân cận

đó

Định lý 2.1: Cho hệ phi tuyến (2.1) với điểm cân bằng x e có mô hìnhtuyến tính tơng đơng trong lân cận x e là (2.3) Khi đó tính ổn định của hệphi tuyến (2.1) tại x e sẽ đợc xác định từ vị trí các giá trị riêng của ma trận Acủa mô hình (2.3) nh sau:

a) Hệ phi tuyến (2.1) ổn định tiệm cận tại x e khi và chỉ khi tất cả các giátrị riêng của A nằm bên tráI trục ảo

b) Hệ phi tuyến (2.1) không ổn đinh tại x e nếu có ít nhất một giá trịriêng của A nằm bên phải trục ảo

c) Sẽ không đa ra đợc một kết luận gì về tính ổn định tiệm cận của (2.1) tại

x e nếu ma trận A có ít nhất một gí trị riêng nằm trên trục ảo và cácgiá trị riêng còn lại nằm bên trái trục ảo

(Tài liệu tham khảo 1)

thành chuỗi taylor tacó:

x

1 2

x P

n

k k

s

2 T

x 0(x)

Nếu tất cả giá trị s1, s2 , … là ta đã xác định đ, sn đều nằm bên tráI trục ảo, hàm P(x) sẽ xác

định âm Trong lân cận 0, giá trị của đa thức bậc thấp nhất là ba T

x 0(x) là

có thể bỏ qua so với giá trị của đa thức bậc hai P( x) lên L ~f V cũng xác định

âm, hay hệ là ổn định tiệm cận

Tơng tự ta cũng có đợc khẳng định thứ hai và thứ ba

Ví dụ 2.1: Minh hoạ định lý 2.1

Cho hai hệ phi tuyến không bị kích thích có mô hình

Hệ 1: 

dt

x d

 ) (

2 2 1

x x x

x x

Và hệ 2: 

dt

x d

 ) (

~

x

2 1

1

x x x

Cả hai hệ này đều cân bằng tại 0 và tại đó có cùng mô hình tuyến tính tơng

0 1

2 1

x x x

x x

=-2 2 1

x -2 4

2

x

Xỏc định õm trong toàn bộ khụng gian trạng thỏi Trong khi đú, hệ 2 lại khụng

ổn định tiệm cận tại 0 vỡ ngoài điểm 0 nú cũn cõn bằng tại mọi điểm trạngthỏi khỏc cú x1 =0, do đú nếu bị nhiễu tức thời đỏnh bật ra khỏi điểm 0 vàđưa tới x e= 

Ví dụ 2.2: Minh hoạ định lý 2.1

Quay lại hệ cú mụ hỡnh trạng thỏi dạng phương trỡnh vi phõn Lorenz đóđược sột đến ở vớ dụ 2.1 là:

2 1

2 3

1

1 2

1

) 26

(

) (

3

u x

x x

x x

x

u x

x x x

Hệ cú 3 điểm cõn bằng

0 1 26

0 3 3

0 0

0 1

u~=A1 x~+Bu~

Do A1 cú đa thức đặc tớnh

Det(sI - A1)=(s+1)(s2+4s-75)

Khụng phải là đa thức Hurwits(cỏc hệ thống khụng cựng dấu) và cũng khụng

cú nghiệm trờn trục ảo nờn tất cả cỏc nghiệm của nú sẽ khụng cựng nằm bờntrỏi trục ảo Vậy hệ Lorenz khụng ổn định tại x e1

Tương tự từ mụ hỡnh tuyến tớnh tương đương tại x 2 v à x 3 của hệ:

5 1 1

0 3 3

0 0

0 1

5 1 1

0 3 3

0 0

0 1

u~= A3 ~x +Bu~

Với det(sI-A2)=det(sI-A3)= s2+5s2+29s+150

Khụng phải là đa thức Hurwits cũng khụng cú nghiệm trờn trục ảo nờn hệLorenz khụng ổn định tiệm cận tại x 2 v à x 3

Ví dụ 2.3: Minh hoạ định lý 2.1

x

2 3 1

2 4

0

2 3

1

2

x x

2 1

Tương ứng là cỏc mụ hỡnh tuyến tớnh tương đương cựng những kết luận từ đú:1) tại x e1: 

dt

x d





 1 0

u

 det(sI-A1)= s2+s-4 không phải là Hurwits nên hệ không ổn địnhtiệm cận tai x e1.

2) tại tại x 2 v à x 3: 

dt

x d





 1

0

u

 det(sI-A2,3)= s2+s+4 không phải là Hurwits nên hệ không ổn địnhtiệm cận x 2 v à x 3

Phân tích ổn định nhờ đa tạp trung tâm

Quay lại hệ phi tuyến cân bằng tại 0, mô tả bởi (2.1) và trong trườnghợp không bị kích thích, nó có mô hình :

~

x

x x f

và 0(x) có bậc thấp nhất là x2

Ở đây ta chỉ sét trường hợp mà định lóy 4.1 chưa giải quyết được là ma trận A

có các giá trị riêng nằm trên hoặc nằm bên trái trục ảo

Không mất tính tổng quát ta giả sử răng ma trận A có cấu trúc:

- A0  Rmxm Là ma trận con của A có tất cả các giá trị riêng nằm trên trục ảo

- A- R(n-m)x(n-m) là ma trận con bên của A

vậy thì khi viết tách vector x Rnthành x= 

2 1 2 2 2

2 1 1 1 0 1

x x x

A dt

d

x x x

A dt

b) Bất biến địa phương với hệ (4.5), tức là tại mọi x0 M luôn tồn tại

khoảng thời gian T để nghiệm x (t) của hệ (4.5) nằm trong M khi

Hình 2.1: Mô tả đa tạp trung tâm

Theo định nghĩa như trên thì một hệ phi tuyến (2.5) có thể có nhiều đa

tập trung tâm (Hình 2.1b) minh hoạ một số đa tập trung tâm M có thể có của

Tức là tập giao chỉ có một phần tử 0 duy nhất Nên việc tách thành tổng trêncũng là duy nhất (tổng trực tiếp):

Im(A)= Im(A1)  Im(A2)

Tại mỗi điểm x= 

của đa tạp trung tâm M luôn có quan hệ nhất

định giữa x1 v à x2 Ký hiệu quan hệ đó là vector hàm

a) Vì M chứa gốc toạ độ nên hiển nhiên có (0 )=0

b) Do tiếp tuyến với M tại 0là không gian vector Im(A1) nên mọi vector cột

của

0 1

c) Xét quỹ đạo trạng thái x(t) của hệ (4.5) có một đoạn tương ứng với

–Tt  T nằm trong M khi đó thì với (4.6) có :

x



 

[ A0x1+01(x1,(x1))]

Định lý 2.2 xác nhận sự tồn tại của đa tập trung tâm M, đồng thời là

tiền đề cho việc xây dựng vector hàm x2=(x1), mô tả M phục vụ việc xác

tính ổn định của hệ (2.64) sau này Chú ý rằng vector hàm x2=(x1) khôngbắt buộc phải khả vi vô hạn lần như f (x ) hay như 01(x1,x2) v 0à 2(x1,x2)

Tiếp tục, khi thay vector hàm x2=(x1) mô tả đa tập trung tâm M

vào mô hình hệ thống ta thu đuợc



dt

A0x1+01(x1,x2)=A0x1+01(x1,(x1))(2.7)

Định lý 2.3: Hệ phi tuyến bậc n (2.5) ổn định tại gốc toạ độ x =

0 khi và chỉ khi hệ con (2.7) của nó với với bậc m<n cũng ổn định tại gốc toạ

độ tại x1=0

Hơn nữa vì hệ con (2.8) là ổn định tiệm cận, nên mọi quỹ đạo trạng thái

t

x của hệ (2.5) phải có su hướng quy tụ về quỹ đạo trạng thái tương ứng của

hệ con (2.7) nơi quy tụ đó chính là đa tập trung tâm M Nói nói cánh khác, sau một thời kỳ “quá độ”, hệ (2.5) sẽ “ xác lập” trên đa tập trung tâm M.

(Tài liệu tham khảo 1)

Theo định lý 2.3 thì việc sét tính ổn định tại gốc toạ độ 0 của hệ phituyến bậc n có mô hình không bị kích thích (2.5) sẽ được chuyển về việc séttính ổn định cũng tại gốc toạ độ 0 của hệ có bậc thấp hơn m  n là (2.7) vấn

đề còn lại là xác định vector hàm x2=(x1) cho đa tập trung M

Để xác định hàm x2=(x1), định lý 2.2 cung cấp cho ta những thôngtin đầu tiên Tuy nhiên các thông tin đó là chưa đầy đủ, phần cũng là do một

hệ (2.5) có thể có nhiều đa tập trung Bởi vậy, trong ứng dụng, người tathường chỉ áp dụng phương pháp đa tạp trung tâm cho một số hệ (2.5) mà ở

đó số các giá trị riêng của ma trận A nằm trên trục ảo là không nhiều, tức là

ma trận A có chiều m nhỏ, hay bậc của hệ con (2.7) tương ứng của nó là thấpcũng như số các phần tử của vector x1 l tà ương đối ít

Một cách làm khác cũng hay được sử dụng là xấp xỉ x2=(x1) dướidạng đa thức có bậc thấp nhất của x1 phải là hai Lý do cho điều đó là:





x x

1 ) (

1 1

x

x

m n

để xác định các ma trận trận Qk cho đa thức (2.9)

Xét riêng trường hợp m=1 và n =2, tức là hệ phi tuyến (2.5) với ma trậntrận A chỉ có một giá trị riêng nằm trên trục ảo, giá trị riêng còn lại nằm bên trái trục ảo Vậy thì với các phần tử của ma trận trận A là những số thực, bản than hai ma trận trận A0 , A- cũng phải là số thực (A0  R, A-  R), hơn nữa

A0 =0 Hệ con bậc m với mô hình (4.7) trở thành:

Trong đó x1, x2, (x1) đã được thay bằng những kí hiệu không có dấu x1,x2,(x1) để nhấn mạnh rằng chúng là các đại lượng vô hướng khi

m=1, n=2

Nếu sử dụng đa thức (x1) có bậc thấp nhất của x1 bằng hai với cấu

trúc

(x1) = qx1 (2.11) Thì điều kiện c) của định lý 2.2 ta được:

đa thức bậc cao của x1 không làm thay đổi kết luận sau này về tính ổn định tại gốc toạ độ 0 của hệ thống, vì để sét tính ổn định, ta chỉ cần xét x trong lân cận 0 là đủ (có x1 , x2 là tương đối nhỏ)

Tuy nhiên sự bỏ qua những thành phần bậc cao này của x1cũng

sẽ làm thay đổi xấp xỉ mô hình của hệ thống, tức là không có được thực sự

Do đó để bù ta phải đưa thêm vào cho mô hình (2.10) thành phần sai lệch (có thể không cần phải xác định) tiến về 0 nhanh hơn bản thân mô hình xấp xỉ Nếu mô hình sấp xỉ tiến về 0 nhanh như p

x1 thì thành phần bù đó sẽ được kí hiệu bằng Op (x1), l à đa thức có bậc thấp nhất bằng x1p Mô hình

được bù sec có dạng như sau:

3 2 1 1

cx x bx x d

dx

x x ax d

3 2 1 1

x x x x d

dx

x x x d

dx

t

t

Đây là trường hợp đặc biệt của hệ đã cho ở ví dụ 4.6 ứng với a=b=c=1

Do đó nếu đặt (x1) = q 2

1

x thì theo kết quả của ví dụ 4.6, tính ổn định

của hệ tại 0 tương đương tính ổn định tại 0 của

x ta không được biết thêm

gì về nó, nên cũng chưa thể xác định đựơc tính ổn định của hệ Bởi vậy cần phải có một đa tạp trung tâm x21=(x1) khác thích hợp hơn

x x

x x

Với x 

2

1

x x

Sau khi đã sử dụng đatập trung M với vector hàm x2 = (x1) mô tả

có thể dưa bài toán xét tính ổn định tai 0 của hệ phi tuyến bậc n với mô hình không bị kích thích (2.5) về bài toán tương đuơng là xét tính ổn định cũng tại

0 của hệ bậc m<n với mô hình (2.7) thì việc thực hiện giải bài toán đó sẽ trở

nên đơn giản hơn nhiều Lý do một phần là vì hệ con (2.7) có bâcn m thường

nhỏ nhiều so với hệ gốc (2.5) ban đầu, phần nữa mô hình hệ (2.7) có rạng rất tiện cho việc khảo sát tính ổn định như các ví dụ 2.4, 2.5 và 2.6 đã minh hoạ

Định lý 2.4: Giả sử hệ phi tuyến bậc n (2.5) cân bằng tại 0 với ma trận A chỉ

có một giá trị riêng nằm trên trục ảo (m=1), các giá trị riêng còn lại đều nằmbên trái trục ảo Vậy thì với đa tạp trung tâm x2 = (x1), mô hình hạ bậc(2.7) của nó sẽ có dạng

dt

dx 1

=ax1p+ Op (x1) v à P  N, a  R(2.15)

Khi đó:

a) Hệ (2.5) sẽ ổn định tiệm cận tại 0 khi a<0 và P là số lẻ.

b) Hệ (2.5) sẽ không ổn định tại 0 khi a>0 ho ặc a<0 và P là số ch ẵn.c) Không kết luận được gì nếu a=0

(Tài liệu tham khảo 1)

Chứng minh:

Ta không sét đến trường c) vì khi đó hàm bù sai lệch O p (x1) là chưađược xác định Khi a 0 thì do O p(x1) tiến về 0 nhanh hơn bản thân x1pnêntrong lân cận gốc toạ độ, quỹ đạo trạng thái của hệ con (2.15) sẽ có dạng của

p

x1 cho ở hình 2.2 Ứng với những trường hợp khác nhau như a>0, a<0 hoặc p

l à số chẵn hãy số lẻ chiều của quỹ đạo trạng thái được xác định từ điều hiển

2.2 Thiết kế bộ điều khiển

Theo kết quả của định lý 2.1 (tài liệu tham khảo 1), hệ phi tuyến (2.1)

ổn định tiệm cận Lyapunov tai xe khi và chỉ khi mô hình tuyến tính tương

đương tại x e của nó là (2.3) có giá trị riêng của ma trận A nằm bên trái trục ảo,tức là khi và chỉ khi (2.3) là ổn định Nếu mô hình tuyến tính tương đương(2.3) không ổn định, ta có thể áp dụng các phương pháp thiết kế bộ điều khiển

Ru tĩnh, phản hồi trạng thái để ổn định hoá hệ (hình 2.4a), tức là xác định Ru

sao cho A-BRu là ma trận bền

Hình 2.3: Thiết kế bộ điều khiển tĩnh, phản hồi trạng thái ổn định phituyến.

Định lý 2.5: Nếu hệ phi tuyến (2.1) điều khiển được trong lân cận x e và bộ

điều khiển phản hồi (âm) trạng thái R u làm cho hệ tuyến tính tương đương của

nó tại x e là (2.3) ổn định thì nó cũng sẽ làm cho hệ (2.1) ổn định tiệm cận tại

x e

Chứng minh:

Trước hết ta thấy ngay được là hẹ kín gồm khâu phi tuyến (2.1) và bộ

điều khiển phản hồi trạng thái R u (hình 2.3b) khi không bị kích thích sẽ được

Hệ kín này cũng có điểm cân bằng x e , đồng thời tại điểm cân bằng đó

nó có mô hình tuyến tính tương đương (khi không bị kích thích)

A BR x

dt

x d

u)~ (

~



Do hệ phi tuyến (2.17) ổn định nên theo định lý 2.1, hệ (2.16) cũng ổn

định tại x e và đó là điều phải chứng minh

2.3 Thiết kế điều khiển tĩnh, phản hồi trạng thái gán điểm cực

Tư tưởng chính của phương pháp gain-scheduling

u B x A dt

f(x,u)

Ru-

Mục 2.1 vừa trình bày nguyên lý thiết kế bộ điều khiển Rv điều khiểnphản hồi trạng thái cho đối tượng phi tuyến (2.1) thông qua mô hình tuyếntính tương đương (2.3) của nó trong lân cận điểm cân bằng 





 0

e x

, hayđiểm làm việc 

Song do hai mô hình (2.1) và (2.3 chỉ được xem là tương đương tronglân cận Ov đủ nhỏ của điểm làm việc 





 0

u

x v

Nên khi áp dụng cho đốitượng phi tuyến gốc (4.1) thì chất lượng của hệ thống cũng chỉ đuợc đảm bảotrong lân cận đó Điều này nói rằng ở những điểm làm việc khác nhau

Thiết kế điều khiển tĩnh, phản hồi trạng thái gán điểm cực

Trước tiên ta giả sử là đã xác định được họ các điểm làm việc 





 0

0

u x

của đối tượng phi tuyến (2.1) thông qua việc giải phương trình:

0 ) ,

(x0 u0 

f (2.18)Cũng như đã tham số hoá họ các điểm làm việc thành:

0

v u

v x