Phương pháp giảm cơ sở giải phương trình elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCPHẠM THỊ THÙY NHUNG PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015... TRƯỜNG ĐẠI H

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ THÙY NHUNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ THÙY NHUNG

PHƯƠNG PHÁP GIẢM CƠ SỞ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC

BỨC TUYẾN TÍNH PHỤ THUỘC THAM SỐ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

0.1 Lý do chọn đề tài 1

0.2 Mục đích nghiên cứu 4

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4

0.5 Phương pháp nghiên cứu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Không gian tích vô hướng 5

1.2 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính 6

1.2.1 Dạng tuyến tính 6

1.2.2 Dạng song tuyến tính 7

1.3 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số 8

1.3.1 Sự phụ thuộc affine vào tham số 9

1.3.2 Tính bức phụ thuộc tham số 9

2 Phương pháp giảm cơ sở 11 2.1 Không gian hàm và dạng yếu của phương trình elliptic 11

2.1.1 Dạng yếu phụ thuộc tham số 11

2.1.2 Tích vô hướng và chuẩn khác 12

2.2 Không gian và cơ sở xấp xỉ hữu hạn chiều 13

2.2.1 Rời rạc hóa bài toán 13

2.2.2 Phép chiếu Galerkin 14

2.2.3 Phương trình đại số 15

2.3 Giảm cơ sở 17

2.3.1 Không gian và cơ sở 17

2.3.2 Phép chiếu lên không gian số chiều nhỏ 18

2.3.3 Phương trình đại số 19

2.4 Thủ tục tính toán Online- Offline 20

2.5 Thuật toán Greedy 21

2.6 Ước lượng sai số hậu nghiệm 23

2.6.1 Cận dưới của hằng số liên tục 24

2.6.2 Cận trên của hằng số liên tục 25

2.6.3 Những kiến thức cần thiết khác 27

2.6.4 Ước lượng sai số 28

2.6.5 Cận của sai số tương ứng với chuẩn trên X 30

TÓM TẮT NỘI DUNG

Luận văn được viết có nội dung về phương pháp giảm cơ sở cho phương trìnhelliptic phụ thuộc tham số Chúng tôi trình bày đầy đủ các nguyên liệu để ngườiđọc có thể hiểu một cách chi tiết việc xây dựng phương pháp, cụ thể là phép chiếuGalerkin, thuật toán Greedy và cận dưới của hằng số bức phụ thuộc tham số sử dụngphép cách tiếp cậnmin −θ

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình giảngdạy, bồi dưỡng kiến thức trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện tạitrường

Tác giả xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thanh Sơn đã tận tình hướngdẫn trong suốt quá trình viết luận văn

Xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, 2015 Phạm Thị Thùy Nhung

Học viên Cao học Toán K7A, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

trong đóΩlà miền bị chặn trong Rk , k ≥ 2có biênΓthỏa mãn điều kiện Lipschitz và

f ∈ L2(Ω) Với dữ liệu trên Bài toán (1) không thể có nghiệm cổ điểny ∈ C2(Ω)∩C( ¯ Ω)

mà thay vào đó, người ta xét nghiệm suy rộng của Bài toán (1)

Nhắc lại rằng,L2(Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng

f : H01(Ω) →R

trong đó,f (v)vớiv ∈ H01(Ω), f (v) =RΩf (x)v(x)dxvà dạng song tuyến tính

a : H01(Ω) × H01(Ω) →R

vớia(w, v) =RΩ5y 5 vdx Theo đó Bài toán (2) có thể được viết lại như sau

|a(w, v)| ≤ ||w||H1 (Ω) ||v||H1 (Ω) , (5)đây được gọi là tính liên tục củaa Trong khi xét Bài toán (1) là ta đã ngầm định rằngphương trình đó là không phụ thuộc tham số Trong thực tế, khi sử dụng Bài toán (1)như là một mô hình toán học cho hiện tượng truyền nhiệt dừng, người ta có thể muốngiữ lại hằng số dẫn nhiệt như là một tham số Việc này cho phép sử dụng mô hình chonhiều chất dẫn nhiệt có hằng số dẫn nhiệt khác nhau Tương tự như thế, hàm nguồnf

cũng có thể phụ thuộc vào tham số Tổng quát, người ta có thể xét bài toán phụ thuộctham số

a(y, v; µ) = f (v; µ), ∀v ∈ V, µ ∈ D ⊂ Rk. (6)

Và cuối cùng, trong rất nhiều trường hợp, người ta không quan tâm đến toàn bộ trạngtháiymà chỉ là một phần thông tin của trạng thái được biểu diễn bởi

trong đó,g cũng là một dạng tuyến tính phụ thuộc tham số.

Bài toán đặt ra ở đây là: với mỗi µ ∈ D, tính s(µ) Đối với những bài toán thực

tế cùng yêu cầu cao về tính chính xác, cỡ của bài toán thường rất lớn, hàng nghìncho đến hàng triệu Với đặc thù cần phải tính nghiệm, hoặc thông tin liên quan đếnnghiệm nhiều lần (many-query context), máy tính sẽ phải mất nhiều thời gian để giải

mô hình cỡ lớn với nhiều giá trị khác nhau của tham số Yêu cầu đặt ra là tìm đượcmột thuật toán để sao cho, việc tính toán nghiệm nhanh nhưng vẫn đảm bảo kiểm soátđược sai số Do vậy, phương pháp giảm cơ sở là đặc biệt cần thiết để xử lý những bàitoán dạng này Với lí do trên, chúng tôi đã chọn "Phương pháp giảm cơ sở giải phươngtrình elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số" làm đề tài cho luận văn thạc sĩ Luậnvăn gồm 3 chương

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại những lý thuyết cần thiết cho việc trìnhbày phương pháp ở chương sau Chúng bao gồm phép chiếu Galerkin, rời rạc hóaphương trình, tính bị chặn, tính bức, tính phụ thuộc affine .

• Chương 2: Phương pháp giảm cơ sở

Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày sơ lược cách rời rạc hóa bàitoán (6) - (7) bằng phương pháp phần tử hữu hạn Sau đó, phép chiếu Galerkinđược sử dụng để giảm kích cỡ của cơ sở cũng đồng thời giảm kích cỡ của bàitoán Cuối cùng, chúng tôi tập trung trình bày các "nguyên liệu" cũng như kếtquả phục vụ cho việc xây dựng, cơ sở giảm đó

0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn tập trung làm rõ một số vấn đề sau đây, trình bày ý tưởng của phươngpháp giảm cơ sở giải phương trình elliptic bức tuyến tính phụ thuộc tham số, các kháiniệm và tính chất liên quan đến phương pháp, nội dung phương pháp và cuối cùng là

áp dụng phương pháp này cho một số ví dụ thực tế

0.4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giảm cơ sở

• Phạm vi nghiên cứu: Bài toán elliptic bức tuyến tính phụ thuộc affine vào thamsố

0.5 Phương pháp nghiên cứu

• Đọc và nghiên cứu một số tài liệu liên quan như sách, báo, tạp chí, luận văn thạc

sĩ, tiến sĩ

• Sử dụng nhiều kiến thức của đại số tuyến tính ứng dụng, giải tích hàm

• Kiểm chứng các kết quả lý thuyết bằng ví dụ số lập trình trên MATLAP

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại những lý thuyết cần thiết cho việc trìnhbày phương pháp ở chương sau Chúng bao gồm phép chiếu Galerkin, rời rạc hóaphương trình, tính bị chặn, tính bức, tính phụ thuộc affine .

1.1 Không gian tích vô hướng

Định nghĩa 1.1 Cho Z là một không gian tuyến tính trên R Khi đó một ánh xạ

w ∈ Z, v ∈ Z → (w, v)Z ∈R thỏa mãn với mọiw, v, z ∈ Z, α ∈ R thì

• (αw + v, z)Z = α(w, z)Z + (v, z)Z và(z, αw + v)Z = α(z, w)Z + (z, v)Z,

• (w, v)Z = (v, w)Z,

• (w, w)Z ≥ 0.(w, w)Z = 0 ⇔ w = 0,

được gọi là tích vô hướng trênZ.

Định nghĩa 1.2 Cho một tích vô hướng trênZ Khi đó, với hàm số ||·||:Z → R+xác định bởi

||x|| =phx, xi

là một chuẩn trênZ (chuẩn sinh bởi tích vô hướng).

Sau đây là kết quả kinh điển liên quan đến tích vô hướng, Bất đẳng thức Schwarz

Cauchy-|(w, v)Z| ≤ ||w||Z||v||Z, ∀w, v ∈ Z.

Định nghĩa 1.3 Một không gian tuyến tính Z có tích vô hướng với chuẩn được trang

bị thì không gian đó là không gian định chuẩn Nếu không gian đó là đầy đủ thì được gọi là không gian Hilbert.

1.2 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính

1.2.1 Dạng tuyến tính

Định nghĩa 1.4 Một ánh xạg : Z → R được gọi là một ánh xạ tuyến tính hay dạng

tuyến tính nếu, cho bất kìα ∈R, w, v ∈ Z, g(αw + v) = αg(w) + g(v) Dạng tuyến tính

g là bị chặn hay liên tục trên Z nếu

|g(v)| ≤ C||v||Z, ∀v ∈ Z,

với C là hằng số không phụ thuộc vàov.

Định nghĩa 1.5 ChoZ là không gian định chuẩn Chúng tôi định nghĩa không gian đối ngẫu củaZ, kí hiệuZ0 là tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trênZ Z’ với chuẩn

kgkZ0 =sup

v∈Z

g(v) kvk0Z, ∀g ∈ Z

0 ,

trở thành một không gian định chuẩn, chuẩn đó được gọi là chuẩn đối ngẫu.

Định lý 1.1 (Định lí Riesz) Với bất kìg ∈ Z0, tồn tại duy nhấtwg ∈ Z sao cho

(wg, v)Z = g(v), ∀v ∈ Z

và

kgkZ0 = kwgkZ.

1.2.2 Dạng song tuyến tính

Định nghĩa 1.6 Ánh xạb : Z1× Z2 → R là một dạng song tuyến tính nếu với bất kì

α ∈ R, w, v ∈ Z1, z ∈ Z2, b(αw + v, z) = αb(w, z) + b(v, z) và với bất kì α ∈ R, z ∈

Z1, w, v ∈ Z2, b(z, αw + v) = αb(z, w) + b(z, v) một cách ngắn gọn, một dạng song tuyến tính là tuyến tính theo từng biến.

Trong phần còn lại của mục này ta xét trường hợp riêng Z 1 = Z 2 = Z Sau đây,chúng tôi liệt kê một số tính chất hay dùng của dạng song tuyến tính

Dạng song tuyến tính b : Z × Z → R là đối xứng nếu với bất kì w, v ∈ Z,

Một dạng song tuyến tính b : Z × Z → R là xác định dương nếu, cho bất kì

v ∈ Z, b(v, v)(= bs(v, v) ≥ 0) với dấu bằng xảy ra chỉ khiv = 0

Một dạng song tuyến tính b : Z × Z → R là dạng song tuyến tính nửa xác định

dươngnếu với bất kìv ∈ Z, b(v, v) ≥ 0

Dạng song tuyến tínhb : Z × Z →R là bức trên Z nếu vớiαlà hằng số bức

1.3 Dạng tuyến tính và dạng song tuyến tính phụ thuộc

tham số

Đầu tiên chúng tôi giới thiệu một tham số trên miền đóng, bị chặn D ⊂Rd Ta kíhiệu các véc tơ tham số trên miềnDlൠ= (µ1, , µd)

Ta nói g : Z × D → R là dạng tuyến tính phụ thuộc tham số nếu, với mỗi µ ∈

D, g(.; µ) : Z →R là một dạng tuyến tính Ta nói dạng tuyến tính phụ thuộc tham sốg

là bị chặn (hoặc liên tục) nếu với mọiµ ∈ D, g(.; µ) ∈ Z0 Chú ý rằng chuẩn đối ngẫucủa một dạng tuyến tính phụ thuộc tham số g,kg(.; µ)k cũng đúng với hàm hữu hạnphụ thuộc vàoµtrênD

Tương tự, b : Z × Z × D → R là một dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số

nếu với mọi µ ∈ D, b(., ; µ) : Z × Z → R là một dạng song tuyến tính Ta nói một

dạng song tuyến tính phụ thuộc tham sốb : Z × Z → R là đối xứng nếu b(w, v, µ) = b(v, w, µ), ∀w, v ∈ Z, ∀µ ∈ D Chúng tôi định nghĩa phần đối xứng của dạng songtuyến tính phụ thuộc tham sốb : Z × Z × D →R như sau

Dạng song tuyến tính phụ thuộc tham sốb : Z × Z × D →R là liên tục trên Z nếu

Ta định nghĩa γ 0 = maxµ∈Dγ(µ)(< ∞)

1.3.1 Sự phụ thuộc affine vào tham số

Dạng tuyến tính phụ thuộc tham số bị chặng : Z × D →R là affine theo tham số

hay phụ thuộc affine vào tham sốµ

cho một sốQg hữu hạn; ở đâyθqg : D →R, 1 ≤ q ≤ Qg, là hàm phụ thuộc tham số, và

gq(v) : Z →R, 1 ≤ q ≤ Qg, là dạng tuyến tính bị chặn độc lập với tham sốµ

Cũng như vậy, chúng ta nói rằng dạng song tuyến tính phụ thuộc tham số

b : Z × Z × D →R là affine theo tham số hay phụ thuộc affine vào tham sốµnếu

cho một số hữu hạnQb; ở đây θqb : D → R, 1 ≤ q ≤ Qb là hàm phụ thuộc tham số, và

bq(w, v) : Z × Z →R, 1 ≤ q ≤ Qblà dạng song tuyến tính liên tục độc lập với tham số

cq(v, v) ≥ 0, ∀v ∈ Z, 1 ≤ q ≤ Qc. (1.5)

Đương nhiên, nếu bản thân hàm b đã đối xứng thì ta không cần phải dùng đếnphần tuyến tính khi định nghĩa tính chất Tức là, θbq(µ) và bq(w, v) thỏa mãn (1.4),(1.5).

Chương 2

Phương pháp giảm cơ sở

Trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày sơ lược cách rời rạc hóa bàitoán (6) - (7) bằng phương pháp phần tử hữu hạn Sau đó, phép chiếu Galerkin được

sử dụng để giảm kích cỡ của cơ sở cũng đồng thời giảm kích cỡ của bài toán Cuốicùng, chúng tôi tập trung trình bày các "nguyên liệu" cũng như kết quả phục vụ choviệc xây dựng, cơ sở giảm đó

2.1 Không gian hàm và dạng yếu của phương trình

ellip-tic

2.1.1 Dạng yếu phụ thuộc tham số

Từ đây trở đi, chúng tôi sử dụngXe để kí hiệu không gian hàm mà bài toán viếtdưới dạng đẳng thức biến phân được đưa ra và các kí hiệu khác có thêm chữeđể chỉ

có liên quan hoặc ở trên không gian đó

Nhắc lại rằng bài toán được phát biểu như sau: cho µ ∈ D, ta tìmue(µ) ∈ Xe saocho

a(ue(µ), v; µ) = f (v; µ), ∀v ∈ Xe, (2.1)

và ước lượng

se(µ) = `(ue(µ); µ). (2.2)

Ở đây se : D → R là đầu ra tượng trưng cho quan sát nào đó của trạng thái chứa

những thông tin của trạng thái mà ta quan tâm và`là phiếm hàm phụ thuộc vàoµ

Ta giả sử rằng các thành phần của bài toán (2.1) - (2.2) là phụ thuộc affine vàotham số, tức là

với Q`, Qf, Qa là các số tương đối nhỏ Ta ngầm giả định rằng θ`q với 1 ≤ q ≤ Ql, θqf

với1 ≤ q ≤ Qf, vàθaq với1 ≤ q ≤ Qa là các biểu thức đại số đơn giản có thể dễ dàngtính được với độ phức tạp tính toán làO(1) Giả sử thêm rằng bài toán (2.1) - (2.2) cócác tính chất sau

• Tính phù hợp:`(.; µ) = f (.; µ), ∀µ ∈ D vàalà đối xứng

• Tính bức tham số

2.1.2 Tích vô hướng và chuẩn khác

Nhằm mục đích xây dựng các ước lượng về sau ta cần một số chuẩn khác trênXe.Choalà bức, chúng tôi đưa ra tích vô hướng năng lượng và năng lượng chuẩn

(((w, v))) µ = a(w, v; µ), ∀w, v ∈ Xe, (2.5)

|||w||| ≡pa(w, w; µ), ∀w ∈ Xe, (2.6)tương ứng; chú ý rằng những đại lượng này là phụ thuộc vào tham số Nhờ có giả định

về tính bức và liên tục (2.5) tạo thành một định nghĩa tích vô hướng và (2.6) là chuẩntương đương với chuẩn trong H1(Ω) (3) Chúng tôi có thể xác định tích vô hướng và

chuẩn trênXe Đặc biệt, chúng ta sẽ chọn một tích vô hướng năng lượng và chuẩn phụthuộc vào một giá trị tham số xác địnhµ ∈ D ¯

X e

> 0, ∀µ ∈ D. (2.7)Tương tự, từ (1.3), hằng số liên tục củaatrênXe

< +∞, µ ∈ D. (2.8)

2.2 Không gian và cơ sở xấp xỉ hữu hạn chiều

2.2.1 Rời rạc hóa bài toán

Bài toán (2.1) - (2.2) trên không gian Xe cần được rời rạc hóa để giải trên máytính Ta sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) để xấp xỉ Xe bởi không gianhữu hạn chiều XN Hãy hình dung, chẳng hạn trong không gian hai chiều và Xe là

H01(Ω) và XN là không gian con sinh bởi các phần tử p1(k) trong đó k là một phépxấp xỉ trên miền Ωvàp1(k) là tập tất cả các đa thức hai biến có bậc mỗi biến khôngvượt quá 1 Ta kí hiệuϕNk , 1 ≤ k ≤ N là cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn (còngọi là các phần tử hữu hạn) Khi đó, ta xấp xỉ mỗi phần tử thuộc Xe bởi một tổ hợptuyến tính

u(µ) ∈ XN là nhỏ hơn hoặc bằngε, ∀µ ∈ D.

• ||f ||(XN ) 0 ≤ ||f ||(Xe ) 0,

• αN(µ) ≥ αe(µ), ∀µ ∈ D và vì thếabức trênXN,

• γN(µ) ≤ γe(µ), ∀µ ∈ Dvà vì thế aliên tục trênXN,

• avàf vẫn phụ thuộc affine vào tham số,

• athỏa mãn bức tham số trênXN

Từ (2.9) về tính hội tụ của phương pháp Galerkin ta suy ra

sN(µ) = (FN(µ))Tu

¯N(µ).

Bây giờ chúng ta sử dụng giả thiết affine trênf, (2.3), vàa, (2.4), biểu diễn ma trận

độ cứng và véc tơ nguồn dưới dạng này

Để đầy đủ, chúng tôi gọi ma trận khác XN

∈RN ×N tương ứng với tích vô hướng

vốn được dùng để ước lượng sai số hậu nghiệm:

2.3.1 Không gian và cơ sở

Đầu tiên chúng tôi gọi số chiều cực đại của không gian giảm cơ sở, kí hiệu là

N max (Giả sử rằng N max < N Sau đó, chúng tôi giới thiệu một tập hợp các hàm độclập tuyến tính

Chú ý rằng mẫu này thỏa mãn tính chất thứ bậc S1 ⊂ S2· · · ⊂ SNmax−1 ⊂ D Chúngtôi giới thiệu "bản chụp nhanh"(snapshots)

un ≡ u(µn), 1 ≤ n ≤ Nmax,

và không gian cơ sở giảm Lagrange

WN ≡span{u(µn), 1 ≤ n ≤ N }, 1 ≤ n ≤ Nmax;

chú ý rằng không gian này cũng có tính chất thứ bậcW1⊂ W2· · · WNmax−1⊂ WNmax

Để phục vụ mục đích tính toán người ta không thực hiện trên cơ sở bất kì màthường là trên cơ sở trực chuẩn Theo đó hệ {ξ n , 1 ≤ n ≤ Nmax} có thể được trựcchuẩn hóa Gram-Schmidt và thay thế bởi hệ{ζ n , 1 ≤ n ≤ N }và đặt

XN =span{ζn, 1 ≤ n ≤ N }, 1 ≤ N ≤ Nmax}. (2.13)

2.3.2 Phép chiếu lên không gian số chiều nhỏ

Như đã trình bày, số chiều N của không gian XN là rất lớn và gây khó khăn choviệc tính toán trên máy tính Ta sẽ tiếp tục chiếu bài toán lên không gian conXN củakhông gianXN Theo đó, ta sẽ tìmuXN(µ) ∈ XN sao cho

a(uXN(µ), v; µ) = f (v; µ), ∀v ∈ XN, (2.14)sau đó chúng tôi tính

sXN(µ) = f (uXN(µ); µ). (2.15)

Từ tính chất bức, tính liên tục củaavà tính độc lập tuyến tính của các cộtXN, người

ta đã chỉ ra được rằng [2] phương trình (2.14) có nghiệm duy nhất và hơn nữa mệnh

đề sau thỏa mãn

Định lý 2.1 Choµ ∈ D bất kì vàuN(µ)vàsN(µ)thỏa mãn (2.14)-(2.15), khi đó

|||uN(µ) − uN(µ)||| µ = inf

w ∈X |||N (µ) − uN(µ)||| µ ,