TIẾP TUYẾN NGUYỄN tất THU

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y= f x , biết tiếp tuyến có hệ số góc k.. Chú ý: ðối với bài toán này ta cân lưu ý một số vấn ñề sau: * Số tiếp tuyến của ñồ t

Chuyên ñề: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

1.ðịnh nghĩa:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y=f(x) tại ñiểm

( ; ( ))

M x f x

Phương pháp:

* Tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y= f x( ) tại M x y( 0; 0)là:y= f x'( 0)(x−x0)+ y0

với y0 = f x( 0)

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y= f x( ), biết tiếp tuyến

có hệ số góc k

Phương pháp:

Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=kx+ b

* ðiều kiện tiếp xúc là hệ pt: ( ) (1)

'( ) (2)

f x kx b

f x k







Từ (2) ta tìm ñược x, thế vào (1) ta có ñược b Ta có tiếp tuyến cần tìm

Cách 2: * Giải phương trình '( )f x = giải phương trình này ta tìm ñược các nghiệm k

1, 2, , n

x x x

* Phương trình tiếp tuyến: y= f x'( )(i x−x i)+ f x( ) (i i=1, 2, , )n

Chú ý: ðối với bài toán này ta cân lưu ý một số vấn ñề sau:

* Số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của phương trình f x'( )= k

*Cho hai ñường thẳng d1:y=k x1 +b1 và d2:y=k x2 +b2 Khi ñó

i) 1 2

1 2

tan

1

k k

k k

α = −

+ , trong ñó α =(
d d1, 2)

ii) 1 2 1 2

//

k k

d d

b b

=



≠



iii) d1⊥d2 ⇔k k1 2 = −1

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y= f x( ), biết tiếp tuyến

ñi qua ñiểm (A x A;y A)

Phương pháp:

Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=k x( −x A)+ y A

ðiều kiện tiếp xúc: hệ pt ( ) ( ) (1)

'( ) (2)

f x k x x y

f x k







có nghiệm

Thay (2) vào (1), ta ñược: ( )f x = f x x'( )( −x A)+ y A, giải pt này ta tìm ñược các nghiệm x x1, 2, ,x Thay vào (2) ta tìm ñược k từ ñó suy ra phương trình tiếp tuyến n

Cách 2:

Gọi M x y( 0; 0) là tiếp ñiểm Khi ñó tiếp tuyến có dạng: y= f x'( 0)(x−x0)+ y0

Vì tiếp tuyến ñi qua A nên ta có: y A= f x'( 0)(x A−x0)+ y0, giải phương trình này ta

tìm ñược x0 suy ra phương trình tiếp tuyến

Chú ý: *Nếu giải theo cách 1 thì số tiếp tuyến của ñồ thị chính là số nghiệm của phương trình: ( )f x = f x x'( )( −x A)+ y A

* Nếu giải theo cách 2 thì số tiếp tuyến là số nghiệm của phương trình

'( )( )

y = f x x −x + y (với ẩn là x0)

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương pháp: Ta dựa vào ba bài toán trên

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3−3x2 +2x , có ñồ thị (C)

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm uốn

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có hoành ñộ bằng 1 −

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại ñiểm có tung ñộ bằng 6

4) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao ñiểmcủa (C) với trục hoành

5) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

Giải:

1)Ta có: y'=3x2−6x+ ⇒2 y''=6x− ⇒6 y"= ⇔ = , do ñó tọa ñộ ñiểm uốn 0 x 1

là (1;0)U

Phương trình tiếp tuyến tại U là: y= y'(1)(x−1)+ = − + 0 x 1

2) Ta có x0 = ⇒1 y0= − và 6 y x'( 0)= y'( 1)− =11, suy ra

Phương trình tiếp tuyến là: y= y'( 1)(− x+1)− =6 11x+ 5

3) Gọi M x( 0;6) là tiếp ñiểm , ta có:

x − x + x = ⇔ x − x + = ⇔ x =

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y= y'(3)(x−3)+ =6 11x−27

4) PTHð giao ñiểm của (C) với Ox: x3−3x2 +2x= ⇔0 x=0,x=1,x= 2

* x=0 ta có tiếp tuyến: y= y'(0)(x−0)+ =0 2x

* x=1 ta có tiếp tuyến: y= y'(1)(x−1)+ = − + 0 x 1

* x=2 ta có tiếp tuyến: y= y'(2)(x−2)+ =0 2x− 4

5) Vì hệ số góc của mọi tiếp tuyến ñều có dạng f x và '( ) hệ số góc của tiếp tuyến tại ñiểm uốn bằng -1 Do ñó ñể chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh f x ≥ − '( ) 1

ð iều này luôn ñúng vì: f x'( )+ =1 3(x−1)2 ≥0 ∀ ∈x R (ñpcm)

Chú ý: Chứng minh tương tự ta có kết quả tổng quát của câu 5 như sau

“Cho hàm số y=ax3+bx2 +cx+d (a≠0) Nếu a > thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn 0

có hệ số góc nhỏ nhất còn nếu a < thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc lớn 0 nhất”

Ví dụ 2: Cho hàm số

2

1 1

x x y

x

− +

=

− có ñồ thị (C)

1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng ∆: 3x−4y + = 1 0

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M −( 1;3)

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) ñi qua giao ñiểm hai ñường tiệm cận của (C) 4) Biện luận theo m ≠0 số tiếp tuyến của (C) mà tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng ∆m:x−my+m + = 1 0

Giải:

Ta có

2 2

2 '

( 1)

x x

y

x

−

=

− 1)Gọi d là tiếp tuyến song song với ñường thẳng : 3 1

4 4

y x

∆ = + , khi ñó d có hệ số

góc là 3

4

k =

Xét phương trình:

2

2 2

1

2 3

3 4

( 1)

x

x x

x x

 = −

−



 =

2

x= − ⇒y= − ⇒ phương trình tiếp tuyến: 3 3

4 4

y= x−

2

x= ⇒y= ⇒ phương trình tiếp tuyến: 3 5

4 4

y= x+ 2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua M −( 1;3), có hệ số góc k, khi ñó phương trình d có dạng: y=k x( +1)+ 3

d là tiếp tuyến ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:

2

2 2

1 ( 1) 3 (1) 1

2

(2) ( 1)

x x

k x x

x x

k x



−







−

 Thế (2) vào (1) ta ñược:

2

( 1) 3

1 ( 1)

x x x x

x

2

2

2

x

x x

x

 =



 =



* Với x= ⇒ = ⇒ Phương trình tiếp tuyến y=3 2 k 0

*Với 1 3

2

x= ⇒ = − ⇒ Phương trình tiếp tuyến k y= −3x

3) ðồ thị có hai tiệm cận x = và y1 = suy ra giao ñiểm của hai tiệm cận là I(1;1) x

Gọi d là ñường thẳng ñi qua I, có hệ số góc k⇒d y: =k x( −1)+ 1

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

2

2 2

1 ( 1) 1 1

2 ( 1)

x x

k x x

x x

k x



−







−



có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ hai ta ñược:

x x x x

x x x x x

Vậy qua I không có tiếp tuyến nào kẻ ñến (C)

4) ∆ có hệ số góc m k m 1

m

= Số tiếp tuyến thỏa mãn bài toán chính là số nghiệm của phương trình:

2

2 2

( 2 )

( 1)

m

m x x

x

−

− ( với ñk x ≠ ) 1

* Nếu m=-1⇒(*) vô nghiệm⇒ không có tiếp tuyến nào

*Nếu m ≠ − : (*) có 1 ∆ =' m m( +1) và (*) có nghiệm x= ⇔1 m= 0

+ Khi 0

1

m

m

 >

 < −



(*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ có hai tiếp tuyến + Khi 1− <m≤ thì (*) vô nghiệm ⇒ không có tiếp tuyến nào 0

Chú ý: *Hệ số góc của mọi tiếp tuyến luôn có dạng: f x '( )

* ðối với hàm phân thức

2

( ' 0) ' '

ax bx c

a x b

+ không có tiếp tuyến nào ñi qua gia ñiểm của hai tiệm cận

Ví dụ 3: Cho hàm số y=(2−x x)2 2, có ñồ thị (C)

1) Viết phương trình tiếp tuyến tại giao ñiểm của (C) với Parabol y= x2

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(2;0)

Giải: Ta có: y=x4−4x3+4x2⇒ y'=4x3−12x2 +8x

1) PTHð giao ñiểm của (C) và Parabol y= x2

x − x + x =x ⇔x x − x+ = ⇔ x= x= x=

x = ta có phương trình tiếp tuyến là: 0 y = 0

x = ta có phương trình tiếp tuyến là: 1 y = 1

x = ta có phương trình tiếp tuyến là: 3 y=24x−63

2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k⇒d y: =k x( −2)

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

2 2

4 ( 2)( 1)

x x k x

x x x k







có nghiệm

Thay k vào phương trình thứ nhất ta ñược:

4 4 ( 2)(4 12 8 ) (3 4)( 2) 0

x − x + x = x− x − x + x ⇔x x− x− =

4

0, 2,

3

x x x

x= ⇒ = ⇒Phương trình tiếp tuyến 0 k 0 y =0

x= ⇒ = ⇒ Phương trình tiếp tuyến 2 k 0 y = 0

x= ⇒ = −k ⇒ Phương trình tiếp tuyến 32 64

27 27

y= − x+

Ví dụ 4: Cho hàm số 1

2

mx y

x m

+

= + − ,có ñồ thị là (C m ) 1)Viết phương trình tiếp tuyến của (C 1 ),biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm P(3;1)

2)Viết phương trình tiếp tuyến của (C 1 ),biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(2;-1)

3)Tìm m ñể tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x=1 vuông góc với ñường thẳng y=x+1

Giải:

Với m=1 ta có ( 1) : 1

1

x

C y

x

+

=

− 1) Gọi d là ñường thẳng ñi qua P, có hệ số góc k ⇒d y: =k x( −3)+ 1

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

2

1 ( 3) 1 1

2 ( 1)

x

k x x

k x

 +





 −





−



=



−



có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: 1 2 2( 3) 1 2

1 ( 1)

x

2

k

⇒ = − ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y= −2x+ 7

2) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k ⇒d y: =k x( −2)− 1

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

2

1 ( 2) 1 1

2 ( 1)

x

k x x

k x

 +





 −





−



=



−



có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: 1 2 2( 2) 1 2

1 ( 1)

x

*x= 2⇒ = −k 2(3+2 2)⇒ tiếp tuyến: y= −2(3+2 2)x+11+8 2

*x= − 2⇒ = −k 2(3−2 2)⇒ tiếp tuyến: y= −2(3−2 2)x+11−8 2

3) Ta có

2

2

2 1 '

m m y

x m

=

Tiếp tuyến tại ñiểm có hoành ñộ x=1 vuông góc với ñường thẳng y=x+1

2

2

2 1

( 1)

m m

m

Ví dụ 5: Có bao nhiêu tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y= lnx xñi qua ñiểm M(2,1)?

Giải:

Gọi d là ñường thẳng ñi qua M, có hệ số góc k ⇒d y: =k x( −2)+ 1

D là tiếp tuyến ⇔ hệ ln ( 2) 1

ln 1

x x k x

x k







có nghiệm Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñược: lnx x=(lnx+1)(x−2)+ 1

2 lnx x 1 0

Số tiếp tuyến kẻ từ M chính là số nghiệm của phương trình (*)

Xét hàm số f x( ) 2lnx x 1 f x'( ) 2 x f x'( ) 0 x 2

x

−

Mặt khác:

0 ( ) ;

Lim f x Lim

= −∞ = −∞ ; (2)f =2ln 2− 1 BBT:

x 0 2 +∞

f’(x) + 0 -

f(x)

2ln 2− 1

−∞ −∞

Dựa vào BBT ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Vậy có hai tiếp tuyến kẻ từ M

Ví dụ 6: Tìm m ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số 1 3 2 1

m

y= x − x + tại ñiểm có

hoành ñộ bằng -1 song song với ñường thẳng 5x-y=0

Giải:

Tiếp tuyến d của ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x=-1, có dạng :

2

m

y= m+ x+ +

d song song với ñường thẳng y=5x

1 5

4

1 0 2

m

m m









Vậy m=4 là giá trị cần tìm

Ví dụ 7: Cho hàm số

2

2 2 1

x x y

x

=

+ (C)

1) Gọi I là tâm ñối xứng của (C) và M là một ñiểm bất kì thuộc (C) Tiếp tuyến tại M cắt hai ñường tiệm cận tại A và B Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của M

2) Tìm vị trí của M ñể AB nhỏ nhất

3)Tìm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với tiệm cận xiên

Giải:

1) (C) có hai tiệm cận là x=-1 và y=x+1

I là tâm ñối xứng ⇒I( 1;0)− (I là giao của hai tiệm cận)

Xét M x( 0; (f x0))∈( )C Tiếp tuyến ∆ tại M của (C): y= y x'( 0)(x−x0)+ y0

2 2

0

0 2

0 0

2

1 ( 1)

x x

x x

x x

+

+ +

∆ cắt tiệm cận ñứng tại

0

2 ( 1; )

1

A x

−

+ và cắt tiệm cận xiên tại B(2x0 +1;2x0 +2)

suy ra

0 2

0

2

M

M

x x

x x

x x

y y

y x









+



M là trung ñiểm của AB

Gọi H là hình chiếu của B lên IA⇒BH =2 |x0 +1|, mà

0

2

| 1|

IA x

= + , suy ra 1

2 2

ABI

S∆ = BH IA= ⇒ ñpcm

2) Ta có: 2 0 2 2

0

1

( 1)

x

+

4

1

2

3)

Chú ý: Tính chất trên cũng ñúng trong trường hợp tổng quát, tức là ta có bài toán sau:

“Cho hàm số

2

( ' 0) ' '

ax bx c

a x b

+ có ñồ thị (C) Gọi I là tâm ñối xứng của (C)

và M là một ñiểm bất kì thuộc (C) Tiếp tuyến tại M cắt hai ñường tiệm cận tại A và

B Chứng minh rằng M là trung ñiểm của AB và tam giác IAB không phụ thuộc vào

vị trí của M ”

Dạng 2: Biện luận số tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho hàm số

2

6 9 2

x x y

x

=

1) Tìm tất cả các ñiểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ ñược ít nhất một tiếp tuyến với ñồ thị,song song với ñường thẳng 3

4

y= − x 2) N là ñiểm nằm trên tiệm cận ñứng Hỏi từ N có thể kẻ ñến (C) bao nhiêu tiếp tuyến

3) Tìm tập hợp tất cả các ñiểm nằm trong mặt phẳng Oxy sao cho từ ñó có thể kẻ ñến

ñồ thị (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Giải:

1) M ∈Oy⇒M(0; )m gọi d là ñường thẳng ñi qua và song song với ñường thẳng

3

4

y= − x : 3

4

d y x m

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

2

2

2

(1)

(2) 4

( 2)

x x

x m x

x x x



− +







= −



−



có nghiệm

2

(2)⇔x −4x= ⇔0 x=0,x=4

* 0 9 (0; )9

x= ⇒m= ⇒M

* 4 7 (0; )7

x= ⇒m= ⇒M

Vậy có hai ñiểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán

2) Ta có: N(2; )n ðường thẳng d ñi qua N, hệ số góc k có pt: y=k x( −2)+ n

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

2

2

2

6 9

( 2) (3) 2

4 3

(4) ( 2)

x x

k x n x

x x

k x



− +







=



−



có nghiệm

Thế (4) vào (3) ta ñược:

( 2) 2( 3) (*)

n n x n

Số tiếp tuyến kẻ từ N ñến (C) chính là số nghiệm của (*)

* Nếu n=2 thì (*) vô nghiệm nên không có tiếp tuyến nào kẻ từ N

* Nếu n ≠ thì (*) có nghiệm duy nhất nên có ñúng một tiếp tuyến kẻ từ N 2

Vậy từ N(2; )n với n ≠ kẻ ñược duy nhất một tiếp tuyến ñến (C), còn từ 2 N'(2;2) không có tiếp tuyến nào kẻ ñến (C)

3) Xét M x y( 0; 0) ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có ptrình : y=k(x-x0)+y0

d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ

2

2

2

6 9

2

4 3

( 2)

x x

k x x y x

x x

k x



− +







=



−



có nghiệm

Hệ

2

1

2 1

1

( 2)

x

k x





⇔ 





−



2

1

1

( 2)

x k y

x x

k x





⇔ 





−



2

(2 ( 2) )

2 2 1 1

( 2)

x k y x

k x





 −



⇔ 





−



2

0

0

1

4

2 2

y

k

x







⇒ 

 ≠



−



0

0

( 2) 2[( 2)( 2) 2] ( 2) 4 0 (*)

2 2

y

k

x





 ≠



−



ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc ⇔ (*) có hai nghiệm phân biệt 0

0

2 2

y x

−

≠

−

và k1.k2=-1

0

0 2

0

2 0

2

2 ( 2) 4

( 2)

4 0

4 0

x

x y

x

x y

x y







Vậy quỹ tích của M là ñường tròn (x−2)2 +(y−2)2 = , trừ bốn ñiểm sau4 M1(2;0)

2(2;4); 3(2 2;2 2); 4(2 2;2 2)

Chú ý: Từ câu 2 ta thấy trên mọi ñiểm tiệm cận ñứng (trừ giao của hai tiệm cận) ta

luôn kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị Tính chất này cũng ñúng cho mọi hàm phân thức có dạng

2

;

ax b ax bx c

a x b a x b

Ví dụ 2: Cho hàm số = −y x3 +3x+2 Tìm những ñiểm trên trục hoành sao cho từ

ñó kẻ ñược ba tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số và trong ñó có hai tiếp tuyến vuông góc

với nhau

Giải:

Xét ñiểm M m( ;0)∈Ox ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y=k x( −m)

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

3 2

3 2 ( )

3 3

x x k x m











có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: 3(x2−1)(x−m)−(x3−3x−2)= 0

(x 1)(3x 3(1 m x) 3 )m (x 1)(x x 2) 0

2

2

1 ( 1)[2 (3 2) 3 2] 0

2 (3 2) 3 2 0 (*)

x

x m x m

 = −





ðể từ M kẻ ñược ba tiếp tuyến thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác -1

2

3

3 3 0

1

m

m



(**)

Gọi x1,x2 là hai nghiệm của (*), khi ñó hệ số góc của ba tiếp tuyến là :

2

k = − x + k2 = −3x22 +3, k = 3 0

ðể hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau ⇔k k1 2 = − 1

9(x 1)(x 1) 1 9x x 9(x x ) 18x x 8 0 (i)

Mặt khác theo ðịnh lí Viet 1 2 3 2; 1 2 3 2

x + x = + x x = + Do ñó

26 ( ) 9(3 2) 8 0

27

i ⇔ m+ + = ⇔m= − thỏa mãn ñiều kiện (**)

Vậy ( 26;0)

27

M − là ñiểm cần tìm

Ví dụ 3: Tìm tất cả những ñiểm nằm trên trục tung sao cho từ ñó có thể kẻ tới ñồ thị

hàm số y=x4−2x2− ñúng ba tiếp tuyến 1

Giải:

Xét M(0; )m ∈Oy ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y=kx+m

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

3

4 4

x x kx m

x x k









có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: −x4−2x2− =1 4x4 −4x2 +m

5x −2x + +1 m= (*) 0

ðể từ M ta có thể kẻ ñến ñồ thị ñúng ba tiếp tuyến ⇔(*) có ba nghiệm phân biệt

1 0 1

5

x= x= ± và ba tiếp tuyến ñó

5

y= − y= ± x−

Vậy M(0;-1) là ñiểm cần tìm

Ví dụ 4: Tìm tất cả các ñiểm nằm trên trục tung mà từ ñó chỉ có thể kẻ ñược ñúng

một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số 1

1

x y x

+

=

− .

Giải:

Xét M(0; )m ∈Oy ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y=kx+m

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

2

1

1

2

( 1)

x

kx m x

k x

 +





 −







−



có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:

2 2

1 ( 1)

m m x m x m

ðể từ M chỉ kẻ ñược ñúng một tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số ñã cho ⇔ (*) có ñúng một nghiệm Do (*) không có nghiệm x=1 nên (*) có ñúng một nghiệm

Vậy có hai ñiểm M1(0;1), M2(0; 1)− thoảmanx bài toán

Ví dụ 5: Cho hàm số: 2

1

x y x

+

=

− (C) Cho ñiểm M(0;m) Xác ñịnh m ñể từ A kẻ ñược

2 tiếp tuyến ñến (C) sao cho hai tiếp ñiểm tương ứng nằm về hai phía ñối với trục Ox.

Giải:

ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y=kx+m

d là tiếp tuyến ⇔ hệ

2

2

1

3

( 1)

x

kx m x

k x

 +





 −







−



có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:

2 2

1 ( 1)

m m x m x m

ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

' 3( 2) 0

2

1

m

m m

m



 > −



Khi ñó tọa ñộ hai tiếp ñiểm là: M x y1( ;1 1), M2(x2;y2) với x1,x2 là nghiệm của (*)

;

ðể M1, M2 nằm về hai phía Ox thì 1 2 1 2 1 2

2( ) 4

x x x x

y y

x x x x

Áp dụng ñịnh lí Viet: 1 2 2( 2); 1 2 2

m

m

+

Kết hợp với (i) ta có

2 3 1

m

m



 > −







≠



là những giá trị cần tìm

Ví dụ 6: Cho hàm số

2

1

x x y

x

− +

=

− (C)

1)Có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ ñến (C) từ các ñiểm nằm trên ñường thẳng y=7 2) Chứng tỏ rằng trên ñường thẳng y=7, có 4 ñiểm sao cho từ mỗi ñiểm ñó có thể kẻ

ñến (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc 45 0

Giải:

Xét M x( 0;7) ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có ptrình : y=k x( −x0)+ 7

d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ

0

2

2

1 2

2 (2) ( 1)

x

k x











−



có nghiệm

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc:

0 2

0

(1 ) 4 1

x k x

Thay vào (2) ta có: 0 2 0

2

0 [( 1) 8( 2)]=0

( 1) 8( 2) 0

k

k x k x

x k x

 =





Vậy ñường thẳng y=7 là tiếp tuyến của ñò thị hàm số

2) ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến thì x ≠0 1 Khi ñó hệ số góc hai tiếp tuyến là

0

0

8( 2) 0;

( 1)

x

k k

x

−