CÁC DẠNG bài tập TRONG các đề THI đại học các năm

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng P tại A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng SAB và SBC bằng 60◦.. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại điểm A lấy điểm S sao

5 (A, 2002) Cho hàm số y = −x3+ 3mx2+ 3(1 − m2)x + m3− m2 Viết phương trình đường thẳng

đi qua hai diểm cực trị của đồ thị hàm số

Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng

cách giữa hai điểm đó bằng √

12 Cho hàm số y = x

2+ mx + 3

x + 1 .Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm

số ở về hai phía của đường thẳng (d) : 2x + y − 1 = 0

song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 0

ĐS m < 3

2. 14 (Dự bị 2006) Cho hàm số y = x3+ (1 − 2m)x2+ (2 − m)x + m − 2 Tìm các giá trị của m để

đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

ĐS m < −1; 5

4 < m <

7

5. 15 Cho hàm số y = x4− 2mx2+ m − 1 Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành

ba đỉnh của một tam giác đều

ĐS m =√3

3

16 (Dự bị 2004) Cho hàm số y = x4− 2mx2 + 1 Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị

tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân

17 (Dự bị 2004) Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + 1 Chứng minh rằng hàm số

luôn có cực đại và cực tiểu Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các

điểm có hoành độ dương

Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng

với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O

ĐS m 6= 0, m = −4 ±√

24

20 (B, 2007) Cho hàm số

y = −x3+ 3x2 + 3(m2− 1)x − 3m2− 1 (m là tham số) (2)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2).

b) Tìm m để hàm số (2) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (2) cách đều gốc

toạ độ

ĐS b) m = ±1

2. 21 (Dự bị A, 2007) Cho hàm số y = x + m + m

x − 2 có đồ thị là (Cm)

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1

(b) Tìm m để đồ thị (Cm) có các điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc toạ độ

O

22 (Dự bị B, 2007) Cho hàm số y = −x + 1 + m

2 − x có đồ thị là (Cm)

(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1

(b) Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu Gọi A là điểm cực đại của (Cm),

tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại A cắt trục tung Oy tại điểm B sao cho tam giác OAB

là tam giác vuông cân

23 Giải các phương trình sau

x2+ mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm phân biệt

29 (Khối B, 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m, phương trình sau có hai nghiệm

thực phân biệt:

x2+ 2x − 8 =pm(x − 2)

30 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

∪

r3

5;

2

√5

!

33 Tìm tất cả các giá trị của tham số b sao cho phương trình



∪

1

2√

2; +∞

 34 Tìm tất cả các giá trị của tham số b sao cho phương trình



∪

"r2

7; +∞

!

35 (Dự bị D, 2007) Tìm m để phương trình px − 3 − 2√

x − 4 +px − 6√

x − 4 + 5 = m có đúnghai nghiệm

g) 8.41/x+ 8.4−1/x− 54.21/x− 54.2−1/x= −101.

h) 53x+ 9.5x+ 27(5−3x+ 5−x) = 64

i) 1 + 3x/2= 2x.j) 2x−1− 2x 2 −x = (x − 1)2.k) 3log2x = x2 − 1

44 (A, 2008) Giải phương trình log2x−1(2x2+ x − 1) + logx+1(2x − 1)4 = 4

45 (B, 2008) Giải bất phương trình log0,7

log6 x



Đáp số x =

√11

4 .

 x − 12

+ log9(x − 3)2

62 (Dự bị D, 2006) 2(log2x + 1) log4x + log2 1

x 6√2(4 − log16x4)

5(x2−√5x + 2).

85 2.[log121(x − 2)]2

>

hlog1

11(√

2x − 3 − 1)i.hlog 1

11(x − 2)i 86 (CĐSPHN, A, Dự bị, 2002) log1/3(x − 1) + log1/3(2x + 2) + log√

x−1+ 4x − 16

x − 2 > 4.

89 (Dự bị, 2004) 2x12 log2x

> 232 log2x 90 (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2(log2x) 2

102 Tìm tập xác định của hàm số y = log2x+8−x2

 |x + 4| − |x + 3|

3

.Đáp số S = (−∞; −1/2] ∪ (0; +∞)

103 Tìm tập xác định của hàm số f (x) =

rlog4 x

(a) Giải phương trình (3) khi m = 2.

(b) Tìm m để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3

x +√y) = 4√

1 Giải các hệ phương trình sau:

(3y = y2x+22 ,3x = x2y+22

2 Giải các phương trình sau:

x2+ 4x + y = 6;

b)

( √2x + y + 1 −√

x + y = 1,3x + 2y = 4;

f)

(

1 + x3y3 = 19x3,

y + xy2 = −6x2 111 Giải các hệ phương trình sau:

a) (A, 2008) Giải hệ phương trình

x + y = 13x + 2y = 4

d) (Dự bị khối D, 2005)

(

x2+ y2+ x + y = 4x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2e) (Khối A, 2006)

(

x2 + 1 + y(y + x) = 4y(x2+ 1)(y + x − 2) = y (x, y ∈ R)g) (Dự bị Khối A, 2006)

(

x3 − 8x = y3+ 2y

x3 − 3 = 3(y2+ 1) (x, y ∈ R)h) (Khối D, 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

(ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y,

x2− 12xy + 20y2 = 0

k) (Dự bị Khối B, 2006)

((x − y)(x2+ y2) = 13,(x + y)(x2− y2) = 25 (x, y ∈ R)

l) (Dự bị, 2005)

(

x2+ y = y2+ x,

2x+y − 2x−1 = x − ym) (Dự bị 2002)

(

x − 4|x| + 3 = 0,plog4x −plog2y = 0

1 Giải các hệ phương trình sau:

x2− xy + 3y2 = 11;

c)

((x − y)2y = 2,

x3 − y3 = 19;

d)

(

x2 − 5xy + 6y2 = 0,4x2+ 2xy + 6x − 27 = 0;

112 Giải các phương trình sau:

1) (A, 2008) Giải phương trình 1

sin x +

1sin



x −3π2

 = 4 sin

 7π

4 − x



6) (A, 2007) (1 + sin2x) cos x + (1 + cos2x) sin x = 1 + sin 2x

7) (D, 2006) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0

8) (D, 2007) sinx

2 + cos

x2

2

+√

3 cos x = 2

9) (B, 2007) 2 sin22x + sin 7x − 1 = sin x

10) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình sin 2x + sin x − 1

2 sin x − 1

sin 2x = 2 cot 2x.

11) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình 2 cos2x + 2√

3 sin x cos x + 1 = 3(sin x +√

3 cos x)

12) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình sin 5x

2 − π4



− cosx

2 − π4



=√

2 cos3x

2 .13) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình sin 2x

cos x +

cos 2xsin x = tan x − cot x.

14) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2√

2 sinx − π

12

cos x = 1

15) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x

16) (Dự bị B, 2006) (2 sin2x − 1) tan22x + 3(cos2x − 1) = 0

17) (Dự bị B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0

18) (Dự bị D, 2006) cos3x + sin3x + 2 sin2x = 1

19) (Dự bị D, 2006) 4 sin3x + 4 sin2x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0

20) 2 cos 2x + sin2x cos x + sin x cos2x = 2(sin x + cos x)

21) 3 − 4 sin22x = 2 cos 2x(1 + 2 sin x)

+ 1



x +2π3



= 1

2(sin x + 1).

26) (Dự bị A, 2006) 2 sin2x −π

6

+ 4 sin x + 1 = 0

28) (A, 2005) cos23x cos 2x − cos2x = 0

29) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0

30) (D, 2005) cos4x + sin4x + cosx − π

4

sin3x −π

.33) (Dự bị 2005) sin x cos 2x + cos2x(tan2x − 1) + 2 sin3x = 0

34) (Dự bị 2004) 4(sin3x + cos3x) = cos x + 3 sin x

35) sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos3x

114 (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam

giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của

các cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện

CM N P

115 (B, 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi E là

điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của

BC Chứng minh M N vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng

M N và AC

116 (Dự bị A, 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a√

5

và [BAC = 120◦ Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh rằng M B ⊥ M A1 và tính

khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A1BM )

117 (Dự bị A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

60◦, các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh bằng a Tính theo a khoảng cách từ

điểm B đến mặt phẳng (SAC)

118 (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng (P ) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C

thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P ) tại

A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60◦ Gọi H, K lần lượt

là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC Chứng minh rằng tam giác AHK là tam

giác vuông và tính thể tích của khối chóp S.ABC

119 (Dự bị B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc

với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a√

2 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của Atrên các cạnh SB, SD Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và tính thể tích của khối chóp O.AHK

120 (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC =

a, AA1 = a√

2 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA1 và BC Chứng minh rằng

M N là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1 Tính thể tích của khối chóp

M.A1BC1

121 (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M là trung

điểm của đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM

và B1C

122 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA = a, OB = b,

OC = c Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng

sin2α + sin2β + sin2γ = 1

123 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau Gọi α, β, γ lần lượt là

các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) Chứng minh rằng

cos α + cos β + cos γ 6√3

124 (Khối B, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh bằng a

a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1B và B1D;

b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B1B, CD, A1D1 Tính góc giữa hai đường

thẳng M P và C1N

125 (ĐH Ngoại thương HCM, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a Giả sử

M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và DD0

a) Chứng minh rằng M N//(A0BD)

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và M N

126 (Học viện quan hệ quốc tế, khối D, 2001) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A0B0C0D0 với AB =

a, BC = b, AA0 = c

a) Tính diện tích tam giác ACD0 theo a, b, c

b) Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Hãy tính thể tích tứ diện D0DM N theo

a, b, c

127 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt

phẳng đáy (ABC) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA = a.

√6

2 . 128 (Dự bị 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a Gọi E là trung điểm của cạnh CD Tính theo A khoảng

cách từ điểm S đến đường thẳng BE

129 (Dự bị 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng vuông

góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và

(SBC) bằng 60◦ Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a

130 (Khối B, 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và

mặt đáy bằng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦) Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SAB)

theo ϕ Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ

131 (Khối A, 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O0, bán kính đáy bằng chiều

cao và bằng a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O0 lấy điểm B

sao cho AB = 2a Tính thể tích của khối tứ diện OO0AB

132 (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có các cạnh AB = AD = a, AA0 =

133 (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =

a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60◦ Trên

cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = a

√3

3 Mặt phẳng BCM cắt SD tại điểm N Tính thể tíchkhối chóp S.BCM N

134 (Khối A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a

và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A

trên các đường thẳng SB và SC Tính thể tích của khối chóp A.BCN M

135 (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi SH là

đường cao của hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

136 (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có cạnh bằng a và điểm K thuộc

2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AD và SC, I là giao điểm của BM và AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với

mặt phẳng (SM B) Tính thể tích khối tứ diện AN IB

138 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, \BAD = 60◦, SA vuông góc với

mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C0 là trung điểm của SC Mặt phẳng (P ) đi qua AC0 và song

song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B0 và D0 Tính thể tích khối chóp

S.AB0C0D0

139 Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có A0.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh

bên A0A = b Gọi α là góc xen giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A0BC) Tính tan α và thể tích

của khối chóp A0.BB0C0C

140 Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có

AB = BC = 2a, [ABC = 120◦ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC)

141 Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy [ACB =

60◦, BC = a, SA = a√

3 Gọi M là trung điểm của cạnh SB Chứng minh mặt phẳng (SAB)vuông góc với mặt phẳng (SBC) Tính thể tích của khối tứ diện M ABC

142 (Cao đẳng Tài chánh Kế toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a

và góc [ASB = 60◦ Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

143 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) và SA = a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

144 (Khối B, 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A0B0C0D0 có đáy ABCD là một hình thoi cạnh

a, góc \BAD = 60◦ Gọi M là trung điểm của cạnh CC0 Chứng minh rằng bốn điểm B0, M, D, N

cùng nằm trên một mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA0 theo a để tứ giác B0M DN là hình

vuông

145 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2√

6 Cácđiểm M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, AB Tính thể tích hình chóp S.AM N

và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó

146 Trong không gian cho hai đường thẳng

a) Chứng minh rằng d1, d2 chéo nhau và vuông góc với nhau;

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d1, d2 và song song với

a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt

phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB

149 Cho tam giác ABC có điểm A(−1; −1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt

150 (A, 2008) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng

(b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) là lớn nhất

151 (A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng

(a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

(b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ) : 7x + y − 4z = 0 và cắt cả

(a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với

mặt phẳng (OAB)

(b) Tìm toạ độ M thuộc đường thẳng ∆ sao cho M A2+ M B2 nhỏ nhất

153 (B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt cầu

(a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P )

(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho M A + M B nhỏ nhất

155 (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6)

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (d) và cắt các đường thẳng AB và OC

156 (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) và

mặt phẳng (P ) : x + y + z = 0

(a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P )

(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho M A2+ M B2 nhỏ nhất

157 (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), M (0; −3; 6) và mặt

phẳng (P ) có phương trình x + 2y − 9 = 0

(a) Gọi (S ) là mặt cầu có tâm là điểm M và có bán kính OM Chứng minh rằng (P ) tiếp xúc

với (S ) Tìm toạ độ tiếp điểm của (P ) và (S )

(b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa các điểm A và M , đồng thời, (Q) cắt các trục

Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC bằng 3

(a) Tìm toạ độ giao điểm M của (P ) và (d).

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ thuộc (P ) sao cho ∆ vuông góc với (d) và khoảng cách

(b) Tìm các điểm M thuộc (d1) và N thuộc (d2) sao cho đường thẳng M N song song với (P )

i)

# »

M A + # »

M B

.(b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P ) là lớn nhất

161 Cho mặt phẳng (α) : x − y + 2z = 0 và các điểm A(1; 2; −1), B(3; 1; −2), C(1; −2; 1) Tìm điểm

M thuộc (α) sao cho

5 ; 1; −

45





162 Trong số các đường thẳng ∆ đi qua A và cắt d, viết phương trình các đường thẳng sao cho

163 Cho mặt phẳng (P ) có phương trình x − y − 2z = 0 và điểm M (2; −3; 1) Viết phương trình

mặt phẳng (Q) đi qua M , vuông góc với (P ) và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc 45◦

Đáp số x + y + 1 = 0 hoặc 5x − 3y + 4z − 23 = 0

164 Cho hai điểm A(1; 0; 1) và B(0; 1; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua gốc toạ độ và tạo

với các đường thẳng OA, OB các góc bằng 30◦

3) cắt trục Ox và tạo với trục Oxmột góc 45◦

Oz tại B sao cho AB =√

3 và d tạo và tạo với mặt phẳng z = 0 một góc α và sin α = √1

3.Đáp số A(1; −1; −2) và B(0; 0; −1); A(1; −1; −2) và B(0; 0; 3); A(−1; −1; 4) và B(0; 0; 3);

Chứng minh rằng khi các điểm A và B lần lượt thay đổi trên các ∆1 và ∆2 thì trung điểm I

của đoạn AB luôn thuộc một mặt phẳng cố định Viết phương trình mặt phẳng đó

Đáp số 6x + 2z + 3 = 0

Hướng dẫn

• Phương trình tham số của ∆1 là



Để chứng minh I thuộc một mặt phẳng cố định, ta cần tìm các số m, n, n, p, q sao cho

m t + u − 1

2

+ n −2t − 5u − 1

2

+ p −3t − u

2

+ q = 0, ∀t, u

• ∆1 đi qua điểm M (−1; 0; 0)

• ∆2 đi qua điểm N (0; −1; 0)

• Mặt phẳng cần tìm chính là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn M N và song song với

2 y +

−1 +√5

1 +√5

2 = 0; x +

1 −√5

2 y −

1 +√5

2 z +

1 +√5

2 = 0;

171 Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M

1;1

2; 0

, vuông góc với mặt phẳng (β) :3y − 2z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2+ y2+ z2 = 1

Đáp số 6x + 2y + 3z − 7 = 0 = 0

172 Cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và các điểm A(1; 2; −1), B(1; 0; −1), C(2; 1; −2) Tìm

điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho M A2+ M B2− M C2 nhỏ nhất



173 Cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = 0 và các điểm A(3; −4; 5), B(3; 3; −3) Tìm điểm M

thuộc mặt phẳng (α) sao cho |M A − M B| lớn nhất



và các điểm A(2; 1; −1), B(−1; 2; 0) Trong các đường thẳng ∆ đi qua B và cắt (d), viết phương

trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới ∆ là lớn nhất; nhỏ nhất

175 Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(1; 2; −1) và B(−1; 1; 2) Viết phương trình của mặt

phẳng (α) tạo với mặt (xOy) một góc nhỏ nhất

và hai điểm A(2; 1; 1) và B(−1; 2; 0) Tìm điểm M thuộc

đường thẳng ∆ sao cho M A2+ M B2 nhỏ nhất



178 Trong số các mặt cầu đi qua điểm A(1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x + y + 2z − 13 = 0

Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất

Tìm điểm A trên (d), điểm B trên (d0) và C trên trục Oz sao cho tam giácABC nằm trong mặt

phẳng song song với mặt phẳng Oxy và diện tích tam giácABC nhỏ nhất

 180 Cho mặt phẳng (P ) có phương trình x + y + z − 9 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình

Hướng dẫn Phép đối xứng qua tâm O biến A thành B, nên biến (d) thành (d0) đi qua B Do

đó, B là giao điểm của (d0) và (P )

181 Cho tam giác ABC với A(1; −2; 3), B(2; 1; 4), C(0; −2; 1) và (d) có phương trình

Tìm điểm M trên (d) sao cho M A2+ 2M B2+ 3M C2 nhỏ nhất

182 Viết phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng ∆ :

và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 60◦

183 Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua ba điểm A(2; 1; 1), B(3; 1; 2), C(−1; −3; 2) và tiếp xúc

Viết phương trình mặt phẳng song song với d1 và d2 và cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn

Viết phương trình mặt cầu (S ) có bán kính r = √1

14, có tâm I nằm trên giao tuyến của haimặt phẳng (P ) và (Q) đồng thời (S ) tiếp xúc với (R)

Đáp số (x + 1)2+ y2+ (z − 2)2 = 1

14; (x − 5)

2+ (y − 4)2+ z2 = 1

14. 186 Cho mặt cầu (S ) có phương trình (x − 3)2+



y + 13

2

+ (z − 1)2 = 1

Viết phương trình mặt cầu (S0) có tâm K thuộc (S ) và (S0) đi qua ba điểm A(−1; 2; 1),

B(3; −4; 5), C(1; 2; −3), biết khoảng cách từ tâm K đến gốc toạ độ O lớn hơn 4

Đáp số (x − 4)2+



y + 13

2

+ (z − 1)2 = 274

9 . 187 Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm bán kính r =√19 và (S ) đi qua hai điểm M(−1; 2; −3),

N (3; −4; 1), đồng thời (S ) có tâm I thuộc mặt cầu (x − 3)2 + (y − 1)2 + z2 = 9 và hoành độ

tâm I là một số dương

188 Cho các điểm A(−3; 1; −1); B(−1; −3; 3); C(−4; 3; 1); D(−5; 2; 0) Điểm M di động trên đoạn

AB Tìm giá trị lớn nhất của T = M C + M D

(a) Chứng tỏ rằng hai điểm A, B ở ngoài (S )

(b) Viết phương trình (P ) đi qua hai điểm A, B và qua tâm I của (S )

Đáp số 13x + 2y + 14z − 37 = 0

(c) Xác định tọa độ điểm M thuộc giao tuyến (v) của (P ) và (S ) sao cho:

i Diện tích S của tam giác M AB đạt giá trị lớn nhất;

ii Diện tích S của tam giác M AB đạt giá trị nhỏ nhất

• Phương trình mặt phẳng (R) chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P ) là

2x + y − 2z − 14 = 0

• Phương trình đường thẳng (d) qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng (R) là

• Tìm được giao điểm của (d) và (S ) là M1(3; −1; 0); M2(−1; −3; 4) và khoảng cách từ

M1, M2 mặt phẳng (R) lần lươt là 3 và 9 Điểm M di động trên đường tròn (v) Kẻ

M H là đường cao của tam giác M AB, ta có 3 6 MH 6 9 Do đó, khi M trùng M1 thìtam giác M AB có diện tích nhỏ nhất Khi M trùng M2 thì diện tích tam giác M AB

Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P ); cắt (d) và tạo với (d) một góc nhỏ nhất

Hướng dẫn Đường thẳng cần tìm chính là hình chiếu vuông góc của (d) lên (P )

Hướng dẫn

• Bước 1 Tìm hình chiếu vuông góc của (d) xuống (P ), gọi là (do)

• Bước 2 Viết phương ∆ qua E và song song với (do)

192 Dựng mặt phẳng (P ) qua đỉnh A của tứ diện ABCD sao cho mặt phẳng (P ) không cắt khối tứ

diện ABCD thành hai tứ diện nhỏ và tổng các khoảng cách từ B, C, D đến mặt phẳng (P ) là

T để

(a) T đạt giá trị lớn nhất

(b) T đạt giá trị nhỏ nhất

SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD; dựng BB0, CC0, DD0, GG0 vuông góc với mặt phẳng (P )

Dễ dàng thấy BB0+ CC0+ DD0 = 3GG0 Dựng GG1, GG2, GG3 lần lượt vuông góc với các măt

phẳng (ACD), ABD), (ABC) Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích các mặt ACD, ABD, ABC.

Nếu S1 > S2 > S3 thì GG1 6 GG2 6 GG3 Ta lại thấy GG1 6 GG0 6 GA Ta có T = 3GG0 nên

có 3GG1 6 T 6 3GA Vậy T đạt giá trị lớn nhất khi mặt phẳng (P ) vuông góc với GA tại A

và T đạt giá trị nhỏ nhất khi mặt phẳng (P ) trùng với mặt phẳng (ACD)

194 Cho tam giác ABC có trọng tâm là G và K, I, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA Điểm

M di động trên cạnh AB Gọi T là tổng các khoảng cách từ các đỉnh A, B, C tới đường thẳng

(d) qua G và M

(a) Nếu (d) cắt BC tại N và góc của hai vectơ # »

GB và # »

GN bằng α Hãy chứng minh T 62BG sin α

Sơ lược cách giải

(a) Kẻ AA1, CC1, BB1, GG1 lần lượt vuông góc với (d), ta có

AA1+ CC1 = 2GG1 = 2GL sin α = BG sin α

Do đó, T = 2BG sin α

(b) Nếu [AGB < π

2 và M di động từ A tới K, thì α là góc tù, nên sin α giảm, suy ra T giảm.

Khi M di động từ K tới B, thì (d) cắt AC tại N và góc (# »

GA;# »

GN ) = α thì T = 2BG sin αgóc α là góc tù và giảm nên sin α tăng và T tăng Do đó, khi (d) qua K thì T đạt giá trị

(a) Chứng minh SG là đường cao của hình chóp S.ABC

(b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua SG và có tổng các khoảng cách từ các điểm A; B; C

tới mặt phẳng (P ) là T đạt giá trị lớn nhất

Từ đó tìm được giá trị lớn nhất của f (m) là 2√

19 khi m = −3 Vậy phương trình mặtphẳng (P ) là x − 3y + 3z − 1 = 0

196 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có thể tích bằng 1 (đ.v.t.t) Trên ba cạnh A1B1, BC,

DD1 lần lượt lấy các điểm M, N, P Chứng minh rằng 1

6 6 VA.M N P 6 1

3.Hướng dẫn Thể tích của khối ABCD.A1B1C1D1 bằng 1, nên độ dài cạnh hình lập phương

bằng 1 Đưa về phương pháp toạ độ Chọn M (x; 0; 0), N (1; y; 0), P (0; 1; z), khi đó VA.M N P =

1

6(xyz + 1) Để ý 0 6 x, y, z 6 1, nên 0 6 xyz 6 1 Từ đó có điều phải chứng minh

197 (A, 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 với

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A0(0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

(a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A0C và M N

(b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A0C và tạo với mặt phẳng 0xy một góc α biết cos α =

1

√

6. 198 (B, 2006) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng:

(a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A đồng thời song song với d1 và d2

(b) Tìm toạ độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng

199 (D, 2006) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng

(a) Tìm toạ độ điểm A0 đối xứng với điểm A qua đường thẳng d1.

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2

200 (Dự bị, A, 2006, dự bị 1) Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có

A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), C(0; 2; 0), A0(0; 0; 2)

(a) Chứng minh A0C vuông góc với BC0 Viết phương trình mặt phẳng (ABC0)

(b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B0C0 trên mặt phẳng (ABC0)

201 (Dự bị, A, 2006, dự bị 2) Cho hình hộp đứng ABCD.A0B0C0D0 có các cạnh AB = AD =

a, AA0 = a

√3

và hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB

(a) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (α)

(b) Xác định toạ độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách đều

(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên mặt phẳng (P ) đồng thời ∆ cắt cả d1 và d2

204 (Dự bị B, 2006) Cho hai điểm A(0; 0; 4), B(2; 2; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình 2x + y −

z + 5 = 0

(a) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB trên mặt phẳng (P )

(b) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P )

205 Cho hai điểm A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0

a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt

phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB

với mặt phẳng (P )

b) Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P ) sao cho CA = CB và mặt phẳng ABC vuông góc

với mặt phẳng (P )

206 Cho điểm A(1; −1; 1) và hai đường thẳng (d1), (d2) có phương trình

208 (Khối A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2), C(4; −2)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết

phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

209 (Khối D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2+ (y − 1)2 = 9

và đường thẳng d : 3x − 4y + m = 0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể

kẻ được hai tiếp tuyến P A, P B tới (C) (A, B là các tiếp điểm)

210 (Khối B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác

ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; −1), đường

phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ đỉnh B có phương

trình 4x + 3y − 1 = 0

211 (Khối D, 2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P ) : y2 = 16x và điểm A(1; 4)

Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P ) sao cho góc [BAC = 90◦ Chứng

minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định

212 (Dự bị khối A, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A

thuộc đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao

BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M (1; 1) Tìm toạ độ của các đỉnh A, B, C

213 (Khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2− 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x − y + 3 = 0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên d

sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C ) , tiếp xúc ngoài với

215 (Khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2+ y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (−3; 1) Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ

từ M đến (C ) Viết phương trình đường thẳng T1T2

216 (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với

A(1; −1), C(3; 5) Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0 Viết phương trình các đường

thẳng AB, BC

217 (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1),

đường cao qua đỉnh B có phương trình là x − 3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có

phương trình là x + y + 1 = 0 Xác định toạ độ B và C của tam giác

218 (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2+ y2 = 1 Gọi (C0) là đường tròn có tâm I(2; 2) và cắt (C ) tại hai điểm A, B sao cho độ dài

đoạn thẳng AB bằng √

2 Viết phương trình của đường thẳng AB

219 (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2; 0)

Biết phương trình các cạnh AB, AC lần lượt là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y − 2 = 0 Tìm toạ độ

các đỉnh A, B, C

220 (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2+ y2− 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d có phương trình x + y − 1 = 0 Xác định toạ độ

các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C ), biết rằng đỉnh A thuộc d

221 (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0 Gọi (C0) là đường tròn có tâm M (5; 1), (C0) cắt (C ) tại hai điểm

A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng √

3 Viết phương trình của đường tròn (C0)

222 (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B thuộc trục

Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm sao cho tam giác

ABC vuông tại A Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

223 (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A(2; 1), B(2; −1) và các

đường thẳng

d1 : (m − 1)x + (m − 2)y + 2 − m = 0, d2 : (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0

Chứng minh rằng d1 luôn cắt d2 Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m sao cho tổng khoảng

cách P A + P B lớn nhất

224 (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d :

x − 2y + 2 = 0 Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC

225 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC có trọng tâm

G 4

3;

13

, phương trình đường thẳng BC là x − 2y − 4 = 0 và phương trình đường thẳng BG

là 7x − 4y − 8 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C

226 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3) Viết phương

trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R bằng √

10

227 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x2+y2−4x−6y −12 = 0

Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0 sao cho M I = 2R, trong đó I là tâm

và R là bán kính của đường tròn (C )

228 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A Biết

A(−1; 4), B(1; −4) và đường thẳng BC đi qua điểm M

2;12

 Tìm toạ độ đỉnh C

229 (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : x + y + 5 = 0, d2 :

x + 2y − 7 = 0 và điểm A(2; 3) Tìm điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 sao cho tam giác ABC

có trọng tâm là điểm G(2; 0)

230 (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm I(−2; 0) và hai đường thẳng

d1 : 2x − y + 5 = 0, d2 : x + y − 3 = 0 Viếte phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt

hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B sao cho # »

IA = 2# »

IB

231 (Cao đẳng Y tế 2006) Cho hai đường thẳng d1 : 2x + y − 1 = 0, d2 : 2x − y + 2 = 0 Viết phương

trình đường tròn có tâm nằm trên trục Ox đồng thời tiếp xúc với d1 và d2

232 ((Cao đẳng MGTW 3 2006) Cho hai đường thẳng (d1) : x − y + 2 = 0, (d2) : 2x + y − 5 = 0 = 0

và điểm M (−1; 4)

(a) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt (d1), (d2) lần lượt tại A và B sao cho M là trung

điểm của đoạn AB

(b) Viết phương trình của đường tròn (C ) qua M và tiếp xúc với đường thẳng (d1) tại giao

điểm của (d1) và trục tung

233 (CĐSP Hà Nội, 2006) Cho tam giác ABC có điểm A(1; 2), đường trung tuyến BM và đường

phân giác trong CD tương ứng có phương trình 2x + y + 1 = 0, x + y − 1 = 0 Hãy viết phương

6 Bài tập

1 Viết phương trình đường tròn (C ) trong các trường hợp sau:

i (C ) qua ba điểm A(2; 4), B(−1; 3), C(1; 1);

ii (C ) qua hai điểm A(3; 1), B(−1; 3) và có tâm ở trên đường thẳng ∆ : 3x − y − 2 = 0;

iii (C ) qua hai điểm A(1; 0), B(2; 0) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − y = 0;

iv (C ) qua điểm M(1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x − 4y + 2 = 0 tại điểm

N (−2; −1)

2 (D, 2003) Cho đường tròn (C ) : (x − 1)2+ (y − 2)2 = 4 và đường thẳng d : x − y − 1 = 0

Viết phương trình đường tròn (C0) đối xứng với đường tròn (C ) qua đường thẳng d Tìm

toạ độ các giao điểm của (C ) và (C0)

ĐS (C0) : (x − 3)2+ y2 = 4 Các giao điểm A(1; 0), B(3; 2)

3 Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x − 4y + 3 = 0 Lập phương trình đường tròn (C0) đối

xứng với đường tròn (C ) qua đường thẳng d : x − 2 = 0

4 (Dự bị khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x − y + 1 −

√

2 = 0 và điểm A(−1; 1) Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua A, gốc toạ độ O và

tiếp xúc với đường thẳng d

ĐS x2+ y2− 2y = 0, x2+ y2− 2x = 0

5 (Dự bị B, 2003) Cho đường thẳng d : x − 7y + 10 = 0 Viết phương trình của đường tròn

có tâm thuộc đường thẳng ∆ : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm A(4; 2)

ĐS (x − 6)2+ (y + 12)2 = 200

6 (A, 2004) Cho hai điểm A(0; 2) và B(−√

3; −1) Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đườngtròn ngoại tiếp tam giác OAB

ĐS Trực tâm H(√

3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp (−√

3; 1)

7 (B, 2005) Cho hai điểm A(2; 0) và B(6; 4) Viết phương trình đường tròn (C tiếp xúc với

trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5

ĐS (x − 2)2+ (y − 7)2 = 49

8 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3) Viết

phương trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R bằng√

10

9 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x2 + y2 − 4x −

6y − 12 = 0 Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0 sao cho M I = 2R,

trong đó I là tâm và R là bán kính của đường tròn (C )

ĐS M1(−4; −5), M2

 24

5 ;

635

 10 (D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2+y2−2x−2y +1 = 0

và đường thẳng d : x − y + 3 = 0 Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho đường

tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn

(C)

ĐS M1(1; 4), M2(−2; 1)

11 (CĐSP Quảng Bình, 2006) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt đường

tròn (x − 1)2+ (y + 3)2 = 25 thành một dây cung có độ dài bằng 8

ĐS y = 0, 3x − 4y = 0

7.1 Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn

1 Cho đường tròn (C) : (x + 2)2+ (y − 3)2 = 25 Viết phương trình các tiếp tuyến của (C)

tại điểm A(−5; 7)

2 Cho đường tròn (C) : x2+ y2− 4x + y − 12 = 0 và đường thẳng ∆ : x + 2y + 4 = 0 Viết

phương trình các tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và ∆

7.2 Tiếp tuyến với đường tròn biết tiếp tuyến song song, vuông góc

với đường thẳng cho trước; có hệ số góc k cho trước

1 Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2 + y2 + 10x − 2y + 6 = 0 biết tiếp tuyến

song song với đường thẳng 2x + y − 7 = 0

7.3 Tiếp tuyến xuất phát, đi qua, kẻ từ một điểm cho trước

1 Lập phương trình tiếp tuyến với đường tròn x2+ y2 + 2x − 4y = 0 biết tiếp tuyến đi qua

điểm A(4; 7)

ĐS 2x − y − 1 = 0, x − 2y + 10 = 0

2 Cho đường tròn (C) : x2 + y2+ x − 3y − 3 = 0 Gọi M, N là các tiếp điểm của các tiếp

tuyến kể từ điểm A(1; −2) đến (C) Tính độ dài đoạn thẳng M N

ĐS 3

3 (B, 2006) Cho đường tròn (C) : x2+ y2− 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (−3; 1) Gọi T1 và T2

là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kể từ điểm M đến (C) Viết phương trình đường thẳng

T1T2

ĐS 2x + y − 3 = 0

7.4 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

1 (Dự bị 2006) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm M(5; 2)

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) song song với đường thẳng 5x + 12y − 1 = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) vuông góc với đường thẳng 2x + 5y = 0

235 Cho họ đường cong (Cm) có phương trình x2+ y2− 2(m + 1)x − 4(m − 1)y + 5 − m = 0

a) Tìm m để (Cm) là đường tròn

b) Khi (Cm) là đường tròn, xác định m để đường thẳng x − y + 2 = 0 là tiếp tuyến của (Cm)

236 (Khối A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2), C(4; −2)

Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC Viết

phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N

237 (Khối D, 2007)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2+ (y − 1)2 = 9

và đường thẳng d : 3x − 4y + m = 0 Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể

kẻ được hai tiếp tuyến P A, P B tới (C) (A, B là các tiếp điểm)

238 (Khối B, 2008) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định toạ độ đỉnh C của tam giác

ABC biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1; −1), đường

phân giác trong của góc A có phương trình x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ đỉnh B có phương

trình 4x + 3y − 1 = 0

239 (Dự bị khối A, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A

thuộc đường thẳng d : x − 4y − 2 = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao

BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M (1; 1) Tìm toạ độ của các đỉnh A, B, C

240 (Khối D, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2− 2x − 2y + 1 = 0 và đường thẳng d : x − y + 3 = 0 Tìm toạ độ điểm M nằm trên d

sao cho đường tròn tâm M , có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C ) , tiếp xúc ngoài với

242 (Khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2+ y2 − 2x − 6y + 6 = 0 và điểm M (−3; 1) Gọi T1, T2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ

từ M đến (C ) Viết phương trình đường thẳng T1T2

243 (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại B với

A(1; −1), C(3; 5) Đỉnh B nằm trên đường thẳng d : 2x − y = 0 Viết phương trình các đường

thẳng AB, BC

244 (Dự bị khối B, 2006) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1),

đường cao qua đỉnh B có phương trình là x − 3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có

phương trình là x + y + 1 = 0 Xác định toạ độ B và C của tam giác

245 (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2+ y2 = 1 Gọi (C0) là đường tròn có tâm I(2; 2) và cắt (C ) tại hai điểm A, B sao cho độ dài

đoạn thẳng AB bằng √

2 Viết phương trình của đường thẳng AB

246 (Dự bị A, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2; 0)

Biết phương trình các cạnh AB, AC lần lượt là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y − 2 = 0 Tìm toạ độ

các đỉnh A, B, C

247 (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2+ y2− 8x + 6y + 21 = 0 và đường thẳng d có phương trình x + y − 1 = 0 Xác định toạ độ

các đỉnh của hình vuông ABCD ngoại tiếp (C ), biết rằng đỉnh A thuộc d

248 (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C ) có phương trình

x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0 Gọi (C0) là đường tròn có tâm M (5; 1), (C0) cắt (C ) tại hai điểm

A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB bằng √

3 Viết phương trình của đường tròn (C0)

249 (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B thuộc trục

Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm sao cho tam giác

ABC vuông tại A Tìm toạ độ các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất

250 (Dự bị D, 2007) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các điểm A(2; 1), B(2; −1) và các

đường thẳng

d1 : (m − 1)x + (m − 2)y + 2 − m = 0, d2 : (2 − m)x + (m − 1)y + 3m − 5 = 0

Chứng minh rằng d1 luôn cắt d2 Gọi P là giao điểm của d1 và d2, tìm m sao cho tổng khoảng

cách P A + P B lớn nhất

251 (Dự bị, 2004) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và đường thẳng d :

x − 2y + 2 = 0 Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB = 2BC

252 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác cân ABC có trọng tâm

G 4

3;

13

, phương trình đường thẳng BC là x − 2y − 4 = 0 và phương trình đường thẳng BG

là 7x − 4y − 8 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C

253 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai điểm A(0; 5), B(2; 3) Viết phương

trình đường tròn đi qua hai điểm A, B và có bán kính R bằng √

10

254 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C ) : x2+y2−4x−6y −12 = 0

Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d : 2x − y + 3 = 0 sao cho M I = 2R, trong đó I là tâm

và R là bán kính của đường tròn (C )

255 (Dự bị, 2005) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông ở A Biết

A(−1; 4), B(1; −4) và đường thẳng BC đi qua điểm M

2;12

 Tìm toạ độ đỉnh C

256 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

x+ 72 = 6(A2

x+ 2Px);

d) Cn2Cnn−2+ 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn−3 = 100;

e) A3 n+1+ Cn+1n−1= 14(n + 1);

f) 1

2A

2 2x− A2

258 (Dự bị 2004) Cho tập A gồm n phần tử (n > 7) Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử

của tập A bằng hai lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A

259 (D, 2005)Tìm giá trị của biểu thức M = A

4 n+1+ 3A3n(n + 1)! ,biết rằng Cn+12 + 2Cn+22 + 2Cn+32 + Cn+42 = 149

260 Tìm tất cả các số tự nhiên x, y sao cho Ay−1

n+3 = 7(n + 3)

262 (Dự bị D, 2005) Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức (2 − 3x)2n, trong đó n là số

nguyên dương thoả mãn C2n+11 + C2n+13 + C2n+15 + · · · + C2n+12n+1 = 1024

263 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của

20

, (x > 0);

c)

2x3+ 1

Đáp số 1695x4 266 Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển của (1 + x + x2+ x3)5

Đáp số 101x10 267 (Dự bị, 2002) Giả sử n là số nguyên dương và

(1 + x)n= a0+ a1x + a2x2+ · · · + akxk+ · · · + anxn.Biết rằng tồn tại số nguyên k (16 k 6 n − 1) sao cho ak−1

269 (Dự bị A, 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có

6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?

270 (Dự bị A, 2003) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà

mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?

271 (Dự bị A, 2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số

khác nhau? Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó

Đáp số 96 số Tổng bằng 2599980

272 (ĐHSP Hà Nội, 2002) Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một

được thành lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8?

Đáp số 37332960

273 (HVQHQT, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi

số gồm chín chữ số khác nhau và chữ số 9 đứng ở vị trí đứng giữa?

274 (Kinh tế Quốc dân, 2001) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên,

mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt hai chữ số 5?

275 (Dự bị D, 2005) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm

5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có mặt hai chữ số 1 và 5?

276 (Ngoại thương HCM, 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác

nhau Hỏi trong các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh

nhau?

277 (Dự bị D, 2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5

chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000?

Đáp số 360

278 (Cao đẳng A, 2004) Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 3 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách

chọn 3 em trong lớp trực nhật sao cho trong 3 em đó luôn có cán bộ lớp?

279 (CĐSP Hà Nội, 2005) Trong một tổ học sinh của lớp 12A có 8 học sinh nam và 4 học sinh nữ

Thầy giáo muốn chọn 3 học sinh để làm trực nhật lớp học, trong đó phải có ít nhất 1 học sinh

nam Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

280 (D, 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh

lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4

học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

Đáp số 255

281 (Dự bị D, 2006) Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có

10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh

Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy?

282 (B, 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu

cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh chỉ

một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ?

Đáp số 3690 284 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung

bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu

nam Hỏi có cách chọn vậy?

280 (D, 2006) Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh, gồm học sinh

lớp A, học. .. 2004) Một lớp có 30 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách

chọn em lớp trực nhật cho em ln có cán lớp?

279 (CĐSP Hà Nội, 2005) Trong tổ học sinh lớp 12A có học sinh nam học sinh nữ

Thầy... Một lớp có 33 học sinh, có nữ Cần chia lớp học thành tổ, tổ có

10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có học sinh

Hỏi có cách chia vậy?

282 (B, 2005) Một