Bài học giải tích hình học lớp 11 HK2

Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập ¥* các số nguyên dương gọi là dãy số vô hạn.. Định nghĩa : a Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số un có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực,

TRƯỜNG THPT LONG KHÁNH

TỔ TOÁN

Biên Soạn: Thầy Hà Lê Anh

TẬP BÀI HỌC GIẢI TÍCH - HÌNH HỌC

LỚP 11 - HỌC KÌ 2

Họ tên học sinh:

Lớp:

NIÊN KHÓA 2014 – 2015

PHẦN I GIẢI TÍCH

BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:

• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ≥ 1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.

Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ≥ n0

thì:

+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = n0;

+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ≥ n0 và phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1.

Ví dụ :

CMR với mọi n là số nguyên dương :

1) 1+2+3+…….+n= ( 1)

2

n n+

2) A n = 3

n −n chia hết cho 3

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

BÀI 2 DÃY SỐ

1 Định nghĩa: Một hàm số u xác định trên tập ¥* các số nguyên dương gọi là dãy số

vô hạn

Kí hiệu u:¥n *a®u n( )¡ Đặt u n=u n( ) Ta gọi u n là số hạng tổng quát ( hay số hạng thứ n) của dãy số.

2 Cách cho một dãy số:

• Cho bằng công thức của số hạng tổng quát

• Cho bằng công thức truy hồi

• Cho bằng cách mô tả

Ví dụ :

1) Cho dãy số (un) với ( 1) 3

n n n

u

n

= −

a) Xác định 5 số hạng đầu tiên của dãy

b) Viết dãy số dưới dạng khai triển

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

b) CMR: u n =7n−6 với mọi n≥1

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

3 Dãy số tăng, dãy số giảm:

• (un) là dãy số tăng ⇔ un+1 > un với ∀ n ∈ N*.

⇔ un+1 – un > 0 với ∀ n ∈ N* ⇔ n 1 1

n

u

u+ > với ∀ n ∈ N* ( un > 0).

• (un) là dãy số giảm ⇔ un+1 < un với ∀ n ∈ N*.

⇔ un+1 – un< 0 với ∀ n ∈ N* ⇔ n 1 1

n

u

u+ < với ∀ n ∈ N* (un > 0)

Ví dụ : Xét tính tăng giảm của các dãy số sau :

a) Dãy số (u n) với 2

n

u =n

b) Dãy số (u n) với 1

1

n

u n

= +

4 Dãy số bị chặn: • (un) là dãy số bị chặn trên ⇔ ∃ M ∈ R: un≤ M, ∀ n ∈ N* • (un) là dãy số bị chặn dưới ⇔ ∃ m ∈ R: un≥ m, ∀ n ∈ N* • (un) là dãy số bị chặn ⇔ ∃ m, M ∈ R: m ≤ un≤ M, ∀ n ∈ N* Ví dụ : CMR a) Dãy số (un) với u n =n2−4n+3 bị chặn dưới b) Dãy số (un) với 2 1 1 n n u n − = + bị chặn ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

BÀI 3 CẤP SỐ CỘNG

1 Định nghĩa: (un) là cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀ n ∈ N* (d: công sai)

Ví dụ : Dãy nào sau đây là cấp số cộng

a) Dãy số 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13

b) Dãy số 1; -3 ; -7 ; -11 ; -15 ; -18

c) Dãy số ( )u n với u n =2n+1

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

b)Một đội công nhân trồng các trụ điện từ cây số 3 đến cây số 5 Cứ 200 mét

trồng một trụ Hỏi có tất cả bao nhiêu trụ điện được trồng ?

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

3 Tính chất các số hạng: 1 1

2

k

Ví dụ : Tìm x để 3 số 10-3x ; 2x2+3 ; 7- 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng

………

………

………

………

………

………

4 Tổng n số hạng đầu tiên: 1 1 2 ( )

2 n n n n u u S = + + +u u u = + = 2 1 ( 1) 2 n u + −n d Ví dụ: Cho cấp số cộng ( )u n với u n =3n−1 a) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên b) Biết S n= 260 Tìm n ? .

Khi q = 1 , cấp số nhân có dạng u1, u u u1, , , , 1 1 u1 …….

Ví dụ : Trong các dãy số sau , dãy số nào là cấp số nhân a) u1 =3 và u n+1=4u n với mọi n≥1 b) u n =3n2+1 2 Số hạng tổng quát: u n=u q1 n−1 với n ≥ 2 Ví dụ : Cho cấp số nhân (un) có u1 =3;u2 = −2 Tìm các số hạng thứ 3, 4, 5 , 6 của cấp số nhân ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

3 Tính chất các số hạng:

2

1 1

u =u − u + với k ≥ 2

, ,

a b clà 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân⇔b2 =ac

Ví dụ : a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân Chứng minh

a) (a2+b b2)( 2+c2) (= ab bc+ )2

b) (bc+ca+ab)3= abc (a+b+c)3

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ : Cho cấp số nhân có số hạng thứ 3 bằng 24 và số hạng thứ 4 bằng 48 Tính tổng

10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN BÀI 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 1 Định nghĩa : a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi Kí hiệu: n →+∞ lim ( ) un = 0 hay u n → 0 khi n → ∞ + Ví dụ: Xét dãy ( )u n với u n ( 1)n n − = a) Biểu diễn trên trục số 10 số hạng đầu tiên của dãy b) Tìm các số hạng của dãy sao cho khoảng cách từ các số hạng đó đến số 0 bé hơn 1 10? ; bé hơn 1 23?; bé hơn 0.01?; bé hơn 0.001? c) Chứng minh n →+∞ lim ( ) un = 0 ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

b) Định nghĩa 2:Ta nói dãy số (un) có giới hạn là a hay (un) dần tới a khi n dần tới dương vô cực ( n → +∞ ), nếu lim ( n ) 0 n u a →+∞ − = Kí hiệu: ( ) n lim n hay u khi n + n u a a →+∞ = → → ∞  Chú ý: lim ( )n lim ( )n n u u →+∞ = . Ví dụ : Chứng minh ( )u n với 2 1 2 n n u = + có giới hạn bằng không khi n→ +∞ ………

………

………

………

………

………

………

………

………

Luyện tập : Chứng minh rằng lim 1 1 1 n n− = + ………

………

………

………

………

………

………

………

Một vài giới hạn đặc biệt. a) lim 1 0 , lim 1k 0 , n n Z n = = ∈ + b) lim ( ) qn = 0 với q < 1 c) un=c (c là hằng số) => lim(un)=limc=c 2 Một số định lý về giới hạn của dãy số. a) Định lý 1: Nếu lim(un)=a , lim(vn)=b thì: ( ) ( ) ( ) lim un ± vn = lim un ± lim vn = ± a b ( ) lim u vn. n = lim lim un vn = a b ( ) ( ) ( * ) n lim lim , v 0 n ; 0 lim n n n n u u a b v = v = b ≠ ∀ ∈ ¥ ≠ ( ) ( ) lim un = lim un = a u , n ≥ 0 ,a 0 ≥ Ví dụ: Tìm lim3 22 1 n n n − + ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ : Tìm lim 1 4 2 1 2 n n + − ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với q < 1.

Cấp số nhân vô hạn ( un) có công bội q, với q <1gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Ví dụ : Cho cấp số nhân (un) có 1

2

n n

u = có q = 1

2 là cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u n) , gọi S = u1+ + +u2 u3 + +u n

= = −1 lim 1 n u S S q Chứng minh : ………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Ví dụ : Tính tổng S = 1 1 1 1

3 9 27+ + + +3n + ………

………

………

………

………

………

………

4 Dãy số dần tới vô cực:

a) Định nghĩa

+∞ hay un → +∞ khi n → +∞

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ nếu lim ( ) − un = +∞ Ký hiệu: lim(un)= −∞ hay un→ −∞ khi n → +∞ .

b) Các giới hạn đặc biệt

limn k = +∞với k nguyên dương

lim k

q = +∞ nếu q>1

c) Định lý:

Định lý 2

• Nếu lim un = a và limv n = ±∞ thì lim n = 0

n

u v

• Nếu lim = > 0 ;limv = 0; > ∀ ⇒ 0 lim n = +∞

n

u

v

• Nếu limu n = +∞;limv n = > ⇒a 0 limu v n n = +∞

Ví dụ :

Tìm lim3 3 22 1

2

………

………

………

………

………

………

………

………

………

Tìm lim 2 3 3 2 n n n − + − ………

………

………

………

………

………

Tìm lim(3n2−10n−5) ………

………

………

Bài 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I.Giới hạn tại một điểm Định nghĩa:Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K hoặc trên K\ { }x0 .Ta nói rằng hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu với mọi dãy số (xn), xn∈ K\ { }x0 và xn 0 x → đều có lim[f(xn)]=L.Kí hiệu: →   ( )  =  0 lim x x f x L hay f(x)→Lkhi x→x0. Ví dụ : Chứng minh lim2 x→− 2 4 4 2 x x − = − + ………

………

………

………

………

………

………

………

………

Tìm 2 2 2 8 lim 2 x x x → − − ………

………

………

……… …………

……… Nhận xét :

1lim

Tìm 2

1

2lim

3 Giới hạn tại vô cực

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (−∞; )a Số L là giới hạn của hàm số f(x) khi x

→ +∞, nếu mọi dãy(xn) , x n >a và x n → +∞ta có f(x n)→L.

Kí hiệu : xlim ( )→+∞ f x =L

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;+∞) Số L là giới hạn của hàm số f(x) khi x

→ −∞, nếu mọi dãy(xn) , x n <a và x n → −∞ta có f(x n)→L.

c x

→±∞ = với c là hằng số và k là số nguyên dương

II Giớihạn vô cực

Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (xn), xn→x0 , đều có

lim[f(xn)]= ∞ thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới x0, kí hiệu:

→−∞ = +∞ với mọi k là số nguyên dương chẳn

limx→−∞x k = −∞ với mọi k là số nguyên dương lẻ

Một số quy tắc về tìm giới hạn vô cực

………

………

………

BÀI 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

I Các định nghĩa

1.Hàm số liên tục tại một điểm , trên khoảng (a; b) , trên đoạn [a ; b]

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0

5; 1

x x

x<x x=x x>x

2 Hàm số liên tục trên khoảng (a; b) , trên đoạn [a ; b]

f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục

tại mọi điểm thuộc khoảng ấy.

f(x) xác định trên đoạn [a;b] được gọi là liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên

khoảng (a;b) và ( ) ( )

( ) ( )

lim lim

Định lý 3:Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0 Tức là phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Phương pháp chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a;b).

o Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b].

o Chứng tỏ f(a).f(b)<0

Khi đó f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).

Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tính các giá trị f(x) để tìm a và b Muốn chứng minh f(x)=0 có hai , ba nghiệm thì ta tìm hai , ba khoảng rời nhau và trên mỗi khoảng f(x)=0 đều có nghiệm.

………

CHƯƠNG VI ĐẠO HÀM BÀI 1 : ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM VÀ

Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

o Định nghĩa : Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng (a b; ) và x0∈(a b; ) , đạo

hàm của hàm số tại điểm x0là một số kí hiệu :f’(x0) và ( ) ( ) ( )

0

0 0

• Nếu hàm số y= f x( ) có đạo hàm tại x0thì nó liên tục tại điểm đó.

Ví dụ : Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 tại điểm x0

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (c) tại điểm M có hoành độ x = 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (c) tại điểm M

………

………

………

………

• Cường độ tức thời của điện lượng Q Q t= ( ) tại thời điểm t0 là : I t( )0 =Q t'( )0 .

3 Đạo hàm hàm số trên một khoảng Định nghĩa : Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng

(a; b) nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng đó

Ví dụ : Chứng minh hàm số f(x) = x2có đạo hàm trên khoảng (-∞ +∞; )

• (sinx)′ =cosx ⇒ (sinu)′=u cos′ u

• (cosx)′ = −sinx ⇒ (cosu)′ = −u′.sinu

………

……… c) y = x 2

………

BÀI 3 VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP 2 I.Vi phân

Ví dụ : Tính gần đúng giá trị của 4,01 ( lấy 4 chử số thập phân) Kiểm tra lại bằng 2 cách là :

0 0

0 0 0

lim )

( ) (

lim )

(

x f x f x

x f x x

f x

f

x x

2

'

11

ku =

( )u n ' =n.u n− 1.u'( )' '

2

1

u u

' 2

'

.11

u u

2

' ' '

' ' '

u v v u v u

u v v u uv

Giới hạn limsin 1

Đạo hàm của hàm số lượng giác:

(sinx)' =cosx (sinu)' =u'cosu (sinn u)' =nsinn− 1u.(sinu)'

(cosx)' =−sinx (cosu)' =−u'sinu (cosn u)'=ncosn− 1u.(cosu)'

u

u

2

' '

sincot =− (cotn u)'=ncotn−1u.(cotu)'

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là u'x và hàm số y= f (u)có đạo hàm tại u là y'u

thì hàm hợp y= f ( x g( ))có đạo hàm tại x là:

( ) ( )' ' '

' ' '

v u v u

v u v u

u y

2 Các bài toán cơ bản:

Bài toán 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số y = f (x)

Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

Cho hàm số y= f (x) có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0)

 Phương pháp giải:

Bước1: Xác định tọa độ x0; y0

Bước 2: Tính đạo hàm của f '(x) tại x0

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0), có dạng:

))(

• Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị ( )C :y= f x( ) có hệ số

góc là k thì ta gọi M x0( 0 ;y0) là tiếp điểm ⇒ f x'( )0 =k (1)

 Giải phương trình (1) tìm x0 suy ra y0 = f x( )0

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : y k x x= ( − 0)+ y0

 Chú ý :

 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M x y( 0, 0) ( )∈ C là k= f x′( )0 =tanα

Trong đó α là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến

 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau

 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng −1

• Biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y( 1; 1) :

 Vì tiếp tuyến đi qua A x y( 1; 1)⇒ =y1 f x'( ) (0 x1−x0)+ f x( ) ( )0 *Giải phương trình(*) tìm x0 thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến

PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1 VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

I)CÁC ĐỊNH NGHĨA

1)Vec tơ , giá, độ dài của vec tơ

•Vec tơ trong khơng gian là một đoạn thẳng cĩ hướng

•Giá của vec tơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đĩ Hai vec tơ gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau Hai vec tơ cùng phương cĩ thể cùng hướng hoặc ngược hướng

•Độ dài của vec tơ là độ dài của đoạn thẳng cĩ hai đầu mút là điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đĩ

2)Hai vec tơ bằng nhau, vec tơ -khơng

•a br r, bằng nhau nếu chúng cĩ cùng độ dài và cùng hướng kí hiệu ar =br

•Ve tơ- khơng là vec tơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

Ví dụ 1 :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

a) Hãy kể tên các véc tơ cĩ điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh cịn lại của hình hộp

b) Hãy kể tên các véc tơ là các đỉnh của hình hộp và bằng ABuuur

II)PHÉP CỘNG VÀ TRỪ VEC TƠ

1)Định nghĩa

•Cho hai vectơ ar và br Trong khơng gian lấy một điểm A tùy ý, vẽ uuur rAB a= , BC buuur r= Vec tơ uuurAC

được gọi là tổng của hai vec tơ ar và br, kí hiệu uuur uuur uuur r rAC= AB BC a b+ = +

•Vec tơ br là vec tơ đối của ar nếu br = ar và ar, br ngược hướng kí hiệu ar = - br

b)Quy tắc hình bình hành

Với hình bình hành ABCD ta có uuur uuur uuurAB AD+ = AC

c)Quy tắc hình hộp :Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Ta có

/ /

Ví dụ 2 : Cho hình hộp ABCD A’B’C’D’.

1) Thực hiện các phép toán sau :

a) uuur uuur uuuuur uuuuurAB CD A B+ + ' '+C D' '

b) BA CDuuur uuuur'− '

c) uuur uuuuur uuuurAB B C+ ' '+DD'

2)Chứng minh : uuur uuuuur uuuur uuur uuuuur uuuurAB B C+ ' '+DD'= AD D C+ ' '+B B'

IB

IA + = ⇔ + = , với mọi M

• Trọng tâm tam giác

G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0

MG 3 MC MB

uuuur uuur uuur

b) uuur uuur uuurAB AC AD+ + =3uuurAG

………

IV) VÉC TƠ ĐỒNG PHẲNG

1/ Sự đồng phẳng của ba vectơ

• Ba vectơ gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

• Nếu ta vẽ OA = a , OB = b , OC = c thì a , b , c đồng phẳng  4 điểm O,A,B,C cùng nằm trên một mặt phẳng  3 đường thẳng OA,OB,OC cùng nằm trên một mặt phẳng

2/ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng

• Cho hai vectơ không cùng phương a , b Khi đó ba vectơ a , b , c đồng phẳng khi và chỉ khi có các số m,n sao cho :c = m a + n b Ngoài ra các số m,n là duy nhất

• Nếu a , b , c là ba vectơ không đồng phẳng thì với vectơ dbất kì ta đều tìm được các số m,n,p sao cho d = m a + n b + p c ,ngoài ra m,n,p là duy nhất

Ví dụ 4 :

Cho hình hộp ABCD.EFGH có uuur r uuur r uuur rAB a AD b AE c= , = , = Gọi I là trung điểm đoạn BG

a) Biểu thị AIuur qua , ,a b cr r r

b) K là giao điểm của BH và DE , J là giao điểm của BH và DF Chứng minh uuur uuur uuurAC KJ FG, , đồng phẳng