Proceedings VCM 2012 51 xác định điều kiện giới nội từng phần của một lớp hệ thống động học phi tuyến đa cấu trúc

Xác định điều kiện giới nội từng phần của một lớp hệ thống động học phi tuyến đa cấu trúc Considering the Conditions of Partial Boundedness for a Class of Multistructural Nonlinear Dynam

Xác định điều kiện giới nội từng phần của một lớp hệ thống động học phi tuyến đa cấu trúc Considering the Conditions of Partial Boundedness for a Class of Multistructural Nonlinear Dynamic System

Vũ Đức Trường (1), Nguyễn Tăng Cường (2)

Học viện KTQS e-Mail: (1) vdtruong80@gmail.com, (2) tcuong@hn.vnn.vn

Tóm tắt

Bài báo này sẽ đề cập đến một số điều kiện giới nội làm cơ sở để phát triển thuật toán điều khiển thích nghi dùng mạng nơron phản hồi đầy đủ trạng thái cho bộ điều chỉnh điểm đặt thích nghi của một lớp các hệ thống phi tuyến Lớp phi tuyến được xem xét là lớp phi tuyến không âm hoặc được phân chia khối Cách tiếp cận để xây dựng các điều kiện giới nội dựa trên phương pháp Lyapunov bảo đảm đường giới nội tới hạn của tín hiệu sai lệch phù hợp với các trạng thái vật lý của hệ thống

Abstract:

This paper refers to a number of boundedness conditions as a basic for developing a full-state feedback neural adaptive control framework for adaptive set-point regulator of a class of nonlinear systems.The class of nonlinear systems considered are nonnegative and compartmental systems The proposed framework is Lyapunov- based and guarantees ultimate boundedness of error signals corresponding to physical system states

Ký hiệu

Ký hiệu Đơn vị Ý nghĩa

A, B, G ma trận của mô

hình

Lyapunov

1 Mở đầu

1.1 Đặt vấn đề bài toán nghiên cứu

Xét hệ thống động học tuyến tính như mô tả trong

phương trình (1):

0

x(t) Ax(t)Bu(t), x(0)x , t0 (1)

trong đó

(n m)xm

ˆ B B

0 

n x n

A  R là cơ bản không âm và B ˆ  Rm x m là

không âm sao cho rank(B )ˆ m, và hệ thống

động học phi tuyến được mô tả bởi phương trình

(2) dưới đây:

x(t) f t, x(t) G x(t)u(t) ,

trong đó x(t)R , tn 0, u(t)R , tm 0,

0

f : t , R R là liên tục trong t và liên tục Lipchitz theo x trên   n

0

t , R và thỏa mãn

f t, 0 0, tt và G : Rn  Rn m Với hệ thống mô tả bởi (1) hoặc (2), các điều kiện

về giới nội từng phần và giới nội tới hạn từng phần

đã được đề xuất và chứng minh ở [1,2,3,4,5] Đây

là cơ cở để xây dựng các thuật toán điều khiển thích nghi một cấu trúc dùng mạng nơ ron Tuy nhiên hiện nay còn để ngỏ chưa có công trình nghiên cứu về điều kiện giới nội cho nhiều ứng dụng thực tế có mô hình hệ thống là hệ đa cấu trúc

có thể chứa thành phần bất định chưa biết Việc xác định điều kiện giới nội từng phần và giới nội tới hạn từng phần cho một lớp hệ thống động học

đa cấu trúc cũng cần thiết phải đặt ra Đây là cơ sở

để phát triển thuật toán điều khiển thích nghi đa cấu trúc dùng mạng nơ ron

Trong bài báo này, các lý thuyết đề xuất cho hệ đa cấu trúc được xây dựng dựa trên phương pháp Lyapunov bảo đảm đường giới nội tới hạn của sai

số tín hiệu phù hợp với các trạng thái của hệ thống vật lý cũng như duy trì phần không âm của không gian trạng thái với các điều kiện ban đầu là cơ bản không âm

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 381

1.2 Một số vấn đề cơ sở cho hệ thống động học

đa cấu trúc

Trong phần này thống nhất các kí hiệu và đưa ra

một số định nghĩa, định lý cơ sở tập trung vào các

hệ thống tuyến tính, phi tuyến không âm, đây là

những nội dung cần thiết cho phát triển các kết quả

chính của bài báo

Cụ thể các ký hiệu, với x  Rn, sẽ viết x  0

(hoặc, x0) để chỉ ra rằng mọi thành phần của

x là không âm (hoặc dương tương ứng) Trong

trường hợp này, chúng ta nói rằng x là không âm

hoặc dương tương ứng Cũng như vậy, A  Rn x m

là không âm hay là dương nếu mọi thành phần của

A là không âm hoặc dương tương ứng và được viết

là A  0 hoặc A0 tương ứng Xét Rn và

n

R kí hiệu các thành phần không âm hoặc dương

của Rn; tức là nếu x  Rn thì tương đương

n

xR và xRn, tương ứng x  0 và

x0 Cuối cùng kí hiệu  T

cho chuyển vị ,

 

tr cho toán tử vết, min  cho trị riêng nhỏ

nhất của ma trận Hermit, cho chuẩn của

vector, F cho chuẩn ma trận Frobenius, và

V (x)  là đạo hàm Frechet của V theo x Sau đây

là các định nghĩa của một hàm không âm (hoặc là

dương tương ứng)

Xem xét hệ thống có s cấu trúc,   1, 2 s Trong

quá trình hệ thống hoạt động xảy ra việc nhảy giữa

các cấu trúc trong các khoảng thời gian khác nhau

(xem H 1)

H 1 Hệ thống hoạt động với việc nhảy cấu trúc

theo khoảng thời gian khác nhau

Định nghĩa 1: Xét T( )  0

Một hàm thực

u  :[0, T ] R

, 1,s là một hàm không

âm (hoặc là dương) nếu u (t)( ) 0

(hoặc ( )

u (t) 0) trong chu kì [0, T( ) ]

Định nghĩa tiếp theo đưa ra khái niệm cho các ma trận cơ bản không âm và ma trận phân chia khối

Định nghĩa 2: Xét A( )  Rn x n

,1,s A( ) là

( ) (i, j)

A 0, i, j1, , n, ij

A( ) là phân chia khối nếu A( ) là cơ bản không âm và n

( ) (i, j)

i 1



Tiếp theo xem xét một hệ thống điều khiển động học tuyến tính :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x  (t)A x  (t)B u  (t),

x( ) (0)x( )0, t0

(3) trong đó

( ) ( )

(n m)xm

ˆ B B

0 





,   1, 2 s (4)

( ) n x n

A  R

là cơ bản không âm và ( ) m x m

ˆ

B  R

( )

ˆ rank(B ) m

Định lý sau đây chỉ ra rằng các

hệ thống tuyến tính không âm ổn định sẽ tiệm cận các động học không với ˆx( ) [x( )1, , x( )m] là đầu ra Để minh chứng cho kết quả này, xét Spec(A( ) ) là kí hiệu phổ của A( ) , xét

C sC : Re[s]0 , và xét A( )  Rn x n

trong công thức (3) có dạng:

( ) ( )

( ) ( )

A



trong đó A11( ) Rm x m

là cơ bản không âm, ( ) m x (n m)

12

A R 

là không âm, A( )21 R(n m) x m

là không âm và A( )22 R(n m) x (n m) 

là cơ bản không

âm

Định lý 1: Xét một hệ thống động học tuyến tính

G cho bởi (3), A( )  Rn n là cơ bản không âm và

có dạng (5), B( )  Rn m là không âm và có dạng (4) với Rank(B )ˆ( ) m

thì tồn tại ma trận khuếch đại K( ) , K( )  Rm n sao cho ( ) ( ) ( )

A  B K  là cơ bản không âm và ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu A( )22 là ổn định tiệm cận Chứng minh:

Trước tiên xét K( ) có dạng K( )    K1( ), K2( ) 

trong đó K1( ) R m m





, K2( ) R m(n m )





và ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

ˆ

ˆ

T



Giả thiết A( )  B K( ) ( ) là cơ bản không âm và ổn

định tiệm cận và giả sử A( )22 là không ổn định

tiệm cận Khi đó, theo [2, Định lý 3.1] không tồn

tại véctơ dương p( )2 Rn m để A( ) T22 p( )2 0

Khi A12( ) B Kˆ( ) 2( )

là không âm thì ( ) ( ) ( ) ( )

(A B K  ).p 0 với bất kỳ véctơ

( )

1

m

p R Bởi vậy không tồn tại véc tơ dương

( ) ( ) T ( ) T

p    p , p  

( ) ( ) ( ) T ( )

(A  B K  ) p 0 và do vậy theo [2,

Định lý 3.1] A( )  B K( ) ( ) không ổn định tiệm

cận mâu thuẫn

Bởi vậy, A( )22 là ổn định tiệm cận

Ngược lại khi A( )22 ổn định tiệm

cận, 1( ) (ˆ( )) (1 ( ) 11( ))

s

K   B  A A ,

( ) ( ) 1 ( )

K    B  A , trong đó A s( ) là cơ bản

không âm và ổn định tiệm cận

( ) ( ) ( )

spec(A ) spec(A ) C

( ) ( ) ( )

A  B K  là cơ bản không âm và ổn định

tiệm cận

Định nghĩa 3:

Xét f( )    f( ), f( )  T: D  Rn, 1,s trong

đó D là tập con mở chứa R T n

( )

T ( ) ( ) ( ) ( )

ˆx     x , x , x     , m  n nếu ( )

i

f  (x)0

với  i 1, m và x( ) RnT sao cho

( )

i

x 0, i1, m trong đó x( )i ký hiệu các thành

phần thứ i của x( ) và f( ) là cơ bản không âm

nếu fi( ) (x)0

với  i 1, n và x( ) Rn sao cho x i( ) 0

Trong bài báo này, xem xét hệ thống động học phi

tuyến biến đổi theo thời gian:

x (t)    f  t, x (t)  G  x (t)u (t) , 

x( ) (t )0 x , t( )0 t0 , (6)

trong đó: x( ) (t)R , tn 0, u( ) (t)R , tm 0,

0

f  : t , R R là liên tục theo t và liên

tục Lipchitz theo x ( ) trên   n

0

t , R và thỏa mãn ( ) 

0

f  t, 0 0, tt và G( ) : Rn  Rn m

Định nghĩa 4: Hệ thống động phi tuyến đa cấu

trúc cho bởi (6) là không âm nếu với mọi ( )

(0) n

x R và u (t)( ) 0, t0

( )

x (t), t  0 của (6) là không âm

2 Điều kiện giới nội từng phần và giới nội tới hạn từng phần cho hệ thống động học đa cấu trúc

Trong phần này, chúng ta sẽ đưa ra các điều kiện giới nội từng phần và giới nội tới hạn từng phần dựa trên lý thuyết Lyapunov Các điều kiện này sẽ cho phép phát triển đường giới nội tới hạn cho bộ điều khiển nơ ron thích nghi trong các ứng dụng điều khiển thích nghi dùng mạng nơ ron sau này Xét hệ thống sau:

x (t)    f  x (t), x (t) , x (0)    x ,

10 20

( )

x ,x

tI (7)

x (t)    f  x (t), x (t) , x (0)    x (8)

1

x D, DR , với 1,s là tập

0D, x R ,f  : D R R sao cho với mọi ( ) n 2 ( ) ( ) ( ) ( )

x  R , f  (0, x )0, f  (., x ) là lipchitz cục bộ theo ( ) ( ) n 2 n 2

x , f  : D R R sao cho với x1( ) D f, 2( ) (x1( ),.) là lipchitz cục bộ

I    0,   ,

10 20

( ) ,

0  x x   là chu kỳ lớn nhất tồn tại nghiệm

10 20

x (t), x (t), tI của (7), (8) Lưu ý rằng với giả thiết ở phần trước nghiệm ( ) ( )

x (t), x  (t) của (7), (8) tồn tại và duy nhất trên

10 20

( )

x ,x

I

Định nghĩa 5:

Hệ thống động học phi tuyến (7), (8) là giới nội với x1( ) đơn điệu theo x( )20 nếu tồn tại   0 sao cho   0, tồn tại       0 sao cho ( )

10

x   tức là ( ) 

1

x  t   , t  0 Hệ thống động học phi tuyến (7), (8) là giới nội toàn cục với ( )

1

x  đơn điệu theo x( )20 nếu với mỗi

0, 

   tồn tại       0sao cho x10( )  

tức là ( ) 

1

x t   , t  0

Hệ thống động học phi tuyến (7), (8) là giới nội tới hạn với x1( ) đơn điệu theo x( )20 với đường biên tới hạn  nếu tồn tại   0 sao cho với mỗi

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 383

0, 

   tồn tại ( ) ( ) 

T T   , 0 sao cho ( )

10

x   tức là ( )  ( )

1

x  t   , t  T

Hệ thống động học phi tuyến (7), (8) là giới nội tới

hạn toàn cục với x1( ) đơn điệu trong x( )20 với

đường biên tới hạn  với mỗi 0, tồn tại

( ) ( )

T T   , 0 sao cho x10( )   tức là

 

1

x t   , t  T

Lưu ý rằng nếu một hệ thống động học phi tuyến

là giới nội toàn cục với x1( ) đơn điệu theo x( )20 thì

tồn tại  0sao cho nó giới nội tới hạn toàn cục

với x1( ) đơn điệu theo x( )20 với một đường biên

tới hạn  Ngược lại nếu một hệ thống động học

phi tuyến là giới nội tới hạn toàn cục với x( )1 đơn

điệu theo x( )20 với đường biên tới hạn , thì nó là

giới nội toàn cục với x1( ) đơn điệu theox( )20

Các kết quả sau đưa ra các định lý giống như lý

thuyết Lyapunov về giới nội từng phần và giới nội

tới hạn từng phần

Với các kết quả này định nghĩa

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

V   x , x   (V ) x , x    f  x , x 

trong đó:

( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) ( ) ( ) T ( ) ( )

V : D R   R là một hàm liên tục, khả

vi Thêm nữa, xét B( )(x( ) ), x( ) R ,n  0 là

quả cầu tâm tại x( ) với bán kính  và

( ) ( )

B (x  )là đường bao của B( )(x( ) )

Định lý 2: Xét hệ thống động học phi tuyến đa cấu

trúc (7), (8) Giả thiết tồn tại các hàm khả vi liên

( ) ( )

K     sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) n 2

x  D, x R (9)

V   x , x   0, x  D, x   ,

( ) n 2

2

x  R (10) Trong đó   0sao cho ( ) 1 

( ) ( )

B     (0)  D



với ( )

B ( )

    Khi đó hệ thống động học phi tuyến

(7), (8) là giới nội với x( )1 đơn điệu theo x( )20

Thêm nữa với mỗi   ( ) ( )

10

0, , x B (0)

( ) 1

x (t)   trong đó

       

   

( ) 1 ( )

( ) 1







      



Và

 

  

( )



D  R và ( ) 

 là một lớp hàm K thì

hệ thống mô tả bởi (7), (8) là giới nội toàn cục với ( )

1

x đơn điệu theox( )20 và với mỗi

1

n

x   R , x (t)   , t  0 trong đó  xác định từ (11),   x10( )

Chứng minh:

Trước tiên xét  0, và coi x10( )  

Nếu x (t)1( )   , t  0 thì từ (7) ta có:

 

1

x (t)     (  )     (  )  ,

t0

Đồng thời nếu tồn tại T( ) >0 sao cho ( ) ( )

1

x (T )    thì theo tính liên tục của x1( ) (.)

tồn tại   T( ) sao cho x ( )1( )    và

1

x (t)     , t   , T   Bởi vậy từ (9), (10) ta

có ( ) ( )  ( ) ( ) ( ) 

1

x ( )    (  ) ( ) 

Tiếp theo xét   ,  và coi x10( ) B (0)( ) và với mỗi ˆt 0  sao cho x (t)1( )      , t  0, t ˆ , từ (9) và (10) ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

10 20

Tức là: ( ) ( ) 1 ( )  

x (t)   ( )   , t     0, t 

Tiếp đến nếu tồn tại T( )  0 sao cho ( )

1

x (t)   thì như chứng minh trường hợp đầu

 

1

x (t)   (  )  , t  T bởi vậy nếu

10

x (0) \(0) thì

 

1

x (t)   (  )   , t  0 Cuối cùng nếu

1

n

D  R và ( ) 

 là một lớp hàm K thì

( )

(.)

 cũng là lớp hàm K, do vậy    Do đó

hệ thống động học phi tuyến đa cấu trúc (7), (8) là

giới nội toàn cục với x( )1 đơn điệu theo x( )20

Định lý 3: Xét hệ thống phi tuyến đa cấu trúc (7),

(8) Giả thiết tồn tại các hàm khả vi liên tục

2

n

( )

( ) ( )

K  , sao cho thỏa mãn (9)

Thêm nữa: W( ) : D  R sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

V   x , x    W  x ,

2

n

x   D, x   , x  R (12)

Trong đó:   0sao cho

 

( ) 1

( ) ( )

B     (0)  D



với ( )

B ( )

    thì hệ thống động học phi tuyến (7),

(8) là giới nội tới hạn với x1( ) đơn điệu trong x( )20

và đường biên tới hạn (( ) ) ( )1  Thêm nữa,

( ) ( ) 1 ( )

lim sup x (t)   (  )  ( )  Nếu

n

D  R và ( ) (.)là một lớp hàm K thì hệ

thống động học (7), (8) là giới nội tới hạn toàn cục

với x1( ) đơn điệu theo x( )20 và đường biên tới hạn



Chứng minh: Cho  0, và coi x( )10  

như chứng minh trong định lý 2, ta

có: x (t)( )1   ( ( ) ) ( )1    , t  0

Tiếp theo xét   , trong đó:

 

  

( )



( ) ( )

10

x B(0)và x10( )  

Trong trường hợp này theo định lý 2,

 

1( )  ( )  ,  0

đương

 

  

( ) 1

1





t  0

Khi O là tập đóng và W (.)( ) là liên tục và

( ) ( )

1

W ( x )0, x (t)1( )   ( ( ) ) ( )1   , theo

( l ) 1

( ) ( ) 1

x O



    tồn tại Do vậy từ (12)

ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

V x (t), x (t)   V x , x   kt,

t0 (13) Tức là:

t  0 (14) Xét ( ) 

t   k, theo đó (  ( ) 

1

điều này là mâu thuẫn

Do vậy ( ) ( ) 

T T   , 0 tồn tại sao cho

1

x (t)   (  ) ( )  Bởi vậy từ định lý 3.1 suy

ra ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1  

1

x (t)   (  )  ( ) ( )  

( ) 1

( ) ( )

   , t  T( ) , điều này chứng tỏ rằng hệ thống động học phi tuyến (7), (8) là giới nội tới hạn với x1( ) đơn điệu theo x( )20 với đường biên tới hạn    ( ( ) ) ( )1 

Thêm nữa:

( ) ( ) 1 ( )

lim sup x (t)   ( )  ( )  Cuối cùng, với D  Rn và ( ) (.)là một lớp hàm K

thì ( ) (.)cũng là lớp hàm K    

Kết luận: Hệ thống động học phi tuyến (7), (8) là giới nội tới hạn toàn cục

Kết quả tiếp theo về giới nội tới hạn của các hệ thống có mối liên hệ với nhau là cần thiết cho việc phát triển các lý thuyết điều khiển nơ ron thích nghi

Mệnh đề 1: Xét hệ thống động học phi tuyến đa

cấu trúc (7), (8) liên hệ lẫn nhau

Nếu (8) là ổn định theo trạng thái đầu vào với x( )1

là đầu vào và (7), (8) là giới nội tới hạn với ( )

1

x  đơn điệu theo x( )20 thì nghiệm ( ) ( )

x  (t), x (t), t 0 của (7), (8) là giới nội tới hạn

Chứng minh:

Nếu (7), (8) là giới nội tới hạn tương ứng với x( )1

(đơn điệu theox( )20 ), tồn tại hằng số xác định

T T  , sao cho

1

x (t)   , t  T Thêm nữa (8) là ổn định theo theo đầu vào x( )1 , khi đó: x( )2 (t) là hữu hạn

Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ điện tử toàn quốc lần thứ 6 385

bởi vậy tồn tại một lớp hàm KL ( ) (.,.)

và lớp hàm K ( ) (.)sao cho

x (t)   x (t) , t  T 

+

( )

1



2

x (t) , t T

         (15)

Chứng tỏ x1( ) (t), x( )2 (t), t0 trong đó: (7), (8) là

giới nội tới hạn

3 Kết luận

Bài báo này đưa ra các điều kiện giới nội từng

phần và giới nội tới hạn từng phần và chứng minh

cho một lớp hệ thống động học đa cấu trúc phục

vụ cho việc phát triển thuật toán nơ ron thích nghi

được áp dụng trong các ứng dụng sử dụng mạng

nơ ron Sử dụng cách tiếp cận tương tự như

phương pháp Lyapunov, các lý thuyết đưa ra trong

bài báo bảo đảm đường giới nội tới hạn của sai số

tín hiệu phù hợp với các trạng thái vật lý của hệ

thống Các lý thuyết đề xuất trong bài báo được sử

dụng để phát triển các thuật toán điều khiển nơ ron

thích nghi, áp dụng cho lớp các hệ thống đa cấu

trúc được công bố ở các công trình sẽ được công

bố trong thời gian tiếp theo

Tài liệu tham khảo

[1] Tomohisa Hayakawa, Wassim M Haddad, Naira

Hovakimyan, VijaySekhar Chellaboina, “Neural

Network Adaptive Control for Nonlinear

Nonnegative Dynamical Systems ”, IEEE Trans

Neural Netw., vol.16, no 2, pp 400-402, Mar 2005

[2] W M Haddad, V Chellaboina, and E August,

“Stability and dissipativity theory for nonnegative

dynamical systems: A thermodynamic framework for

biological and physiological systems,” in Proc

IEEE, Conf Decision Control, Orlando, FL, Dec

2001, pp 442–458

[3] A Berman and R J Plemmons, “Nonnegative

Matrices in theMathematical Sciences” New York:

Academic, 1979

[4] K Godfrey, “Compartmental Models and their

Applications” New York: Academic, 1983

[5] H K Khalil, “Nonlinear Systems”, 2nd ed

Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1996

[6] H L Royden, “Real Analysis” New York:

Macmillan,1988

Nguyễn Tăng Cường, PGS

TS, giảng viên Học viện KTQS Tốt nghiệp kỹ sư điều khiển tên lửa phòng không và tiến sĩ tại Minsk – Liên Xô,

và học tập nâng cao tại đại học kỹ thuật Bauman CHLB Nga Viết, công bố trên 80 công trình khoa học về về tự động hóa, kỹ thuật máy tính, xử lý tín hiệu, điều khiển thiết bị bay và điều khiển công nghiệp

Vũ Đức Trường, nhận bằng

kỹ sư Tự động hóa tại ĐHBK

Hà nội năm 2003, Thạc sỹ Tự động hóa tại Học viện KTQS năm 2009 Tham gia giảng dạy tại Học viện KTQS từ năm 2003 đến nay Hiện là Giảng viên Bộ môn Tự động

và KT Tính, Khoa Kỹ thuật Điều khiển, Học viện KTQS