Proceedings VCM 2012 50 tổng hợp điện áp điều khiển trong hệ truyền động bám động cơ

Tổng hợp điện áp điều khiển trong hệ truyền động bám động cơ một chiều có tính đến giới hạn của các tham số trạng thái và điện áp phần ứng A synthesizing controller for tracking system

Tổng hợp điện áp điều khiển trong hệ truyền động bám động cơ một chiều có tính đến giới hạn của các tham số trạng thái

và điện áp phần ứng

A synthesizing controller for tracking system with DC motor

consider saturation of variable states and armature voltage

Nguyễn Thanh Tiên

Học viện KTQS, e-Mail: ngttienktd@gmail.com

Dương Quốc Dũng

Học viện KTQS

Bùi Văn Quảng

Cao đẳng công nghiệp Quảng ninh

Tóm tắt

Bài báo trình bày về phương pháp tổng hợp luật điều khiển điện áp phần ứng, điện áp kích từ của hệ truyền động điện động cơ một chiều trên cơ sở phương pháp tổng hợp cuốn chiếu kết hợp với điều khiển trong chế độ trượt hàm bão hòa có tính đến các giới hạn của các tham số trạng thái và điện áp nguồn Xây dựng mô hình mô phỏng trong môi trường MATLAB-SIMULINK

Abstract:

This paper presents a design methodology of synthesizing the controller armature voltage and the excitation voltage for tracking sysyems with the DC motor based on backstepping sliding mode with saturation function arctg(x), consider saturation of variable states Building simulation model in MATLAB-SIMULINK

1 Phần mở đầu

Động cơ một chiều thường được sử dụng làm cơ

cấu chấp hành trong các hệ truyền động tay máy rô

bốt Trong thực tế kỹ thuật các tham số vật lý đều

tồn tại các giá trị giới hạn: giới hạn về góc, giới

hạn về vận tốc góc, gia tốc góc, giới hạn về điện

áp, dòng điện, độ bền kết cấu của vật liệu sản xuất

động cơ, ổ trục….Bài toán tổng hợp hệ thống điều

khiển có tính đến các giới hạn của các tham số

trạng thái đã được nhiều tác giả quan tâm [4, 5],

tuy nhiên để đưa ra một lý thuyết chung về tổng

hợp hệ thống là rất khó khăn và thậm chí không

thể làm được vì các bài toán khác nhau thì sự giới

hạn khác nhau và cách khắc phục cũng sẽ khác

nhau Trong bài báo này trình bày phương pháp

tổng hợp cuốn chiếu kết hợp với điều khiển trượt

khi tính đến sự giới hạn của các biến giả định, tín

hiệu điều khiển là điện áp phần ứng của động cơ

và đòng điện kích từ được chọn với dạng hàm bão

hòa với mục đích giảm dao động trên mặt trượt

2 Nội dung chính

2.1 Mô tả bài toán

Xét mô hình của động cơ một chiều kích từ độc lập: Khi xét đến tính phi tuyến của dòng điện kích

từ và thành phần ma sát, thì mô hình toán học của

hệ truyền động động cơ một chiều sẽ có dạng:

x x

2 21[ 3 4 L( ) ms]

x a x x m t f

3 32( 1 2 4 31 3)

x a u x x a x (1)

4 41[ 2 ( 4)]

x a u f x

Trong đó:

Các biến trạng thái : x1q góc quay; x2w tốc

độ góc; x3i a dòng điện phần ứng;x4i f dòng điện kích từ ; m t L( ) Mô men tải, f ms( ,x x1 2) Ma sát tác động lên hệ thống, Các hệ số phụ thuộc tham

số động cơ và đối tượng : a21;a22;a31;a32;a41[1] Trong một số nghiên cứu người ta giả thiết mô men tải không đổi: m t L( ) 0, trong bào báo này

giả thiết mô men tài là đại lượng biến thiên, thỏa

mãn m tL( )S dM

Nhận xét về mô hình của động cơ một chiều kích

từ độc lập (1): Đây là mô hình có hai đầu vào điều

khiển: điện áp phần ứng u1 và điện áp kích từ u2

Có các mối quan hệ phụ thuộc tích các biến trạng

thái x x x x2 4, 3 4, f x( 4) thể hiện tính phi tuyến

Đối với bài toán tổng hợp bộ điều khiển động cơ

một chiều thì các giới hạn đó là:

- Giá trị của góc quay x1 biến đổi từ 0 đến 3600

1 x1

x S

- Giá trị biến thiên của vận tốc góc: x2 S x2

- Giá trị biến thiên của dòng điện x3 S x3,

4 x4

x S

- Giá trị giới hạn của điện áp

1 max PU

u U ,u2 U max KT;

- Các tham số giới hạn của quỹ đạo:

1d x d1

x S , x1d S x d2 , x1d S x d3 x1d S x d4

Bài toán được đặt ra là tổng hợp tín hiệu điều

khiển u 1, u2 để tín hiệu góc quay trên trục động cơ

1

x bám theo giá trị đặt cho trước x 1d, dòng điện

kích từ x4 bám theo giá trị dòng đặt cho trước x 4d

Giả thiết rằng tín hiệu đo là góc quay của trục

động cơ x1[rad] yx1 Quỹ đạo cho trước là

đường cong trơn, có đạo hàm đến cấp 3 :

1d, 1d, 1d

x x x , Tính đến các giá trị giới hạn của các

tham số

2.2 Tổng hợp thuật toán điều khiển khi các tham

số trạng thái bị hạn chế

Khi ta chọn các biến điều khiển trung gian giả

định thay vì dạng tuyến tính [7] bằng dạng hàm

bão hòa arctg x( )[5]:

- Hàm có giới hạn trên, giới hạn dưới

( )

2 arctg x 2

- Khi x 1 thì hàm arctg x( )x, khi x 1,

( )

2

arctg x p

- Đạo hàm có dạng ( ) 1 2

1

arctg x

x

 

 là hàm luôn luôn dương

- Khi ta lựa chọn uKarctg lx( ) khi giá trị l 1

thì điều khiển tương đương với dạng uKsign x( ),

khi ta chọn làm hàm thay thế cho hàm dấu thì có

thể loại bỏ được các trạng thái dao động trên mặt

trượt

Tương tự như đã trình bày trong [5], [7] ta chuyển

từ hệ ban đầu về hệ theo sai số e1 x1 x 1d, bài

toán bám sát trở về bài toán ổn định e 1 0 sau khoảng thời gian xác định Tương ứng với vòng bám sát vị trí trong tổng hợp truyền động điện nhiều vòng điều chỉnh

trình sai số: e1 x1 x1d

1 2 1d

e x x (2)

Ta có thể lựa chọn x2 như là tín hiệu điều khiển đầu vào tắc động lên (2) để đảm bảo động học quá trình e 1 0 theo đúng quá trình mong muốn Quá trình hội tụ của e 1 0 theo dạng:

e  k arctg le với hằng số k10,l0 Như vậy biến điều khiển giả định x2 được lựa chọn có dạng:

2chon 1 ( 1) 1d

Đây là giá trị mong muốn, nhưng thực tế có sự sai khác giữa giá trị mong muốn lựa chọn x 2chon và giá trị thực x2 Ta ký hiệu một biến mới đó là sai số giữa giá trị chọn x2chon và giá trị thực tế x2 là e2,

và giá trị của nó là: e2x2x 2chon Đây là vòng bám sát tốc độ

2 2 1 ( 1) 1d

e x k arctg le  x (4) Với giới hạn của x2 ta phải thỏa mãn, như thế việc lựa chọn k1 không tự do theo yêu cầu động học

mà phải thỏa mãn: e2k arctg le1 ( 1)x1d S x2

2k S x e S x d

p

với k1 là hằng số dương có giá trị được lựa chọn sao cho thỏa mãn quá trình động học mong muốn của tốc độ hội tụ sai số e 1 0 và thỏa mãn điều kiện giới hạn (5)

thế (3), (4) vào (2), ta nhận được:

e  k arctg le e (6) Khi e 2 0 trước thì e 1 0 theo quy luật hàm

e  k arctg le

trình e 2 0.Vi phân (4) ta có:

1

1

le



    (7)

Thế (1), (6) vào (7) ta nhận được:

2 21 3 4

1

1

1 ( )

d

le





 (8) Tương tự như bước 1 ta cũng có nhận xét như sau:

Ta có thể chọn x3 là tín hiệu điều khiển đầu vào giả định của (8) và được chọn sao cho quá trình

hội tụ của e 2 0 theo dạng hàm yêu cầu nào đó

Để đảm bảo điều đó ta chọn:

21 4 3chon 2 ( 2 ) 21 ( L( ) ms) 1d

a x x  k arctg le a m t f  x (9)

Sai khác của giá trị chọn mong muốn và giá trị

thực được định nghĩa bằng biến mới e3

chon

e a x x x

a x x k arctg le a m t f x

Ta nhận được:

2

1

1

1

1

lk

le

lk

le







(11)Xét đến các yếu tố giới hạn của dòng điện x3

ta tìm giới hạn trên của k3

21 4 3 21 x3 x4

a x x a S S

3 2 ( 2 ) 21 ( L( ) ms) 1d 21 x3 x4

e k arctg le a m t f x a S S



( ) 2

x x

p

(12)

Kết hợp bước 1, bước 2 khi e3  0 ta có:

e  k arctg le e

2

1

1 1

1

lk

le

lk

le







Ta có nhận xét là hàm số 2

1

1

1  (le) với biến số là

1

e là hàm số luân dương giá trị cực đại bằng 1 tại

1 0

e  Động học của quá trình e 2 0,e 1 0 sẽ

chỉ phụ thuộc chủ yếu vào gí trị của k1, k2

Bước 3: Tương tự các bước trên, trong bước 3 sẽ

đảm bảo cho e 3 0 khi lựa chọn điều khiển đầu

vào thỏa mãn

Xét vi phân của sai số e3 trong (10) ta có:

2

3 21 4 3 21 4 3 2 2

2

1 ( ) ( L( ) ms) d

k l

le





(13)

Thay (1), (6), (11) vào (13):

2

2

2 2

21 4 32 1

( )

k l lk

k l

le

a a u f x x a x a x x a x

a x a u







Đặt:

21 41 2 4 3

21 4 32 2 4 31 3

( L( ) ms) d

a x a x x a x

    

21 32 4

ba a x

Với các giá trị giới hạn của x2 S x2, x3 S x3,

4 x4

x S ,u1 S1,u2 S2, f x( 4) F kt

Ta có thể tính ra được giới hạn của hàm

max (.)

   , 0bminb bmax

Ta nhận được:

2

2

2 2

( )

1 ( ) 1 ( )

(.)

1 ( )

k l

le





(14)

Trong (14) điều khiển đầu vào là điện áp đặt vào phần ứng của động cơ, đây là đại lượng vật lý thực

sự, và nó được lựa chọn sao cho đảm bảo quá trình

3 0

e  Kết hợp các bước 1, bước 2, bước 3 ta nhận được

hệ mới với biến sai số e e e1, 2, 3 và đại lượng điều khiển là điện áp phần ứng động cơ u1

Từ (6), (11), (14) ta có hệ phương trình:

e  k arctg le e

2 1

1 1

1

lk

le lk

le







(15)

2

2

2 2

(.)

k l lk

k l

le





Bài toán bám sát trở thành bài toán ổn định hệ tọa

độ sai số e e e1, 2, 3trên cơ sở lựa chọn điều khiển điện áp phần ứng động cơ u1 Sự khác biệt với [6]

là dạng bão hòa và đã chỉ ra giới hạn trên của các

hệ số

Như đã phân tích trong [7], điều kiện xuất hiện chế

độ trượt, ưu điểm điều khiển trong chế độ trượt là

bất biến đối với sự thay đổi của tham số, của các

thành phần bất định, nhiễu loạn… và khi xuất hiện

chế độ trượt, bậc của hệ thống sẽ giảm đi Một hạn

chế của chế độ trượt là sự dao động trên mặt trượt

trong chế độ xác lập Để khắc phục hạn chế này ta

sử dụng hàm điều khiển dạng bão hòa dạng

Arctang

Khi tạo tín hiệu điều khiển có dạng:

Khi đó ta nhận được phương trình:

e  k arctg le e

2

1

1 1

1

lk

le

lk

le







(17)

2

2

2 2

k l lk

k l

e k arctg le le





Mặt trượt e 3 0 là tổ hợp của các biến số e2,e1

theo (10) Việc tổng hợp mặt trượt thông qua các

bước 1, bước 2, và bước 3 trên cơ sở lựa chọn

2

k ,k1 Tìm điều kiện xuất hiện chế độ trượt trên

cơ sở xét hàm Lyapunov dưới dạng:

2

3

1

2

V  e , với V 0, e3; Ve e3 3 ;

2

2

2 2

k l lk

k l

e k arctg le le





Để đảm bảo V 0, e3 tương đương với:

2

2

2

2

k l lk

k l

le



Ta có:

1)

2

2 2

( )

2

1 ( ) 1 ( )

arctg le k l k

p



2)

2

p

3) 2

2 2

1 ( )

k l

e lk e

 4) (.) max Như vậy ta có thể sơ bộ đánh giá hệ số k3 như sau:

2 2

Trong đóe03 là các giá trị biên độ lớn nhất của các sai số Tuy nhiên giá trị k3 được lựa chọn còn phải chịu ràng buộc của giới hạn điện áp điều khiển Umax Khi ta có được đánh giá của hàm (.)

 thì có thể dùng nó để hiệu chỉnh kệ số k t3( ) Luật điều khiển khi đó có dạng:

1 ˆ 3( ) ( 3)

bu   k t arctg le Khi chọn luật điều khiển (16) thỏa mãn điều kiện (18) thì sau khoảng thời gian t  t0 sẽ xuất hiện chế độ trượt trên mặt trượt e 3 0 và khi đó e 3 0; và hệ (17) sẽ trở thành hệ bậc 2 có dạng:

e  k arctg le e

2 1

1 1

1

lk

le lk

le







(19)

Trên cơ sở đảm bảo động học cho hệ (19) hội tụ ta

sẽ tìm được các giá trị của k1, k2, và quay lại hiệu chỉnh giá trị của k3

Hình 1 Đặc tính thay đổi hiệu chỉnh hệ số k3

Trong quá trình khởi động hệ thống từ trạng thái dừng chuyển sang trạng thái làm việc thì dòng điện phần ứng cần phải khống chế sao cho không vượt quá giá trị cho phép mà vẫn đảm bảo mô men khởi động của hệ thống

t

t1 t2

k3max

k3min

k3(t)

0

Hình 2 Vị trí điểm làm việc trong tọa độ pha bị

giới hạn

2.3 Tổng hợp vòng điều chỉnh dòng điện kích từ

Điều khiển dòng điện kích từ x4 trong phương

trình (1) để đảm bảo từ thông không đổi trong

vùng vận tốc nhỏ hơn vận tốc định mức của động

cơ, và suy giảm trong vùng tốc độ cao hơn tốc độ

định mức

Hình 3 Đặc tính suy giảm từ thông kích từ khi tốc

độ lớn hơn tốc độ định mức

Để đơn giản ta giả thiết cần phải ổn định giá trị x4

theo một giá trị đặt trước x 4d Có nghĩa là:

4 4d

x x Xây dựng biến sai số e4x4x 4d Giả

thiết rằng x 4d là giá trị liên tục theo thời gian Xét

vi phân sai số:

4 4 4d

e x x

4 41[ 2 ( 4)] 4d

e a u f x x Tìm qui luật của u2 để e 4 0 Khi tổng hợp điều khiển trong chế độ trượt ta không cần biết chính xác đường cong f x( 4) ta vẫn đảm bảo e 4 0

Khi đó, ta chọn tín hiệu điều khiển có dạng:

41 2 4 ( 4)

a u  k arctag le (20) Tìm điều kiện để xuất hiện chế độ trượt trên mặt trượt e 4 0 Xét 2

4 1 2

V e , với :

4 4 4[ 41 ( 4) 4d 4 ( 4)]

Ve e e a f x x k arctg le

0

V  

k p a F X

trong đó f x( 4) là dạng đường cong bão hòa có giá trị cực đại Fmax, Điện áp cực đại để ta lựa chọn hệ

số : a u41 2  a U41 max KT; k4 a U41 max KT

Xây dựng mô hình mô phỏng

Đối với mô hình truyền động động cơ một chiều (1) xây dựng bộ điều khiển theo (16), (20) có thể xây dựng mô hình mô phỏng trong MATLAB-SIMULINK như hình 4

Với các tham số mô phỏng nhận dạng theo [6]

Hình 4 Mô hình mô phỏng trong MATLAB-SIMULINK

Ta nhận được kết quả mô phỏng trong hai trường hợp: Khi sử dụng hàm arctg x( ) tương ứng với hình (a)

và sign x( ) tương ứng với hình (b)

i amp M

,

gh gh

gh w

( o 0, co c(0))

( lv, c( ))

[vong phut/ ]

w

kt

i amp 

,

ktdm dm

[vong phut/ ]

w

O

dm



a b

Hình 5 Quỹ đạo mong muốn (x1d) và qũy đạo thực (x1), sai số bám sát (e1)

a b Hình 6 Điện áp điều khiển

a b Hình 7 Động học mặt trượt e3(t) và hiện tượng dao động trên mặt trượt

Kết quả mô phỏng trên hình 5 cho thấy khả năng

bám sát theo giá trị góc đặt mong muốn với sai số

bám sát hội tụ theo dạng hàm mũ tuy nhiên trong

trường hợp điều khiển là dạng hàm dấu lý tưởng

cho sai số bám sát nhỏ hơn Sự khác biệt thể hiện

trên hình 6 là dạng điện áp điều kiển: Trường hợp

điều khiển là hàm dấu lý tưởng của e3 (b) thì điện

áp phần ứng có dạng điều chế độ rộng xung, ở

vùng chuyển tiếp thì tần số điều chế rất lớn Còn

trong trường hợp điều khiển là dạng hàm

3

( )

arctg e (a) thì điện áp điều khiển có dạng liên

tục, vùng chuyển tiếp thì điện áp điều khiển đột

biến không lớn và có giá trị nhỏ hơn Khác biệt

của hai dạng điều khiển được thể hiện trong hình

dạng của mặt trượt e3(t), trường hợp điều khiển là

hàm dấu lý tưởng của e3 thì mặt trượt có hiện

tượng dao động tần số rất cao, còn trong trường

hợp điều khiển là dạng hàm arctg e( )3 thì mặt trượt

e3(t) có dạng liên tục, vùng chuyển tiếp đột biến

không lớn

3 Kết luận

Trong bài báo đã giải quyết được các vấn đề tổng hợp điều khiển khi tính đến các giới hạn của tham

số trạng thái, đưa ra một thay thế sử dụng hàm ( )

arctg x trong chọn điều khiển giả định Kết quả

mô phỏng cho thấy tính đúng đắn của việc lựa chọn luật điều khiển

Tài liệu tham khảo

[1] Anderson, E.P.; Electric motors; New York,

Macmillan,1991

[2] Utkin V., Guldner J, Shi J Sliding mode control

in electromechanical systems CRC Press LLC,

1999

[3] Krstic, M., Kanellakopoulos,I.,Kokotovic,P.V :

Nonlinear and adaptive control design Wiley, New York 1995

Mã bài: 88

[4] Jing Zhou, Changyun Wen : Adaptive

backstepping control of uncertain systems,

Springer Verlag Berlin Heidelberg 2008

[5] Khoi B Ngo, Robert Mahony, Zhong-Ping, Jiang:

Integrator Backstepping using Barrier

Functions for Systems with Multiple State

Constraints, Proceedings of the 44th IEEE

Conference on Decision and Control, and the

European Control Conference 2005 Seville,

Spain, December 12-15, 2005

[6] Краснова С.А., Нгуен Тхань Тиен :Блочный

синтез системы yправления

неопределенности М: Институт проблем

управления им В.А Трапезникова РАН

2008 Труды Института Том XХVIII С 54–

64

[7] Lê Hồng Phương, Nguyễn Thanh Tiên, :.Tổng

hợp điều khiển truyền động bám góc trên cơ sở

điều khiển trong chế độ trượt, Tạp chí Khoa học

và Kỹ thuật – số 138 (12-2010) Học viện

KTQS