Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Thể tích khối chópBài 1.. Tính thể tích chóp S.ABC theo a... THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Phần 02 ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Trang 1Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Thể tích khối chóp
Bài 1 Cho chóp S.ABC có góc ∠BAC=90 ,0 ∠ABC=30 , (0 SAB)⊥(ABC) Tam giác SBC ñều cạnh a
Tính thể tích chóp S.ABC theo a
Giải:
Ta có:
0
2
SAB ABC
a SAB ABC AB AC SAB h AC BC
AC AB
⊥
Do AC⊥(SAB)⇒ AC⊥SA⇒ SAC vuông tại A nên ta có:
2
a
SA=AB= SC −AC =
Tam giác SAB cân tại S, M là trung ñiểm SB suy ra AM là ñường cao của tam giác này và:
2
Bài 2 Cho chóp SABC ñáy là tam giác vuông cân tại B có BC = a Mặt SAC vuông góc với ñáy, các mặt
bên còn lại tạo với ñáy 1 góc 45 ñộ Tính thể tích chóp?
Giải:
Kẻ SH ⊥BC SAC, ( )⇒(ABC)⇒SH ⊥(ABC)
Gọi I, J là hình chiếu của H lên AB, BC
0
SI AB SJ BC SIH SJH
Ta có: ∆SHI = ∆SHJ⇒HI =HJ
⇒ BH là ñường phân giác góc ABC, nên H là trung ñiểm AC
Khi ñó:
3 1
Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi ; hai ñường chéo AC = 2 3a , BD = 2a và cắt
nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ
ñiểm O ñến mặt phẳng (SAB) bằng 3
4
a
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Giải:
Từ giả thiết AC = 2a 3 ; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung ñiểm O của mỗi ñường chéo
Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do ñó ∠A DB =600hay tam giác ABD ñều
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 02)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Thể tich khối chóp thuộc khóa học Toán 12
– Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược
giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Thể tich khối chóp ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng
sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này
Trang 2Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Thể tích khối chóp
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD)
Do tam giác ABD ñều nên với H là trung ñiểm của AB, K là trung ñiểm của HB ta có DH ⊥AB
a
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) , hay OI là khoảng cách từ O ñến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là ñường cao ⇒ 12 12 12
2
a SO
OI =OK +SO ⇒ = Diện tích ñáy S ABCD =4S∆ABO=2.OA OB =2 3a2; ñường cao của hình chóp
2
a
SO =
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
S ABC ABC
a
Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại ñỉnh A, AB=AC=a Mặt bên qua cạnh
huyền BC vuông góc với mặt ñáy, hai mặt bên còn lại ñều hợp với mặt ñáy các góc 60o Hãy tính thể tích của khối chóp S.ABC
Giải:
Kẻ SH vuông góc với BC Suy ra SH ⊥ mp (ABC)
Kẻ SI vuông góc với AB và SJ ⊥ AC
⇒góc SIH = góc SJH = 60o
⇒ tam giác SHI = tam giác SHJ
⇒ HI = HJ ⇒ AIHJ là hình vuông
⇒ I là trung ñiểm AB ⇒ IH = a/2
Trong tam giác vuông SHI ta có 3
2
a
SH =
V(SABC) =
3
a
Bài 5 Cho hình chóp SABCD ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA=a, SB=a 3 , ∠BAD=600, (SAB)⊥ (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB, BC Tính thể tích khối tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai ñường thẳng SM và DN
Giải
+) VNSDC=?
- Ta có: SA2+SB2=a2+3a2=4a2=AB2
Trang 3Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Thể tích khối chóp
E
N
M
S
I H
=> ∆ SAB vuông tại S => SM=1
2AB= a
=> ∆ SAM ñều
- Gọi H là trung ñiểm AM => SH⊥ AB
SAB ABCD AB
SH ABCD
SH SAB SH AB
=> ⊥
- VNSDC = VSNDC=1
3 S∆NDC SH Mà:
.sin 60
NDC BDC BDA
S∆ = S∆ = S∆ = AB AD =
2
.2 2
a
a a =
2
a
(SH là ñường cao trong tam giác ñều SAM)
VNSDC=
+) d(SM, DN)=?
- Gọi E là trung ñiểm của AD, ta có: BN//=ED => BNDE là hình bình hành => BE//ND
- Gọi I là trung ñiểm của AE => MI//BE => MI//ND => (∠ SM DN, )= ∠(SM MI, )
- Ta có: SI2 = MS2 + MI2 - 2MS.MI.cosSMI =>
cos
2
MS MI SI SMI
MS MI
=
Mà: + SM=1
2AB=
1
2.2a = a
+ MI2 = AM2 + AI2 - 2AM.AI.cos600 = a2 +
2
a
+ Xét tam giác vuông SHI, ta có: SI2 = SH2 + HI2 = ( 3)2 2
2
a
HI
+ Hơn nữa tam giác AHI ñều => HI=
cos
2
3
2 2
a
SMI
a a
4 3
SM MI SMI c SM DN c SM MI c SMI
Bài 6 Cho hình chóp tứ giác SABCD, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD), ñáy
ABCD là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3 Gọi I là ñiểm thuộc SC sao cho SI = 2CI và AI⊥ SC Tính thể tích khối chóp SABCD
Giải
- Gọi O = AC∩ BD
Trang 4Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương Thể tích khối chóp
C
O
D
S
I
M
A
B
C S
H
-
3
SABCD ABDC
Mà: + SABCD = AB.AD = a.a 3 = a2 3
SAC
S∆ = SO AC= SC AI
=> SO.AC = SC.AI (*)
Hơn nữa:
AC = AD2+DC2 = 3a2+a2 =2 a
SC = SO2+OC2 = SO2+a2
3
AC −CI = AC − SC (SI=2 IC => IC=1
3SC )
=
(ðk: SO < a 35 )
3
SO +a a −SO
6a.SO = SO2+a2 35a2−SO2 36.a2
.SO2 = (SO2+a2).(35a2−SO2)
SO4 + 2a2.SO2 - 35a4 = 0 Coi ñây là phương trình trùng phương, ta có SO=a 5
Vậy VSABCD=
3 2
3 5
a
Bài 7 Cho hình chóp SABC, ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a, hai mặt phẳng (SAB)
và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30o, M là trung ñiểm của SC Tính thể tích khối chóp SABM
Giải:
o
- Xét ∆SABta có: SA = SB.tan30o = 3a 1
3 = a 3 Gọi H là trung ñiểm của AC
Khi ñó: MH //SA →MH ⊥ (ABC)
-
3
SABM SABC MABC ABC ABC
Nguồn : Hocmai.vn