Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số: 1.. Xét chiều biến thiên của hàm số: 1.. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Trang 1Bài 1 Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
1 1 4 1 2
3
Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1;0) và (1;+∞ ; )
nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (0;1)
2 2 3
2 2 3
Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (- ∞ ;-1) và (1;+ ∞ );
Nghịch biến trên các khoảng (-1;1)
3 3 1
1 2
x
y
x
+
=
−
Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng ( ; )1
2
−∞ và ( ,1 )
2 +∞
4
2
1
2 1
y
x
− +
=
−
Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng ( ;1 3)
2
−
−∞ và (1 3; )
2
+ +∞ ;
Nghịch biến trên các khoảng (1 3 1; )
2 2
−
và ( ;1 1 3)
2 2
+
Bài 2 Xét chiều biến thiên của hàm số:
1 y=2x− −1 3x− 5
Giải
TXð: 5;
3
+∞
Ta có: ' 2 3 4 3 5 3; ' 0 4 3 5 3 89
48
2 3 5 2 3 5
x
− −
Bảng biến thiên:
KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)
Trang 2x 5
3
89
48 +∞
'
y - 0 +
3
Hàm số nghịch biến trên khoảng 5 89;
3 48
; ñồng biến trên khoảng
89
; 48
+∞
2 1 os2 3 cos 1; [0, ]
Giải
' sin 2 3 sin 2 sin cos 3 sin sin (2 cos 3)
cos
6 2
y
x x
π π
=
=
= −
Bảng biến thiên:
x 0 5
6
π π '
y + 0 -
y
Hàm số ñồng biến trên khoảng 0,5
6
π
; nghịch biến trên khoảng
5 , 6
π π
(Chú ý: Với x∈[0,π]thì sinx ≥ nên dấu của y’ chính là dấu của 2 cos0 x + 3)
3
3.(1 )3
Giải
TXð: R
Ta có:
2 3
x
−
− Dấu của y’ chính là dấu của (1-3x)(1-x) Do ñó ta có bảng biến thiên như sau:
x - ∞ 0 1
3 1 + ∞ '
y + + 0 - +
y
Hàm số ñồng biến trên các khoảng ;1
3
−∞
và (1;+∞ ; nghịch biến trên khoảng ()
1
3; 1)
4
2
2
os 2 os
2 cos 1
y
α
− +
=
− + ; αlà tham số
Trang 3Giải
TXð: R
Ta có:
2 2
2
2 sin ( 1)
( 2 os 1)
x
α α
−
Bảng biến thiên:
x - ∞ -1 1 + ∞
'
y + 0 - 0 +
y
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (−∞ − và (1; + ∞ ); nghịch biến trên khoảng (-1;1) ; 1)
( 6) 2 1 3
y= x +mx + m+ x− m− ñồng biến trên R (ñồng biến với mọi x)
Giải
TXð: R
ðể hàm số ñồng biến trên R (ñồng biến với mọi x) thì ta phải có 'y ≥ ∀ 0 x
2
2
' 0
⇔ ∆ ≤
⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤
3
m
Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến
Giải
2
ðể hàm số luôn ñồng biến thì 'y ≥ ∀ 0 x
+ Với m-1 = 0 m = 1 thì y’ = 2x +1 ñổi dấu khi x vượt qua 1
2
− Vậy hàm số không thể luôn ñồng biến
Bài 5 Cho hàm số:y=(m−1)x4−mx2+ − 3 m
Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên (1,+∞ )
Giải
' 4( 1) 2 2 2( 1)
Hàm số ñồng biến trên (1;+∞ ⇔) y'≥ ∀ ∈0 x (1;+∞ )
+) m = 1 thì y’ = -2x
Khi ñó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên (1; +∞ => m = 1 không thỏa mãn )
+) m-1 > 0 m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm
Khi ñó ta có dấu của y’ như sau:
- ∞ -
2( 1)
m
m − 0 2( 1)
m
m − + ∞
- + - +
Trang 4( )
2( 1)
m
m
− +) m Ờ 1 < 0 m < 1
Xét f(x) = 2(m - 1)x2 Ờ m
8 ( 1); 1 0
∆ = − − <
- Nếu ∆ ≤ ⇔0 8m≥ ⇔0 m≥ kết hợp với m < 1 => 00 ≤m< thì ( ) 01 f x ≤ ∀ x
=> dấu của y'=2x2(m−1)x2−m như sau:
- Nếu ∆ > ⇔0 m< thì yỖ có 3 nghiệm 0
Khi ựó dấu của y'=2x2(m−1)x2−m như sau:
- ∞ + - + ∞
Vậy không thể có 'y ≥ trên (1; +∞ ) 0
đáp số: m ≥ 2
Tìm m ựể hàm số ựơn ựiệu trên R Khi ựó hàm số ựồng biến hay nghịch biến?
Giải
' 3( 5 ) 12 6
Hàm số ựơn ựiệu trên R khi và chỉ khi yỖ không ựổi dấu
Xét các trường hợp sau:
5
m
m
=
+ = ⇔ = −
Với m = 0 => yỖ = 6 > 0 => Hàm số ựơn ựiệu trên R và hàm số ựồng biến
Với m = -5 => yỖ = -60x + 6 => Hàm số ựổi dấu khi x vượt qua 1
10(không thỏa mãn)
5
m
m
≠
+ ≠ ⇔ ≠ −
Khi ựó yỖ không ựổi dấu nếu ' 3 2 5 0 5 0
3
∆ = + ≤ ⇔ − ≤ <
Với ựiều kiện ựó ta có: 2
3(m 5 )m 0 y' 0
− + > ⇒ > trên R => Hàm số ựồng biến trên R
Kết luận: 5 0
3 m
− ≤ ≤ thì hàm số ựơn ựiệu trên R cụ thể là hàm số luôn ựồng biến
1
m
x
= + +
− Tìm m ựể hàm số ựồng biến trên TXđ (ựồng biến trên mỗi khoảng xác ựịnh của nó)
Giải
TXđ: x ≠ 1
2 ' 1
( 1)
m y
x
= −
−
- Nếu m ≤ thì yỖ > 0 0 ∀ ≠ do ựó hàm số ựồng biến trên mỗi khoảng (x 1 −∞;1)và (1;+ ∞ ), tức ựồng biến trên TXđ
Trang 5- Nếu m > 0 thì
2
2
2 1
( 1)
x
− + −
−
Ta có bảng biến thiên:
x - ∞ 1− m 1 1+ m + ∞
'
y + 0 - - +
y
Hàm số nghịch biến trên (1- m ;1) và (1;1+ m ) nên không thể ựồng biến trên tập xác ựịnh
đáp số : m ≤ 0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương Nguồn : Hocmai.vn